朱華丹， 李愛軍， 方 輝， 劉 勇

(中國海洋大學(xué)工程學(xué)院， 山東 青島 266100)

超大型浮式結(jié)構(gòu)研究對海洋利用和開發(fā)具有重要意義[1]。由于此類浮體水平尺寸通常遠大于厚度，研究中多將其簡化為均質(zhì)彈性薄板(歐拉板)。Fox和Squire[2]基于線性勢流理論發(fā)展了波浪作用下半無限浮冰的水彈性響應(yīng)解析模型。Meylan和Squire[3]采用邊界元方法建立了波浪與有限長浮冰相互作用的數(shù)值解。對于超大型海洋浮式結(jié)構(gòu)物，通常需要在其端部施加合適的約束，除了自由狀態(tài)之外的其他端部條件也需要考慮。Sahoo等[4]建立了波浪與半無限漂浮彈性薄板相互作用的解析模型，分別考慮了彈性板的端部自由、簡支和固支3種情況。在他們的求解過程中，提出了薄板覆蓋水域下的特征函數(shù)正交關(guān)系，提高了計算結(jié)果的精度。Teng等[5]改進了Sahoo等[4]提出的方法，簡化了計算步驟，并提高了計算效率。Teng等[6]進一步考慮彈性薄板吃水深度對結(jié)構(gòu)水彈性響應(yīng)的影響，研究結(jié)果表明：在低頻入射波情況下，可以忽略吃水深度；但是在高頻入射波情況下，吃水深度對水彈性響應(yīng)的影響較為明顯。Guo等[7]基于勢流理論研究了不同地形下的斜向波浪與半無限漂浮彈性薄板的相互作用，闡明了波浪發(fā)生全反射時的臨界入射角度，探討了地形高度、薄板吃水深度等對彈性板撓度、剪力、彎矩等水動力參數(shù)的影響規(guī)律。Mohapatra等[8]基于勢流理論和薄板理論，建立了波浪與漂浮柔性板或水下柔性板相互作用的一般三維數(shù)學(xué)模型。

本文研究波浪作用下層合型浮體的水彈性響應(yīng)，該浮體由上下面板和中間芯材構(gòu)成。高剛度面板彎曲變形，低剛度芯材剪切變形，芯材密度遠小于面板，能夠有效減輕浮體整體質(zhì)量且保持較高的整體剛度。本文結(jié)合勢流理論與夾芯梁振動理論，采用匹配特征函數(shù)展開法建立波浪作用下層合型浮體的水彈性響應(yīng)分析模型，探討各層厚度比例、端部約束等對夾芯板水動力參數(shù)的影響規(guī)律，為海上超大型浮體的實際設(shè)計應(yīng)用提供科學(xué)依據(jù)。

1 解析模型

1.1 夾芯梁運動理論

考慮由上、下面板和中間芯材構(gòu)成的夾芯梁，圖1給出單位寬度的夾芯梁截面受力情況。在外荷載作用下，夾芯梁的運動偏微分方程[9]為:

(1)

式中：ms是夾芯梁的單位面積質(zhì)量；q為外荷載；h1和h3分別為上面板和下面板厚度；h2為芯材厚度；E1和E3分別為上面板和下面板的彈性模量；G為芯材剪切模量。

((a) 夾芯梁的撓度 Deflection; (b) 夾芯梁的彎矩和剪力 Bending moment and shear force of the sandwich beam; (c) 夾芯梁下面板單元的縱向力 Longitudinal force of the lower panel element of the sandwich beam. : 夾芯梁的位移Displacement of the sandwich beam; u1: 上層的位移 Displacement of the upper panel; u2: 下層的位移 Displacement of the lower panel; u: 夾芯層的位移 Displacement of the core; M1: 上層的彎矩Bending moment of the upper panel; M2: 下層的彎矩 Bending moment of the lower panel; S1: 上層的彎矩 Bending moment of the upper panel; S3: 下層的彎矩 Bending moment of the lower panel; S2: 夾芯層的彎矩 Bending moment of the core; P1: 上層受到的縱向力 Longitudinal force of the upper panel; P3: 下層受到的縱向力 Longitudinal force of the lower panel; M: 總彎矩 Total bending moment; S: 總剪力 Total shear force; τ: 夾芯層的剪切應(yīng)力Core shear stress.)

