銀鶴凡
(廣東工業(yè)大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣東廣州 510006)
近年來,分段連續(xù)型常微分方程(簡稱EPCA),作為一類特殊的時滯微分方程,是學者們研究的熱點問題之一。EPCA理論在文獻[1-2]中被提出,后來,這種形式的微分方程被許多作者進行了研究,例如文獻[3-6]。而學者們對于EPCA的研究熱情來自于它兼容了微分方程和差分方程的特性,這也使得EPCA在種群生物學[7-8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-10]、捕食者-食餌模型[11]、流行病學[12-14]等方面發(fā)揮著重要的作用。
由于這類方程結(jié)構(gòu)上的復雜性,想要準確的求解方程是很困難的。因此,有必要研究EPCA的數(shù)值方法。目前,關(guān)于EPCA數(shù)值解的動力學性質(zhì)研究越來越多,例如振動性[15-16]、穩(wěn)定性[17-18]和收斂性[19-20]。本文討論了多時滯混合型EPCA數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性。
考慮下列分段連續(xù)常微分方程
x′(t)=ax(t)+a0x([t])+a1x([t+1])+a2x([t+2]),t≥0,
x(0)=x0,x(1)=x1,
(1)
其中a,ai(i=0,1,2),x0和x1是實常數(shù),[·]表示取整函數(shù)。
這類方程的一般形式是
x′(t)=f(t,x(t),x(α(t)),x(β(t)),x(γ(t))),t≥0,
x(0)=x0,x(1)=x1,
(2)
其中參數(shù)α(t),β(t)和γ(t)是分段連續(xù)函數(shù)。由于方程(1)中的[t]是滯后型,[t+1]和[t+2]是向前型,所以我們稱方程(1)為帶有三個延遲項[t],[t+1]和[t+2]的混合型EPCA。
本文的結(jié)構(gòu)如下:在第一部分,我們考慮方程(1)的穩(wěn)定性分析;在第二部分,討論了Euler-Maclaurin方法的收斂性和穩(wěn)定性;第三部分給出了數(shù)值模擬來支持我們的分析結(jié)果;第四部分來總結(jié)本文所得到的結(jié)果。
定義1[21]方程(1)在 [0,∞)上的解x(t)滿足下列條件:
(1)x(t)在 [0,∞)上連續(xù);
(2)導數(shù)x′(t)在[t]∈ [0,∞)的點上存在單側(cè)導數(shù),在t∈ [0,∞)的其他點上存在導數(shù);
(3)x(t)在每個區(qū)間 [n,n+1)? [0,∞)上滿足方程(1)。
引理1[22]方程(1)在[0,∞)上有唯一解
x(t)=m0({t})c[t]+m1({t})c[t+1]+m2({t})c[t+2],
(3)
其中{t}是t的小數(shù)部分,并且
(4)
(5)
λ1和λ2是方程
m2(1)λ2+(m1(1)-1)λ+m0(1)=0
(6)
的根。
定義2如果方程(1)的解x(t)滿足
那么方程(1)的零解稱為漸近穩(wěn)定的。
引理2[23]方程λ2-A1λ-A2=0的根的模小于1的充要條件是|A2|<1和|A1|<1-A2。
引理3[21]方程(1)的解是漸近穩(wěn)定的等價于(6)的根的模滿足不等式|λ1|<1,|λ2|<1。
定理1方程(1)的零解是漸近穩(wěn)定的充要條件是
(7)
證明由引理3可得,方程(1)的解是漸近穩(wěn)定的等價于特征方程
的根滿足|λi|<1,i=1,2。
由引理2有
整理得
故命題得證。
定義3使得方程(1)漸近穩(wěn)定的所有點(a,a0,a1,a2)的集合被稱為漸近穩(wěn)定區(qū)域,記為H。
因此,我們得到
H*={(a,a0,a1,a2)∶
我們把H*分成如下所示的兩個區(qū)域:
首先引入Bernoulli數(shù)與Bernoulli多項式,有
其中Bj和Bj(x),j=0,1,2…分別為Bernoulli數(shù)和j次Bernoulli多項式。
引理4[24]Bj和Bj(x)有下列特征:
引理5[25]假設(shè)f(x)在區(qū)間[ti,ti+1]上有2n+3階連續(xù)導數(shù),則有
(8)
事實上,對于每一個區(qū)間 [k,k+1),方程(1)是一個常微分方程。導數(shù)x(j)(t)在每個區(qū)間[k,k+1)上存在,對于j=0,1,2…,假設(shè)
f(t)=x′(t)=ax(t)+a0x([t])+a1x([t+1])+a2x([t+2]),
則有
f′(t)=x″(t)=ax′(t)=
