復(fù)合干擾下永磁球形電機的全階滑?？刂?/h1>
2022-06-30 06:56:56王群京李國麗
南京航空航天大學(xué)學(xué)報 2022年3期
王 松，王群京,2，李國麗,3，文 彥
（1.安徽大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，合肥 230601；2.安徽大學(xué)高節(jié)能電機及其控制技術(shù)國家地方聯(lián)合實驗室，合肥 230601；3.安徽大學(xué)工業(yè)節(jié)電與用電安全安徽省重點實驗室，合肥 230601；4.安徽大學(xué)工業(yè)節(jié)電與電能質(zhì)量控制安徽省級協(xié)同創(chuàng)新中心，合肥 230601；5.安徽大學(xué)互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，合肥 230601）
近年來，隨著工業(yè)技術(shù)的快速發(fā)展，多自由度球形電機的設(shè)計和研究引起了全世界的廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的多自由度伺服裝置是通過控制多臺單軸電機并結(jié)合復(fù)雜的齒輪結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)的，這不可避免地會導(dǎo)致系統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)復(fù)雜、體積龐大，造成動態(tài)響應(yīng)慢、精確度降低和缺乏靈活性等問題。為了克服這些缺點，研究人員提出了能在單臺電機上實現(xiàn)三自由度運動的球形電機。與傳統(tǒng)的多自由度伺服裝置相比，球形電機具有結(jié)構(gòu)緊湊、直接驅(qū)動和良好的動態(tài)性能等優(yōu)點。
為實現(xiàn)球形電機的多自由度運動，有必要設(shè)計具有良好動態(tài)性能的控制算法。文獻［1］將比例微分（Proportional derivative，PD）控制應(yīng)用于球形電機中，由于球形電機動力學(xué)模型中含有復(fù)雜的非線性項，PD 控制的有效性難以保證。文獻［2］提出了一種計算轉(zhuǎn)矩控制法，用于解耦和線性化球形電機的動力學(xué)模型，但其忽略了建模誤差和外部干擾，影響了其控制性能。為了避免依賴精確的動力學(xué)模型，文獻［3-5］提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識別和模糊控制器的動態(tài)解耦算法，但模糊控制計算量較大，限制了其工業(yè)應(yīng)用。除了智能控制和經(jīng)典控制外，文獻［6］提出了自適應(yīng)反演滑?？刂撇呗裕Y(jié)合新穎趨近率抑制抖振問題，但傳統(tǒng)的反演方法將引起“導(dǎo)數(shù)項爆炸”，增加微處理器的計算負擔(dān)。文獻［7］提出了一種動態(tài)解耦控制策略，通常動態(tài)解耦控制依賴高精度的物理模型，不可避免的建模誤差很可能導(dǎo)致令人不滿的性能。文獻［8］提出了基于動態(tài)表面法的魯棒自適應(yīng)滑?？刂?，避免了傳統(tǒng)反推方法引起的狀態(tài)導(dǎo)數(shù)項爆炸問題，但自適應(yīng)在線估計存在較大的估計誤差和較長的估計過程，應(yīng)用于強耦合運動系統(tǒng)通常會導(dǎo)致較差的響應(yīng)。
滑?？刂剖且环N魯棒控制方法，具有對建模誤差和不確定性干擾不敏感的優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)中［9-11］。傳統(tǒng)的滑模控制由于階數(shù)減少，其理想滑動模態(tài)不能完整地表達系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此提出了全階滑?？刂疲?2］。近年來，提出了一種利用干擾觀測器處理干擾和建模不確定性的方法，隨著干擾觀測器的發(fā)展，滑?？刂萍夹g(shù)與干擾觀測器的結(jié)合應(yīng)用得到了研究人員的廣泛關(guān)注［13-14］。文獻［15］提出了一種有限時間干擾觀測器，能夠在有限時間內(nèi)快速、準(zhǔn)確地提供跟蹤干擾能力。
本文針對一種永磁球形電機運動系統(tǒng)，提出了一種基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂品椒?。有限時間干擾觀測器用來估計復(fù)合干擾；設(shè)計全階滑模面，使永磁球形電機的理想滑模運動表達其全階動態(tài)特性；設(shè)計連續(xù)滑?？刂坡桑诳刂戚斎攵搜a償其復(fù)合干擾，獲得良好的跟蹤性能和動態(tài)特性。最后，通過與PD 控制和傳統(tǒng)滑?？刂品抡鎸Ρ?，驗證了所提控制算法的優(yōu)越性。
1 永磁球形電機結(jié)構(gòu)及動力學(xué)建模
1.1 永磁球形電機結(jié)構(gòu)
文獻［16］提出的新型永磁球形電機整體結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，轉(zhuǎn)子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1（b）所示。該電機主要由一個球形轉(zhuǎn)子、一個由兩個半球殼組成的定子以及固定在轉(zhuǎn)子上的輸出軸組成。在轉(zhuǎn)子上沿赤道對稱均勻分布了4 層永磁體，每層分別有10 個釹鐵硼材料的永磁體。這些圓柱型的永磁體鑲嵌在轉(zhuǎn)子上，N 級和S 級交錯排列。定子上沿赤道均勻鑲嵌兩層空心線圈，每層共有12 個圓柱型線圈。