關(guān)于夾芯梁撓度、彎矩和剪力的計算公式可參閱文獻[9]。當夾芯梁做小振幅簡諧運動時，分離出時間因子，則有

q(x,t)=Re[Q(x)e-iωt]，

(2)

w(x,t)=Re[W(x)e-iωt]，

(3)

(4)

(5)

將式(2～5)代入式(1)，并消去時間因子，可以得到：

(6)

同理，夾芯梁的彎矩為：

(7)

(8)

上面板的縱向力P1和下面板的縱向力P3為:

(9)

1.2 邊值問題

圖2為波浪作用于半無限長夾芯板示意圖，忽略夾芯板的吃水。假設(shè)流體無黏性、不可壓縮，且流體運動無旋，則可以用速度勢描述整個流體的運動[10]?？紤]圓頻率為ω的小振幅正弦波，分離出時間因子，則速度勢可以表示為:

Φ(x,z,t)=Re[φ(x,z)e-iωt]。

(10)

式中φ(x,z)表示空間速度勢，為復(fù)數(shù)形式。

(c: 夾芯板總厚度 Thickness of the semi-infinite sandwich plate; h: 水深 Depth of the water; Ω1: 左側(cè)區(qū)域 Left region; Ω2: 右側(cè)區(qū)域 Right region)

整個流體區(qū)域劃分成2個子區(qū)域：左側(cè)的開放水體區(qū)域Ω1(x≤0，-h≤z≤0)和夾芯板覆蓋的水體區(qū)域Ω2(0≤x，-h≤z≤0)。流體的速度勢滿足拉普拉斯方程和以下邊界條件:

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：下標j表示流體區(qū)域編號；g表示重力加速度；k0表示波數(shù)；φI表示入射波的速度勢。假設(shè)流體與夾芯板之間不存在間隙，則運動學(xué)邊界條件和動力學(xué)邊界條件分別為

(15)

Q=iωρφ2-ρgW,z=0。

(16)

式中ρ是流體的密度。將式(15)和式(16)代入式(6)，可以得到僅與速度勢有關(guān)的彈性邊界條件：

(17)

為了求解夾芯板的運動響應(yīng)，需要在夾芯板端部施加合適的約束，因此本文作者考慮到2種不同約束條件：端部自由和端部簡支，數(shù)學(xué)表達式為

(a)自由狀態(tài)：面板的縱向受力為0，即

(18)

芯材彎矩為0，即

(19)

剪力為0，即

(20)

(b)簡支狀態(tài)：撓度為0，即

(21)

面板彎矩為0，即

(22)

芯材彎矩為0，即

(23)

1.3 速度勢求解

滿足控制方程(11)和邊界條件(12)、(13)和(14)的速度勢級數(shù)表達式為:

(24)

式中：H是入射波的波高；Rn(n≥0)是待定的復(fù)展開系數(shù)；波數(shù)kn滿足色散方程：

ω2=gk0tanhk0h=-gkntanknh(n≥1)。

(25)

Zn(z)是垂向特征函數(shù)：

(26)

滿足控制方程(11)、邊界條件(13)以及遠場輻射邊界條件的速度勢級數(shù)表達式為:

(27)

式中：Tn(n≥-2)是待定的復(fù)展開系數(shù)；波數(shù)λn滿足色散方程:

(28)

Yn(z)是垂向特征函數(shù):

(29)

值得注意的是，λ0是式(28)的負純虛根，對應(yīng)向右傳播的波浪傳播模態(tài)；λ-2(=α+iβ)和λ-1(=α-iβ)(α>0，β>0)是式(28)的共軛復(fù)數(shù)根，對應(yīng)向右傳播但幅值不斷衰減的傳播模態(tài)；λn(n≥1)是式(28)的正實根，對應(yīng)波浪的非傳播模態(tài)。

