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        奇異譜分析在GPS坐標(biāo)時(shí)間序列去噪中的應(yīng)用

        2022-07-03 05:59:48張擁軍
        關(guān)鍵詞:譜分析協(xié)方差特征向量

        張擁軍

        (鄭州市市政工程勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院,河南 鄭州 450046)

        0 引言

        針對(duì)海量的GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行分析是目前研究的熱點(diǎn)之一,國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量的研究。但GPS坐標(biāo)時(shí)間序列中不可避免地會(huì)產(chǎn)生噪聲,而噪聲可能會(huì)與GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的信號(hào)產(chǎn)生混疊,淹沒(méi)有用的信號(hào),因此將GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的噪聲進(jìn)行剔除具有重要的意義。為了剔除GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的噪聲,不同學(xué)者采用了多種不同的模型進(jìn)行了研究。魯鐵定等人采用改進(jìn)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)J椒纸鈱?duì)GPS 高程時(shí)間序列中的噪聲進(jìn)行剔除研究;黃聲亨等人采用小波方法對(duì)坐標(biāo)時(shí)間序列數(shù)據(jù)中的噪聲進(jìn)行剔除;馬俊等人采用小波包系數(shù)信息熵法去除GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的有色噪聲;焦雄風(fēng)等人采用抗差卡爾曼濾波(Kalman 濾波)算法對(duì)GPS 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)去噪。上述方法各有優(yōu)、缺點(diǎn)及適應(yīng)的數(shù)據(jù),該文采用奇異譜分析方法(Singular Spectrum Analysis,SSA)對(duì)GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列噪聲進(jìn)行剔除。SSA 方法是主成分分析方法的一種特殊場(chǎng)景,是對(duì)一維的時(shí)間序列進(jìn)行分析的主成分分析方法。SSA 方法不受正弦波假定的約束,無(wú)須先驗(yàn)信息,具有穩(wěn)定識(shí)別和強(qiáng)化周期信號(hào)的優(yōu)點(diǎn),能夠較好地從時(shí)間序列中提取信號(hào),目前已被廣泛應(yīng)用于大地測(cè)量領(lǐng)域。

        1 SSA 方法與其他方法原理及精度比較指標(biāo)

        1.1 SSA 方法原理

        設(shè)GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列為,,,… , x;x為GPS 時(shí)間序列中的觀測(cè)值;為時(shí)間序列長(zhǎng)度,且>2;選用合適的窗口長(zhǎng)度,為一個(gè)實(shí)數(shù),且</2,從而構(gòu)造出滯后矩陣,其矩陣形式如公式(1)所示。

        式中:x為,,,… , x中的第個(gè)實(shí)數(shù)值,其他類同。根據(jù)公式(1)可知,滯后矩陣副對(duì)角線值相等,然后計(jì)算滯后矩陣,構(gòu)造自協(xié)方差矩陣,自協(xié)方差矩陣=,其矩陣如公式(2)所示。

        式中:c 為實(shí)數(shù)值,其他類同。

        由于自協(xié)方差矩陣等于滯后矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣相乘,即=,可知為×的矩陣,因此 c為實(shí)數(shù)值,其他類同。然后利用奇異值分解分別求出自協(xié)方差矩陣的特征值 λ與對(duì)應(yīng)的特征向量E。再計(jì)算滯后矩陣在特征向量的投影 a,如公式(3)所示。

        式中:為窗口長(zhǎng)度,是一個(gè)正整數(shù);為1~中的數(shù),為滯后矩陣中的數(shù); λ為自協(xié)方差矩陣的特征值,通過(guò)奇異值分解得到;E為自協(xié)方差矩陣特征值對(duì)應(yīng)的特征向量;E為特征向量E中的一項(xiàng);a 為滯后矩陣在特征向量上的投影。

        奇異譜分析的重建則是由時(shí)間主成分和時(shí)間主分量來(lái)重建,重建后的值為ix,具體形式如公式(4)所示。

        1.2 小波方法

        小波方法的基本原理是利用多個(gè)小波基去逼近信號(hào)或可積函數(shù)。對(duì)任意信號(hào)或可積函數(shù)(),它的小波變換為該信號(hào)與小波函數(shù), ()的內(nèi)積,如公式(6)所示。

