楊蕾 張雁輝 張育中 張騰達(dá) 盧榮勝

摘? 要? 在新工科理念的指導(dǎo)下，分析傳統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)課

堂教學(xué)現(xiàn)狀，研究將知識(shí)點(diǎn)與案例結(jié)合的項(xiàng)目式教學(xué)。以傅里葉變換在圖像處理、音頻信號(hào)、目標(biāo)定位和文字識(shí)別中的應(yīng)用為例，通過分析對比信號(hào)的時(shí)域和頻域，讓學(xué)生了解頻譜的表現(xiàn)形式和作用。該教學(xué)方法有助于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)。

關(guān)鍵詞? 新工科；項(xiàng)目式教學(xué)；信號(hào)與系統(tǒng)；傅里葉變換

中圖分類號(hào)：G642.0? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2022）07-0063-06

0? 引言

當(dāng)前，我國堅(jiān)持創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展，積極推進(jìn)“一帶一路”“中國制造2025”“互聯(lián)網(wǎng)+”等，以新技術(shù)、新業(yè)態(tài)、新模式、新產(chǎn)業(yè)為代表的新經(jīng)濟(jì)蓬勃發(fā)展，對工程科技人才提出更高要求。教育部提出新工科的概念，標(biāo)志著新工科教學(xué)改革的開始。新工科研究和實(shí)踐將圍繞工程教育改革的新理念、新結(jié)構(gòu)、新模式、新質(zhì)量、新體系開展[1]?，F(xiàn)行本科教育，特別是在應(yīng)用型大學(xué)，不可避免地留下傳統(tǒng)本科教育的痕跡，迫切需要加快工程教育改革創(chuàng)新，確立能力導(dǎo)向的教學(xué)理念，實(shí)施以項(xiàng)目為核心的體驗(yàn)式教學(xué)。

信號(hào)與系統(tǒng)是工科專業(yè)必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，具有承上啟下的重要作用，但內(nèi)容概念較多，數(shù)學(xué)要求高，理論性強(qiáng)，理解和掌握其中的分析方法和基本理論比較困難。傳統(tǒng)的課堂教學(xué)仍采用知識(shí)點(diǎn)講授的教學(xué)模式，課堂注重?cái)?shù)學(xué)公式的計(jì)算，與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較少，學(xué)生普遍反映理論性強(qiáng)，學(xué)習(xí)難度大，不易理解，抑制了學(xué)習(xí)興趣及創(chuàng)新意識(shí)。因此，需要把提高學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力作為目標(biāo)，以此達(dá)到創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的目的，滿足新工科背景下對人才培養(yǎng)和畢業(yè)的新要求[2]。

項(xiàng)目式教學(xué)（PBL）強(qiáng)調(diào)將學(xué)習(xí)與解決問題緊密相連，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中思考如何利用知識(shí)點(diǎn)解決問題，發(fā)揮問題對學(xué)習(xí)的指導(dǎo)作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性[3]。如在信號(hào)與系統(tǒng)課程中以圖片、音樂為切入點(diǎn)，利用知識(shí)點(diǎn)解決工程實(shí)際問題。本文以課程中的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一傅里葉變換為出發(fā)點(diǎn)，闡述項(xiàng)目式教學(xué)的理念，同一課程知識(shí)點(diǎn)在不同項(xiàng)目案例中的應(yīng)用，如何解決問題，并實(shí)現(xiàn)抽象概念具體化、工程化、項(xiàng)目化，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性及創(chuàng)新意識(shí)。

傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換在數(shù)學(xué)、科學(xué)和工程領(lǐng)域都是非常重要的工具[4]。人們習(xí)慣從時(shí)域角度思考問題，因此不易理解其變換的原理。本文以傅里葉變換在圖像處理、音頻信號(hào)、目標(biāo)定位與文字識(shí)別等方面的項(xiàng)目應(yīng)用為例，對比處理前后的時(shí)域波形圖和頻域波形圖，闡述傅里葉變換如何解決實(shí)際項(xiàng)目案例中的問題及其基本原理。

根據(jù)維度、信號(hào)特性，傅里葉變換分為一維連續(xù)變換、一維離散變換、二維連續(xù)變換和二維離散變換等[5]，音頻信號(hào)處理是一維離散變換，圖像處理是二維離散變換。二維連續(xù)傅里葉變換及逆變換公式分別見式（1）、式（2）：

