許少華

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 若集合，A={x|x≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，則A∩B=（?? ）

A.{x|-1≤x≤1}???????? B.{x|x≥0}

C.{x|0≤x≤1}?????????? D. ？準

2. 設a是實數(shù)，且+是實數(shù)，則a=（?? ）

A. B. 1 C. D. 2

3. 如圖，一圓錐形物體的母線長為4，其側(cè)面積為4？仔，則這個圓錐的體積為（? ）

A. ?? B.

C. ？仔 D. ？仔

4. 若當x=？茲時，函數(shù)f（x）=3sinx+4cosx取得最大值，則cos？茲=（?? ）

A. B. C. - D. -

5. 若點O和點F（-2，0）分別為雙曲線-y2=1（a>0）的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為 （?? ）

A.[3-2，+∞）?????? B.[，+∞）

C.[-，+∞） ???? ??????????D.[3+2，+∞）

6. 已知函數(shù)f（x）=2cos（？棕x+？漬）+1（？棕>0，-≤？漬≤），其圖象與直線y=3相鄰兩個交點的距離為，若f（x）>1對任意x∈（-，）恒成立，則？漬的取值范圍是 （?? ）

A.[-，]?? B.[-，0]?? C.（-，-]?? D.[0，]

7. 對于任意正實數(shù)x，都有l(wèi)nx-aex-b+1≤0（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成立，求a+b的最小值為 （?? ）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球. 先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件. 再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則P（B）=（??? ）.

A. B. C. D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9.“微信運動”是騰訊開發(fā)的一個記錄跑步或行走情況步數(shù)里程的公眾號用戶通過該公眾號可查看自己某時間段的運動情況，某人根據(jù)2018年1月至2018年11月期間每月跑步的里程單位：十公里的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（?? ）

A. 月跑步里程逐月增加

B. 月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月

C. 跑步里程的中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù)

D. 1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)

10. 自平面上一點O引兩條射線OA，OB，點P在OA上運動，點Q在OB上運動且保持為定值a（點p，Q不與點O重合），已知AOB=，a=，則+的值可能是（?? ）

A. -1 B. -5 C. 1 D. 8

11. 古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名. 他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A、B的距離之比為定值？姿（？姿≠0）的點的軌跡是圓”. 后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓在平面直角坐標系xOy中A（-2，0），B（4，0），點P滿足=. 設點P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（?? ）

A. C的方程為（x+4）2+y2=9

B. 在x軸上存在異于A、B的兩定點D、E，使得=

C. 當A、B、P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線

D. 在C上存在點M，使得MO=2MA

12. P為正方體ABCD-A1B1C1D1對角線BD1上的一點，且BP=？姿BD1（？姿∈（0，1））. 下面結(jié)論正確的是（?? ）

A. A1D⊥C1P

B. 若BD1平面PAC，則？姿=

C. 若△PAC為鈍角三角形，則？姿∈（0，）

D. 若？姿∈（，1），則△PAC為銳角三角形

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13. 已知 f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且 f（x+1）=-. 若當x∈[-1，3）時， f（x）=6-x，則 f（173）________.

14. 已知點E在 y軸上，點F是拋物線y2=2px（p>0）的焦點，直線EF與拋物線交于M，N兩點，若點M為線段EF的中點，且NF=12，則p=____________.

15. 若對任意的x∈D，均有g(shù)（x）≤f（x）≤h（x）成立，則稱函數(shù)f（x）為函數(shù)g（x）到函數(shù)h（x）在區(qū)間D上的“任性函數(shù)”，函數(shù)f（x）=kx，g（x）=x2-2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在區(qū)間[1，e]上的“任性函數(shù)”，則實數(shù)k的取值范圍是 ______ .

16. 如圖，一粒子在區(qū)域{（x，y）|x≥0，y≥0}上運動，在第一秒內(nèi)它從原點運動到點B1（0，1），接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度則粒子從原點運動到點P（16，44）時所需的時間為____. 粒子從原點開始運動，經(jīng)過2004秒后，它所處的坐標為________________.

四、解答題：本題共6小題，共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知數(shù)列{an}滿足a1=2，前n項和為Sn，

an+1=pan+n-1，（n為奇數(shù)）-an-2n，（n為偶數(shù)）

（1）若數(shù)列{bn}滿足bn=a2n+a2n+1（n≥1），試求數(shù)列{bn}前n項和Tn .

（2）若數(shù)列{cn}滿足cn=a2n，試判斷{cn}是否為等比數(shù)列，并說明理由.

18.（本小題滿分12分）

袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1，2，3，4）. 現(xiàn)從袋中任取一球. ？孜表示所取球的標號.

（1）求？孜的分布列，期望和方差.