圖1 PMSA 的機械結(jié)構(gòu)Fig.1 Mechanical structure of PMSA
永磁球形電機由轉(zhuǎn)子中的永磁體和定子通電線圈相互作用產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩驅(qū)動。在期望的線圈通電驅(qū)動控制下，轉(zhuǎn)子能夠產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)其傾斜、俯仰和自旋三自由度運動。實驗樣機如圖2 所示。
圖2 永磁球形電機實驗樣機Fig.2 Experimental prototype of PMSA
1.2 動力學(xué)建模
為建立永磁球形電機的動力學(xué)模型，引入定子坐標(biāo)系XYZ和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系uvw。坐標(biāo)系XYZ位于定子球殼上，坐標(biāo)系uvw固定在轉(zhuǎn)子球體上。轉(zhuǎn)子球所確定的位置變化可以用廣義歐拉角（α，β，γ）表示。圖3 描述了轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系uvw可由定子坐標(biāo)系XYZ經(jīng)過3 次旋轉(zhuǎn)得到。兩坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣Rrs如式（1）所示。
圖3 坐標(biāo)變換Fig.3 Coordinate transformation
結(jié)合拉格朗日第2 方程，永磁球形電機的動力學(xué)模型為
式中：Iu、Iv和Iw分別表示繞u軸、v軸和w軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。從永磁球形電機的機械結(jié)構(gòu)容易得出，轉(zhuǎn)子沿輸出軸方向上是嚴格對稱的，故Iu=Iv≠Iw，設(shè)Iu=Iv=Iuv。
永磁球形電機建模過程中，不可避免地會存在建模誤差。為了量化建模誤差，實際慣性矩陣和實際哥氏力及離心力矩陣分別定義為
式中：r1和r2分別為線性建模誤差系數(shù)。在實際系統(tǒng)中，這兩個系數(shù)的范圍為-1 ＜r1，r2＜1。
考慮上述因素，將永磁球形電機動力學(xué)模型（2）改寫為
式中d表示永磁球形電機運動系統(tǒng)中復(fù)合干擾力矩
其包括外界干擾，負載力矩和模型不確定性。
式（8）中所定義的數(shù)學(xué)模型，具有以下性質(zhì)：
性質(zhì)1 慣性矩陣M(q)是對稱，有界和正定的。
2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析
永磁球形電機在操作過程中存在包括外界干擾、未知有效載荷和建模誤差等復(fù)合干擾，這些不利干擾將會在很大程度上降低永磁球形電機的動態(tài)特性。為此，提出一種有限時間干擾觀測器，能夠使復(fù)合干擾的觀測值在有限時間內(nèi)收斂到其實際值。控制器結(jié)構(gòu)如圖4 所示。
圖4 所提控制器流程圖Fig.4 Schematic of the proposed controller
2.1 有限時間干擾觀測器
為了設(shè)計有限時間干擾觀測器，首先，定義永磁球形電機的廣義動量為p=M(q)?，則
將式（8，10）代入式（11），可得
根據(jù)有限時間干擾觀測器（13），使用收斂分析法檢測該干擾觀測器的穩(wěn)定性和收斂性。觀測誤差定義為
2.2 基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂?/h3>
基于所提的有限時間干擾觀測器，設(shè)計基于有限時間干擾觀測的全階滑模控制方法處理復(fù)合干擾。首先，定義永磁球形電機系統(tǒng)的跟蹤誤差為
式中qd分別為期望的軌跡及其角速度。
設(shè)計全階滑模面如下
式中η1、η2為正常數(shù)。
2.3 穩(wěn)定性分析
定理1 對于在滑?？刂坡剩?7）下具有全階滑模面（16）的永磁球形電機系統(tǒng)（8），永磁球形電機的軌跡跟蹤誤差e將在有限時間內(nèi)收斂到原點。
證明 根據(jù)永磁球形電機系統(tǒng)（8）和全階滑模面（16）獲得閉環(huán)全階滑模動態(tài)特性。
取全階滑模面（16）對時間的導(dǎo)數(shù)，可得
將控制率（17）代入式（18），得
式中e1=M-1(q)(d-?)=M-1(q)ed。根據(jù)2.1節(jié)可知，觀測誤差ed將在有限時間內(nèi)收斂到原點，因此e1將在有限時間內(nèi)收斂到原點。
（1）證明在有限時間內(nèi)，t＜t1，誤差e1不會將滑動變量s推動到無窮大。為式（19）定義一個函數(shù)
下面，證明式（20）在有限時間內(nèi)有界。對式（20）求導(dǎo)，得
式（21）表明：V1和s不會在有限時間內(nèi)發(fā)散到無窮大。
（2）證明滑動變量s將在有限時間內(nèi)收斂到s=0。
因為滑動變量s不會在有限時間內(nèi)發(fā)散到無窮大，又有e1將在有限時間內(nèi)收斂到原點，當(dāng)t＞t1時，可將式（19）簡化為
根據(jù)文獻［17］可知，滑動變量s及其導(dǎo)數(shù)s?將在有限時間內(nèi)收斂到原點。
