袁雪松， 劉廷余， 趙麗潔

（1.河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院，河北 邯鄲 056017；2.河北德鵬機(jī)械設(shè)備有限公司，河北 邯鄲 056017）

0 引言

結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)期服役過(guò)程中會(huì)因各種原因出現(xiàn)損傷，結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別一直是土木工程領(lǐng)域很重要的研究課題［1］?；趧?dòng)力特性的損傷檢測(cè)方法有無(wú)損性和不影響結(jié)構(gòu)正常使用的優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于損傷識(shí)別研究。基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的損傷識(shí)別方法應(yīng)用較多的有固有頻率、單元模態(tài)應(yīng)變能、柔度矩陣、曲率模態(tài)等［2-4］。其中，曲率模態(tài)是一個(gè)能夠較好反映結(jié)構(gòu)局部特征變化的模態(tài)參數(shù)，不少學(xué)者基于此方法展開(kāi)研究［5-8］。

在易獲取結(jié)構(gòu)原始數(shù)據(jù)的情況下，通過(guò)對(duì)比結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)參數(shù)變化可以很好的識(shí)別損傷的部位，而實(shí)際工程中很多結(jié)構(gòu)的原始數(shù)據(jù)是無(wú)法獲取的，針對(duì)實(shí)際工程中難以獲取結(jié)構(gòu)損傷前物理信息的問(wèn)題，很多學(xué)者采用多項(xiàng)式擬合的辦法獲取結(jié)構(gòu)未損傷狀態(tài)的響應(yīng)參數(shù)。徐典［9］通過(guò)二次多項(xiàng)式擬合未損傷狀態(tài)的結(jié)構(gòu)柔度曲率曲線，根據(jù)損傷前后曲線包圍的面積定性的分析損傷程度。徐飛鴻［10］利用三次多項(xiàng)式擬合簡(jiǎn)支梁損傷前的曲率模態(tài)曲線，并通過(guò)多項(xiàng)式回歸建立了損傷程度和損傷有效面積的相關(guān)函數(shù)，該方法能很好的識(shí)別跨中單元的損傷，由于曲率模態(tài)指標(biāo)對(duì)振型節(jié)點(diǎn)的損傷單元標(biāo)定效果不足，難以利用此方法進(jìn)行振型節(jié)點(diǎn)附近的損傷定量分析。唐盛華等［11］利用二次多項(xiàng)式擬合簡(jiǎn)支梁在均布荷載下的撓度曲率曲線，并假定節(jié)點(diǎn)曲率為單元曲率平均值的方法近似的計(jì)算損傷單元程度。徐宏文等［12］采用多項(xiàng)式擬合模態(tài)曲率曲線，對(duì)薄板進(jìn)行多點(diǎn)損傷識(shí)別，取得了良好的損傷定位效果。在目前的損傷定量研究方法中，存在計(jì)算繁瑣、精度不足等問(wèn)題，建立適用于工程實(shí)際的簡(jiǎn)易、高效、精確的損傷識(shí)別方法是十分必要的。

文中以簡(jiǎn)支梁為研究對(duì)象，通過(guò)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算［13］的方法以解析的形式分析了損傷前后節(jié)點(diǎn)曲率模態(tài)值的變化規(guī)律，建立了單元損傷程度與曲率模態(tài)值之間的關(guān)系式。為了解決工程中無(wú)法獲取結(jié)構(gòu)損傷前曲率模態(tài)的問(wèn)題，提出利用matlab中函數(shù)擬合構(gòu)建完好曲率模態(tài)曲線的方法，先利用損傷狀態(tài)的曲率模態(tài)曲線對(duì)結(jié)構(gòu)損傷位置進(jìn)行初步判斷，將曲線上畸變處的節(jié)點(diǎn)值剔除，然后利用剩余的點(diǎn)進(jìn)行正弦函數(shù)擬合，并將擬合的正弦曲線視為結(jié)構(gòu)未損傷狀態(tài)的振型曲率曲線，以此獲取簡(jiǎn)支梁未損傷的曲率模態(tài)值，實(shí)現(xiàn)僅利用損傷狀態(tài)的振型信息即可實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)支梁的損傷識(shí)別。

1 曲率模態(tài)損傷識(shí)別理論

首先通過(guò)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算分別計(jì)算出損傷前后簡(jiǎn)支梁在一階振型分布慣性力作用下節(jié)點(diǎn)的位移值。

如圖1所示，一等截面簡(jiǎn)支梁模型中，存在一處長(zhǎng)度為的損傷，損傷單元左端距簡(jiǎn)支梁A點(diǎn)距離為d，損傷通過(guò)折減該處的抗彎剛度來(lái)模擬，令損傷處的剛度為kEI（0＜k＜1）。