其中，F(xiàn)（u，v）是函數(shù)f（x，y）的頻譜，u是x方向的頻率，v是y方向的頻率。分辨率為M×N二維圖像的離散傅里葉變換如式（3）所示：

其中，F(xiàn)（u，v）是該圖像的頻譜。若定義F（u，v）的實(shí)部和虛部分別為R（u，v）、I（u，v），則相應(yīng)的傅里葉變換幅度譜和相位譜分別為式（4）、式（5）：

1? 圖像處理

根據(jù)傅里葉變換理論，滿足條件的任何信號(hào)都可表示為一系列正弦信號(hào)的疊加。在圖像處理中則為每幅灰度圖像都可表示為由正弦信息疊加組成的圖像。其中每個(gè)正弦信息由三個(gè)變量組成：頻率、幅值及相位。經(jīng)過變換的圖像即是該圖像頻譜圖（或功率圖），在頻譜圖中更加關(guān)注頻率及幅值。在圖像處理中，傅里葉變換的主要應(yīng)用有圖像去噪、邊緣檢測、圖像壓縮等，利用傅里葉變換將圖像由空域轉(zhuǎn)換至頻域，在頻域進(jìn)行運(yùn)算與操作，實(shí)現(xiàn)對圖像的處理。

1.1? 圖像去噪

圖像去噪在時(shí)域是利用傳遞函數(shù)與圖像信號(hào)卷積來濾除噪聲[6]，在頻域即傳遞函數(shù)H（u，v）和圖像的頻譜函數(shù)F（u，v）相乘，減弱期望去除的頻率信號(hào)（噪聲），得到新的頻譜函數(shù)G（u，v），通過傅里葉逆變換得到新的函數(shù)g（x，y），即去噪后的圖像。噪聲屬于高頻分量，故傳遞函數(shù)H（u，v）是低通濾波器時(shí)，可以有效去除高頻噪聲成分。以高斯低通濾波器為例進(jìn)行項(xiàng)目案例解釋，其傳遞函數(shù)式為式（6）：

式中，D0為截止頻率，D為任意頻率。

圖1是高斯低通濾波去噪的結(jié)果：對比圖1a帶噪聲的圖像和圖1b去噪后圖像，可以看出濾波后的圖像大部分噪點(diǎn)已經(jīng)去除；與圖1c帶噪圖像頻譜圖相比，圖1d去噪后的圖像頻譜圖，其四周高頻部分顏色加深，說明高頻分量得到一定的抑制，中間亮點(diǎn)部分對應(yīng)低頻有用信息，仍然不變，得到保留。仔細(xì)觀察，圖像邊緣部分有些模糊，是由于噪聲信號(hào)與原圖像邊緣信號(hào)均為高頻信號(hào)，采用低通濾波器會(huì)影響圖像邊緣部分，導(dǎo)致圖像邊緣與原圖相比較模糊。

1.2? 邊緣檢測

圖像邊緣檢測原理與圖像去噪類似，圖像的邊緣信息對應(yīng)頻譜圖中的高頻分量，故邊緣檢測的傳遞函數(shù)H（u，v）則是高通濾波器[7]。對原圖進(jìn)行傅里葉變換轉(zhuǎn)換至頻域，頻率信號(hào)通過高通濾波器，能有效保留并處理邊緣高頻分量。圖2所示是高斯高通濾波器對圖像邊緣檢測：圖2b為邊緣檢測結(jié)果，圖中有效保留了原圖中的邊緣信息；與圖2c原圖頻譜圖相比，圖2d濾波后的頻譜圖中心低頻成分變?yōu)楹谏吹皖l分量被濾除，四周的高頻部分顏色與圖2b相似，邊緣高頻分量被保留。

1.3? 圖像壓縮

圖像壓縮的本質(zhì)是去除冗余的數(shù)據(jù)，以少量的有用信息表達(dá)同一幅圖像。人眼對圖像低頻分量的變化較敏感，對于高頻分量的失真不敏感，合理去除部分高頻分量，可以達(dá)到圖像壓縮的目的。

由式（3）可知二維圖像信號(hào)傅里葉變換后為復(fù)數(shù)序列，復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部，一個(gè)復(fù)數(shù)則需占用兩個(gè)數(shù)據(jù)空間，所以有限長序列信號(hào)的離散傅里葉變換（DFT），有一半數(shù)據(jù)是冗余的，這與圖像壓縮的目的相違背[8]。故只取傅里葉變換的余弦部分即離散余弦傅里葉變換（DCT）進(jìn)行頻譜分析[9]，如式（7）所示。

