黃忠文 張博文 唐明哲 王發(fā)達 徐欽旭

(武漢工程大學機電工程學院，武漢 430205)

彈性力學是研究彈性體在載荷作用下產(chǎn)生應力和彈性變形規(guī)律的科學[1]，研究對象一般為彈性固體。流體力學是研究流體平衡和運動規(guī)律的科學，研究對象一般為易流動且極易變形的流體[2]。目前，在眾多實際工程中普遍存在固體與流體相互作用的現(xiàn)象[3-4]，彈性力學與流體力學的交叉研究越來越深入[5]。彈性力學中的彈性固體與流體力學中的流體均為連續(xù)介質(zhì)模型[6-7]。流體力學中的流體微團是基于流體質(zhì)點提出的一個重要概念，流體微團是流體中任意小的微元體積[8]。流體微團與彈性力學中的微元體相對應，存在一定的共性，所以在一定程度上可以利用彈性力學的理論去推導流體力學的部分方程。

流體的平衡狀態(tài)對應彈性力學中彈性體的平衡狀態(tài)，流體的運動狀態(tài)對應彈性力學中彈性體的運動狀態(tài)。利用彈性力學的微元體平衡方程，并結合流體的平衡性質(zhì)，可以推導出流體靜力學的歐拉平衡方程。流體動力學中的不可壓縮流體N–S方程具有極其重要的地位，20世紀就有學者針對N–S方程的求解進行了研究[9-10]，但N–S方程的推導較為復雜，需要利用霍姆赫茲定理與斯托克斯假定進行推導。本文直接利用彈性力學的微元體動力學方程、幾何方程與應力應變關系，并結合不可壓縮黏性流體的性質(zhì)，推導出N–S方程。

1 流體靜力學的靜壓強

流體靜力學中，平衡流體的受力達到平衡，而彈性力學中，任意形狀的物體達到平衡狀態(tài)時，同樣受力平衡。不難發(fā)現(xiàn)，平衡流體中的微元體主要受壓強影響，而彈性力學中的微元體受到了正應力及切應力的影響，那么彈性力學中的正應力可對應于流體力學中的壓應力，但需要注意平衡流體具有不存在切應力的特點[11]。

如圖1所示，在三個坐標面均有垂直平面的正應力及平行于平面的切應力，斜截面用V表示，斜截面上的應力為PV，該應力可分解為三個沿坐標軸方向的應力分量XV,YV,ZV，也可以分解為正 應 力σV與 切 應 力τV，斜 截 面 的 外 法 線單位矢量為λ(l,m,n) 。為考察一點處的受力情況，微元四面體的體積接近為0，相當于縮小為一個點。

圖1 微元體各面受力分析

物體整體達到受力平衡時，微元體也會達到力的平衡。根據(jù)微元體在三個坐標方向上的力平衡方程，可得到斜截面的三個應力分量為

此公式稱為彈性力學中的柯西公式。

本文將柯西公式應用于流體時，由于平衡流體的微元體此時不存在切應力，故有

于是得到

流體微元的壓應力對應柯西公式中的正應力，即

結合式（3）和式（4）可以推得

在流體力學中，式（5）表示從任何方向作用于一點上的流體靜壓強均是相等的，反映了流體靜壓強的概念。

2 流體靜力學的歐拉平衡微分方程

對于微元六面體進行研究分析時，單位體積力分量用Fbi表示。

彈性力學中的平衡微分方程為

根據(jù)平衡流體的微元體中切應力不存在的條件，得出

靜壓強用P表示，則平衡流體的微元體的正應力為

單位質(zhì)量力的分量用fi表示，密度用ρ表示，則單位體積力與單位質(zhì)量力的關系為

再將式（8）和式（9）代入到式（7）中可以得到

式（10）即為歐拉平衡微分方程，該方程表明流體在靜平衡狀態(tài)時，其內(nèi)部的壓力分布情況僅與其體積力或質(zhì)量力有關。該推導過程也表明流體的靜平衡狀態(tài)與彈性體靜平衡狀態(tài)在本質(zhì)上是一樣的。

3 流體動力學的N–S方程

流體動力學問題主要研究不可壓縮黏性流體，黏性流體在運動時，其內(nèi)部的切應力不再為0。位移分量函數(shù)分別表示為

速度分量函數(shù)分別為

微元體不平衡時采用達朗貝爾原理，加上慣性力后，可以得到彈性體動力學微分方程為

流體微元體所受到的正應力σi為壓應力pi，式（13）應用到流體力學微元體中有

彈性力學靜力學幾何方程為

動力學問題主要研究某個瞬時開始在dt時間段的動力學方程，則動力學的幾何方程為

該動力學的幾何方程對彈性動力學和流體動力學都是適用的。

彈性力學靜力學的本構方程為

式中，G為剪切模量，λ為拉梅常量，θ為體積應變。

若體積不變，則式（17）中的體積應變θ=0 ，得到

根據(jù)流體力學一維運動的牛頓內(nèi)摩擦定律，切應力與速度梯度成正比[12]，即

又剪切角度即切應變，為

由式（19）和式（20）得到切應力為

即流體力學中運動變形產(chǎn)生的應力與單位時間內(nèi)的應變即應變速度成正比。

彈性力學中的剪切模量G相當于流體力學中的動力黏度μ，根據(jù)式（18）和式（21），可以得到不可壓縮流體的應力應變關系為

式（22）是不可壓縮流體流動變形時由于黏性的影響而產(chǎn)生的應力，再根據(jù)式（16）寫成直角坐標形式的方程為

流體微元體與固體微元體不同，其本身還存在一個靜壓強p產(chǎn)生的應力，那么流體微元體總應力為

將式（24）中總應力的應力分量代入式（14）中第一個方程得到

再將式（23）代入式（25）中可以得到

整理得到

同理可得到y(tǒng),z方向上的公式

聯(lián)立式（28）和式（29）及式（30）并結合運動黏度υ為動力黏度μ和密度ρ的比值，可以得到不可壓縮實際流體的運動微分方程式為

式（31）為流體動力學中不可壓縮黏性流體的N–S方程。

4 結論

彈性力學中的彈性體與流體力學中的不可壓縮流體具有相同的可變形性，且都符合連續(xù)介質(zhì)模型的假定，但流體的性質(zhì)與彈性體存在一定的差異。本文利用彈性力學中微元體的受力分析方法結合流體力學中流體在不同狀態(tài)下的條件，推導出流體力學中靜壓強概念、歐拉方程以及N–S方程，實際上是把流體微元看成固體微元的一種特殊情況。與彈性固體中體積可變化的微元體相比較，不可壓縮流體的微元體是一種體積不變的微元體，將不可壓縮流體的這種特性作為一種條件代入到彈性力學的基本方程中，并直接利用彈性力學中的動力學微分方程，幾何方程，本構方程，并結合不可壓縮流體微元體的特性，可以推導得出N–S方程。該推導過程相較傳統(tǒng)流體力學方法更好理解，并將兩種學科內(nèi)在的基本方程聯(lián)系起來，加深了對彈性體與不可壓縮黏性流體的交融程度的理解。由此表明，彈性力學與流體力學的基本方程具有高度的統(tǒng)一性，這種研究結果會極大地促進彈性力學與流體力學兩種學科的深度融合統(tǒng)一與相互促進發(fā)展，可以進一步改善力學課程教學內(nèi)容，加深理解力學基本原理，有效提高力學課程教學水平。