圖1 簡(jiǎn)支梁模型

如圖2所示，令單位力F=1分別作用在簡(jiǎn)支梁h、i、j節(jié)點(diǎn)上，以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可分別求出的數(shù)學(xué)表達(dá)式A1-B3為：

圖2 圖Mp及圖

式中，m=1、2、3；L為簡(jiǎn)支梁的跨度；d為損傷單元距簡(jiǎn)支梁A端的距離；ε為損傷單元的長(zhǎng)度。

由歐拉梁的振動(dòng)理論可知簡(jiǎn)支梁的一階振型函數(shù)曲線為正弦曲線，故簡(jiǎn)支梁的曲率模態(tài)曲線也是正弦曲線，根據(jù)材料力學(xué)彎矩與曲率的關(guān)系，可知簡(jiǎn)支梁在分布慣性力作用下的彎矩圖曲線也是正弦曲線。假定損傷前后在分布慣性力作用下的彎矩不變，為方便計(jì)算不妨令彎矩圖的函數(shù)表達(dá)式為：

損傷后h、i、j節(jié)點(diǎn)的振型位移值為：

曲率模態(tài)值可以通過(guò)位移模態(tài)值通過(guò)中心差分法近似計(jì)算求出，則損傷前節(jié)點(diǎn)處的曲率模態(tài)值為：

1.1 損傷定位

觀察式（10）和式（11），當(dāng)單元發(fā)生損傷后，φ″iu≠φ″id，且損傷后節(jié)點(diǎn)的曲率值變化與k值即單元損傷程度相關(guān)，可以利用曲率模態(tài)差指標(biāo)進(jìn)行損傷定位：

式中，φ″id表示結(jié)構(gòu)損傷后節(jié)點(diǎn)的曲率模態(tài)值；φ″iu表示結(jié)構(gòu)損傷前i節(jié)點(diǎn)的曲率模態(tài)值。

通過(guò)繪制曲率模態(tài)差指標(biāo)的圖形，觀察圖形上發(fā)生突變的位置來(lái)判斷簡(jiǎn)支梁發(fā)生損傷的部位。

1.2 損傷定量

單元損傷程度可由損傷定位指標(biāo)中已求出的簡(jiǎn)支梁各個(gè)節(jié)點(diǎn)的損傷前后的曲率值通過(guò)式（15）和式（20）計(jì)算求得。

2 曲率模態(tài)曲線的擬合

2.1 損傷后的曲率模態(tài)

為了利用曲率模態(tài)差指標(biāo)進(jìn)行損傷識(shí)別，需要獲取結(jié)構(gòu)損傷前、后的曲率模態(tài)值。

實(shí)際工程中，損傷狀態(tài)梁的曲率模態(tài)值可直接利用所測(cè)得的位移振型值通過(guò)中心差分法計(jì)算得出：

式中，φd（i）表示損傷狀態(tài)i節(jié)點(diǎn)的位移振型值；δl表示節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的間距。

2.2 正弦函數(shù)擬合結(jié)構(gòu)完好曲率模態(tài)曲線

在無(wú)法獲取結(jié)構(gòu)初始參數(shù)時(shí)，損傷前的曲率模態(tài)曲線可以利用損傷后的曲率模態(tài)值利用matlab軟件中的函數(shù)擬合構(gòu)造得出。

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)［14］理論可知，等截面細(xì)長(zhǎng)簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)的一階位移振型函數(shù)為：

式中，A1為常數(shù)；L為簡(jiǎn)支梁的跨度。

對(duì)位移振型函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)求出振型曲率函數(shù)為：

由式（23），簡(jiǎn)支梁未損傷狀態(tài)的曲率模態(tài)曲線為正弦函數(shù)曲線。因此，可通過(guò)matlab軟件中的三角函數(shù)擬合構(gòu)造出簡(jiǎn)支梁未損傷狀態(tài)的曲率模態(tài)曲線，獲取損傷前的曲率模態(tài)值。

損傷后的曲率模態(tài)曲線在損傷單元處產(chǎn)生畸變，將損傷后曲率模態(tài)曲線畸變處的點(diǎn)去除后，利用剩下的點(diǎn)進(jìn)行正弦函數(shù)擬合，并將擬合曲線視為簡(jiǎn)支梁未損傷狀態(tài)的曲率模態(tài)曲線。對(duì)于簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，令擬合函數(shù)為：

