袁雪松， 劉廷余， 趙麗潔

（1.河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院，河北 邯鄲 056017；2.河北德鵬機械設(shè)備有限公司，河北 邯鄲 056017）

0 引言

結(jié)構(gòu)在長期服役過程中會因各種原因出現(xiàn)損傷，結(jié)構(gòu)損傷識別一直是土木工程領(lǐng)域很重要的研究課題［1］?；趧恿μ匦缘膿p傷檢測方法有無損性和不影響結(jié)構(gòu)正常使用的優(yōu)勢，被廣泛應(yīng)用于損傷識別研究?；诮Y(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的損傷識別方法應(yīng)用較多的有固有頻率、單元模態(tài)應(yīng)變能、柔度矩陣、曲率模態(tài)等［2-4］。其中，曲率模態(tài)是一個能夠較好反映結(jié)構(gòu)局部特征變化的模態(tài)參數(shù)，不少學(xué)者基于此方法展開研究［5-8］。

在易獲取結(jié)構(gòu)原始數(shù)據(jù)的情況下，通過對比結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)參數(shù)變化可以很好的識別損傷的部位，而實際工程中很多結(jié)構(gòu)的原始數(shù)據(jù)是無法獲取的，針對實際工程中難以獲取結(jié)構(gòu)損傷前物理信息的問題，很多學(xué)者采用多項式擬合的辦法獲取結(jié)構(gòu)未損傷狀態(tài)的響應(yīng)參數(shù)。徐典［9］通過二次多項式擬合未損傷狀態(tài)的結(jié)構(gòu)柔度曲率曲線，根據(jù)損傷前后曲線包圍的面積定性的分析損傷程度。徐飛鴻［10］利用三次多項式擬合簡支梁損傷前的曲率模態(tài)曲線，并通過多項式回歸建立了損傷程度和損傷有效面積的相關(guān)函數(shù)，該方法能很好的識別跨中單元的損傷，由于曲率模態(tài)指標(biāo)對振型節(jié)點的損傷單元標(biāo)定效果不足，難以利用此方法進(jìn)行振型節(jié)點附近的損傷定量分析。唐盛華等［11］利用二次多項式擬合簡支梁在均布荷載下的撓度曲率曲線，并假定節(jié)點曲率為單元曲率平均值的方法近似的計算損傷單元程度。徐宏文等［12］采用多項式擬合模態(tài)曲率曲線，對薄板進(jìn)行多點損傷識別，取得了良好的損傷定位效果。在目前的損傷定量研究方法中，存在計算繁瑣、精度不足等問題，建立適用于工程實際的簡易、高效、精確的損傷識別方法是十分必要的。

文中以簡支梁為研究對象，通過結(jié)構(gòu)位移計算［13］的方法以解析的形式分析了損傷前后節(jié)點曲率模態(tài)值的變化規(guī)律，建立了單元損傷程度與曲率模態(tài)值之間的關(guān)系式。為了解決工程中無法獲取結(jié)構(gòu)損傷前曲率模態(tài)的問題，提出利用matlab中函數(shù)擬合構(gòu)建完好曲率模態(tài)曲線的方法，先利用損傷狀態(tài)的曲率模態(tài)曲線對結(jié)構(gòu)損傷位置進(jìn)行初步判斷，將曲線上畸變處的節(jié)點值剔除，然后利用剩余的點進(jìn)行正弦函數(shù)擬合，并將擬合的正弦曲線視為結(jié)構(gòu)未損傷狀態(tài)的振型曲率曲線，以此獲取簡支梁未損傷的曲率模態(tài)值，實現(xiàn)僅利用損傷狀態(tài)的振型信息即可實現(xiàn)簡支梁的損傷識別。

1 曲率模態(tài)損傷識別理論

首先通過結(jié)構(gòu)位移計算分別計算出損傷前后簡支梁在一階振型分布慣性力作用下節(jié)點的位移值。

如圖1所示，一等截面簡支梁模型中，存在一處長度為的損傷，損傷單元左端距簡支梁A點距離為d，損傷通過折減該處的抗彎剛度來模擬，令損傷處的剛度為kEI（0＜k＜1）。

