田景環(huán)，李叢鑫，李 昂

(華北水利水電大學(xué)水利學(xué)院，河南 鄭州 450046)

準(zhǔn)確的徑流預(yù)測可為防洪減災(zāi)、水資源的高效利用提供重要理論基礎(chǔ)[1]。受諸多自然和人類活動(dòng)因素的影響，徑流表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性過程，準(zhǔn)確預(yù)測未來徑流的趨勢成為水資源領(lǐng)域的難點(diǎn)[2]。近年來，信息技術(shù)的飛速發(fā)展，極大地豐富了徑流預(yù)測的研究方法[3]。以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(ANN)[4-5]、支持向量機(jī)(SVM)[6-7]為代表的非線性方法在徑流預(yù)測中取得了一定成效。水文時(shí)間序列普遍是非線性的小樣本數(shù)據(jù)，相比于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷入局部最優(yōu)、過學(xué)習(xí)等問題[7]，Vapnik[8]提出支持向量機(jī)(SVM)，將學(xué)習(xí)問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題，得到全局最優(yōu)解。盧敏等[9]、吳學(xué)文等[10]基于SVM建立徑流預(yù)測模型，證明了SVM在徑流預(yù)測表現(xiàn)中的優(yōu)越性。最小二乘支持向量機(jī)(LSSVM)建立在SVM基礎(chǔ)上，基于最小二乘思想構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，減少模型參數(shù)的同時(shí)[11]，利用解方程組的方法縮短模型學(xué)習(xí)時(shí)間。LSSVM可以以任意精度逼近非線性系統(tǒng)，是解決非線性預(yù)測問題的有效方法。

LSSVM模型中的懲罰系數(shù)及核參數(shù)直接影響模型的訓(xùn)練結(jié)果和適應(yīng)能力[12]，以往對(duì)參數(shù)的選擇大都人為選擇確定，導(dǎo)致參數(shù)選取的不恰當(dāng)，從而影響預(yù)測精度。隨著人工智能的興起，不斷有學(xué)者采用智能算法對(duì)LSSVM模型的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[13-14]。李文莉等[15]針對(duì)模型參數(shù)選擇費(fèi)時(shí)且效果差等問題，利用具有全局搜索能力的粒子群算法(PSO)參數(shù)尋優(yōu)，有效提高徑流的預(yù)測效率和預(yù)測精度。但此算法易陷入局部最優(yōu)，搜索到局部極小值且尋優(yōu)能力弱。為彌補(bǔ)現(xiàn)有算法的不足，利用LI等[16]提出的隨機(jī)優(yōu)化算法——黏菌算法(SMA)，來確保搜索效率和準(zhǔn)確性。鑒于黏菌算法收斂速度快、搜索能力強(qiáng)等特點(diǎn)，本文利用SMA對(duì)LSSVM模型的參數(shù)進(jìn)行自動(dòng)搜索獲得最優(yōu)解，建立SMA-LSSVM徑流中長期預(yù)測模型，并選擇漫灣水電站和鶯落峽水文站為研究對(duì)象進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證，結(jié)果表明SMA-LSSVM具有較高的預(yù)測精度，對(duì)徑流預(yù)測是可行有效的。

1 研究方法及模型建立

1.1 黏菌優(yōu)化算法(SMA)

1.1.1SMA描述

黏菌算法(SMA)[16]是一種基于黏菌自然振動(dòng)模式的元啟發(fā)式智能算法。此算法通過自適應(yīng)權(quán)重使SMA在保持快速收斂的同時(shí)避免陷入局部最優(yōu)，同時(shí)振動(dòng)參數(shù)允許以特定的方式收縮，確保了早期的搜索效率和準(zhǔn)確性。

黏菌在覓食過程中，根據(jù)空氣中的氣味濃度接近食物，食物濃度越高，生物振蕩越強(qiáng)，細(xì)胞質(zhì)流動(dòng)越快，黏菌靜脈管越粗。通過函數(shù)表達(dá)式來模擬其逼近行為，位置更新用式(1)表示：

(1)

p=tanh|s(i)-DF|,i=1,2,…,k

(2)

式中 ub、lb——搜索范圍的上、下界；rand——在[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；參數(shù)vb=[-a,a]，參數(shù)vc從1到0線性減小；t——當(dāng)前迭代；xb——當(dāng)前發(fā)現(xiàn)食物氣味濃度最高的單個(gè)位置；x——黏菌的位置；xm、xn——隨機(jī)選取的2個(gè)黏菌位置；w——黏菌的重量；s(i)——x的適應(yīng)度；DF——迭代中所獲得的最佳適應(yīng)度。

其中參數(shù)a的函數(shù)表達(dá)式為：

(3)

式中 maxt——最大迭代次數(shù)。

而w的公式見式(4)：

(4)

smellindex=sort(s)

(5)

