潘子萌，劉 凱，馬子琦，廖 青

武漢工程大學(xué)光電信息與能源工程學(xué)院，湖北 武漢 430205

強(qiáng)場物理是過去二十多年興起的前沿學(xué)科，主要研究超強(qiáng)超短激光與物質(zhì)相互作用。隨著激光器的發(fā)展與進(jìn)步，激光的脈沖寬度逐漸變窄，激光脈沖的功率越來越大［1-3］。利用先進(jìn)激光技術(shù)獲得的超快強(qiáng)激光脈沖與物質(zhì)相互作用，成為了研究物質(zhì)基本性質(zhì)的一種重要手段。

阿秒物理學(xué)（1as = 1× 10-18s）研究飛秒和亞飛秒時間尺度上的超短激光脈沖與原子分子或固體相互作用時發(fā)生的電子動力學(xué)超快現(xiàn)象。強(qiáng)激光場聚焦在氣體或固體介質(zhì)上會產(chǎn)生高次諧波，高次諧波是一種非微擾的高階非線性過程［4-8］。結(jié)合精確可控制的近紅外（near-infrared，NIR）場，由高次諧波轉(zhuǎn)換的極紫外（extreme-ultraviolet，XUV）阿秒脈沖已成功用于研究物質(zhì)中電子的動力學(xué)過程。具體的技術(shù)思路是：XUV 阿秒脈沖和NIR 脈沖分別作為泵浦光和探測光，在精確控制兩種激光脈沖之間的相對延時后共同與物質(zhì)相互作用，通過觀測阿秒光電子譜圖以實現(xiàn)對電子運動的實時探測。近十多年來，阿秒光電子譜技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于研究固體與原子目標(biāo)中的時間分辨光電子發(fā)射［9］。

在激光與固體相互作用的過程中，束縛態(tài)電子在吸收光子后從固體表面出射，通常利用經(jīng)典輸運模型來解釋從阿秒光電子譜圖中提取的光電子發(fā)射時間。2015 年瑞士U.Keller 研究組開展了基于能量依賴的Ag（111）和Au（111）金屬表面發(fā)射時間的研究，利用XUV 阿秒脈沖泵浦- NIR 激光脈沖探測技術(shù)首次觀測到凝聚態(tài)系統(tǒng)中的亞周期動力學(xué)。他們的研究揭示了Ag（111）表面4d 能帶和Au（111）表面5d 能帶的發(fā)射時間極端依賴于光電子能量，與經(jīng)典輸運模型的預(yù)測大不相同［10］。最近的理論研究發(fā)現(xiàn)光電子發(fā)射時間依賴于固體中的能量色散關(guān)系，并揭示了固體中光電子輸運時間與可觀測到的光電子發(fā)射時間之間的尺度關(guān)系。通過光電子發(fā)射時間追溯到光電子在固體中積累的相位差，并且預(yù)測到負(fù)的光電子發(fā)射時間?；谏鲜霭l(fā)現(xiàn)，給出了一種時域的能量-動量-色散成像方法［11］。但由于研究中的模型勢采用了均勻場，并不是真實金屬內(nèi)部勢能，因此需要對模型勢進(jìn)行修正以便深入研究固體中的能量色散關(guān)系。

本文構(gòu)建了非局域勢為周期性勢阱的單晶金屬表面模型，用于近似真實的金屬內(nèi)部勢能。改變XUV 阿秒脈沖和NIR 脈沖之間的相對延時，通過量子力學(xué)數(shù)值模擬計算得到了阿秒光電子譜圖。發(fā)現(xiàn)光電子發(fā)射時間取決于勢阱深度和穿越金屬厚度，并且光電子發(fā)射時間與穿越金屬厚度存在顯著的非線性關(guān)系。這一發(fā)現(xiàn)證實了金屬內(nèi)部的能量色散關(guān)系強(qiáng)烈依賴周期性勢阱的具體形式。