圖1 簡支梁模型

如圖2所示，令單位力F=1分別作用在簡支梁h、i、j節(jié)點上，以A點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，可分別求出的數(shù)學(xué)表達(dá)式A1-B3為：

圖2 圖Mp及圖

式中，m=1、2、3；L為簡支梁的跨度；d為損傷單元距簡支梁A端的距離；ε為損傷單元的長度。

由歐拉梁的振動理論可知簡支梁的一階振型函數(shù)曲線為正弦曲線，故簡支梁的曲率模態(tài)曲線也是正弦曲線，根據(jù)材料力學(xué)彎矩與曲率的關(guān)系，可知簡支梁在分布慣性力作用下的彎矩圖曲線也是正弦曲線。假定損傷前后在分布慣性力作用下的彎矩不變，為方便計算不妨令彎矩圖的函數(shù)表達(dá)式為：

損傷后h、i、j節(jié)點的振型位移值為：

曲率模態(tài)值可以通過位移模態(tài)值通過中心差分法近似計算求出，則損傷前節(jié)點處的曲率模態(tài)值為：

1.1 損傷定位

觀察式（10）和式（11），當(dāng)單元發(fā)生損傷后，φ″iu≠φ″id，且損傷后節(jié)點的曲率值變化與k值即單元損傷程度相關(guān)，可以利用曲率模態(tài)差指標(biāo)進(jìn)行損傷定位：

式中，φ″id表示結(jié)構(gòu)損傷后節(jié)點的曲率模態(tài)值；φ″iu表示結(jié)構(gòu)損傷前i節(jié)點的曲率模態(tài)值。

通過繪制曲率模態(tài)差指標(biāo)的圖形，觀察圖形上發(fā)生突變的位置來判斷簡支梁發(fā)生損傷的部位。

1.2 損傷定量

單元損傷程度可由損傷定位指標(biāo)中已求出的簡支梁各個節(jié)點的損傷前后的曲率值通過式（15）和式（20）計算求得。

2 曲率模態(tài)曲線的擬合

2.1 損傷后的曲率模態(tài)

為了利用曲率模態(tài)差指標(biāo)進(jìn)行損傷識別，需要獲取結(jié)構(gòu)損傷前、后的曲率模態(tài)值。

實際工程中，損傷狀態(tài)梁的曲率模態(tài)值可直接利用所測得的位移振型值通過中心差分法計算得出：

式中，φd（i）表示損傷狀態(tài)i節(jié)點的位移振型值；δl表示節(jié)點與節(jié)點的間距。

2.2 正弦函數(shù)擬合結(jié)構(gòu)完好曲率模態(tài)曲線

在無法獲取結(jié)構(gòu)初始參數(shù)時，損傷前的曲率模態(tài)曲線可以利用損傷后的曲率模態(tài)值利用matlab軟件中的函數(shù)擬合構(gòu)造得出。

由結(jié)構(gòu)動力學(xué)［14］理論可知，等截面細(xì)長簡支梁自由振動的一階位移振型函數(shù)為：

式中，A1為常數(shù)；L為簡支梁的跨度。

對位移振型函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)求出振型曲率函數(shù)為：

由式（23），簡支梁未損傷狀態(tài)的曲率模態(tài)曲線為正弦函數(shù)曲線。因此，可通過matlab軟件中的三角函數(shù)擬合構(gòu)造出簡支梁未損傷狀態(tài)的曲率模態(tài)曲線，獲取損傷前的曲率模態(tài)值。

損傷后的曲率模態(tài)曲線在損傷單元處產(chǎn)生畸變，將損傷后曲率模態(tài)曲線畸變處的點去除后，利用剩下的點進(jìn)行正弦函數(shù)擬合，并將擬合曲線視為簡支梁未損傷狀態(tài)的曲率模態(tài)曲線。對于簡支梁結(jié)構(gòu)，令擬合函數(shù)為：