DCT和DFT一樣具有能量集中特性，大部分能量集中在低頻部分。對圖像進(jìn)行分塊處理并采用DCT，在每塊中去除高頻分量，可以增加圖像局部結(jié)構(gòu)的變化精度，提高壓縮率。圖像分塊不宜太大，否則影響量化的精度；分塊也不宜太小，否則每塊內(nèi)部關(guān)聯(lián)性降低，影響DCT的效果，一般采用8*8。圖像壓縮的流程如圖3所示：原圖像以8*8像素分塊取樣，每塊進(jìn)行DCT變換，得到8*8的數(shù)字陣列；該陣列內(nèi)低頻信息集中在左上角，高頻信息分布于右下角，乘以上三角矩陣，可以保留數(shù)字陣列中低頻部分，舍棄高頻部分，得到壓縮后頻譜；每塊進(jìn)行余弦反變換，重新組合，得到壓縮后圖像。

圖4為圖像壓縮前后對比圖：壓縮后圖像如圖4b所示，與圖4a原圖在視覺效果上差別不大，這是因?yàn)槿搜鄹吒菀捉邮芨哳l分量的失真；將壓縮后的圖片放大如圖4d所示，可見圖中鑰匙的邊緣已經(jīng)有輕度模糊的特征。

2? 音頻信號(hào)

音頻信號(hào)的處理，通過傅里葉變換將音頻信號(hào)由時(shí)域轉(zhuǎn)換至頻域，在頻域?qū)ζ漕l率進(jìn)行運(yùn)算與處理[10]，可以實(shí)現(xiàn)變聲、聲音降噪和聲音分辨與提取等，以變聲和聲音降噪為案例進(jìn)行說明。

2.1? 變聲

人說話的個(gè)性化音色取決于基頻和共振峰頻率，聲帶振動(dòng)的頻率稱為基音頻率（基頻），與人的性別特征有關(guān)。口鼻腔耦合共振時(shí)的頻率稱為共振峰頻率，與人的口鼻形狀（聲道長度）有關(guān)。如表1所示：兒童聲道短，共振峰頻率偏高；成年女性的聲道比成年男性短，所以女性的共振峰頻率一般高于男性。變聲的原理即改變基頻和共振峰頻率，基頻是人聲源特征的反映，因此，變聲主要是改變基頻[11]。但由于聲源和聲道不是獨(dú)立的，基頻改變時(shí)必然會(huì)非線性地影響共振峰，反之亦然，兩者相互作用。

語音包含音調(diào)、音速兩個(gè)參數(shù)，變聲分為變調(diào)和變速：變調(diào)不變速可以保證變聲后內(nèi)容仍能清晰地被表達(dá)，時(shí)域重采樣算法可以實(shí)現(xiàn)變調(diào)；變速是將音頻時(shí)間變長或變短，音速發(fā)生變化。圖5為變調(diào)不變速的案例，增大重采樣頻率，可以使女聲變變男生。對比圖5a女聲和圖5b變?yōu)槟新暤臅r(shí)域波形圖，可以看出男聲時(shí)域波形的線條更稀疏。人的聲帶振動(dòng)具有周期性，基頻在頻譜圖中為周期性變化且能量集中的頻率分量。由圖5c原信號(hào)女生頻譜圖和圖5d變男聲后信號(hào)頻譜圖的局部放大圖可以看出：原信號(hào)女生的基頻位于180 Hz附近，變聲后的男聲基頻位于130 Hz附近（圖中直線標(biāo)記）。共振峰在頻譜圖上與聲音頻譜包絡(luò)線的峰值位置有一一對應(yīng)的關(guān)系，包絡(luò)線峰值位置就是共振峰所在位置，其位置如圖5e和圖5f中直線所標(biāo)記?？梢姡夭蓸宇l率增大，頻域壓縮，變聲后的共振峰頻率減小。

2.2? 聲音降噪

聲音降噪就是去除高頻噪聲信號(hào)。含有噪聲的音頻信號(hào)經(jīng)過傅里葉變換后轉(zhuǎn)換到頻域，根據(jù)噪聲的頻率分布設(shè)計(jì)濾波器實(shí)現(xiàn)音頻降噪。圖6所示為某一音頻信號(hào)加入3 kHz、5 kHz、8 kHz的混合余弦噪聲，經(jīng)過巴特沃斯低通濾波器后的時(shí)域波形和頻譜圖。原始音頻信號(hào)的頻率分布于0～0.2（頻率歸一化處理），三余弦噪聲頻率都大于0.2，噪聲與原始音頻信號(hào)在頻域不重疊，經(jīng)過巴特沃斯低通濾波，截止頻率為0.22，濾波后音頻信號(hào)頻譜如圖6f所示，余弦噪聲頻率均被有效濾除，圖6e原始音頻信號(hào)頻率幾乎沒有受到影響。