式中r——[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；bF——在當(dāng)前迭代過程中獲得的最佳適應(yīng)度；wF——在當(dāng)前迭代過程中獲得的最差適應(yīng)度；smellindex——適應(yīng)度序列。

1.1.2SMA仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證SMA在不同維度下的尋優(yōu)能力，參考文獻(xiàn)[14]，選取Sphere、Schwefel、Rastrigin、Ackley、Griewank 5個(gè)測試函數(shù)在10、30、50、100、500維條件下對(duì)SMA進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與PSO算法的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。其中單峰函數(shù)(Sphere、Schwefel)主要考察SMA、PSO的尋優(yōu)速度和精度，多峰函數(shù)(Rastrigin、Ackley、Griewank)主要測試SMA、PSO的全局搜索能力。仿真測試基于Matlab 2019b對(duì)各測試函數(shù)進(jìn)行20次尋優(yōu)，取其平均值對(duì)算法的尋優(yōu)性能進(jìn)行評(píng)估，見表1。測試參數(shù)設(shè)置如下：SMA最大迭代次數(shù)為100，種群規(guī)模為50；PSO最大迭代次數(shù)為100，種群規(guī)模為50，學(xué)習(xí)因子均取2.0。

表1 函數(shù)優(yōu)化對(duì)比結(jié)果

從表1可看出：對(duì)于單峰函數(shù)，SMA在不同維度條件下較PSO算法尋優(yōu)精度更優(yōu)；對(duì)于多峰函數(shù)Rastrigin、Griewank，SMA在不同維度條件下的20次尋優(yōu)均獲得了理論最優(yōu)值0，說明SMA的尋優(yōu)精度遠(yuǎn)優(yōu)于PSO算法；對(duì)于旋轉(zhuǎn)不可分函數(shù)Ackley，SMA在10、30、50、100、500維條件下趨于穩(wěn)定，相比PSO算法提高了16個(gè)數(shù)量級(jí)的尋優(yōu)精度。由此可見，SMA在不同維度條件下的尋優(yōu)結(jié)果均優(yōu)于PSO算法，表現(xiàn)出較好的優(yōu)化效果和極值搜索能力，將其應(yīng)用于LSSVM懲罰參數(shù)和核參數(shù)的尋優(yōu)是可靠的。

1.2 最小二乘支持向量機(jī)

最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machine，LSSVM)由Suykens等[17]提出，是在支持向量機(jī)(SVM)上的一種改進(jìn)，不僅降低計(jì)算難度，還有效提高了訓(xùn)練速度和精度。

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)最小化原則(SMR，Structural Risk Minimization)，LSSVM的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為帶有等式約束條件的目標(biāo)函數(shù)：

(6)

式中ωT——權(quán)值系數(shù)向量；γ——懲罰系數(shù)；ei——誤差向量。

根據(jù)Mercer條件定義核函數(shù)：

K(mi,mj)=φ(mi)φ(mj)

(7)

式中φ(m)——核空間的非線性映射函數(shù)。

最終得到LSSVM模型的擬合函數(shù)：

(8)

式中 αi——拉格朗日乘子，≥0；b——偏差向量。

1.3 SMA-LSSVM預(yù)測模型的實(shí)現(xiàn)步驟

LSSVM預(yù)測模型中的懲罰參數(shù)γ和核參數(shù)σ對(duì)預(yù)測精度影響較大，選擇合適的參數(shù)對(duì)預(yù)測模型的性能起著至關(guān)重要的作用。本文根據(jù) SMA 算法在不同搜索環(huán)境下的競爭性，對(duì)最小二乘支持向量機(jī)的 2 個(gè)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，以提高模型的預(yù)測精度。SMA-LSSVM 預(yù)測模型的建模步驟如下。

步驟一參數(shù)設(shè)置。SMA算法的主要參數(shù)：黏菌種群數(shù)量N，最大迭代次數(shù)M，黏菌個(gè)體空間維度dim，黏菌種群位置上界范圍ub和下界范圍lb。

步驟二種群初始化。初始化黏菌空間位置，將黏菌個(gè)體的位置信息依次賦給2個(gè)參數(shù)。

步驟三更新參數(shù)。根據(jù)式(4)計(jì)算黏菌種群適應(yīng)度值，并進(jìn)行排序，找出當(dāng)前最佳解。

步驟四更新個(gè)體位置。根據(jù)式(2)計(jì)算黏菌個(gè)體適應(yīng)度值，并利用式(1)更新最優(yōu)個(gè)體位置。

步驟五輸出全局最優(yōu)參數(shù)。根據(jù)對(duì)黏菌的所有適應(yīng)度值進(jìn)行排序，找出當(dāng)前最優(yōu)解，重復(fù)步驟二至四，當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)，終止尋優(yōu)搜索，輸出全局最優(yōu)參數(shù)，建立SMA-LSSVM模型。

