王 航， 穆安樂， 黃澤波

(1.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 陜西 西安 710048；2.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安 710026)

復(fù)合材料有著廣闊的應(yīng)用前景。復(fù)合材料質(zhì)量輕，有很大的剛度和阻尼，其優(yōu)異的力學(xué)特性使得復(fù)合材料尤其是層合材料有著非常廣泛的應(yīng)用前景。復(fù)合材料制成的旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)在很多場(chǎng)合下均有使用，例如汽輪機(jī)葉片、壓縮機(jī)、風(fēng)機(jī)葉片等。形狀記憶合金(SMA)是一種非常有應(yīng)用前景的智能材料。SMA在受熱的情況下會(huì)表現(xiàn)出很大的恢復(fù)力，可以作為一種驅(qū)動(dòng)器使用。這種驅(qū)動(dòng)器可以制作成很小的體積，不但能省去電機(jī)驅(qū)動(dòng)過程中的一些復(fù)雜的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，而且有研究表明，內(nèi)嵌SMA絲的層合材料制成的機(jī)械臂可以很好地抑制振動(dòng)。

SMA的理論研究難點(diǎn)是如何建立精確的一維SMA本構(gòu)關(guān)系。SMA的應(yīng)變可以歸結(jié)為熱變形和馬氏體相變兩部分[1-2]。在此基礎(chǔ)之上，有不少文獻(xiàn)對(duì)內(nèi)嵌SMA絲的復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析。研究的對(duì)象主要是梁、板和殼。研究顯示，溫度變化時(shí)內(nèi)嵌SMA絲的復(fù)合梁，其自由振動(dòng)的基頻是不同的，SMA的體積分?jǐn)?shù)對(duì)后屈曲特性的影響也是顯著的，主要表現(xiàn)為降低熱屈曲響應(yīng)。當(dāng)SMA的體積分?jǐn)?shù)、初始應(yīng)變?cè)龃髸r(shí)，基頻的變化趨勢(shì)是上升的，基頻曲線同橫軸的交點(diǎn)后移[3-4]。內(nèi)力的變化趨勢(shì)同基頻曲線的變化趨勢(shì)是相同的，屈曲變形也隨著SMA體積分?jǐn)?shù)的增大而減小，屈曲溫度低于奧氏體開始溫度時(shí)，SMA的存在可以使失穩(wěn)的梁結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定狀態(tài)[5]。SMA的存在減小了層合板的變形撓度[6]。SMA層合板處于復(fù)雜的物理場(chǎng)中時(shí)，比如在熱場(chǎng)中受一階氣動(dòng)活塞力作用時(shí)，系統(tǒng)的非線性顫振特性是不同的，主要表現(xiàn)為隨著SMA體積分?jǐn)?shù)的增加，穩(wěn)定區(qū)域逐漸擴(kuò)大，由此可得，SMA可以提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[7]。Dehkordi[8]用非線性有限元與增量迭代算法進(jìn)行仿真計(jì)算，發(fā)現(xiàn)SMA的存在降低了板的振幅。Kumar等[9]用分層理論重新描述了位移場(chǎng)，得到SMA絲的鋪設(shè)角度越大，屈曲溫度越高。Karimi等[10]在分析SMA層合板時(shí)，沒有考慮系統(tǒng)的非線性特性，并發(fā)現(xiàn)板的長(zhǎng)寬比增大時(shí)，基頻整體上是上升的。相應(yīng)的，在大的長(zhǎng)寬比時(shí)，記憶合金的恢復(fù)應(yīng)力對(duì)基頻的影響作用下降了。文獻(xiàn)[11]使用遺傳算法獲得了最佳的SMA絲鋪設(shè)次序和敷設(shè)角度，獲得了不同邊界條件下SMA層合板的最優(yōu)固有頻率?？梢允褂脧V義微分求積法分析內(nèi)嵌SMA絲的圓柱殼的固有振動(dòng)特性。SMA層越靠近圓柱殼的內(nèi)壁，系統(tǒng)的基頻越大[12]。對(duì)于圓錐殼而言，增大半頂角能有效地增加基頻；沿中性面對(duì)稱布置SMA層時(shí)，可以增加基頻，而單層布置時(shí)基頻變小了[13]。任勇生等[14]發(fā)現(xiàn)，SMA層合梁非線性固有頻率增大時(shí)，其振幅也是增大的，而對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)沒有該特性。事實(shí)上，就目前的研究成果而言，記憶合金一維本構(gòu)模型是所有內(nèi)嵌SMA絲層合結(jié)構(gòu)的研究基礎(chǔ)，并且，研究對(duì)象的邊界條件也僅限于簡(jiǎn)支和固支的情況。而關(guān)于大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)梁的自由振動(dòng)，也有著豐富的研究成果。黃意新等[15]通過與有限元結(jié)果對(duì)比，認(rèn)為Chebyshev譜方法計(jì)算的旋轉(zhuǎn)梁固有頻率是正確的。此外，旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁的長(zhǎng)細(xì)比等相關(guān)參數(shù)會(huì)對(duì)臨界轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響，且臨界轉(zhuǎn)速隨著長(zhǎng)細(xì)比的增大而減小[16]。范紀(jì)華等[17]使用Bezier曲線離散動(dòng)力學(xué)方程，得到不同角速度下，旋轉(zhuǎn)梁厚度變化對(duì)固有頻率的影響將大于寬度的影響。旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁的頻率會(huì)隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大，并隨著長(zhǎng)厚比的增加而減小[18]。而且在分析旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的固有頻率時(shí)，總是認(rèn)為系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)角速度是定值[19-21]。Aksencer等[22]研究了旋轉(zhuǎn)層合梁的固有頻率，輪轂比小于0.5時(shí)，轉(zhuǎn)速增加則固有頻率增加；輪轂比大于1時(shí)，會(huì)產(chǎn)生頻率為零的情況。

