張滿穗

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?！彼膭t運算含義在兒童思維認知的建立過程是一個完整的抽象建模過程。幫助學(xué)生完整地經(jīng)歷這個過程，不僅能讓學(xué)生建立穩(wěn)固的四則運算含義知識基礎(chǔ)，更能讓學(xué)生體驗思想的感悟和經(jīng)驗的積累，得到數(shù)學(xué)基本思想的發(fā)展。

一、應(yīng)重視整數(shù)加減乘除含義建立的教學(xué)

首先，這是一個從具體到抽象的完整過程。“就一個具體數(shù)學(xué)概念的抽象過程，大體可以分為三個階段。第一階段是簡約階段：把握事物關(guān)于數(shù)量或者圖形的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化，給予清晰表達。第二階段是符號階段;去掉具體內(nèi)容，利用符號和關(guān)系術(shù)語，表達已經(jīng)簡約化的事物。第三階段是普適階段：通過假設(shè)和推理，建立法則、模式和模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規(guī)律。”小學(xué)低年段所學(xué)習(xí)的四則運算雖然是在自然數(shù)集內(nèi)總結(jié)的，但仍應(yīng)該符合數(shù)學(xué)概念的抽象規(guī)律。

其次，一、二年級學(xué)習(xí)的加減乘除，看起來簡單，甚至有不少學(xué)生覺得入學(xué)前都已經(jīng)會了。其實，真的會了嗎？他們明白的是運算法則，還是運算的含義？他們心里的所理解的運算含義清晰了嗎？事實上，學(xué)生對加減乘除運算已然不是一無所知。然而，其含義在他們的認知中仍是模糊的、片面的，含義和混算法則是混淆的。進入小學(xué)低年段才真正經(jīng)歷從“無”到“有”，從“模糊”到“清晰”的系統(tǒng)學(xué)習(xí)過程。例如簡單如加法，部編版教科書是這樣編排的：小丑左手拿著3個氣球，右手拿著2個氣球，然后兩只手上的氣球攏在一起，非常形象地展現(xiàn)了這個合并的過程。接著用點子圖，表示這個過程，最后用3+2=5表示。同時，列舉了鉛筆、車子等不同的生活情境反復(fù)再現(xiàn)這個抽象的過程。

再次，低年段建立的穩(wěn)固模型為高年段在擴充數(shù)集中運用模型打下堅實的基礎(chǔ)。中高年級的解決問題依賴前期四則運算含義模型的基礎(chǔ)。中年級時從生活問題中總結(jié)常用數(shù)量關(guān)系：速度×?xí)r間=路程，單價×數(shù)量=總價，如果低年段對四則運算模型建立十分穩(wěn)固，從實際情景中抽象出這些數(shù)量關(guān)系便順理成章了。到了高年級，各種復(fù)雜的問題，也是基本模型的復(fù)合變式，唯有根深蒂固的模型，才不會在紛繁復(fù)雜的問題情境中加減乘除地瞎蒙。

二、幫助學(xué)生建立穩(wěn)固模型的有效策略

（一）用操作開啟抽象的思維之門

首先是小丑左手抓著4個氣球，右手抓著1個氣球，然后左右手攏在一起合成了5個氣球。此情境用小圓片替代具體情境中的數(shù)量，左邊擺4個小圓片，右邊擺1個小圓片，然后把左右兩邊的小圓片推到一起，便完成了加法合并的含義。兒童在這個把左右兩邊推到一起的操作中，體驗著動態(tài)的“合并”。接著換情境，左邊花朵上停著3只蝴蝶，右邊又飛來2只蝴蝶也停到花朵上。讓兒童用小圓片表示出來，他們感知著：不同的事物，數(shù)量3和2合并都可以用小圓片來替代，并且動作都是一樣的。進而，繼續(xù)轉(zhuǎn)換數(shù)個情境和數(shù)量，例如筆筒里原有4支筆，又放進來1支筆，用小圓片表示。在反復(fù)地操作中，兒童對數(shù)量合并的動作越來越純熟，并且發(fā)現(xiàn)，情境只是這個動作的外衣，只要表示兩個數(shù)量合并在一起，都能用小圓片和相同的動作使之簡化。情境中的數(shù)量關(guān)系間的共性在兒童的一次次操作中被感知，抽象也在兒童的一次次操作中悄然推進了。

