耿志偉，王 爽，楊雙義

（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學院，鄭州 451151）

0 引言

近年來,輪式移動機器人由于其結(jié)構(gòu)簡單,易于控制,負重大,運動靈活等特點,被廣泛地應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、工業(yè)以及服務(wù)業(yè)等領(lǐng)域,凸顯了極其優(yōu)越的應(yīng)用前景[1]。針對移動機器人軌跡跟蹤控制技術(shù)的研究一直是機器人領(lǐng)域的研究熱點。輪式移動機器人是一個典型的強耦合、非線性、非完整的約束系統(tǒng),在實際工作中還會受各種工作環(huán)境的影響,這使得其軌跡跟蹤控制具有極大的挑戰(zhàn)性[2]。

輪式移動機器人的軌跡跟蹤是指機器人在某一初始位置,通過控制器的作用使得機器人的運動能夠跟蹤一條和時間相關(guān)的期望軌跡[3]。目前,國內(nèi)外學者對輪式移動機器人的跟蹤控制問題進行了研究,其研究方法包括自適應(yīng)反步法,自適應(yīng)滑?？刂?神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制,模糊控制等[2～5]。文獻[4]基于反步設(shè)計方法研究了一類輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題。文獻[5]在反步法的基礎(chǔ)上,將自適應(yīng)控制方法結(jié)合,設(shè)計了可以補償不確定參數(shù)的自適應(yīng)控制器。然而對于諸如倒立擺,移動機器人等欠驅(qū)動非線性系統(tǒng),滑模控制作為一種具有完全魯棒性的變結(jié)構(gòu)控制方法,對這類系統(tǒng)具有較好的控制作用[6,7]。文獻[8]利用分層滑?？刂瓢逊蔷€性系統(tǒng)解耦成各個子系統(tǒng),以各個子系統(tǒng)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定為性能指標實現(xiàn)對整個系統(tǒng)的控制,該方法為復(fù)雜的高階系統(tǒng)控制提供了一個良好的解決方案[9]。

基于以上分析,本文結(jié)合反步法和分層滑模技術(shù)研究了一類輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題。首先將原系統(tǒng)分解為兩個子系統(tǒng),然后對子系統(tǒng)分別利用反步法和分層滑模技術(shù)設(shè)計了一個新的控制器。在該控制器下,可以確保閉環(huán)系統(tǒng)在Lyapunov意義下是漸進穩(wěn)定的,從而實現(xiàn)系統(tǒng)跟蹤誤差的漸進收斂。

1 輪式移動機器人的數(shù)學模型

本文考慮了一類在水平面上移動的三輪移動機器人,以移動機器人運動時的正方向為x軸,垂直于機器人移動方向為y軸,坐標系下的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。圖中假定兩個驅(qū)動輪是相同的,其半徑用r表示,后輪軸的長度用L表示。該輪式移動機器人由差動驅(qū)動的,所以后輪是主動的,通過兩個 后輪的不同速度來控制機器人的速度和轉(zhuǎn)向,機器人的驅(qū)動和轉(zhuǎn)向是獨立執(zhí)行的,添加前腳輪只是為了車輛的穩(wěn)定性。在X-Y坐標系中,該機器人的位姿（位置和方向）由向量q=[x,y,θ]表示,[x,y]表示機器人在運動中的位置；θ為機器人在運動中前進方向與X軸的夾角,即轉(zhuǎn)向角。

圖1 X-Y坐標系下輪式移動機器人模型

在不考慮摩擦力、向心力、側(cè)滑等外部擾動因素下,利用如下的歐拉-拉格朗日方程建立描述輪式移動機器人的動力學方程如式(1)所示：

m和J表示機器人的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量,TL，TR表示與從動輪相關(guān)聯(lián)的左右電機的扭矩。

輪式機器人在移動過程中不考慮側(cè)滑和后滑時,即輪式移動機器人的運動方程始終垂直于車軸,其機器人受如下的非完整運動學約束：

此外,給定如下的拉格朗日乘數(shù)：

根據(jù)文獻[2]的結(jié)果,則上述輪式移動機器人的動力學模型可以進一步表示如式(2)所示：

其中b1=L/(rJ),b2=1(rm),u1=TR-TL和u2=TR+TL表示系統(tǒng)(2)的控制輸入。

2 基于反步法和分層滑模法的控制律設(shè)計

該輪式移動機器人的數(shù)學模型(2)可以分解為兩個子系統(tǒng)。第一個子系統(tǒng)只依賴于控制輸入u1,第二個子系統(tǒng)依賴于控制輸入u2。因此,輪式移動機器人的軌跡跟蹤控制器由兩個部分組成：1）由反步法來設(shè)計控制器u1；2）利用分層滑模技術(shù)來產(chǎn)生控制器u2。其具體設(shè)計流程如下。

2.1 基于反步法角度跟蹤控制律設(shè)計

由于控制器的設(shè)計目標是確保在X-Y坐標系上實現(xiàn)軌跡跟蹤,定義如下的跟蹤誤差如式(3)所示：

為了使機器人的轉(zhuǎn)向角θ跟隨參考角θr,本文基于反步法,通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)來設(shè)計系統(tǒng)的控制律。

定義狀態(tài)變量：

其中α1表示子系統(tǒng)(4)的虛擬控制輸入。

考慮如下的Lyapunov函數(shù)如式(5)所示：

對式(5)求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù),可得如式(6)所示：

選取如下Lyapunov函數(shù)：

對式(8)求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)得：

因此,控制律u1可以設(shè)計為如式(10)所示：

其中k2＞0是設(shè)計的常數(shù)。將式(10)代入式(9)化簡得：

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理可得,通過設(shè)計控制律(10)可以使誤差模型(4)漸進穩(wěn)定,這也意味著轉(zhuǎn)向角θ能漸進收斂于參考角θr。