圖1表示基于SMA-LSSVM的徑流中長期預(yù)測的流程。

圖1 基于SMA-LSSVM的徑流中長期預(yù)測流程

1.4 模型性能評(píng)估

為檢驗(yàn)中長期徑流預(yù)測結(jié)果，通過均方誤差(RMSE)和平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)2個(gè)指標(biāo)來對(duì)比分析。

(9)

(10)

2 實(shí)例應(yīng)用

為驗(yàn)證所提SMA-LSSVM模型的有效性和可靠性，以漫灣站和鶯落峽水文站的月徑流為研究對(duì)象，并分別采用80%的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，20%的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)樣本進(jìn)行驗(yàn)證。

2.1 數(shù)據(jù)來源

漫灣水電站位于中國云南省西部，距昆明450 km，是瀾滄江干流水電基地開發(fā)的第一座百萬千瓦級(jí)的水電站。漫灣水電站壩址處的控制流域面積為11.45萬km2，多年平均流量1 230 m3/s。選取漫灣站1953年1月至1994年12月的月徑流數(shù)據(jù)作為模型的訓(xùn)練樣本，1995年1月至2004年12月的月徑流數(shù)據(jù)作為模型的檢驗(yàn)樣本。

黑河是中國第二大內(nèi)陸河，發(fā)源于青海省祁連縣，上游的鶯落峽作為祁連山口的控制峽口，其控制流域面積1.000 9萬km2。采用鶯落峽水文站1956—2009年[18]的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其中1956—1998年的月徑流數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練模型，1999—2009年的月徑流數(shù)據(jù)用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

2.2 模型的輸入和輸出

根據(jù)預(yù)測結(jié)果精度，采用試錯(cuò)法確定模型的輸入。假設(shè)實(shí)測值Q=(Q1,Q2,…Qi,…Qn-1)，Qi表示第i個(gè)時(shí)刻樣本點(diǎn)，在漫灣站實(shí)例中，采用前13個(gè)月的徑流數(shù)據(jù)作為模型輸入，預(yù)測第14個(gè)月的徑流量，樣本結(jié)構(gòu)見式(11)。而在鶯落峽實(shí)例中，則采用前12個(gè)月的徑流數(shù)據(jù)作為模型的輸入，預(yù)測第13個(gè)月的徑流量，樣本結(jié)構(gòu)見式(12)。

Q1Q2…Q13Q2Q3…Q14????Qn-13Qn-12…Qn-1Q14Q15?Qn

(11)

Q1Q2…Q12Q2Q3…Q13????Qn-12Qn-11…Qn-1Q13Q14?Qn

(12)

其中式(11)、(12)前一項(xiàng)表示模型輸入，后一項(xiàng)表示模型輸出。

2.3 參數(shù)設(shè)置

在實(shí)際應(yīng)用中，LSSVM模型的性能依賴于參數(shù)的選擇，要建立最優(yōu)化的模型需進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)。SMA作為一種新的隨機(jī)優(yōu)化算法為LSSVM的參數(shù)優(yōu)化提供了新方法。由于徑向基函數(shù)(RBF)的參數(shù)和受限條件相對(duì)較少，本文選擇RBF作為核函數(shù)，提高訓(xùn)練速度。為驗(yàn)證SMA-LSSVM模型的預(yù)測性能和優(yōu)勢，建立PSO-LSSVM模型進(jìn)行對(duì)比，模型的建立均基于Matlab 2019b軟件下完成。

粒子群算法的參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模N=50，學(xué)習(xí)因子c1=2，c2=2，最大迭代次數(shù)M=100。黏菌算法的參數(shù)設(shè)置為：種群數(shù)量N=50，最大迭代次數(shù)M=100。兩算法的懲罰參數(shù)和核參數(shù)尋優(yōu)范圍均為[10-3,104]。尋優(yōu)結(jié)果見表2。

表2 2種算法優(yōu)化模型參數(shù)結(jié)果

通過表2對(duì)比分析，得出SMA優(yōu)化LSSVM模型參數(shù)的結(jié)果均小于PSO優(yōu)化參數(shù)的結(jié)果，并結(jié)合表1中2個(gè)算法對(duì)不同函數(shù)優(yōu)化的結(jié)果，認(rèn)為SMA算法各方面表現(xiàn)均優(yōu)于PSO算法。