1 理論方法和模型

1.1 求解一維含時薛定諤方程

一維含時薛定諤方程，其解法具體如下。量子力學(xué)中描述粒子或系統(tǒng)隨時間演化的狀態(tài)都是用滿足含時薛定諤方程的波函數(shù)Ψ(t)來表示的（按原子單位處理）：

式中H表示系統(tǒng)的哈密頓算符，i為虛數(shù)單位。在笛卡爾坐標(biāo)下系統(tǒng)的哈密頓量H可以表示為：

這里H(t)是指作用在約化波函數(shù)Φ(t)=rΨ(t)上的哈密頓量，E(t) =EXUV(t)+EIR(t)為線偏振入射激光場。 其中EXUV(t)為XUV 激光場強(qiáng)度，EIR(t)為NIR 激光場強(qiáng)度。

求解含時薛定諤方程的步驟一般是先給設(shè)定初始波函數(shù)Φ(t= 0)，然后將初始波函數(shù)離散化，將時間演化算符作用在初始波函數(shù)上，經(jīng)過不斷的迭代演化就可以獲得任意時刻的末態(tài)波函數(shù)。即t時刻到t+ Δt時刻的含時演化波函數(shù)的關(guān)系表達(dá)為：

隨后經(jīng)過分裂算符方法，含時迭代得到末態(tài)波函數(shù)。

1.2 基于極紫外阿秒脈沖泵浦-近紅外激光脈沖探測的阿秒光電子譜技術(shù)

目前在阿秒時間尺度上探測電子的超快動力學(xué)過程，主要方法有阿秒條紋相機(jī)技術(shù)和雙色雙光子干涉技術(shù)［5-6］。在原子的情況下，已經(jīng)證明了雙色雙光子干涉技術(shù)和阿秒條紋相機(jī)技術(shù)都能提供相同光電子發(fā)射過程的時間信息。阿秒相機(jī)條紋技術(shù)使用的泵浦脈沖為單個阿秒脈沖，由于單個阿秒脈沖頻譜分布較寬，無法區(qū)分不同光電子末態(tài)動能對應(yīng)的干涉通道對光電子發(fā)射時間的影響。而雙色雙光子干涉技術(shù)使用XUV 阿秒脈沖鏈作為泵浦脈沖，阿秒脈沖鏈在頻譜上為分立的相鄰高次諧波，與觀測到的阿秒光電子譜圖中的一系列主峰相對應(yīng)。在NIR 探測場的作用下相鄰兩個主峰之間形成邊帶峰，不同主峰和邊帶峰對應(yīng)的干涉通道非常易于分辨。因此本文選取雙色雙光子干涉技術(shù)作為研究手段。

雙色雙光子干涉技術(shù)的具體原理是：XUV 阿秒脈沖鏈穿透金屬表面，金屬內(nèi)部的束縛態(tài)電子吸收兩相鄰的高次諧波，逃逸金屬表面時與紅外激光場作用，吸收較高次（較低次）諧波的電子波包放出（吸收）一個紅外光子，最終兩部分波包能量一致發(fā)生干涉而記錄傳播相位。改變XUV 阿秒脈沖與紅外脈沖之間的時間差，可以得到光電子末態(tài)動能譜與XUV 阿秒脈沖—紅外脈沖時間差之間的函數(shù)關(guān)系，即所謂的雙色雙光子干涉譜［12-13］。

1.3 金屬中的電子能量色散對光電子發(fā)射時間的影響

首先以非局域勢為均勻場的單晶金屬表面模型為例。利用依賴于能量的有效電子質(zhì)量來表示金屬中的電子色散，解析地揭示了其中的尺度規(guī)律［11］，即金屬內(nèi)電子輸運時間與光電子發(fā)射時間之間的線性關(guān)系：