（3）證明滑動變量s在任意有限時間內(nèi)不會將誤差e，e?驅(qū)動到無窮大。
根據(jù)全階滑模面（16），可以得到永磁球形電機系統(tǒng)的誤差動態(tài)特性
為式（23）定義一個方程
下面，證明V2在有限時間內(nèi)有界，對式（24）求導(dǎo)，得
（4）證明永磁球形電機的軌跡跟蹤誤差e將在有限時間內(nèi)收斂到原點。
一旦滿足理想滑模面s=0，永磁球形電機的誤差動態(tài)方程為
或者為
此時，式（28）是永磁球形電機的全階動態(tài)特性，可以反映出永磁球形電機的全部動力學(xué)特征。
如果選擇參數(shù)α1、α2滿足不等式α1=α2/(2-α2)，α2∈(0，1)，Λ1、Λ2中的元素確保多項式p2+λ2i p+λ1i(i=1，2，3)為赫維茲穩(wěn)定。則系統(tǒng)（28）可以在有限時間內(nèi)從任何初始條件沿著全階滑模面收斂到平衡點［12］。
至此，完成了定理1 的證明。
3 仿真分析
影響永磁球形電機軌跡跟蹤性能的兩個重要因素：建模誤差和干擾。本節(jié)主要通過對這兩方面進行仿真以評估所提控制器的性能。
根據(jù)第1 節(jié)中永磁球形電機的實際尺寸和結(jié)構(gòu)參數(shù)，仿真計算出其轉(zhuǎn)動慣量
設(shè)期望軌跡為
系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為
根據(jù)式（9），將建模誤差設(shè)置為
外界干擾設(shè)置為
式中m為(-0.03，0.03)之間的隨機數(shù)。
負載力矩設(shè)置為
式中，L為負載力矩的系數(shù)。
所提控制器參數(shù)如下。有限時間干擾觀測器增益矩陣選擇為Γ1=diag{200，200，200}、Γ2=diag{10 000，10 000，10 000}，功率系數(shù)選擇為a1=0.8，a2=0.9。全階滑模面增益矩陣選擇Λ1=diag{56，56，56}，Λ2=diag{15，15，15}，功率系數(shù)選擇為α1=11/13，α2=11/12，η1=5，η2=15。
在相同的期望軌跡和外界干擾下，3.1 節(jié)和3.2節(jié)分別設(shè)計為在相同負載力矩情況下改變模型不確定性和在相同模型不確定下改變負載力矩的仿真實驗。為了比較分析，設(shè)計了3種控制方案：（1）所提的基于干擾觀測器的全階滑模控制（Finite-time disturbance observer based full-order sliding-mode control FTDO-FOSMC）；（2）PD 控制；（3）傳統(tǒng)的滑?？刂疲⊿liding mode control，SMC）。
3.1 不同模型不確定性下仿真結(jié)果分析
本節(jié)將負載力矩系數(shù)L設(shè)置為0，改變建模不確定性系數(shù)r從0.1～0.5。
圖5、6 分別顯示了3 種控制器在永磁球形電30%建模不確定下的軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差響應(yīng)。從圖5、6 可知，存在模型不確定的情況下，PD控制和傳統(tǒng)SMC 與本文所提FTDO-FSCM 方法相比，實際軌跡與期望軌跡之間存在較大的誤差，在2 s 時，3 種控制方法的歐拉角的穩(wěn)態(tài)誤差絕對值分別為0.004，0.008，0.003 1；0.002，0.003，0.001 3和1.2e-5，1.4e-5，1.1e-4。由此可知，本文所提控制方法具有更好的跟蹤性能，實際軌跡非常接近期望軌跡。
圖5 位置響應(yīng)（L=0，r=0.3）Fig.5 Response curves of position (L=0, r=0.3)
圖6 軌跡跟蹤誤差響應(yīng)（L=0，r=0.3）Fig.6 Response curves of tracking error (L=0, r=0.3)
為了更直觀地比較3 個控制器的性能，圖7 給出了永磁球形電機在3 種控制器作用下穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差（Root mean square error，RMSE），其中，負載系數(shù)L=0，建模不確定性系數(shù)r從0.1～0.5。從圖7 可知，當(dāng)建模不確定系數(shù)r=0.3 時，在本文設(shè)計的FTDO-FOSMC 控制，PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，其歐拉角的穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差分別為6.3e-6，6.5e-6，1.0e-5；7.2e-3，7.0e-3，4.5e-3 和1.5e-3，2.9e-4，1.e-3。由此可知，在FTDO-FOSMC 控制策略下，永磁球形電機的跟蹤誤差收斂精度遠大于PD 控制方法和傳統(tǒng)SMC方法；且隨著r的增大，使用FTDO-FOSMC的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 變化要小于使用PD控制方法和傳統(tǒng)SMC 方法。表明在建模不確定下本文設(shè)計的FTDO-FOSMC 具有很強的適應(yīng)性和魯棒性。
3.2 不同負載力矩下仿真結(jié)果分析
本節(jié)中，將建模不確定性系數(shù)r設(shè)置為0.2，負載力矩系數(shù)L從1～5 變化。