通過對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)的總結(jié)可知，關(guān)于SMA層合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)研究主要集中在基頻以及熱屈曲方面，而對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)SMA層合梁的非線性自由振動(dòng)，尚未被涉及。本文使用Von Karman大變形理論來描述梁位移與應(yīng)變的關(guān)系，建立了層合梁任意質(zhì)點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系下的位移表達(dá)式，用Brinson模型描述了不同溫度下SMA的恢復(fù)應(yīng)力和馬氏體體積分?jǐn)?shù)。使用Hamilton原理建立了SMA層合梁大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。研究了系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，SMA層合梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)?；趦?nèi)力恒定的假設(shè)，得到了恒定轉(zhuǎn)速下，旋轉(zhuǎn)SMA層合梁橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。研究了SMA在不同初始應(yīng)變、體積分?jǐn)?shù)、石墨纖維鋪設(shè)角度以及SMA所處鋪層不同時(shí)，固有頻率的變化。

1 系統(tǒng)建模

1.1 SMA本構(gòu)方程

盡管有多種描述SMA本構(gòu)關(guān)系的模型，但是Brinson模型是目前主流的分析方法，大部分研究SMA熱屈曲與自由振動(dòng)的文獻(xiàn)都采用了該模型[3-7]。文獻(xiàn)[1]將SMA的變形視為由熱應(yīng)力引起的變形和由馬氏體相變引起的形變兩部分組成。依據(jù)Brinson模型，SMA中馬氏體的體積分?jǐn)?shù)為：

ξ=ξS+ξT

(1)

式中：ξS為應(yīng)力誘發(fā)的馬氏體相變體積分?jǐn)?shù)；ξT為溫度誘發(fā)的馬氏體相變體積分?jǐn)?shù)。

相變轉(zhuǎn)變?yōu)閵W氏體時(shí)，馬氏體的體積分?jǐn)?shù)為：

(2)

(3)

(4)

式中，ξ0為初始狀態(tài)時(shí)的馬氏體體積分?jǐn)?shù)；σr是SMA恢復(fù)應(yīng)力；T為溫度；ξS0為初始應(yīng)力誘發(fā)的馬氏體體積分?jǐn)?shù)；ξT0為初始溫度誘發(fā)的馬氏體體積分?jǐn)?shù)；CA是應(yīng)力影響系數(shù)。有關(guān)SMA的其他參量參考文獻(xiàn)[5]。

