劉 興 策， 劉 俊 俏

(大連工業(yè)大學 信息科學與工程學院, 遼寧 大連 116034)

0 引 言

混沌是一種普遍存在于自然界中的運動狀態(tài)，它具有很多值得研究的特性，比如：對初始條件敏感性、變化具有隨機性、長期行為具有不可預測性。混沌在宏觀上雖呈現(xiàn)出無規(guī)則的狀態(tài)，但其本質是一種有序運動?；煦缱鳛榉蔷€性科學中的一門前沿課題[1-3]，其理論主要起源于對Lorenz系統(tǒng)和Chua系統(tǒng)的設計和研究[4-5]。洛倫茲系統(tǒng)是美國氣象學家洛倫茲在模擬天氣這一非周期性現(xiàn)象時確定的，根據(jù)其研究結果可以得出結論：初期微小的差別隨著時間推移差別會越來越大[6-8]。正是這一理論，使洛倫茲系統(tǒng)在非線性系統(tǒng)的研究中具有舉足輕重的地位[9-13]。

眾所周知，非線性元件是混沌電路中必不可少的一部分。而憶阻器就是非線性元件中的代表。1971年，Chua[14]基于變量組合的完備性原則預測了憶阻器的存在。1976年，Chua等[15]進一步闡述了憶阻器的組成原理和應用特點，并且說明了憶阻器分為磁控憶阻器和荷控憶阻器。由于一直沒有發(fā)現(xiàn)具有記憶特性的元件，憶阻器的研究一直沒有得到科學界和工程界的重視。2008年，惠普實驗室首次完成了納米憶阻器的實現(xiàn)，對憶阻器的研究取得了巨大的進步[16-19]。納米憶阻器件的出現(xiàn)有望實現(xiàn)非易失性隨機存儲器，并且基于憶阻的隨機存儲器的集成度、功耗、讀寫速度都要比傳統(tǒng)的隨機存儲器優(yōu)越。憶阻器是硬件實現(xiàn)人工神經網絡突觸的最好方式?？梢姡瑧涀杵髟诨煦缪芯恐械闹匾訹20]。

混沌研究雖然歷史久遠，但將憶阻器應用于混沌卻是近些年來的一個研究熱點。Muthuswamy等[21]通過用憶阻器來替換Chua電路中的蔡氏二極管，在2008年第一次運用憶阻器構建了混沌系統(tǒng)，并對該電路進行了詳細的理論分析與數(shù)值仿真。2012年包伯成等[22]將Chua電路中的蔡氏二極管用有源憶阻器模型替代，得到的新混沌振蕩電路與傳統(tǒng)意義上的混沌電路有很大的不同，包含一些特殊的動力學行為如混沌狀態(tài)轉移等。研究發(fā)現(xiàn)，與傳統(tǒng)的混沌電路相比，憶阻混沌電路具有更復雜的混沌特性。系統(tǒng)除了對電路參數(shù)體現(xiàn)出敏感性外，還依賴于憶阻器的初始值[23-25]。隨著憶阻器階數(shù)的增加，憶阻混沌系統(tǒng)的動力學行為就會變得更加復雜。由憶阻混沌電路產生的混沌信號也具有更強的偽隨機性，這些特性使其在傳統(tǒng)的混沌應用領域混有著更廣闊的應用前景[26-28]。因此研究設計更優(yōu)越的憶阻混沌電路對信息加密和混沌保密通信等各個領域有著非常重要的實際意義。

基于憶阻混沌系統(tǒng)對憶阻器初值敏感性以及在引入憶阻器后系統(tǒng)的動力學行為復雜度增加并且系統(tǒng)的穩(wěn)定性也會改變的特點[29]。本研究設計了一種五維洛倫茲型憶阻混沌系統(tǒng)。由于在系統(tǒng)中引入了憶阻器，系統(tǒng)的動力學行為變得更加復雜。通過在DSP平臺上進行完整的動態(tài)分析與實現(xiàn)，驗證了憶阻混沌電路的有效性。其簡單的電路結構為憶阻混沌系統(tǒng)的分析提供了一種新的研究方法。