3? 目標(biāo)定位

卷積運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)圖像目標(biāo)定位，即模板匹配。傅里葉變換將目標(biāo)模板和待定位目標(biāo)圖像轉(zhuǎn)換到頻域，兩者頻譜相乘，利用頻域乘積運(yùn)算實(shí)現(xiàn)時(shí)域的卷積運(yùn)算。傅里葉反變換為時(shí)域并取實(shí)部，該實(shí)部數(shù)值就是和模板匹配的相關(guān)系數(shù)，設(shè)置合理的系數(shù)閾值，大于閾值的位置就是圖像中目標(biāo)所處位置。

從圖7a定位字母a的位置，圖中所有需定位字母a的位置用紅框標(biāo)記出，一共六個(gè)位置。從原圖中分割出字母a的圖像作為定位目標(biāo)a的模板，將字母模板與原圖像進(jìn)行卷積運(yùn)算，計(jì)算模板匹配的相關(guān)系數(shù)。圖7a文字排列有水平和豎直兩種，故分別計(jì)算水平和豎直兩個(gè)方向的相關(guān)系數(shù)（旋轉(zhuǎn)模板頻譜90°可得豎直方向）。根據(jù)兩個(gè)方向的相關(guān)系數(shù)的最大值設(shè)置閾值，輸出并顯示相關(guān)系數(shù)大于閾值的像素點(diǎn)，如圖7b為圖像目標(biāo)定位的結(jié)果，一共六個(gè)白點(diǎn)，對應(yīng)原圖中六個(gè)字母a的位置，它們的像素點(diǎn)坐標(biāo)分別為（23，118）（45，98）（45，185）（123，170）（153，170）（225，192），前三者為水平方向坐標(biāo)，后三者為豎直方向的坐標(biāo)。

4? 文字識(shí)別

文字識(shí)別包括圖片預(yù)處理、圖像文字分割、字符識(shí)別、結(jié)果輸出[12]，核心在字符識(shí)別中的算法。目前字符算法包括模板匹配和特征提取，傅里葉變換在文字識(shí)別中的作用就是模板匹配，其原理與目標(biāo)定位類似。與目標(biāo)定位不同的是，文字識(shí)別需要將所有分割圖像分別與文字模板庫中的所有模板圖像逐個(gè)匹配，通過設(shè)置閾值，相關(guān)系數(shù)大于閾值時(shí)，認(rèn)為文字分割圖像與某個(gè)模板圖像最相似，即確定該分割圖像的字符。文字識(shí)別經(jīng)典的應(yīng)用是車牌識(shí)別，如圖8所示為基于傅里葉變換車牌識(shí)別的結(jié)果。

5? 結(jié)束語

隨著國家新工科建設(shè)的不斷推進(jìn)，高校在新工科建設(shè)方面的力度也不斷加大。理論性強(qiáng)的信號(hào)與系統(tǒng)課程作為工科專業(yè)的核心課程，課程改革也勢在必行。立足于新工科建設(shè)的發(fā)展目標(biāo)，分析信號(hào)與系統(tǒng)傳統(tǒng)課堂教學(xué)中的問題，提出面向新工科的項(xiàng)目式教學(xué)，以傅里葉變換為例，將其應(yīng)用到圖像、聲音、文字等項(xiàng)目中解決問題，闡述每個(gè)案例中頻譜在解決實(shí)際問題中的作用，真正實(shí)現(xiàn)將理論運(yùn)用于實(shí)踐中，理論與實(shí)踐相結(jié)合，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)生的工程實(shí)踐能力也得到提高。

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*項(xiàng)目來源：安徽省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目“光電信息工程教學(xué)團(tuán)隊(duì)”（基金編號(hào)：GRTD1906）。

作者：楊蕾，合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，副教授，研究方向?yàn)榧す鈾z測；張雁輝，合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)楣庾V增強(qiáng)技術(shù)；張育中，合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，副教授，研究方向?yàn)檩椛錅y溫理論與技術(shù)；張騰達(dá)，合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，講師，研究方向?yàn)樽詣?dòng)光學(xué)檢測；盧榮勝，合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，教授，研究方向?yàn)榧す馀c光電檢測技術(shù)（230009）。