（2）若？濁=a？孜+b，E？濁=1，D？濁=11，試求a，b的值.

19.（本小題滿分12分）

在？駐ABC中，三邊a，b，c的對角分別為A，B，C，已知a=3，=.

（1）若c=2，求sinA.

（2）若AB邊上的中線長為，求？駐ABC的面積.

20.（本小題滿分12分）

一個幾何體是由圓柱ADD1A1和三棱錐E-ABC組合而成，點A、B、C在圓O的圓周上，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AE=2.

（1）求證：AC⊥BD.

（2）求二面角A-BD-C的平面角的大小.

21.（本小題滿分12分）

已知橢圓x2+=1的左，右兩個頂點分別為A、B. 曲線C是以A、B兩點為頂點，離心率為的雙曲線. 設點P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點T.

（1）設P、T兩點的橫坐標分別為x1、x2，證明：x1·x2=1.

（2）設？駐TAB與？駐POB（其中O為坐標原點）的面積分別為S1與S2，且·≤15，求S12-S22的取值范圍.

22.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）求a，b的值.

（2）如果當x>0，且x≠1時，f（x）>+，求k的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1. C. 由x<1？圯-1

又由x∈R時，x2≥0，因此B={y|y≥0}，

于是，得A∩B={x|0≤x≤1}，選C.

2. B. +=（1-i）+（1+i）=（a+1）+（1-a）i為實數(shù)，故虛部為0，得1-a=0，a=1，選 B.

3. C. 圓錐的展開圖為扇形，半徑R=4，側(cè)面積為為扇形的面積，所以扇形的面積S1=？琢R2=4？仔，解得？琢=，所以扇形弧長1=？琢R=2？仔r，所以底面半徑r=1，所以底面面積為S=？仔，圓錐高為h=，故圓錐的體積V=Sh=？仔，故選C.

4. B. f（x）=5（sinx+cosx）=5sin（x+？琢），其中sin？琢=，cos？琢=.

當x+？琢=2k？仔+，k∈Z，即x=2k？仔+-？琢時，f（x）取得最大值5 ，

∴2k？仔+-？琢=？茲，則cos？茲=cos（2k？仔+-？琢）=sin？琢=，故選B.

5. D. 由22=a2+1，解得a=. 設P（x，y），且x≥3，則

·=（x+2）x+y2=x2+2x+（-1）=（x+）-.

于是當x=時，·有最小值3+2.

6. B. 由題意可得函數(shù)f（x）=2cos（？棕x+？準）+1的最大值為3. ∵ f（x）的圖像與直線y=3相鄰兩個交點的距離為，∴ f（x）的周期T=，解得？棕=3，∴ f（x）=2cos（3x+？準）+1. ∵ f（x）>1對任意x∈（-，）恒成立，∴2cos（3x+？準）+1>1，即cos（3x+？準）>0對任意x∈（-，）恒成立，∴-+？漬≥2k？仔-且+？漬≤2k？仔+，k∈Z，解得k？仔-≤？漬≤2k？仔，當k=0時，？漬的取值范圍為[-，0].

7. A. 將式子等價整理為lnx≤aex+b-1，此題即為尋找直線y=aex+b-1，使得曲線y=lnx都在直線的下方，數(shù)形結(jié)合知道，此即尋找y=lnx的切線中某條可以實現(xiàn)a+b取得最小值. 故y=lnx在P（x0，lnx0）處的切線方程為y-lnx0=（x-x0），即y=x+lnx0-1，則ae=，b-1=-1+lnx0，a+b=+lnx0，令t（x0）=+lnx0，t′（x0）=-+=，所以當x0=時，取得最小值，a+b的最小值為0.

8. B. 顯然A1，A2和A3是兩兩互斥的事件，故

P（B）=P（B|A1）+P（B|A2）+P（B|A3）=×+×+×=.

二、多選題

9. BCD. 由某人2018年1月至2018年11月期間每月跑步的平均里程（單位：公里）的數(shù)據(jù)繪制的折線圖知：

在A中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月減少，故A錯誤.

在B中，月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，故B正確.

在C中，月跑步里程數(shù)按從小到大排列，發(fā)現(xiàn)中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù)，故C正確.

在D中，1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.

10. AC. 設∠OPQ=？琢，則∠PQO=-？琢.

那么+=cos？琢+3cos（-？琢）=[cos？琢+3cos（-？琢）]=-cos？琢+sin？琢=7sin（？琢-？茲），其中sin？茲=，cos？茲=，由于？琢∈（0，），可得+∈（-，7），故選AC.