2.4 結(jié)果分析

a)漫灣站。圖2a表示SMA-LSSVM預(yù)測模型應(yīng)用到漫灣站訓(xùn)練期的效果，圖2b則表示檢驗(yàn)期的效果。其中黑色實(shí)線代表徑流實(shí)測值，藍(lán)色實(shí)線代表LSSVM模型的預(yù)測值，綠色實(shí)線代表PSO-LSSVM模型的預(yù)測值，紅色實(shí)線代表SMA-LSSVM模型的預(yù)測值。圖2可看出：無論是訓(xùn)練期還是檢驗(yàn)期，PSO-LSSVM模型和SMA-LSSVM模型相較于LSSVM模型的預(yù)測效果均更優(yōu)，說明進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化是非常必要的。圖2a中PSO-LSSVM模型在個(gè)別峰值處的訓(xùn)練效果比SMA-LSSVM模型稍好，但總體來說，本文所提模型的預(yù)測效果更優(yōu)。表3為3個(gè)模型應(yīng)用到漫灣站的對(duì)比結(jié)果，更加直觀看出模型間的差異。

新型消能減震復(fù)合墻板試驗(yàn)與模擬的骨架曲線、滯回曲線如圖4所示，其試驗(yàn)平均值與模擬值得到的關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)值對(duì)比見表2。由圖4和表2可知，不同位移下的試驗(yàn)結(jié)果與有限元模擬分析結(jié)果相差很小，誤差基本在20%以內(nèi)，有限元模型能較好的反映構(gòu)件的性能，表明數(shù)值模型基本是正確合理的。

a)訓(xùn)練期

表3 漫灣站的評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果對(duì)比

表3通過RMSE、MAPE 2個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)分析得：SMA-LSSVM模型相比LSSVM模型和PSO-LSSVM模型的RMSE在訓(xùn)練期分別減少30.52%和8.97%，在檢驗(yàn)期分別減少29.26%和7.42%；MAPE在訓(xùn)練期分別減少54.26%和25.47%，在檢驗(yàn)期分別減少46.36%和14.10%，進(jìn)一步說明SMA-LSSVM模型的訓(xùn)練效果更加優(yōu)越，預(yù)測結(jié)果與實(shí)測值的吻合度較高。

b)鶯落峽站。為驗(yàn)證SMA-LSSVM模型的預(yù)測精度和泛化能力在不同地區(qū)的適用性，將上述所提模型應(yīng)用于鶯落峽水文站，圖3為SMA-LSSVM預(yù)測模型應(yīng)用于鶯落峽水文站訓(xùn)練期和檢驗(yàn)期的效果，表4為鶯落峽水文站不同模型訓(xùn)練期和檢驗(yàn)期的預(yù)測對(duì)比結(jié)果。

a)訓(xùn)練期

表4 鶯落峽站的評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果對(duì)比

通過圖3及表4可得出以下結(jié)論：①SMA-LSSVM模型對(duì)實(shí)例預(yù)測的RMSE為16.552 m3/s，MAPE為17.77%，預(yù)測精度和泛化能力均優(yōu)于其他模型，表明SMA能有效尋優(yōu)LSSVM模型的懲罰參數(shù)和核參數(shù)，SMA-LSSVM模型用于月徑流預(yù)測是可靠的；②SMA-LSSVM模型較LSSVM模型的RMSE、MAPE分別減少32.61%、48.37%，說明利用SMA優(yōu)化LSSVM的關(guān)鍵參數(shù)可以有效提高LSSVM模型的預(yù)測精度和泛化能力；③對(duì)于同一模型采用不同的優(yōu)化算法(PSO、SMA)，發(fā)現(xiàn)LSSVM模型經(jīng)過SMA參數(shù)尋優(yōu)后能有效提高預(yù)測精度。

通過上述實(shí)例可知，參數(shù)尋優(yōu)能充分挖掘模型本身特性，以達(dá)到模型最優(yōu)性能。本文所提模型相比LSSVM模型和PSO-LSSVM模型在徑流預(yù)測中具有更好的預(yù)測效果，為提高月徑流預(yù)測精度提供新方法。

3 結(jié)論

利用黏菌算法(SMA)，提出SMA與LSSVM相結(jié)合的徑流預(yù)測模型，通過云南省漫灣水電站和黑河流域鶯落峽水文站的月徑流實(shí)例對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，并與LSSVM、PSO-LSSVM模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出以下結(jié)論。

a)利用5個(gè)仿真測試函數(shù)對(duì)SMA、PSO算法進(jìn)行仿真測試，證明了SMA算法在不同維度條件下的尋優(yōu)精度和全局搜索能力均優(yōu)于PSO算法，將其應(yīng)用到LSSVM懲罰參數(shù)和核參數(shù)尋優(yōu)是可行的。

b)利用SMA優(yōu)化LSSVM模型的關(guān)鍵參數(shù)，有效避免人為選擇LSSVM模型參數(shù)所造成的誤差，使LSSVM模型的預(yù)測精度得到較大提高。并通過2個(gè)水文站的月徑流預(yù)測實(shí)例驗(yàn)證了SMA-LSSVM模型相比LSSVM和PSO-LSSVM模型誤差更小，表明本文所提模型具有更強(qiáng)的泛化能力和更高的預(yù)測精度。