又可知，SMA楊氏模量為：

(5)

式中：EA和EM分別表示SMA在純奧氏體和純馬氏體相時(shí)的楊氏模量。假設(shè)SMA處于文獻(xiàn)[5]所述的零初始條件下，當(dāng)溫度T>As，并且CA(T-Af)<σr

σr=ES(ξ)(ε-εLξS)+ΘΔT

(6)

通過求解式(2)、(5)、(6)聯(lián)立所得的非線性方程組，即可獲得溫度變化時(shí)SMA的恢復(fù)應(yīng)力與馬氏體體積分?jǐn)?shù)，如圖1所示。

圖1 溫度變化時(shí)SMA恢復(fù)應(yīng)力與馬氏體體積分?jǐn)?shù)Fig.1 Recovery stress and volume fraction of martensite under temperature change

由圖1可知，溫度低于奧氏體開始溫度時(shí)，馬氏體體積分?jǐn)?shù)為定值。隨著溫度逐漸升高，圖1(a)中顯示SMA恢復(fù)應(yīng)力有上升的趨勢(shì)，而圖1(b)中馬氏體體積分?jǐn)?shù)是下降的，直至溫度達(dá)到某個(gè)值時(shí)，SMA中將不再含有馬氏體成分，變?yōu)榧儕W氏體，此時(shí)，SMA恢復(fù)應(yīng)力曲線的上升趨勢(shì)變緩。此外，當(dāng)初始應(yīng)變?cè)龃髸r(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的臨界溫度也隨之增大。

1.2 系統(tǒng)的動(dòng)能和應(yīng)變能

SMA絲和石墨纖維內(nèi)嵌在不同的環(huán)氧樹脂基底層中。做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)SMA層合梁示意圖，如圖2所示。其中，慣性坐標(biāo)系為OXYZ，中心剛體的附體坐標(biāo)系為O1X1Y1Z1，SMA層合梁的附體坐標(biāo)系為O2X2Y2Z2。中心剛體的半徑為R，層合梁繞剛體中心軸線做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角位移為φ，角速度為Ω。

SMA層合梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為B，總厚度為H，鋪層都是等厚的，總的層數(shù)為Nl。

圖2 系統(tǒng)簡(jiǎn)圖Fig.2 System diagram

梁內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)P在慣性系OXYZ下的矢徑為：

(7)

令式(7)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得質(zhì)點(diǎn)的速度為：

(8)

質(zhì)點(diǎn)任意位移與中面位移有如下關(guān)系：

(9)

(10)

其中，u、w是梁的中面位移，f=-z。

由式(8)、(9)、(10)可知系統(tǒng)的動(dòng)能為：

(11)

根據(jù)Von Karman大變形理論，應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(12)

(13)

這里的f同上。

可知正應(yīng)力為：

(14)

應(yīng)變能為：

(15)

整理得內(nèi)力和彎矩為：

(16)

其中，NT、MT是SMA的熱應(yīng)力、熱彎矩；Nr、Mr是SMA的恢復(fù)力、恢復(fù)彎矩。具體表達(dá)式為：

同時(shí)，等效剛度為：

在低轉(zhuǎn)速的情況下，離心力不大，離心力產(chǎn)生的變形可忽略不計(jì)。因此，這里不考慮離心力勢(shì)能。

1.3 動(dòng)力學(xué)方程

應(yīng)用Hamilton原理建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。將式(11)、(15)代入式(17)。根據(jù)Hamilton變分原理：

(17)

其中，t0、t1為任意兩個(gè)固定時(shí)刻。旋轉(zhuǎn)SMA層合梁的運(yùn)動(dòng)方程為：

(18)

(19)

具體化簡(jiǎn)過程見附錄2。

其中廣義慣量為：

對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，設(shè)軸向力N沿著x軸是恒定的[4]，即：

(20)

可知

(21)

經(jīng)過相應(yīng)的積分運(yùn)算可知：

(22)

(23)