11. BC . 設點P（x，y），則==，化簡整理得x2+y2+8x=0，即（x+4）2+y2=16，故A錯誤. 當D（-1，0），E（2，0）時，=，故B正確. 對于C選項，cos∠APO=，cos∠BPO=，要證PO為角平分線，只需證明cos∠APO=cos∠BPO，即證=，化簡整理即證PO2=2AP 2-8，設P（x，y），則PO2=x2+y2，2AP 2-8=2x2+8x+2y2=（x2+8x+y2）+（x2+y2），則證得cos∠APO=cos∠BPO，故C正確. 對于D選項，設M（x0，y0），由MO=2MA可得=2，整理得3x 20+3y 20+16x0+16=0，而點M（x0，y0）在圓上，故滿足x 20+y 20+8x0=0，聯(lián)立解得x0=2，y0無實數(shù)解，于是D錯誤. 故選BC.

12. ABD. 可推得A1D⊥平面ABC1D1，所以A1D⊥C1P，A正確.

因為過A的平面AB1C與BD1垂直，平面AB1C與BD1的交點P恰好三等分BD1，所以B正確. 當λ=時，P為球心，設球半徑為a，則AP=PC=a，AC=a，∴cos∠APC= =-<0，∠APC是鈍角，所以C錯誤. 要使△PAC為銳角三角形，只需判斷∠APC是銳角. 考慮∠APC是直角的情形：當∠APC是直角時，求得AP=a（如右圖），∵cos∠ADP= ，在⊿ADP中，用余弦定理求得D1P=a，或，所以BP>時，△PAC為銳角三角形，所以？姿∈（，1），D正確.

三、填空題

13. -. 由 f（x+1）=-？圯f（x+3）=-？圯f（x+6）= f（x），

∴ f（x）是周期為6的周期函數(shù)，

∴ f（173）= f（6×29-1）= f（-1）=- f（1）=-.

14. 8. F（，0），則M（，），E（0，P），cos∠EFO==，作NS垂直y軸于S，NS=12-=（12+p）cos∠EFO，解得p=8.

15. [e-2，2]. 若f（x）是g（x）到h（x）在區(qū)間[1，e]上的“任性函數(shù)”，則x∈[1，e]時，f（x）≥g（x），f（x）≤h（x），恒成立，即kx≥x2-2x，kx≤（x+1）（lnx+1），恒成立，

即k≥x-2，k≤，恒成立，若k≥x-2在區(qū)間[1，e]上恒成立，則k≥e-2.

令v（x）=，若k≤在區(qū)間[1，e]上恒成立，

則k≤v（x）min，v′（x）=，令u（x）=x-lnx，則u′（x）=1-，

當x∈[1，e]時，u′（x）≥0恒成立，則u（x）=x-lnx在[1，e]上為增函數(shù)，u（x）≥u（1）=1恒成立，即v′（x）=≥0恒成立，

故v（x）=在[1，e]上為增函數(shù)，v（x）≥v（1）=2恒成立，

故k≤2，綜上可得：k∈[e-2，2].

16. 2008秒.（20，44）.

（1）設粒子從原點到達點An、Bn、Cn時，所經(jīng)過的時間分別為an、bn、cn，由圖形可設A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0），當粒子從原點到達An時，明顯有a1=3，a2=a1+1，a3=a1+12=a1+3×4，a4=a3+1，a5=a3+20=a3+5×4，a6=a5+1，…

a2n-1=a2n-3+（2n-1）×4，a2n=a2n-1+1，

∴a2n-1=a1+4[3+5+…+（2n-1）]=4n2-1，a2n=a2n-1+1=4n2

b2n-1=a2n-1-2（2n-1）=4n2-4n+1，b2n=a2n+2×2n=4n2+4n.

c2n-1=b2n-1+（2n-1）=4n2-2n=（2n-1）2+（2n-1），

c2n=a2n+2n=4n2+2n=（2n）2+（2n），

即cn=n2+n.

有圖形知，粒子從原點運動到點P（16，44）時所需的時間是到達點C44所經(jīng)過得時間c44再加（44-16）=28秒，所以t=442+44+28=2008秒.

（2）由cn=n2+n≤2004，解得1≤n≤，取最大得n=44，

經(jīng)計算，得c44=1980<2004，從而粒子從原點開始運動，經(jīng)過1980秒后到達點C44，再向左運行24秒所到達的點的坐標為（20，44）.

四、解答題

17.（1）由an+1=pan+n-1， （n為奇數(shù)）-an-2n， （n為偶數(shù)） 得a2n+1=-a2n-4n.

于是，bn=a2n+a2n+1=-4n，所以{bn}成等差數(shù)列，故Tn=-2n2-2n.

（2）由cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p（-a2n-4n）+2n=-pcn-4pn+2n .

那么=-p+，

于是，當p=時，數(shù)列{cn}是首項為1，公比為-等比數(shù)列.