其中ttr,2q+1表示在金屬內(nèi)部光電子傳播的時間，tpe,2q為從阿秒光電子譜圖中的邊帶峰擬合提取的光電子發(fā)射時間，t0,2q表示與樣本無關(guān)的偏移量。尺度因子α非常敏感地依賴于金屬內(nèi)有效電子質(zhì)量的比值R2q=me,2q-1/me,2q+1。紅外光子能量為ωIR，由高次諧波轉(zhuǎn)換的阿秒脈沖鏈中的2q- 1和2q+ 1 階諧波，對應(yīng)的光子能量分別為( 2q- 1)ωIR和( 2q+ 1)ωIR，所激發(fā)電子的有效質(zhì)量分別為me,2q-1和me,2q+1。除非另有說明，在本文中使用原子單位。

邊帶峰中心能量為kf2/2 =εi+ 2qωIR，εi記為系統(tǒng)的基態(tài)能量。吸收2q+ 1 階（2q- 1 階）諧波的電子波包放出（吸收）1 個紅外光子，兩部分電子波包能量一致發(fā)生干涉形成邊帶峰，不同干涉通道之間的總相位差為ΔΦ2q= Δξ2q(z) - Δφ2q- π -2ωIRτ。其中Δφ2q=φ2q+1-φ2q-1，π 表示紅外光子的發(fā)射和吸收過程之間的相對相位。假設(shè)初始位置為z= 0，邊帶峰的不同干涉通道之間的空間傳播相位差為：

其中，d為局域電子晶格吸引勢逐漸趨于零的區(qū)域，dW為金屬薄片厚度。金屬內(nèi)部的光電子動量為，與此相對應(yīng)的光電子能 量 為ε2q±1=εi+( )2q± 1ωIR，有 效 電 子 質(zhì) 量me,2q±1表示色散對金屬內(nèi)部傳播的電子波包的影響。群速度，金屬內(nèi)電子輸運時間ttr,2q+1=dwvg,2q+1。公式（4）中與樣本無關(guān)的偏移量為：

尺度因子為：

通過分離金屬中電子的激發(fā)過程和傳播過程，在圖1 中明確地演示了金屬內(nèi)部的非局域電子勢如何影響干涉測量的光電子發(fā)射時間。研究思路是：金屬內(nèi)部的束縛態(tài)電子吸收1 個XUV 光子躍遷到連續(xù)態(tài)，先穿過厚度為d的區(qū)域，勢能逐漸趨于穩(wěn)定；再穿過厚度為dw的金屬薄片到達(dá)表面，光電子吸收或放出1 個紅外光子后被探測器檢測到，紅外探測場被金屬中的電子屏蔽在金屬表面。

圖1 金屬模型勢能圖Fig.1 Potential energy diagram of metal model

2 結(jié)果與討論

單晶金屬由許多原子有序排列而成，金屬內(nèi)部局域的束縛態(tài)電子被激發(fā)到連續(xù)態(tài)后暴露在非局域的電子晶格彈性勢中［14-15］。為了更加接近真實的金屬內(nèi)部勢能，將金屬表面模型中均勻場改為周期性勢阱進(jìn)行討論。

如圖1 所示，d為局域電子晶格吸引勢逐漸趨于零的區(qū)域，dw為金屬薄片厚度。da,dc為金屬晶格參數(shù)，Zs為介于金屬薄片與真空之間的表面位置。在金屬薄片區(qū)域，實例A 描述金屬內(nèi)部光電子的自由傳播，實例B 描述光電子在周期性勢阱下的色散傳播過程。通過調(diào)整勢阱深度（勢壘高度）U可改變光電子色散。 選取Yukawa potential 的原子模型吸引勢作為系統(tǒng)的初始態(tài)，將局域電子晶格吸引勢逐漸趨于零的區(qū)域設(shè)為d= 15［16］，使得勢能趨于穩(wěn)定后光電子進(jìn)入金屬內(nèi)部。實例A（實例B）表示金屬內(nèi)部的束縛態(tài)電子吸收1 個能量為51ωIR（49ωIR）的XUV 光子躍遷到連續(xù)態(tài)，光電子到達(dá)金屬表面后放出（吸收）1 個能量為ωIR的紅外光子。最終兩部分光電子波包獲得相同的末態(tài)動能從而發(fā)生干涉形成邊帶峰。

