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        多時滯混合型微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性

        2022-06-29 09:47:26銀鶴凡
        東莞理工學院學報 2022年3期
        關(guān)鍵詞:定義方法

        銀鶴凡

        (廣東工業(yè)大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣東廣州 510006)

        近年來,分段連續(xù)型常微分方程(簡稱EPCA),作為一類特殊的時滯微分方程,是學者們研究的熱點問題之一。EPCA理論在文獻[1-2]中被提出,后來,這種形式的微分方程被許多作者進行了研究,例如文獻[3-6]。而學者們對于EPCA的研究熱情來自于它兼容了微分方程和差分方程的特性,這也使得EPCA在種群生物學[7-8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-10]、捕食者-食餌模型[11]、流行病學[12-14]等方面發(fā)揮著重要的作用。

        由于這類方程結(jié)構(gòu)上的復雜性,想要準確的求解方程是很困難的。因此,有必要研究EPCA的數(shù)值方法。目前,關(guān)于EPCA數(shù)值解的動力學性質(zhì)研究越來越多,例如振動性[15-16]、穩(wěn)定性[17-18]和收斂性[19-20]。本文討論了多時滯混合型EPCA數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性。

        考慮下列分段連續(xù)常微分方程

        x′(t)=ax(t)+a0x([t])+a1x([t+1])+a2x([t+2]),t≥0,

        x(0)=x0,x(1)=x1,

        (1)

        其中a,ai(i=0,1,2),x0和x1是實常數(shù),[·]表示取整函數(shù)。

        這類方程的一般形式是

        x′(t)=f(t,x(t),x(α(t)),x(β(t)),x(γ(t))),t≥0,

        x(0)=x0,x(1)=x1,

        (2)

        其中參數(shù)α(t),β(t)和γ(t)是分段連續(xù)函數(shù)。由于方程(1)中的[t]是滯后型,[t+1]和[t+2]是向前型,所以我們稱方程(1)為帶有三個延遲項[t],[t+1]和[t+2]的混合型EPCA。

        本文的結(jié)構(gòu)如下:在第一部分,我們考慮方程(1)的穩(wěn)定性分析;在第二部分,討論了Euler-Maclaurin方法的收斂性和穩(wěn)定性;第三部分給出了數(shù)值模擬來支持我們的分析結(jié)果;第四部分來總結(jié)本文所得到的結(jié)果。

        1 穩(wěn)定性分析

        定義1[21]方程(1)在 [0,∞)上的解x(t)滿足下列條件:

        (1)x(t)在 [0,∞)上連續(xù);

        (2)導數(shù)x′(t)在[t]∈ [0,∞)的點上存在單側(cè)導數(shù),在t∈ [0,∞)的其他點上存在導數(shù);

        (3)x(t)在每個區(qū)間 [n,n+1)? [0,∞)上滿足方程(1)。

        引理1[22]方程(1)在[0,∞)上有唯一解

        x(t)=m0({t})c[t]+m1({t})c[t+1]+m2({t})c[t+2],

        (3)

        其中{t}是t的小數(shù)部分,并且

        (4)

        (5)

        λ1和λ2是方程

        m2(1)λ2+(m1(1)-1)λ+m0(1)=0

        (6)

        的根。

        定義2如果方程(1)的解x(t)滿足

        那么方程(1)的零解稱為漸近穩(wěn)定的。

        引理2[23]方程λ2-A1λ-A2=0的根的模小于1的充要條件是|A2|<1和|A1|<1-A2。

        引理3[21]方程(1)的解是漸近穩(wěn)定的等價于(6)的根的模滿足不等式|λ1|<1,|λ2|<1。

        定理1方程(1)的零解是漸近穩(wěn)定的充要條件是

        (7)

        證明由引理3可得,方程(1)的解是漸近穩(wěn)定的等價于特征方程

        的根滿足|λi|<1,i=1,2。

        由引理2有

        整理得

        故命題得證。

        定義3使得方程(1)漸近穩(wěn)定的所有點(a,a0,a1,a2)的集合被稱為漸近穩(wěn)定區(qū)域,記為H。

        因此,我們得到

        H*={(a,a0,a1,a2)∶

        我們把H*分成如下所示的兩個區(qū)域:

        2 數(shù)值穩(wěn)定性

        2.1 Euler-Maclaurin方法和收斂性

        首先引入Bernoulli數(shù)與Bernoulli多項式,有

        其中Bj和Bj(x),j=0,1,2…分別為Bernoulli數(shù)和j次Bernoulli多項式。

        引理4[24]Bj和Bj(x)有下列特征:

        引理5[25]假設(shè)f(x)在區(qū)間[ti,ti+1]上有2n+3階連續(xù)導數(shù),則有

        (8)