當p≠時，數(shù)列{cn}不成等比數(shù)列.

18.（1）？孜的分布列為：

∴ E？孜=0×+1×+2×+3×+4×=1.5 .

D？孜=（0-1.5）2×+（1-1.5）2×+（2-1.5）2×+（3-1.5）2×+（4-1.5）2×=2.75

（2）由D？濁=a2D？孜，得a2×2.75=11，即a=±2. 又E？濁=aE？孜+b，所以當a=2時，由1=2×1.5+b，得b=-2. 當a=-2時，由1=-2×1.5+b，得b=4.

∴a=2，b=-2或a=-2，b=4，即為所求.

19.（1）因為=，由正弦定理，得=，所以=.

所以sinAsinC=sinAcosC .

又因為sinA≠0，所以tanC=. 因為C∈（0，？仔），所以C=.

又因為=，所以=，所以sinA=.

（2）設AB邊上的中線為CD，則2 =+，

所以42=（+）2=b2+a2+2abcosC，

即37=b2+9+3b，b2+3b-28=0. 解得b=4或b=-7（舍去）.

所以S？駐ABC=absinC=×4×3×=3.

20.（1）因為EA⊥平面ABC，AC？奐平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC. 又因為AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD. 因為BD？奐平面EBD，所以AC⊥BD.

（2）以點D為原點，DD1、DE所在的射線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角坐標系D-xyz，則D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，2，2），C（2，-2，2），=（2，2，0），=（0，-4，0），=（2，2，2）. 設 1=（x1，y1，z1）是平面BCD的一個法向量，則1·=0，1·=0，即-4y1=0，2x1+2y1+2z1=0，取z1=1，解得1=（-1，0，1）. 2=（x2，y2，z2）是平面ABD的一個法向量，則2·=0，2·=0，即2x2+2y2=0，2x2+2y2+2z2=0，（？鄢）

令z2=0，得x2=-y2，再令y2=1，得2=（-1，1，0）.

設二面角A-BD-C的平面角的大小為？茲，則

cos？茲===，∴？茲=60°.

所以二面角A-BD-C的平面角大小為60°.

21.（1）題意可得A（-1，0），B（1，0）. 設雙曲線C的方程為x2-=1（b>0），因為雙曲線的離心率為，所以=，即b=2. 所以雙曲線C的方程為x2-=1.

設點P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi>0，yi>0，i=1，2），

則kAP=，kAT=.

因為kAP =kAT，所以=，即=.

因為點P和點T分別在雙曲線和橢圓上，所以x12-=1，x22+=1.

即y12=4（x12-1），y22=4（1-x22）. 所以=，即= 所以x1·x2=1.

（2）設點P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi>0，yi>0，i=1，2），

則=（-1-x1，-y1），=（1-x1，-y1）.

因為·≤15，所以（-1-x1）（1-x1）+y12≤15，即x12+y12≤16.

因為點P在雙曲線上，則x12-=1，所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4.

因為點P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點，所以1

因為S1=ABy2=y2，S2=OBy1=y1，

所以S12-S22=y22-y12=（4-4x22）-（x12-1）=5-x12-4x22 .

由（2）知，x1·x2=1，即x2=.

設t=x12，則1

設 f（t）=5-t-，則f′（t）=-1+=，

當10，當2

所以函數(shù) f（t）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，4]上單調(diào)遞減.

因為 f（2）=1，f（1）=f（4）=0，

所以當t=4，即x1=2時，（S12-S22）min= f（4）=0 .

當t=2，即x1=時，（S12-S22）max= f（2）=1 .

所以S12-S22的取值范圍為[0，1].

22.（1）由 f（x）=+得 f′（x）=-.

由于直線x+2y-3=0的斜率為-，且過點（1，1），

故f（1）=1，f′（1）=-， 即b=1，-b=-， 解得a=1，b=1.

（2）由（1）知 f（x）=+.

所以 f（x）-（+）=（2lnx+）.

考慮函數(shù) h（x）=2lnx+（x>0）? 則h′（x）=.

（i）設k≤0，由h′（x）=知，當x≠1時，h′（x）<0. 而h（1）=0，故當x∈（0，1）時，h（x）>0，可得h（x）>0.

當x∈（1，+∞）時，h（x）<0，可得h（x）>0. 從而當x>0，且x≠1時，f（x）-（+）>0即f（x）>+.

（ii）設00故h′（x）>0，而h（1）=0，故當x∈（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設矛盾.

（iii）設k≥1. 此時h′（x）>0，而h（1）=0，故當x∈（1，+∞）時，h（x）>0，可得h（x）>0與題設矛盾.

綜合得，k的取值范圍為（-∞，0].

責任編輯 徐國堅