(24)

又簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支梁的邊界條件為：u(0,t)=0，u(L,t)=0，u′′(0,t)=0，u′′(L,t)=0。

將邊界條件代入式(24)，可得：

(25)

(26)

將式(25)、(26)回代入式(24)、(19)，則系統(tǒng)方程可化簡(jiǎn)為單自由度運(yùn)動(dòng)方程：

(27)

系統(tǒng)的振動(dòng)方程整理為：

(28)

可知，系統(tǒng)簡(jiǎn)化后是一個(gè)非線性方程。非線性系統(tǒng)固有頻率的求解有很多種方法，比如諧波平衡法、Ritz法等。

2 振動(dòng)分析

使用振動(dòng)分析中常用的Ritz法進(jìn)行求解[23]，設(shè)橫向中面位移為：

w(x,t)=aW(x)cos(ωt)

(29)

(30)

將式(29)代入式(30)中，經(jīng)過運(yùn)算，可得：

(31)

由于層合材料的鋪層沿中性面是對(duì)稱布置的，故等效慣量I1=0，式(31)可整理為：

(32)

構(gòu)建方程如下：

(33)

其系數(shù)為：

式(33)為四階微分方程，其通解為：

(34)

式(34)中系數(shù)表達(dá)式為：

其中，W(x)滿足簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支梁邊界條件：W(0)=0，W(L)=0，W″(0)=0，W″(L)=0。由邊界條件可以得到關(guān)于系數(shù)的等式關(guān)系，并且由等式系數(shù)行列式為零，可得模態(tài)函數(shù)為：

W=C4sin(nπx)

(35)

(36)

其中，Ω為穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)角速度。計(jì)算上式即可獲得固有頻率。從非線性固有頻率的表達(dá)式可知，由于廣義慣量I2的值很小，故在低轉(zhuǎn)速的情況下，大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響不大。

3 數(shù)值計(jì)算

層合梁的長(zhǎng)度L=1 m，寬度B=0.1 m，厚度H=0.01 m，每一鋪層的厚度均相等。SMA的相關(guān)參數(shù)如表1所示，石墨/環(huán)氧樹脂鋪層的物理參數(shù)如表2所示。層合梁的鋪層為8層，纖維絲鋪層沿中性面對(duì)稱布置，鋪層與坐標(biāo)正方向夾角為[0°SMA/90°graphite/90°graphite/90°graphite]，鋪層是等厚的。初始情況下，ξT0=0，T0=20 ℃，SMA的初始應(yīng)力σ0=0，ε0=0.2%，VS=3%。

表1 SMA參數(shù)Tab.1 SMA parameters

表2 石墨/環(huán)氧樹脂鋪層的物理參數(shù)Tab.2 Physical parameters of graphite / epoxy resin layer

求解式(36)可得不同角速度時(shí)的基頻，如圖3所示。由圖3可知，在其他條件不變的情況下，轉(zhuǎn)速增大時(shí)，系統(tǒng)的基頻減小，但是不同轉(zhuǎn)速下基頻的變化趨勢(shì)是一致的。

圖3 不同角速度時(shí)的基頻Fig.3 Fundamental frequency at different angular velocities

即隨著溫度上升，SMA轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷яR氏體時(shí)，基頻下降；溫度繼續(xù)上升，SMA轉(zhuǎn)變?yōu)轳R氏體時(shí)，基頻上升。在SMA轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的過渡階段，溫度持續(xù)上升，熱應(yīng)力增加快于SMA的恢復(fù)應(yīng)力，導(dǎo)致層合梁剛度減小，基頻也隨之減小。由圖可知，SMA轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的相變溫度為74 ℃，且不隨旋轉(zhuǎn)角速度的變化而變化。

圖4是不同初始應(yīng)變時(shí)基頻的變化曲線。此時(shí)，設(shè)SMA層合梁的旋轉(zhuǎn)角速度恒定，Ω=40 rad·s-1。研究不同初始應(yīng)變下基頻隨溫度的變化趨勢(shì)。

圖4 不同SMA初始應(yīng)變時(shí)的基頻Fig.4 Fundamental frequency of SMA with different initial strains