a2x(t)+aa0x([t])+aa1x([t+1])+
aa2x([t+2]) ,
f(j)(t)=x(j+1)(t)=
aj+1x(t)+aja0x([t])+aja1x([t+1])+
aja2x([t+2]) ,
(9)
將(9)應用到(8),得到如下迭代公式:
(10)
由i=km+l,l=0,1,…,m-1,式(10)可以表示為
(11)
(12)
定理2對任意給定的n∈N,Euler-Maclaurin方法是2n+2階的。
證明令km≤i<(k+1)m-1,由引理5及f(t)=x′(t)有
ha0x(k)+ha1x(k+1)+ha2x(k+2)-
(13)
令i=(k+1)m-1,則對任意的0<ε ha1x(k+1)+ha2x(k+2)- (14) 在方程(14)中,令ε→0+,可得對于i=(k+1)m-1,有(12)成立。假設(shè) xi=x(ti),x(k)=xkm, x(k+1)=x(k+1)m,x(k+2)=x(k+2)m, 由式(11)-(14),我們有 O(h2n+3) , 所以定理成立。 定義5對于方程(1),使得式(10)漸近穩(wěn)定的所有點(a,a0,a1,a2)的集合被稱為漸近穩(wěn)定區(qū)域,用S表示。 推論1當n→∞時,xn→0的充要條件是當k→∞時,xkm→0。 定理3方程(1)的數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的充要條件是 (15) 證明根據(jù)推論1,我們可以得到方程(1)的所有數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的充要條件是當k→∞時,xkm→0。由(11)、(12)可知,當k→∞時,xkm→0的充要條件是特征方程 (16) 的根位于復平面的開單位圓盤內(nèi),即|λi|<1,i=1,2。 由引理2有 整理得 (a+a0+a1+a2)× 故命題得證。 由定義5和定理3,我們得到 把S*分成下面兩個區(qū)域: 接下來我們只需要找到滿足Hi?Si,i=1,2的條件即可。 引理7[24]如果|z|≤1,那么 定理4H1?S1的充要條件是n為偶數(shù)。 證明令(a,a0,a1,a2)∈H1,那么a+a0+a1+a2<0和H1?S1成立當且僅當 (17) 等價于 (18) ea≤R(z)m, 即 由引理7可知,n為偶數(shù),同理可證a<0的情況,故命題得證。 定理5H2?S2的充要條件是n為奇數(shù)。 證明:類似于定理4的證明。 考慮下列方程: x′(t)=-5x(t)-0.5x([t])+3x([t+1])-2x([t+2]),t≥0, x(0)=1,x(1)=1, (19) x′(t)=x(t)-x([t])-2x([t+1])+3x([t+2]),t≥0, x(0)=1,x(1)=1 , (20) 取t=10,方程(19)的解析解為x(10)≈-0.130 2。表1列舉了Euler-Maclaurin方法在n=2時的絕對誤差(AE)和相對誤差(RE),以及m=50和m=100情況下誤差的比率。從表1可以看出,Euler-Maclaurin方法的收斂階為6,也就是說,數(shù)值方法保持了收斂階。 表1 Euler-Maclaurin方法的誤差 (n=2) 進一步,由(19)易知,a=-5,a0=-0.5,a1=3,a2=-2,故(-5,-0.5,3,-2)∈H1,同時有 即(7)式成立,所以方程(19)的解析解是漸近穩(wěn)定的。 另外,取m=50,n=2,有(-5,-0.5,3,-2)∈S1并且 即(15)式成立,所以方程(19)的數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的。 在圖1中,我們做出了方程(19)的解析解和數(shù)值解的圖像,從圖1不難看出,數(shù)值方法保持了方程(19)的穩(wěn)定性。對于方程(20),可以同理驗證(見圖2)。 圖1 方程(19)的解析解x(t)和數(shù)值解(xn,m=50,n=2) 圖2 方程(20)的解析解x(t)和數(shù)值解(xn,m=50,n=3) 本文考慮了多時滯混合型EPCA數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性。結(jié)果表明,Euler-Maclaurin方法的收斂階是2n+2。通過運用差分方程的特征理論,給出了數(shù)值穩(wěn)定區(qū)域包含解析穩(wěn)定區(qū)域的條件。在今后的工作中,我們將考慮非線性問題和分數(shù)階問題。2.2 穩(wěn)定性分析
3 數(shù)值實驗
4 結(jié)語