        因此通過(guò)選擇合適的小波函數(shù),就能獲取信號(hào)頻域與時(shí)域的局部信息。小波去噪主要分為3 個(gè)步驟:1) 選擇合適的小波函數(shù),確定其分解層次,并分別計(jì)算其分解系數(shù)。2)對(duì)每個(gè)分解層次選擇恰當(dāng)?shù)拈撝?,處理其高頻系數(shù),即剔除高頻部分的噪聲成分。3) 將處理后的高頻系數(shù)與低頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu),重構(gòu)后的信號(hào)就是去噪后信號(hào)。

        1.3 經(jīng)驗(yàn)?zāi)J椒纸夥?/h3>

        經(jīng)驗(yàn)?zāi)J椒纸猓‥mpirical Mode Decomposition,EMD)是黃鍔提出的自適應(yīng)局部時(shí)頻分析方法。經(jīng)驗(yàn)?zāi)J椒纸馐菍⑷我庖痪S時(shí)間序列分解為不同尺度的固有模態(tài)函數(shù),固有模態(tài)函數(shù)必須同時(shí)滿足以下2 個(gè)條件:1) 局部極值點(diǎn)和過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目必須相等或最多相差1 個(gè)。2) 在任意時(shí)刻,局部最大值與最小值的包絡(luò)平均為0。

        經(jīng)驗(yàn)?zāi)J椒纸膺^(guò)程如下:首先,確定時(shí)間序列的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn),并用3 次樣條插值法擬合極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn),分別得到其上、下包絡(luò)線。其次,對(duì)上、下包絡(luò)線進(jìn)行均值處理,得到均值曲線。再次,用時(shí)間序列減去其均值曲線,若滿足給定閾值要求,則得到本征函數(shù)。若不滿足則重復(fù)上述過(guò)程。最后,用時(shí)間序列減去所有本征函數(shù),當(dāng)殘差序列不超過(guò)2 個(gè)極值點(diǎn)時(shí),經(jīng)驗(yàn)?zāi)J椒纸馔瓿伞?/p>

        1.4 評(píng)價(jià)指標(biāo)

        為更加精確地評(píng)價(jià)奇異譜分析去噪的有效性與優(yōu)越性,該文采用了3 個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)上述3 種方法,即SSA 方法、小波方法和經(jīng)驗(yàn)?zāi)J椒纸夥ㄟM(jìn)行定量的比較分析。評(píng)價(jià)指標(biāo)分別為噪聲序列的均方根值;去噪后信號(hào)殘差序列的均方根值;去噪后的信號(hào)與模擬信號(hào)的相關(guān)系數(shù)。

        2 模擬試驗(yàn)分析

        為驗(yàn)證SSA 去噪效果的有效性與優(yōu)越性,模擬1 組具有不同周期的正弦波時(shí)間序列數(shù)據(jù),然后加入噪聲,其數(shù)據(jù)模擬模型y如公式(7)所示。設(shè)yue構(gòu)成,其中u由周期分別為1200 s、500 s 和200 s 的3 種正弦波信號(hào)構(gòu)成,即u=sin(2π/1200)+sin(2π/500)+sin(2π/200),e為服從正態(tài)分布(0,0.5)的噪聲。

        設(shè)模擬數(shù)據(jù)的數(shù)量為3 000 個(gè),時(shí)間間隔單位為s。為驗(yàn)證SSA 方法的穩(wěn)健性,該文又分別將小波方法(db8 小波基)、經(jīng)驗(yàn)?zāi)J椒纸夥ǎ‥MD)與SSA 方法進(jìn)行了比較,其結(jié)果如圖1 所示。

        圖1中各行子圖從上至下的含義如下:第一行為模擬數(shù)據(jù);第二行為加入(0,0.52)噪聲后的模擬數(shù)據(jù);第三行是采用3 種方法去噪后的數(shù)據(jù);第四行是采用3 種方法去噪后數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)的差值;第五行是3 種方法去噪后模擬數(shù)據(jù)與加噪后模擬數(shù)據(jù)的差值。