圖8、9 分別顯示了3 種控制器在永磁球形電機負載力矩系數(shù)L=3 時，軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差響應(yīng)。結(jié)果表明在PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，存在較大穩(wěn)態(tài)誤差，其歐拉角α、β、γ的最大穩(wěn)態(tài)誤差絕對值分別為0.015 8、0.014 7、0.030 2 和0.006、0.001 4、0.006 3。而在相同條件下，使用FTDO-FOSMC，其歐拉角穩(wěn)態(tài)誤差絕對值不大于5.3e-5，1.3e-4，1.8e-4。
圖7 3 種控制器下軌跡跟蹤誤差的均方根誤差(L=0)Fig.7 RMSE of trajectory tracking error under three controllers (L=0)
圖8 位置響應(yīng)(L=3, r=0.2)Fig.8 Response curves of position (L=3, r=0.2)
圖10給出了負載轉(zhuǎn)矩系數(shù)L從1～5時，3種控制器下穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差。顯然，F(xiàn)TDO-FOSMC的收斂精度在3 種控制器中最高。例如，當(dāng)L=3時，在FTDO-FOSMC 控制下，歐拉角α、β、γ的穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 為6.2e-6、6.6e-6、1.0e-5。而使用PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，其穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 分別為9.0e-3、8.2e-3、7.8e-3 和3.0e-3、9.5e-4、2.9e-3。仿真結(jié)果驗證了所提控制器在外部載荷下軌跡跟蹤的準(zhǔn)確性和魯棒性。
圖9 軌跡跟蹤誤差響應(yīng)(L=3, r=0.2)Fig.9 Response curves of tracking error (L=3, r=0.2)
更進一步，圖11 為在所提控制器、PD 控制和傳統(tǒng)SMC 下控制力矩輸入量。顯而易見，采用FTDO-FOSMC 控制時，系統(tǒng)在3 個方向上輸入的控制力矩曲線均較為平滑，能夠有效抑制抖振。而采用傳統(tǒng)SMC 控制時，輸出的控制力矩則存在較大程度的抖振現(xiàn)象。PD 控制的初始轉(zhuǎn)矩為所提控制器的3 倍以上，抖振情況嚴重時，必然會對電機本體造成損害，同時會降低系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度，增大控制難度。較大的初始轉(zhuǎn)矩將增大控制硬件負擔(dān)。
3.3 實驗
圖10 3 種控制器下軌跡跟蹤誤差的均方根誤差(r=0.2)Fig.10 RMSE of trajectory tracking error under three controllers (r=0.2)
圖11 控制力矩輸入(L=3, r=0.2)Fig.11 Control torque input (L=3, r=0.2)
圖12 顯示的實驗平臺用于驗證所提控制策略的有效性，其主要由永磁球形電機樣機、上位機、位置檢測裝置和電流驅(qū)動裝置組成。在實驗中，為了易于觀察控制性能，選擇在XY平面中執(zhí)行圓形軌跡，其軌跡為
實驗中，將FTDO-FOSMC 控制與PD 控制相比較研究。圖13（a，b）分別顯示了PD 控制的軌跡跟蹤和相應(yīng)的跟蹤誤差。顯然歐拉角α，β的軌跡跟蹤誤差最大值均大于1.1°，跟蹤性能較差。圖14（a）顯示了FTDO-FOSMC 控制的軌跡跟蹤性能，圖14（b）顯示了其軌跡跟蹤誤差，由圖14 可知，實際軌跡較符合期望軌跡，并且歐拉角α、β的最大軌跡跟蹤誤差均小于0.63°。實驗結(jié)果表明，所提控制器對復(fù)合干擾進行了有效的補償，具有良好的魯棒性和軌跡跟蹤性能。
圖12 實驗平臺Fig12 Experimental platform
圖13 PD 控制下軌跡跟蹤響應(yīng)Fig.13 Trajectory tracking response under PD control
圖14 FTDO-FOSMC 控制下軌跡跟蹤響應(yīng)Fig.14 Trajectory tracking response under FTDO-FOSMC control
4 結(jié)論
本文主要研究受復(fù)合干擾影響下的永磁球形電機軌跡跟蹤控制。針對復(fù)合干擾，提出了一種基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂扑惴?。有限時間干擾觀測器對復(fù)合干擾進行了實時估計，全階滑?？刂扑惴ㄊ褂来徘蛐坞姍C的理想滑模運動具有完整的動態(tài)特性。仿真結(jié)果表明，在不同的復(fù)合干擾下，所提出的控制算法能夠以較小的誤差實現(xiàn)軌跡跟蹤，具有良好的魯棒性和抗干擾能力，并能夠有效抑制控制輸入的抖振現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明，使用所提控制算法穩(wěn)態(tài)軌跡跟蹤誤差小于0.63°，比常規(guī)的PD 控制算法減少約50%。因此，所提控制算法能夠?qū)崿F(xiàn)永磁球形電機良好的跟蹤性能，為永磁球形電機未來在工程中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。