紅外探測場的波長設(shè)為800 nm，強(qiáng)度設(shè)為1 × 1011W/cm2。量子力學(xué)數(shù)值模擬中采用的空間網(wǎng)格步長為dx=0.1，時間步長為Δt= 0.01。計算得到的阿秒光電子譜圖如圖2（a）中所示，其中垂直短實線表示以延時τ= 0 為參考的光電子發(fā)射時間。擬合觀測到的阿秒光電子譜圖中的邊帶峰即可提取光電子發(fā)射時間［17］。

如圖2（b）中所示，在晶格常數(shù)為da= 3,dc=2 時，由上至下3 條實線分別表示勢阱深度（勢壘高度）分別為U=5、0、-5 eV 的情況下光電子發(fā)射時間隨穿越金屬厚度的變化。垂直虛線表示當(dāng)金屬厚度dw= 20 時，從阿秒光電子譜圖擬合提取的光電子發(fā)射時間。在本科研團(tuán)隊之前的研究中，模型采用了均勻場，忽略金屬內(nèi)部非局域的電子晶格彈性勢對電子的影響，把排成晶格的正離子近似當(dāng)作是均勻抹平的連續(xù)正電荷分布。而在本文中，將非局域勢改為更加接近真實金屬內(nèi)部勢能的周期性勢阱。圖2 中的實線說明光電子發(fā)射時間隨穿越金屬厚度的變化呈現(xiàn)顯著的非線性關(guān)系（虛線為一般線性關(guān)系，與實線形成對比），這與采用了均勻場的模型所表現(xiàn)出的線性關(guān)系有很大不同。

圖2 （a）勢能U=5 eV，勢能U=0 eV 和勢能U=-5 eV 時末態(tài)光電子譜圖；（b）光電子發(fā)射時間隨金屬厚度的變化Fig.2 （a）Final state photoelectron spectrograms at potential energies of 5 eV，0 eV and-5 eV；（d）variation of photoelectron emission time with metal thickness

光電子發(fā)射時間隨金屬晶格常數(shù)和勢阱深度的變化情況如圖3 所示，圖3 中虛線為各情況下一般線性關(guān)系，以作各種情況下的對比。當(dāng)勢阱深度為-10 eV 時，隨著金屬厚度的增大，光電子發(fā)射時間與穿越金屬厚度的非線性變化趨于平滑。減小勢阱深度直至-5 eV 時，光電子發(fā)射時間隨穿越金屬厚度的變化呈現(xiàn)顯著的非線性關(guān)系，說明金屬內(nèi)部的色散關(guān)系強(qiáng)烈依賴于周期性勢阱的深度。

圖3 光電子發(fā)射時間隨金屬晶格常數(shù)和勢阱深度的變化Fig.3 Variation of photoelectron emission time with metal lattice constant and potential well depth

3 結(jié) 論

在本科研團(tuán)隊之前研究工作基礎(chǔ)上將模型勢修正為與真實固體內(nèi)部相一致的周期性勢能，以便更廣泛地探究阿秒光電子發(fā)射時間與其能量色散之間的關(guān)系。通過數(shù)值模擬求解一維含時薛定諤方程，得到末態(tài)光電子能譜圖，并對能譜圖進(jìn)行擬合以提取光電子發(fā)射時間。結(jié)果顯示光電子發(fā)射時間強(qiáng)烈依賴于金屬勢能，尤其是與穿越金屬厚度存在顯著非線性關(guān)系。在以后工作中，可進(jìn)一步確定周期勢模型所對應(yīng)的能量色散關(guān)系，從而能夠更全面地分析光電子發(fā)射時間與能量色散的關(guān)系。