圖4表明，當(dāng)溫度高于奧氏體起始溫度34.5 ℃時(shí)，SMA產(chǎn)生的拉力變大，從而顯著增加了梁的剛度，導(dǎo)致基頻增加。奧氏體溫度結(jié)束之后，溫度升高對(duì)梁的膨脹作用大于SMA恢復(fù)應(yīng)力的收縮作用，因此基頻降低。初始應(yīng)變的增大可以顯著增加轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的溫度，最大的轉(zhuǎn)變溫度為101 ℃。

圖5是SMA體積分?jǐn)?shù)對(duì)基頻的影響曲線。

圖5 不同SMA體積分?jǐn)?shù)時(shí)的基頻Fig.5 Fundamental frequency of SMA with different volume fractions

當(dāng)SMA絲的體積分?jǐn)?shù)變大時(shí)，基頻的變化幅度更加顯著，即基頻曲線切線的斜率更大；而且，所有的基頻變化曲線都經(jīng)過了(49，223)這個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)處的橫坐標(biāo)為奧氏體結(jié)束溫度。并且，不同體積分?jǐn)?shù)下，SMA轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的溫度是相同的，均為68 ℃。

研究石墨纖維鋪設(shè)角度對(duì)自由振動(dòng)的影響，如圖6所示。此時(shí)，轉(zhuǎn)速仍然為40 rad/s，SMA絲的鋪設(shè)角度為定值0 °，溫度為50 ℃。由圖可知，初始應(yīng)變?cè)酱?，系統(tǒng)固有頻率越大。

圖6 石墨纖維鋪設(shè)角度對(duì)基頻的影響Fig.6 Influence of laying angle of graphite fiber on fundamental frequency

圖6顯示，不同的初始應(yīng)變下，基頻的變化趨勢(shì)是相同的，都是隨著角度的增加，基頻先減小后增大。

由圖7可知，隨著溫度上升，基頻整體呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)。

圖7 SMA所在層對(duì)基頻的影響Fig.7 Influence of SMA layer ordinal on fundamental frequency

當(dāng)記憶合金所在的鋪層靠近中性面時(shí)，系統(tǒng)的基頻比SMA層位于外層時(shí)要大。這是由于記憶合金層位于內(nèi)層時(shí)系統(tǒng)的剛度上升所致，而且SMA越靠近內(nèi)層，基頻的變化趨勢(shì)就越緩慢。

在進(jìn)行相關(guān)仿真時(shí)，除了長(zhǎng)高比之外，其他參數(shù)如轉(zhuǎn)速等，是固定不變的。由圖8可知，隨著溫度的上升，基頻整體呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)。

圖8 長(zhǎng)高比對(duì)基頻的影響Fig.8 Influence of aspect ratio on fundamental frequency

長(zhǎng)高比增大時(shí)，層合梁的固有頻率是增大的。這是因?yàn)?，厚度是不變的，而長(zhǎng)度是厚度的整數(shù)倍，長(zhǎng)度增加就使得廣義慣量的增幅比剛度的增幅小。

4 結(jié) 論

利用Hamilton變分原理，建立了大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)SMA層合梁的動(dòng)力學(xué)方程，研究了該系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性。

1) 在旋轉(zhuǎn)角速度一定的情況下，當(dāng)系統(tǒng)處于馬氏體相變的階段時(shí)，系統(tǒng)的基頻隨著溫度的上升而增大，這是因?yàn)樵谠撾A段SMA恢復(fù)應(yīng)力急劇增大，使得系統(tǒng)剛度增大所致。

2) 旋轉(zhuǎn)角速度增大時(shí)，基頻是減小的，但是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)基頻的影響有限。

3) SMA鋪設(shè)角度不變而石墨纖維的角度變化時(shí)，固有頻率先減小后增大。

4) SMA鋪層靠近中性面時(shí)，系統(tǒng)剛度增大、固有頻率減小，隨著溫度增加，基頻更快地衰減為零。

5) 層合梁的長(zhǎng)高比增大時(shí)，基頻是增大的。