王 松，王群京,2，李國麗,3，文 彥
（1.安徽大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，合肥 230601；2.安徽大學(xué)高節(jié)能電機及其控制技術(shù)國家地方聯(lián)合實驗室，合肥 230601；3.安徽大學(xué)工業(yè)節(jié)電與用電安全安徽省重點實驗室，合肥 230601；4.安徽大學(xué)工業(yè)節(jié)電與電能質(zhì)量控制安徽省級協(xié)同創(chuàng)新中心，合肥 230601；5.安徽大學(xué)互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，合肥 230601）
近年來，隨著工業(yè)技術(shù)的快速發(fā)展，多自由度球形電機的設(shè)計和研究引起了全世界的廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的多自由度伺服裝置是通過控制多臺單軸電機并結(jié)合復(fù)雜的齒輪結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)的，這不可避免地會導(dǎo)致系統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)復(fù)雜、體積龐大，造成動態(tài)響應(yīng)慢、精確度降低和缺乏靈活性等問題。為了克服這些缺點，研究人員提出了能在單臺電機上實現(xiàn)三自由度運動的球形電機。與傳統(tǒng)的多自由度伺服裝置相比，球形電機具有結(jié)構(gòu)緊湊、直接驅(qū)動和良好的動態(tài)性能等優(yōu)點。
為實現(xiàn)球形電機的多自由度運動，有必要設(shè)計具有良好動態(tài)性能的控制算法。文獻［1］將比例微分（Proportional derivative，PD）控制應(yīng)用于球形電機中，由于球形電機動力學(xué)模型中含有復(fù)雜的非線性項，PD 控制的有效性難以保證。文獻［2］提出了一種計算轉(zhuǎn)矩控制法，用于解耦和線性化球形電機的動力學(xué)模型，但其忽略了建模誤差和外部干擾，影響了其控制性能。為了避免依賴精確的動力學(xué)模型，文獻［3-5］提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識別和模糊控制器的動態(tài)解耦算法，但模糊控制計算量較大，限制了其工業(yè)應(yīng)用。除了智能控制和經(jīng)典控制外，文獻［6］提出了自適應(yīng)反演滑?？刂撇呗裕Y(jié)合新穎趨近率抑制抖振問題，但傳統(tǒng)的反演方法將引起“導(dǎo)數(shù)項爆炸”，增加微處理器的計算負擔(dān)。文獻［7］提出了一種動態(tài)解耦控制策略，通常動態(tài)解耦控制依賴高精度的物理模型，不可避免的建模誤差很可能導(dǎo)致令人不滿的性能。文獻［8］提出了基于動態(tài)表面法的魯棒自適應(yīng)滑?？刂?，避免了傳統(tǒng)反推方法引起的狀態(tài)導(dǎo)數(shù)項爆炸問題，但自適應(yīng)在線估計存在較大的估計誤差和較長的估計過程，應(yīng)用于強耦合運動系統(tǒng)通常會導(dǎo)致較差的響應(yīng)。
滑?？刂剖且环N魯棒控制方法，具有對建模誤差和不確定性干擾不敏感的優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)中［9-11］。傳統(tǒng)的滑模控制由于階數(shù)減少，其理想滑動模態(tài)不能完整地表達系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此提出了全階滑?？刂疲?2］。近年來，提出了一種利用干擾觀測器處理干擾和建模不確定性的方法，隨著干擾觀測器的發(fā)展，滑?？刂萍夹g(shù)與干擾觀測器的結(jié)合應(yīng)用得到了研究人員的廣泛關(guān)注［13-14］。文獻［15］提出了一種有限時間干擾觀測器，能夠在有限時間內(nèi)快速、準(zhǔn)確地提供跟蹤干擾能力。
本文針對一種永磁球形電機運動系統(tǒng)，提出了一種基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂品椒?。有限時間干擾觀測器用來估計復(fù)合干擾；設(shè)計全階滑模面，使永磁球形電機的理想滑模運動表達其全階動態(tài)特性；設(shè)計連續(xù)滑?？刂坡桑诳刂戚斎攵搜a償其復(fù)合干擾，獲得良好的跟蹤性能和動態(tài)特性。最后，通過與PD 控制和傳統(tǒng)滑?？刂品抡鎸Ρ?，驗證了所提控制算法的優(yōu)越性。
1 永磁球形電機結(jié)構(gòu)及動力學(xué)建模
1.1 永磁球形電機結(jié)構(gòu)
文獻［16］提出的新型永磁球形電機整體結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，轉(zhuǎn)子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1（b）所示。該電機主要由一個球形轉(zhuǎn)子、一個由兩個半球殼組成的定子以及固定在轉(zhuǎn)子上的輸出軸組成。在轉(zhuǎn)子上沿赤道對稱均勻分布了4 層永磁體，每層分別有10 個釹鐵硼材料的永磁體。這些圓柱型的永磁體鑲嵌在轉(zhuǎn)子上，N 級和S 級交錯排列。定子上沿赤道均勻鑲嵌兩層空心線圈，每層共有12 個圓柱型線圈。