1 憶阻器模型

包伯成教授提出的一種新型磁控憶阻器，可以表示為

(1)

電壓與電流之間的伏安關系可以表示為

(2)

式中：W(φ)為該憶阻器的憶導，表示電荷與磁通量的關系，單位為西門子。

W(φ)=α+β|φ|

(3)

式中：α和β為憶阻器的系數(shù)；φ為憶阻器的磁通量；vs為交流電壓源，表示為vs=Asin(2πft)，其中A為電壓幅值，f為頻率，正弦交流電壓源vs為憶阻器的輸入端，式(3)中的α=0，β=1。當A=19，f分別為5、50 Hz時，憶阻器的伏安特性曲線如圖1所示。當使用正弦交流激勵時，憶阻器的伏安關系圖是一個通過原點的閉合的“8”字曲線。隨著f的增加，曲線的旁瓣的面積逐漸減小，這符合憶阻器的基本特性。

(a)f=5 Hz

2 混沌系統(tǒng)

2.1 混沌電路

一種新型的洛倫茲型混沌電路原理如圖2(a)所示，圖中的GM是一種新型的憶阻器，其電路原理圖如圖2(b)所示。

(a)主電路圖

電路中各個元件的取值如表1所示：

表1 電路元件取值表

圖2中的理想磁控憶阻器由電壓從動器、反向積分電路、絕對值電路，乘法器和電阻等組成，其數(shù)學模型通過分析輸入電壓和輸出電流之間的關系，可以很容易地得到憶阻器輸出電流(i)與輸入電壓(vs)的關系可以表示為

(4)

式中：vw為理想磁控憶阻器的內部變量，g1為乘法器A0的增益，其中k=g1R1/R2，并且憶導W(vw)=kvw/R1。

如圖2(a)所示的混沌電路，根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律以及各元件基本特性，可以得出系統(tǒng)方程為

(5)

式中：vx、vy、vz、vu是4個電路變量，vw是理想磁控憶阻器內部變量，g1、g2、g3是乘法器A1、A2、A3的增益，對方程進行無量綱化處理可得

(6)

當系統(tǒng)的參數(shù)a=-10，b=-10，c=8，初始條件為(1，1，0，0，0)，時間步長為0.01秒，計算出該參數(shù)條件下4個李雅普諾夫指數(shù)分別為L1=0.696 6，L2=0，L3=-0.167 1，L4=-2.632 1，L5=-20.896 9。對其進行仿真得到的混沌吸引子相圖如圖3所示。

(a)x-y平面

改變系統(tǒng)參數(shù)a、b、c并保持初始條件與步長不變，得到以下兩類混沌吸引子相圖，如圖4、圖5所示。

(a)x-y平面

(a)x-y平面

2.2 系統(tǒng)的平衡點分析

根據(jù)系統(tǒng)動力學方程可以得到系統(tǒng)的散度可以表示為

a-c-5-1

(7)

令系統(tǒng)參數(shù)a=-10，b=-10，c=8，初值設為(1，1，0，0，0)，系統(tǒng)的散度小于零，這意味著系統(tǒng)是耗散的，并且系統(tǒng)可能存在混沌吸引子。令系統(tǒng)方程組式(6)中的各式等于零，可以得到系統(tǒng)平衡點E(0，0，0，0，0)，根據(jù)平衡點可以得到Jacobian矩陣為

(8)

其特征多項式可以表示為

P(λ)=λ5+13λ4-460λ3+393.559 3λ2+

18 000.009 2λ

(9)

由特征方程可計算出特征值為λ1=0，λ2=5，λ3=-8，λ4=-26.794 5，λ5=16.794 5。由特征方程可知，其系數(shù)a0=0，a1=18 000.009 2，a2=393.559 3，a3=-460，a4=13，a5=1。根據(jù)勞斯赫爾維茲判據(jù)可得，勞斯表中第一列有符號變換，變化的次數(shù)等于復平面右半平面根的個數(shù)，所以平衡點E(0，0，0，0，0)是不穩(wěn)定的。