式中，A為待定常數(shù)；L為簡支梁的跨度，在簡支梁跨度已知的情況下，只需確定待定常數(shù)A即可擬合出完好的曲率模態(tài)曲線，在matlab中可通過負(fù)相關(guān)系數(shù)判斷擬合效果。

綜上，基于損傷曲率模態(tài)曲線的簡支梁損傷識別的具體步驟如下：

（1） 利用中心差分法計算損傷狀態(tài)的第一階振型曲率并繪制曲率模態(tài)圖形。

（2） 剔除曲率模態(tài)曲線上畸變處的點，利用剩下的曲率模態(tài)值進(jìn)行正弦函數(shù)擬合，將擬合曲線視為簡支梁未損傷的曲率模態(tài)曲線。

（3） 利用曲率模態(tài)差損傷定位指標(biāo)圖形判斷最終的損傷單元。

（4） 利用式（15）和式（20）計算損傷程度。

3 簡支梁算例

3.1 模型

以一混凝土簡支梁有限元模型為例，驗證所提指標(biāo)的有效性。如圖3所示簡支梁有限元模型，簡支梁的跨度L=6m，截面尺寸b×h=0.2m×0.3m，混凝土強度等級取C35，彈性模量E=3.15×1010N/m2，泊松比v=0.2，質(zhì)量密度ρ=2500kg/m3。將梁沿縱向劃分成30個單元，31個節(jié)點，每個單元長0.2m。

圖3 簡支梁有限元模型

實際工程的損傷一般表現(xiàn)為剛度的降低，質(zhì)量一般不變。設(shè)置簡支梁發(fā)生多點損傷的工況，損傷通過降低單元的彈性模量模擬。具體損傷工況見表1。

表1 簡支梁多點損傷工況

3.2 簡支梁多點損傷識別結(jié)果

從圖4中可以看出曲線在單元12和24處發(fā)生了明顯的畸變，初步判斷單元12、24為損傷的單元。剔除損傷單元節(jié)點的曲率模態(tài)值，利用剩下的點進(jìn)行正弦函數(shù)擬合，擬合結(jié)果如圖5所示，將圖5中擬合的曲線視為簡支梁損傷前的曲率模態(tài)曲線。

圖4 工況2曲率模態(tài)

圖5 工況2擬合曲線

曲率模態(tài)差指標(biāo)識別結(jié)果見圖6，判定最終的損傷單元為1、12、24，與假定的損傷單元一致。對比圖4與圖6兩種指標(biāo)的損傷定位識別效果，曲率模態(tài)指標(biāo)不能識別到簡支梁1號單元的損傷，而曲率模態(tài)差指標(biāo)對1號單元的損傷具備一定的標(biāo)定效果。圖7為損傷程度識別結(jié)果，以單元1的損傷程度識別為例進(jìn)行誤差分析，工況1、工況2、工況3損傷程度識別結(jié)果分別為 0.09479、0.3013、0.3976，誤差分別為 5.22%、0.45%和0.60%。

圖6 曲率模態(tài)差識別結(jié)果

圖7 損傷定量識別結(jié)果

4 結(jié)論

（1） 曲率模態(tài)差指標(biāo)比曲率模態(tài)指標(biāo)具備更高的損傷標(biāo)識能力，雖然對振型節(jié)點單元的損傷存在標(biāo)定不足的問題，但結(jié)合損傷定量指標(biāo)進(jìn)行綜合判斷后，可以有效識別出簡支梁多處單元的損傷。

（2） 提出利用函數(shù)擬合構(gòu)造簡支梁未損傷曲率模態(tài)曲線，該方法無需結(jié)構(gòu)的原始模態(tài)信息，彌補了工程中結(jié)構(gòu)原始數(shù)據(jù)不易獲取的缺陷問題。

（3） 文中建立的損傷定量計算方法不僅方便快捷，而且在無噪聲水平下具備較高精度，無論是跨中單元還是振型節(jié)點附近的單元，該方法都能夠準(zhǔn)確識別損傷程度。