圖1 PMSA 的機械結(jié)構(gòu)Fig.1 Mechanical structure of PMSA
永磁球形電機由轉(zhuǎn)子中的永磁體和定子通電線圈相互作用產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩驅(qū)動。在期望的線圈通電驅(qū)動控制下，轉(zhuǎn)子能夠產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)其傾斜、俯仰和自旋三自由度運動。實驗樣機如圖2 所示。
圖2 永磁球形電機實驗樣機Fig.2 Experimental prototype of PMSA
1.2 動力學(xué)建模
為建立永磁球形電機的動力學(xué)模型，引入定子坐標(biāo)系XYZ和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系uvw。坐標(biāo)系XYZ位于定子球殼上，坐標(biāo)系uvw固定在轉(zhuǎn)子球體上。轉(zhuǎn)子球所確定的位置變化可以用廣義歐拉角（α，β，γ）表示。圖3 描述了轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系uvw可由定子坐標(biāo)系XYZ經(jīng)過3 次旋轉(zhuǎn)得到。兩坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣Rrs如式（1）所示。
圖3 坐標(biāo)變換Fig.3 Coordinate transformation
結(jié)合拉格朗日第2 方程，永磁球形電機的動力學(xué)模型為
式中：Iu、Iv和Iw分別表示繞u軸、v軸和w軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。從永磁球形電機的機械結(jié)構(gòu)容易得出，轉(zhuǎn)子沿輸出軸方向上是嚴格對稱的，故Iu=Iv≠Iw，設(shè)Iu=Iv=Iuv。
永磁球形電機建模過程中，不可避免地會存在建模誤差。為了量化建模誤差，實際慣性矩陣和實際哥氏力及離心力矩陣分別定義為
式中：r1和r2分別為線性建模誤差系數(shù)。在實際系統(tǒng)中，這兩個系數(shù)的范圍為-1 ＜r1，r2＜1。
考慮上述因素，將永磁球形電機動力學(xué)模型（2）改寫為
式中d表示永磁球形電機運動系統(tǒng)中復(fù)合干擾力矩
其包括外界干擾，負載力矩和模型不確定性。
式（8）中所定義的數(shù)學(xué)模型，具有以下性質(zhì)：
性質(zhì)1 慣性矩陣M(q)是對稱，有界和正定的。
2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析
永磁球形電機在操作過程中存在包括外界干擾、未知有效載荷和建模誤差等復(fù)合干擾，這些不利干擾將會在很大程度上降低永磁球形電機的動態(tài)特性。為此，提出一種有限時間干擾觀測器，能夠使復(fù)合干擾的觀測值在有限時間內(nèi)收斂到其實際值。控制器結(jié)構(gòu)如圖4 所示。
圖4 所提控制器流程圖Fig.4 Schematic of the proposed controller
2.1 有限時間干擾觀測器
為了設(shè)計有限時間干擾觀測器，首先，定義永磁球形電機的廣義動量為p=M(q)?，則
將式（8，10）代入式（11），可得
根據(jù)有限時間干擾觀測器（13），使用收斂分析法檢測該干擾觀測器的穩(wěn)定性和收斂性。觀測誤差定義為
2.2 基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂?/h3>
基于所提的有限時間干擾觀測器，設(shè)計基于有限時間干擾觀測的全階滑模控制方法處理復(fù)合干擾。首先，定義永磁球形電機系統(tǒng)的跟蹤誤差為
式中qd分別為期望的軌跡及其角速度。
設(shè)計全階滑模面如下
式中η1、η2為正常數(shù)。
2.3 穩(wěn)定性分析
定理1 對于在滑?？刂坡剩?7）下具有全階滑模面（16）的永磁球形電機系統(tǒng)（8），永磁球形電機的軌跡跟蹤誤差e將在有限時間內(nèi)收斂到原點。
證明 根據(jù)永磁球形電機系統(tǒng)（8）和全階滑模面（16）獲得閉環(huán)全階滑模動態(tài)特性。
取全階滑模面（16）對時間的導(dǎo)數(shù)，可得
將控制率（17）代入式（18），得
式中e1=M-1(q)(d-?)=M-1(q)ed。根據(jù)2.1節(jié)可知，觀測誤差ed將在有限時間內(nèi)收斂到原點，因此e1將在有限時間內(nèi)收斂到原點。
（1）證明在有限時間內(nèi)，t＜t1，誤差e1不會將滑動變量s推動到無窮大。為式（19）定義一個函數(shù)
下面，證明式（20）在有限時間內(nèi)有界。對式（20）求導(dǎo)，得
式（21）表明：V1和s不會在有限時間內(nèi)發(fā)散到無窮大。
（2）證明滑動變量s將在有限時間內(nèi)收斂到s=0。
因為滑動變量s不會在有限時間內(nèi)發(fā)散到無窮大，又有e1將在有限時間內(nèi)收斂到原點，當(dāng)t＞t1時，可將式（19）簡化為
根據(jù)文獻［17］可知，滑動變量s及其導(dǎo)數(shù)s?將在有限時間內(nèi)收斂到原點。
（3）證明滑動變量s在任意有限時間內(nèi)不會將誤差e，e?驅(qū)動到無窮大。