        事實上,對于每一個區(qū)間 [k,k+1),方程(1)是一個常微分方程。導數(shù)x(j)(t)在每個區(qū)間[k,k+1)上存在,對于j=0,1,2…,假設(shè)

        f(t)=x′(t)=ax(t)+a0x([t])+a1x([t+1])+a2x([t+2]),

        則有

        f′(t)=x″(t)=ax′(t)=

        a2x(t)+aa0x([t])+aa1x([t+1])+

        aa2x([t+2]) ,

        f(j)(t)=x(j+1)(t)=

        aj+1x(t)+aja0x([t])+aja1x([t+1])+

        aja2x([t+2]) ,

        (9)

        將(9)應用到(8),得到如下迭代公式:

        (10)

        由i=km+l,l=0,1,…,m-1,式(10)可以表示為

        (11)

        (12)

        定理2對任意給定的n∈N,Euler-Maclaurin方法是2n+2階的。

        證明令km≤i<(k+1)m-1,由引理5及f(t)=x′(t)有

        ha0x(k)+ha1x(k+1)+ha2x(k+2)-

        (13)

        令i=(k+1)m-1,則對任意的0<ε

        ha1x(k+1)+ha2x(k+2)-

        (14)

        在方程(14)中,令ε→0+,可得對于i=(k+1)m-1,有(12)成立。假設(shè)

        xi=x(ti),x(k)=xkm,

        x(k+1)=x(k+1)m,x(k+2)=x(k+2)m,

        由式(11)-(14),我們有

        O(h2n+3) ,

        所以定理成立。

        2.2 穩(wěn)定性分析

        定義5對于方程(1),使得式(10)漸近穩(wěn)定的所有點(a,a0,a1,a2)的集合被稱為漸近穩(wěn)定區(qū)域,用S表示。

        推論1當n→∞時,xn→0的充要條件是當k→∞時,xkm→0。

        定理3方程(1)的數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的充要條件是

        (15)

        證明根據(jù)推論1,我們可以得到方程(1)的所有數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的充要條件是當k→∞時,xkm→0。由(11)、(12)可知,當k→∞時,xkm→0的充要條件是特征方程

        (16)

        的根位于復平面的開單位圓盤內(nèi),即|λi|<1,i=1,2。

        由引理2有

        整理得

        (a+a0+a1+a2)×

        故命題得證。

        由定義5和定理3,我們得到

        把S*分成下面兩個區(qū)域:

        接下來我們只需要找到滿足Hi?Si,i=1,2的條件即可。

        引理7[24]如果|z|≤1,那么

        定理4H1?S1的充要條件是n為偶數(shù)。

        證明令(a,a0,a1,a2)∈H1,那么a+a0+a1+a2<0和H1?S1成立當且僅當

        (17)

        等價于

        (18)

        ea≤R(z)m,

        由引理7可知,n為偶數(shù),同理可證a<0的情況,故命題得證。

        定理5H2?S2的充要條件是n為奇數(shù)。

        證明:類似于定理4的證明。

        3 數(shù)值實驗

        考慮下列方程:

        x′(t)=-5x(t)-0.5x([t])+3x([t+1])-2x([t+2]),t≥0,

        x(0)=1,x(1)=1,

        (19)

        x′(t)=x(t)-x([t])-2x([t+1])+3x([t+2]),t≥0,

        x(0)=1,x(1)=1 ,

        (20)

        取t=10,方程(19)的解析解為x(10)≈-0.130 2。表1列舉了Euler-Maclaurin方法在n=2時的絕對誤差(AE)和相對誤差(RE),以及m=50和m=100情況下誤差的比率。從表1可以看出,Euler-Maclaurin方法的收斂階為6,也就是說,數(shù)值方法保持了收斂階。

        表1 Euler-Maclaurin方法的誤差 (n=2)

        進一步,由(19)易知,a=-5,a0=-0.5,a1=3,a2=-2,故(-5,-0.5,3,-2)∈H1,同時有

        即(7)式成立,所以方程(19)的解析解是漸近穩(wěn)定的。

        另外,取m=50,n=2,有(-5,-0.5,3,-2)∈S1并且

        即(15)式成立,所以方程(19)的數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的。

        在圖1中,我們做出了方程(19)的解析解和數(shù)值解的圖像,從圖1不難看出,數(shù)值方法保持了方程(19)的穩(wěn)定性。對于方程(20),可以同理驗證(見圖2)。

        圖1 方程(19)的解析解x(t)和數(shù)值解(xn,m=50,n=2)

        圖2 方程(20)的解析解x(t)和數(shù)值解(xn,m=50,n=3)

        4 結(jié)語

        本文考慮了多時滯混合型EPCA數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性。結(jié)果表明,Euler-Maclaurin方法的收斂階是2n+2。通過運用差分方程的特征理論,給出了數(shù)值穩(wěn)定區(qū)域包含解析穩(wěn)定區(qū)域的條件。在今后的工作中,我們將考慮非線性問題和分數(shù)階問題。

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