        圖1 3 種濾波方法的模擬試驗(yàn)結(jié)果

        通過(guò)對(duì)比可以看出,3 種方法均能有效地去除模擬數(shù)據(jù)中的噪聲,其形態(tài)整體相似,說(shuō)明SSA 方法具有良好的去噪能力。為了說(shuō)明SSA 方法的優(yōu)越性,該文又分別將值、值與相關(guān)系數(shù)這3 種指標(biāo)進(jìn)行比較,比較結(jié)果見(jiàn)表1。

        表1 3 種方法去噪效果對(duì)比

        從表1 中噪聲部分的值與相關(guān)系數(shù)可以看出,其值大小基本相當(dāng),說(shuō)明去除的噪聲部分相同,模擬數(shù)據(jù)與去噪后的數(shù)據(jù)強(qiáng)相關(guān),再次說(shuō)明3 種方法都有效地剔除了噪聲。但3 種方法的值有較大差異,其中SSA 方法模擬數(shù)據(jù)與去噪后的數(shù)據(jù)相差相對(duì)較小,而小波方法與EMD 方法則相差較大,說(shuō)明后2 種方法在去噪過(guò)程中剔除了模擬的正弦波信號(hào)。因此通過(guò)綜合對(duì)比可知,采用SSA 方法去噪更有優(yōu)越性。

        3 試?yán)治?/h2>

        該試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用GPS 基準(zhǔn)站ZIMM 站的GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列,該站有較長(zhǎng)時(shí)間跨度的時(shí)間坐標(biāo)序列,該文選用跨度為1999—2011 年共12 a 的數(shù)據(jù),ZIMM 站坐標(biāo)時(shí)間序列包括趨勢(shì)項(xiàng)、周期信號(hào)以及噪聲,較適于驗(yàn)證奇異譜分析方法去噪的效果。為了方便比較,該文對(duì)ZIMM 站坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行了預(yù)處理。首先,去除ZIMM 站坐標(biāo)時(shí)間序列的趨勢(shì)項(xiàng)及周期項(xiàng)。其次,采用3 倍中誤差方法剔除ZIMM 站坐標(biāo)時(shí)間序列中的中誤差。再次,對(duì)剔除粗差后的坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行線性插值,得到處理后的坐標(biāo)時(shí)間序列。最后,采用奇異譜分析方法(SSA 方法)進(jìn)行去噪,其結(jié)果如圖2 所示。

        根據(jù)圖2 可知,奇異譜分析方法能夠有效地去除噪聲,并能有效地保留GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的趨勢(shì)項(xiàng)及周期項(xiàng),且圖2(b)的噪聲序列比較平穩(wěn),說(shuō)明奇異譜分析能夠有效地剔除噪聲。為了進(jìn)一步說(shuō)明奇異譜分析方法去噪的效果,該文又對(duì)其進(jìn)行功率譜分析,其結(jié)果如圖3 所示。

        圖2 GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列去噪前后的對(duì)比及殘差序列

        根據(jù)圖3 可知,在低頻域,GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列基本保持不變,其存在年周期信號(hào)與半年周期信號(hào),且信號(hào)的波峰較為一致,說(shuō)明奇異譜分析方法較好地保留了其趨勢(shì)項(xiàng)與周期項(xiàng)。而在高頻域,去噪后的坐標(biāo)時(shí)間序列其功率譜密度明顯低于未去噪的坐標(biāo)時(shí)間序列,該現(xiàn)象說(shuō)明奇異譜分析方法剔除的是GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的噪聲。

        圖3 GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列去噪前后的功率譜對(duì)比

        4 結(jié)論

        奇異譜分析是一種高效的時(shí)間序列分析方法,該方法是對(duì)一維時(shí)間序列進(jìn)行分析的方法,能夠較好地從坐標(biāo)時(shí)間序列中提取信息。該文通過(guò)模擬數(shù)據(jù)分析,驗(yàn)證了和小波方法與經(jīng)驗(yàn)?zāi)J椒纸夥ㄏ啾?,該方法去噪效果更好,能夠在最大程度地保留坐?biāo)時(shí)間序列中有用的信號(hào)。該文還通過(guò)GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析,表明該方法能夠有效地剔除GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的噪聲,且去噪后的坐標(biāo)時(shí)間序列更加穩(wěn)定和平滑。

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