根據(jù)全階滑模面（16），可以得到永磁球形電機系統(tǒng)的誤差動態(tài)特性
為式（23）定義一個方程
下面，證明V2在有限時間內(nèi)有界，對式（24）求導(dǎo)，得
（4）證明永磁球形電機的軌跡跟蹤誤差e將在有限時間內(nèi)收斂到原點。
一旦滿足理想滑模面s=0，永磁球形電機的誤差動態(tài)方程為
或者為
此時，式（28）是永磁球形電機的全階動態(tài)特性，可以反映出永磁球形電機的全部動力學(xué)特征。
如果選擇參數(shù)α1、α2滿足不等式α1=α2/(2-α2)，α2∈(0，1)，Λ1、Λ2中的元素確保多項式p2+λ2i p+λ1i(i=1，2，3)為赫維茲穩(wěn)定。則系統(tǒng)（28）可以在有限時間內(nèi)從任何初始條件沿著全階滑模面收斂到平衡點［12］。
至此，完成了定理1 的證明。
3 仿真分析
影響永磁球形電機軌跡跟蹤性能的兩個重要因素：建模誤差和干擾。本節(jié)主要通過對這兩方面進行仿真以評估所提控制器的性能。
根據(jù)第1 節(jié)中永磁球形電機的實際尺寸和結(jié)構(gòu)參數(shù)，仿真計算出其轉(zhuǎn)動慣量
設(shè)期望軌跡為
系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為
根據(jù)式（9），將建模誤差設(shè)置為
外界干擾設(shè)置為
式中m為(-0.03，0.03)之間的隨機數(shù)。
負載力矩設(shè)置為
式中，L為負載力矩的系數(shù)。
所提控制器參數(shù)如下。有限時間干擾觀測器增益矩陣選擇為Γ1=diag{200，200，200}、Γ2=diag{10 000，10 000，10 000}，功率系數(shù)選擇為a1=0.8，a2=0.9。全階滑模面增益矩陣選擇Λ1=diag{56，56，56}，Λ2=diag{15，15，15}，功率系數(shù)選擇為α1=11/13，α2=11/12，η1=5，η2=15。
在相同的期望軌跡和外界干擾下，3.1 節(jié)和3.2節(jié)分別設(shè)計為在相同負載力矩情況下改變模型不確定性和在相同模型不確定下改變負載力矩的仿真實驗。為了比較分析，設(shè)計了3種控制方案：（1）所提的基于干擾觀測器的全階滑模控制（Finite-time disturbance observer based full-order sliding-mode control FTDO-FOSMC）；（2）PD 控制；（3）傳統(tǒng)的滑?？刂疲⊿liding mode control，SMC）。
3.1 不同模型不確定性下仿真結(jié)果分析
本節(jié)將負載力矩系數(shù)L設(shè)置為0，改變建模不確定性系數(shù)r從0.1～0.5。
圖5、6 分別顯示了3 種控制器在永磁球形電30%建模不確定下的軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差響應(yīng)。從圖5、6 可知，存在模型不確定的情況下，PD控制和傳統(tǒng)SMC 與本文所提FTDO-FSCM 方法相比，實際軌跡與期望軌跡之間存在較大的誤差，在2 s 時，3 種控制方法的歐拉角的穩(wěn)態(tài)誤差絕對值分別為0.004，0.008，0.003 1；0.002，0.003，0.001 3和1.2e-5，1.4e-5，1.1e-4。由此可知，本文所提控制方法具有更好的跟蹤性能，實際軌跡非常接近期望軌跡。
圖5 位置響應(yīng)（L=0，r=0.3）Fig.5 Response curves of position (L=0, r=0.3)
圖6 軌跡跟蹤誤差響應(yīng)（L=0，r=0.3）Fig.6 Response curves of tracking error (L=0, r=0.3)
為了更直觀地比較3 個控制器的性能，圖7 給出了永磁球形電機在3 種控制器作用下穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差（Root mean square error，RMSE），其中，負載系數(shù)L=0，建模不確定性系數(shù)r從0.1～0.5。從圖7 可知，當(dāng)建模不確定系數(shù)r=0.3 時，在本文設(shè)計的FTDO-FOSMC 控制，PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，其歐拉角的穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差分別為6.3e-6，6.5e-6，1.0e-5；7.2e-3，7.0e-3，4.5e-3 和1.5e-3，2.9e-4，1.e-3。由此可知，在FTDO-FOSMC 控制策略下，永磁球形電機的跟蹤誤差收斂精度遠大于PD 控制方法和傳統(tǒng)SMC方法；且隨著r的增大，使用FTDO-FOSMC的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 變化要小于使用PD控制方法和傳統(tǒng)SMC 方法。表明在建模不確定下本文設(shè)計的FTDO-FOSMC 具有很強的適應(yīng)性和魯棒性。
3.2 不同負載力矩下仿真結(jié)果分析
本節(jié)中，將建模不確定性系數(shù)r設(shè)置為0.2，負載力矩系數(shù)L從1～5 變化。