（二）用畫圖搭建主動建構(gòu)的基石

畫圖幫助兒童脫離操作，不斷提升抽象水平。根據(jù)簡約程度的不同我們常用的有兩種方法：一種是替代物圖，例如用小圓，小三角形代替;另一種是更為抽象的數(shù)量關(guān)系圖。由于一二年級兒童年齡較小，從替代物圖開始慢慢逐漸使用數(shù)量關(guān)系圖。

（三）用語言表達連通進入數(shù)學(xué)的橋梁。

從具體情境中抽象出四則運算的含義需要語言來承載。而低年級既有從日常語言向數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的困難，也有語言快速發(fā)展的優(yōu)勢。結(jié)合學(xué)生特點我們著重研究選擇學(xué)生易懂易說的語言以及如何讓學(xué)生能夠充分地說。結(jié)合操作與圖示，我們引導(dǎo)學(xué)生遇加法情境時說“要求……？就是求幾和幾合起來是多少”;遇到減法情境時說“要求……？就是求從幾里去掉幾是多少”;乘法則是“求幾個幾的和是多少”;除法要分兩種情況，等分除時，用“把幾平均分成幾份，求每份是多少”，包含除是用“求幾里有多少個幾”。

（四）用算式將模型簡約至符號

一、二年級初建模型，算式作為最為簡約的形式，為學(xué)生抽象建模過程打通最后的一環(huán)。其中最關(guān)鍵的便是運算符號，從情境到動作、圖再到語言所表達的含義，最終定格在算式的運算符號上。兒童從此獲得了印象深刻的含義與運算的對應(yīng)。操作、畫圖、語言、算式四個環(huán)節(jié)是有機結(jié)合在一起的。操作時應(yīng)配合語言表達，畫圖后也應(yīng)能說出運算的含義，并且應(yīng)經(jīng)歷多個情境反復(fù)建構(gòu)。

（五）在運用中反復(fù)再現(xiàn)模型

學(xué)習(xí)一種運算的含義課時并不多：加法和減法分別用2課時;乘法用3課時;除法稍微多一點，如果算上有余數(shù)除法，教材編排了5個課時。在這些課時里，學(xué)生雖然完整經(jīng)歷概念抽象的必須環(huán)節(jié)，但離建立穩(wěn)固模型相差甚遠，很容易被新的情境材料或者數(shù)集的擴充而干擾。加上記憶的規(guī)律，極易重返模糊狀態(tài)。因此，在后繼的解決實際問題當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)反復(fù)再現(xiàn)抽象過程。此時相對于操作，畫圖起到了更為高效表征作用。因此，在解決問題中，我們主要采用畫圖、表達、列式三個環(huán)節(jié)再現(xiàn)抽象過程，遇到特別難的情境時也會從操作開始。如此，在整個一、二年級甚至三年級的解決問題學(xué)習(xí)和練習(xí)中，學(xué)生得到了周而復(fù)此的情境到模型的對應(yīng)，四則運算的含義便在豐富的外延體例中建立穩(wěn)固了。

實踐表明，經(jīng)過以上策略的教學(xué)實施，學(xué)生不僅理解了四則運算的含義，而且畫圖表達和語言表達力強，在具體情境中數(shù)量關(guān)系的辨析力強，長時記憶穩(wěn)固。在后續(xù)進一步提煉生活實際問題中的常用數(shù)量關(guān)系更加順利，在隨后的學(xué)習(xí)中進一步提煉生活實際問題中的常用數(shù)量關(guān)系更加順利，運用四則運算解決問題時，對應(yīng)性強，靈活度好，自信心更足，學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力更足。

責(zé)任編輯 邱 麗2F9B4028-2A29-4BB9-8634-9651104434E5