式中，A為待定常數(shù)；L為簡(jiǎn)支梁的跨度，在簡(jiǎn)支梁跨度已知的情況下，只需確定待定常數(shù)A即可擬合出完好的曲率模態(tài)曲線，在matlab中可通過(guò)負(fù)相關(guān)系數(shù)判斷擬合效果。

綜上，基于損傷曲率模態(tài)曲線的簡(jiǎn)支梁損傷識(shí)別的具體步驟如下：

（1） 利用中心差分法計(jì)算損傷狀態(tài)的第一階振型曲率并繪制曲率模態(tài)圖形。

（2） 剔除曲率模態(tài)曲線上畸變處的點(diǎn)，利用剩下的曲率模態(tài)值進(jìn)行正弦函數(shù)擬合，將擬合曲線視為簡(jiǎn)支梁未損傷的曲率模態(tài)曲線。

（3） 利用曲率模態(tài)差損傷定位指標(biāo)圖形判斷最終的損傷單元。

（4） 利用式（15）和式（20）計(jì)算損傷程度。

3 簡(jiǎn)支梁算例

3.1 模型

以一混凝土簡(jiǎn)支梁有限元模型為例，驗(yàn)證所提指標(biāo)的有效性。如圖3所示簡(jiǎn)支梁有限元模型，簡(jiǎn)支梁的跨度L=6m，截面尺寸b×h=0.2m×0.3m，混凝土強(qiáng)度等級(jí)取C35，彈性模量E=3.15×1010N/m2，泊松比v=0.2，質(zhì)量密度ρ=2500kg/m3。將梁沿縱向劃分成30個(gè)單元，31個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)單元長(zhǎng)0.2m。

圖3 簡(jiǎn)支梁有限元模型

實(shí)際工程的損傷一般表現(xiàn)為剛度的降低，質(zhì)量一般不變。設(shè)置簡(jiǎn)支梁發(fā)生多點(diǎn)損傷的工況，損傷通過(guò)降低單元的彈性模量模擬。具體損傷工況見(jiàn)表1。

表1 簡(jiǎn)支梁多點(diǎn)損傷工況

3.2 簡(jiǎn)支梁多點(diǎn)損傷識(shí)別結(jié)果

從圖4中可以看出曲線在單元12和24處發(fā)生了明顯的畸變，初步判斷單元12、24為損傷的單元。剔除損傷單元節(jié)點(diǎn)的曲率模態(tài)值，利用剩下的點(diǎn)進(jìn)行正弦函數(shù)擬合，擬合結(jié)果如圖5所示，將圖5中擬合的曲線視為簡(jiǎn)支梁損傷前的曲率模態(tài)曲線。

圖4 工況2曲率模態(tài)

圖5 工況2擬合曲線

曲率模態(tài)差指標(biāo)識(shí)別結(jié)果見(jiàn)圖6，判定最終的損傷單元為1、12、24，與假定的損傷單元一致。對(duì)比圖4與圖6兩種指標(biāo)的損傷定位識(shí)別效果，曲率模態(tài)指標(biāo)不能識(shí)別到簡(jiǎn)支梁1號(hào)單元的損傷，而曲率模態(tài)差指標(biāo)對(duì)1號(hào)單元的損傷具備一定的標(biāo)定效果。圖7為損傷程度識(shí)別結(jié)果，以單元1的損傷程度識(shí)別為例進(jìn)行誤差分析，工況1、工況2、工況3損傷程度識(shí)別結(jié)果分別為 0.09479、0.3013、0.3976，誤差分別為 5.22%、0.45%和0.60%。

圖6 曲率模態(tài)差識(shí)別結(jié)果

圖7 損傷定量識(shí)別結(jié)果

4 結(jié)論

（1） 曲率模態(tài)差指標(biāo)比曲率模態(tài)指標(biāo)具備更高的損傷標(biāo)識(shí)能力，雖然對(duì)振型節(jié)點(diǎn)單元的損傷存在標(biāo)定不足的問(wèn)題，但結(jié)合損傷定量指標(biāo)進(jìn)行綜合判斷后，可以有效識(shí)別出簡(jiǎn)支梁多處單元的損傷。

（2） 提出利用函數(shù)擬合構(gòu)造簡(jiǎn)支梁未損傷曲率模態(tài)曲線，該方法無(wú)需結(jié)構(gòu)的原始模態(tài)信息，彌補(bǔ)了工程中結(jié)構(gòu)原始數(shù)據(jù)不易獲取的缺陷問(wèn)題。

（3） 文中建立的損傷定量計(jì)算方法不僅方便快捷，而且在無(wú)噪聲水平下具備較高精度，無(wú)論是跨中單元還是振型節(jié)點(diǎn)附近的單元，該方法都能夠準(zhǔn)確識(shí)別損傷程度。