圖8、9 分別顯示了3 種控制器在永磁球形電機負載力矩系數(shù)L=3 時，軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差響應(yīng)。結(jié)果表明在PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，存在較大穩(wěn)態(tài)誤差，其歐拉角α、β、γ的最大穩(wěn)態(tài)誤差絕對值分別為0.015 8、0.014 7、0.030 2 和0.006、0.001 4、0.006 3。而在相同條件下，使用FTDO-FOSMC，其歐拉角穩(wěn)態(tài)誤差絕對值不大于5.3e-5，1.3e-4，1.8e-4。
圖7 3 種控制器下軌跡跟蹤誤差的均方根誤差(L=0)Fig.7 RMSE of trajectory tracking error under three controllers (L=0)
圖8 位置響應(yīng)(L=3, r=0.2)Fig.8 Response curves of position (L=3, r=0.2)
圖10給出了負載轉(zhuǎn)矩系數(shù)L從1～5時，3種控制器下穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差。顯然，F(xiàn)TDO-FOSMC的收斂精度在3 種控制器中最高。例如，當(dāng)L=3時，在FTDO-FOSMC 控制下，歐拉角α、β、γ的穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 為6.2e-6、6.6e-6、1.0e-5。而使用PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，其穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 分別為9.0e-3、8.2e-3、7.8e-3 和3.0e-3、9.5e-4、2.9e-3。仿真結(jié)果驗證了所提控制器在外部載荷下軌跡跟蹤的準(zhǔn)確性和魯棒性。
圖9 軌跡跟蹤誤差響應(yīng)(L=3, r=0.2)Fig.9 Response curves of tracking error (L=3, r=0.2)
更進一步，圖11 為在所提控制器、PD 控制和傳統(tǒng)SMC 下控制力矩輸入量。顯而易見，采用FTDO-FOSMC 控制時，系統(tǒng)在3 個方向上輸入的控制力矩曲線均較為平滑，能夠有效抑制抖振。而采用傳統(tǒng)SMC 控制時，輸出的控制力矩則存在較大程度的抖振現(xiàn)象。PD 控制的初始轉(zhuǎn)矩為所提控制器的3 倍以上，抖振情況嚴重時，必然會對電機本體造成損害，同時會降低系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度，增大控制難度。較大的初始轉(zhuǎn)矩將增大控制硬件負擔(dān)。
3.3 實驗
圖10 3 種控制器下軌跡跟蹤誤差的均方根誤差(r=0.2)Fig.10 RMSE of trajectory tracking error under three controllers (r=0.2)
圖11 控制力矩輸入(L=3, r=0.2)Fig.11 Control torque input (L=3, r=0.2)
圖12 顯示的實驗平臺用于驗證所提控制策略的有效性，其主要由永磁球形電機樣機、上位機、位置檢測裝置和電流驅(qū)動裝置組成。在實驗中，為了易于觀察控制性能，選擇在XY平面中執(zhí)行圓形軌跡，其軌跡為
實驗中，將FTDO-FOSMC 控制與PD 控制相比較研究。圖13（a，b）分別顯示了PD 控制的軌跡跟蹤和相應(yīng)的跟蹤誤差。顯然歐拉角α，β的軌跡跟蹤誤差最大值均大于1.1°，跟蹤性能較差。圖14（a）顯示了FTDO-FOSMC 控制的軌跡跟蹤性能，圖14（b）顯示了其軌跡跟蹤誤差，由圖14 可知，實際軌跡較符合期望軌跡，并且歐拉角α、β的最大軌跡跟蹤誤差均小于0.63°。實驗結(jié)果表明，所提控制器對復(fù)合干擾進行了有效的補償，具有良好的魯棒性和軌跡跟蹤性能。
圖12 實驗平臺Fig12 Experimental platform
圖13 PD 控制下軌跡跟蹤響應(yīng)Fig.13 Trajectory tracking response under PD control
圖14 FTDO-FOSMC 控制下軌跡跟蹤響應(yīng)Fig.14 Trajectory tracking response under FTDO-FOSMC control
4 結(jié)論
本文主要研究受復(fù)合干擾影響下的永磁球形電機軌跡跟蹤控制。針對復(fù)合干擾，提出了一種基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂扑惴?。有限時間干擾觀測器對復(fù)合干擾進行了實時估計，全階滑?？刂扑惴ㄊ褂来徘蛐坞姍C的理想滑模運動具有完整的動態(tài)特性。仿真結(jié)果表明，在不同的復(fù)合干擾下，所提出的控制算法能夠以較小的誤差實現(xiàn)軌跡跟蹤，具有良好的魯棒性和抗干擾能力，并能夠有效抑制控制輸入的抖振現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明，使用所提控制算法穩(wěn)態(tài)軌跡跟蹤誤差小于0.63°，比常規(guī)的PD 控制算法減少約50%。因此，所提控制算法能夠?qū)崿F(xiàn)永磁球形電機良好的跟蹤性能，為永磁球形電機未來在工程中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。