2.3 參數(shù)a和c對系統(tǒng)的影響

本系統(tǒng)為五維混沌系統(tǒng)，將分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜結合進行分析，可得其不同參數(shù)下所處的狀態(tài)。以參數(shù)a和c作為變量，初值為(1，1，0，0，0)，步長h=0.01，固定方程的剩余參數(shù)，通過改變參數(shù)a和c來觀察混沌系統(tǒng)不同的狀態(tài)。

取參數(shù)a∈[-10，1]，令b=-10，c=8，李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖如圖6所示。對比李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖可得二者可以一一對應。由圖6可知，當a取-8.25、-8.15和0時，最大李雅普諾夫指數(shù)L1=0，系統(tǒng)此時表現(xiàn)為極限環(huán)狀態(tài)。其他時候，最大李雅普諾夫指數(shù)L1始終大于0，L2=0，并且其他李雅普諾夫指數(shù)都小于0，所以此時系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)。

(a)李雅普諾夫指數(shù)譜

圖7為取參數(shù)c=8，b=-10，a分別取-8.25、-8.15、0和-8時x-y的相圖，當a取-8.25、-8.15和0時，相圖表現(xiàn)為極限環(huán)狀態(tài)，由李雅普諾夫指數(shù)譜可知，此時系統(tǒng)有4個李雅普諾夫指數(shù)小于0，一個等于0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當a取-8時，相圖為混沌狀態(tài)，此時系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)中有三個小于0，一個等于零，一個大于0，處于混沌狀態(tài)。經過分析可知，相圖與上文所示分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜完全對應。

(a)a=-8.25

取參數(shù)c∈[0，18]、a=-10、b=-10，該條件下李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖如圖8所示。對比李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖可得二者一一對應。當c∈[0，0.55]時，最大李雅普諾夫指數(shù)L1等于0，分岔圖中也表現(xiàn)出周期口，所以系統(tǒng)此時表現(xiàn)為極限環(huán)。當c=0.55時，系統(tǒng)開始出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。當c∈[0.55，8.85]時，最大李雅普諾夫指數(shù)L1大于0，并且沒有其他指數(shù)大于0，此時系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)。當c∈[8.85，8.9]，最大李雅普諾夫指數(shù)L1等于0，系統(tǒng)此時表現(xiàn)為極限環(huán)。當c∈[8.9，16.9]時，最大李雅普諾夫指數(shù)L1大于0，并且沒有其他指數(shù)大于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)。當c∈[16.9，18]時，最大李雅普諾夫指數(shù)L1等于零，其余各項均小于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為極限環(huán)狀態(tài)。

(a)李雅普諾夫指數(shù)譜

圖9為參數(shù)a=-10，b=-10，c分別取0.45、6、8.85、15和17.4時x-y的相圖，當c分別取0.45、8.85和17.4時，相圖為極限環(huán)，由李雅普諾夫指數(shù)譜可知，此時系統(tǒng)有四個李雅普諾夫指數(shù)小于0，一個等于0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當c取5和15時，相圖均為混沌狀態(tài)，此時系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)中有三個小于0，一個等于零，一個大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。經過分析可知，相圖與上文所示分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜完全對應。

(a)c=0.45

2.4 系統(tǒng)復雜度分析

復雜性的研究涉及各個領域，各領域學者對復雜性的認識也不一樣，到目前為止，尚無統(tǒng)一的復雜性概念?；煦缦到y(tǒng)復雜度是指采用相關算法衡量混沌序列接近隨機序列的程度，復雜度值越大，序列越接近隨機序列，相應的安全性也就越高。從本質上來講，混沌系統(tǒng)的復雜度屬于混沌動力學復雜性研究范疇。