2.2 基于分層滑模法的位置跟蹤控制律設(shè)計

分層滑?？刂剖橇硪环N李雅普諾夫設(shè)計方法,主要適用于欠驅(qū)動非線性動態(tài)系統(tǒng)。這種方法也適用于由多個子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)。一個子系統(tǒng)的滑動面定義為第一層滑動面。這個過程一直持續(xù)到包括整個子系統(tǒng)的滑動面。其控制律是由李雅普諾夫理論推導(dǎo)出來的。

根據(jù)系統(tǒng)(2),我們可以得到第二個子系統(tǒng)如式(12)所示：

定義新的狀態(tài)變量：

則子系統(tǒng)(12)的狀態(tài)空間方程可以進一步描述如式(13)所示：

其中：

根據(jù)式(3)中定義的位置跟蹤誤差結(jié)合第二個子系統(tǒng)(10),可得誤差系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程如式(14)所示：

其中e1=ex,e3=ey。

我們可以將系統(tǒng)(14)進一步考慮為兩個子系統(tǒng),其第一個子系統(tǒng)如式(15)所示：

其中u21作為系統(tǒng)(15)的虛擬控制輸入。

定義第一層滑模函數(shù)如式(16)所示：

其中c1＞0滿足Hurwitz條件。求得S1的導(dǎo)數(shù)如式(17)所示：

其中u21=ueq21+usw21,ueq21和usw21分別表示虛擬控制輸入u21的等效控制和開關(guān)控制,可以設(shè)計為：

其中l(wèi)1＞0和η1＞0是設(shè)計的參數(shù),sgn(S1)表示S1的符號函數(shù),通過將等效控制輸入ueq21和開關(guān)控制數(shù)如usw21代入(17),式(17)可以進一步化簡為：

定義第二層滑模函數(shù)為：

其中c2＞0滿足Hurwitz條件。因此求得S2的導(dǎo)數(shù)為：

設(shè)計如下的虛擬控制輸入：

其中l(wèi)2＞0,η2＞0是設(shè)計的參數(shù)。根據(jù)虛擬控制輸入信號式(18)、式(19)、式(23)、式(24),我們可以得到第二個子系統(tǒng)(12)的實際分層滑?？刂坡扇缡?25)所示：

為了最大限度減少滑模函數(shù)帶來的高頻顫振,我們把(25)中原來的符號函數(shù)用飽和函數(shù)替代,其定義如下：

基于反步法和分層滑?？刂萍夹g(shù),我們就可以設(shè)計出系統(tǒng)(2)的實際控制輸入u1,u2,進而實現(xiàn)對參考信號的跟蹤控制,具體的算法流程如圖2所示。

圖2 基于反步法和分層滑模法的系統(tǒng)控制

2.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本節(jié)將給出基于閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的證明。

定理1 考慮二階系統(tǒng)(1),采用由反步法設(shè)計的控制律(10)和分層滑模技術(shù)設(shè)計的控制律(25),則可以設(shè)計出系統(tǒng)的實際控制律如式(26)所示：

在該控制律下,閉環(huán)系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

證明：考慮如下Lyapunov函數(shù)為：

對式(27)求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù),結(jié)合式(11)和式(22),可得下列不等式：

對于z1,z1≠0,我們有。因此該閉環(huán)系統(tǒng)在Lyapunov意義下是漸進穩(wěn)定的,這意味著系統(tǒng)的跟蹤誤差可以收斂到任意小的領(lǐng)域,實現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤性能。

3 仿真分析

為了驗證所提出理論的有效性,本文通過MATLAB仿真進行驗證。該輪式移動機器人的模型參數(shù)設(shè)計為：質(zhì)量m=1.038kg,慣性力矩J=0.818kg/m2,r=0.025,L=0.075m,b1=2,k2=4,c1=75,c2=75,l2=5,η2=5,α1=120,β1=200。

圖3 給出了輪式移動機器人在初始位姿為q0=[0,0,π/30]T時,對正弦參考軌跡的跟蹤仿真結(jié)果,圖4展示了輪式移動機器人跟蹤正弦軌跡時位置和轉(zhuǎn)向角的跟蹤誤差。圖5展示了輪式移動機器人在在初始位姿為q0=[1,0,π/2]T時對圓形軌跡的跟蹤結(jié)果,圖6展示了輪式移動機器人跟蹤圓形軌跡時位置和轉(zhuǎn)向角的跟蹤誤差。從仿真結(jié)果可以看出,在所提出的控制方法下,輪式移動機器人的實際軌跡較為精確地跟蹤了期望軌跡。

圖3 在X-Y坐標系中對正弦軌跡的跟蹤結(jié)果

圖4 正弦軌跡的位姿跟蹤誤差

圖5 X-Y坐標系中對圓軌跡的跟蹤結(jié)果

圖6 圓軌跡的位姿跟蹤誤差

4 結(jié)語

本文提出了一類輪式移動機器人的軌跡跟蹤控制算法。結(jié)合反步法和分層滑模技術(shù)設(shè)計的控制器,在機器人軌跡跟蹤控制問題上顯示出其良好的實用能力。通過仿真結(jié)果驗證了所提出控制策略的有效性。在未來的工作中,我們將在輪式移動機器人模型中進一步考慮自適應(yīng)控制,事件觸發(fā)控制等控制方法,豐富其理論研究。