復雜度分析包含行為復雜度和結構復雜度，行為復雜度是指從混沌序列本身出發(fā)，利用一定方法度量短時間窗口內序列產生新模式概率的大小，產生新模式概率越大則序列越復雜。目前，計算混沌偽隨機序列行為復雜度的算法比較多，且均以Kolmogorov方法和香農熵為基礎，這類算法計算速度快，且結果比較準確，但是如果選取的維數(shù)過高或者偽隨機序列符號空間過大時，計算結果會溢出，甚至得不到結果。結構復雜度是指通過變換域內頻率特性、能量譜特性等來分析序列的復雜程度，序列變換域內能量譜分布越均衡，表示原序列越接近隨機信號，即序列復雜性越大，結合香農熵概念即可計算出相應的譜熵值。結構復雜度對變換域能量特征進行分析，其針對的是序列的全部而不是局部，因而與行為復雜度算法相比，其結果具有全局統(tǒng)計意義。本研究利用SE算法和C0算法對結構復雜度進行分析。

SE(譜熵)算法主要采用傅立葉變換，通過傅立葉變換域內能量分布，結合香農熵得出譜熵值。C0算法主要是將序列分解為規(guī)則和不規(guī)則部分，對其中非規(guī)則部分比例進行測量得到結果。以參數(shù)c作為變量對系統(tǒng)的復雜度進行分析，取參數(shù)b=-10，a=-10，c∈[0，18]時，仿真結果如圖10所示。

(a)C0復雜度

由圖10分析可知，SE算法和C0算法具有高度的同步性，當c<0.55時，系統(tǒng)處于極限環(huán)狀態(tài)，當c∈[0.55，8.85]時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當c∈[8.85，8.9]時，系統(tǒng)處于極限環(huán)狀態(tài)，當c∈[8.9，17.4]時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當c>17.4時，系統(tǒng)退化為極限環(huán)狀態(tài)。通過分析SE復雜度圖和C0復雜度圖可以發(fā)現(xiàn)，當系統(tǒng)處于周期態(tài)時復雜度處于低點，當系統(tǒng)進入混沌態(tài)時復雜度明顯增大，所呈現(xiàn)出的結果與圖8所示李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖相吻合。

2.5 吸引子共存

吸引子共存是一種特殊的現(xiàn)象，主要出現(xiàn)在一些特殊的混沌系統(tǒng)中。在研究非線性系統(tǒng)中，有不可或缺的作用。當保持系統(tǒng)參數(shù)不變，而初始值發(fā)生變化時，系統(tǒng)軌道可逐漸趨向于點、擬周期、周期或混沌等不同的狀態(tài)。為了探究這一特殊現(xiàn)象，令a=-10，b=-10，c=5，隨著初始值的變化，可以觀察到系統(tǒng)狀態(tài)的變化。數(shù)值模擬結果如圖11所示，圖中藍色部分表示初始值為(1，2，3，4，10)，圖中紅色部分表示初始值為(1，0，3，4，1)。

圖11 吸引子共存圖

3 系統(tǒng)DSP實現(xiàn)

由于混沌系統(tǒng)在使用模擬電路實現(xiàn)時容易受到外部擾動影響，所以在實際電路中的相關特征條件較難準確控制。遂在DSP平臺上對本系統(tǒng)進行仿真，使用DSP實現(xiàn)表現(xiàn)出的混沌現(xiàn)象將更加穩(wěn)定。本研究使用的DSP仿真芯片為f28335，分別設定參數(shù)a、b、c，得到如圖12所示的圖像。

(a)a=-10，b=-10，c=8

4 結 論

設計了一個五維洛倫茲型憶阻混沌電路，并介紹了其無量綱數(shù)學模型。在該混沌系統(tǒng)的研究中發(fā)現(xiàn)了三種不同的混沌吸引子。通過分析系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜、分岔圖、復雜度了解到本系統(tǒng)的動力學特性隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而表現(xiàn)出了高度的復雜性和敏感性。通過數(shù)值模擬，觀察到了混沌吸引子共存這一特殊現(xiàn)象。在DSP平臺上實現(xiàn)了該電路，并在DSP平臺上驗證了實驗結果與數(shù)值分析結果的一致性。由于這些豐富的動力學行為，這種新的洛倫茲型混沌系統(tǒng)在信息加密和安全通信等方面具有良好的應用前景。