在區(qū)域交界處(x=0)，速度勢滿足壓強連續(xù)條件和水平速度連續(xù)條件:

φ1=φ2,x=0,-h≤z≤0，

(30)

(31)

將Ω1區(qū)域和Ω2區(qū)域的速度勢表達式代入匹配邊界條件(30)和(31)，并在式子兩邊同時乘以特征函數(shù)Zm(z)，然后對z沿水深積分，可以得到

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

簡支狀態(tài)：

(37)

(38)

(39)

將式(32)中的m和n截斷到N項，式(33)中的m和n分別截斷為N-1項和N項，式(34)～(39)中的n截斷到N項，然后聯(lián)立式(32)和式(33)以及任意端部條件，可以得到含2N+4個未知數(shù)的線性方程組，求解方程組便可確定速度勢的展開系數(shù)Rn和Tn。

1.4 水動力參數(shù)

當波浪遇到漂浮夾芯板產(chǎn)生反射和透射，反射系數(shù)Kr和透射系數(shù)Kt為：

Kr=|R0|，

(40)

(41)

利用速度勢可以計算夾芯板的撓度W(x)、彎矩(x)和剪力(x)，具體表達式為:

(42)

(43)

(44)

無因次撓度、彎矩和剪力定義為

(45)

2 結(jié)果分析與討論

2.1 收斂性檢驗

端部自由時，重力加速度為g=9.8 m/s2，流體的密度為1 025 kg/m3，水深為100 m，夾芯板參數(shù)為：總厚度1 m，上下面板厚度為0.04 m，彈性模量E1和E3均為192 GPa，芯材厚度為0.92 m，剪切模量G為1.06 GPa。表1給出不同截斷數(shù)時夾芯板的反射系數(shù)和透射系數(shù)，系數(shù)隨著截斷數(shù)的增加而逐漸收斂，截斷數(shù)N=50的計算結(jié)果達到4位有效數(shù)字精度，因此，在下文計算中截斷數(shù)均取N=50。

表1 端部自由狀態(tài)下夾芯板的反射系數(shù)和透射系數(shù)隨截斷數(shù)的變化

2.2 極限情況驗證

夾芯板上面板和中間芯材的厚度均為零時，浮體退化成單層均質(zhì)薄板。Teng等[6]基于勢流理論研究波浪作用下半無限薄板水彈性響應(yīng)，采用歐拉梁模型為水面條件。圖3給出退化之后的計算結(jié)果與Teng等[6]計算結(jié)果的對比，計算中抗彎剛度滿足EI/(ρgh4)=0.005，薄板單位面積質(zhì)量滿足ms/(ρh)=0.01，端部自由，2種方法的計算結(jié)果符合良好。

(Kr: 反射系數(shù) Reflection coefficient; Kt: 透射系數(shù) Transmission coefficient; k0h: 無量綱波數(shù) Dimensionless wavenumber; 無量綱撓度 Dimensionless deflection; 無量綱彎矩 Dimensionless bending moment; x/h: 無量綱板長 Dimensionless plate length; 現(xiàn)在的結(jié)果 The results of the present; Teng等的結(jié)果 The results of the Teng’s methods。)

2.3 算例分析與討論

本文作者采用3.1節(jié)材料參數(shù)，夾芯板總厚度不變，考慮3種不同的芯材厚度：h2=0.92 m、h2=0.96 m和h2=0.98 m。圖4(a)給出3種不同夾芯板端部自由狀態(tài)下的反射和透射系數(shù)隨無因次波數(shù)k0h的變化：隨著波數(shù)k0h的增大，反射系數(shù)逐漸增大、透射系數(shù)逐漸減小，即高頻波浪(短波)易被夾芯板所反射，低頻波浪(長波)則不容易被反射，而且，芯材厚度增大，透射系數(shù)增大，反射系數(shù)減小，即芯材厚度的增加導(dǎo)致被反射的波浪能量減少，透射到夾芯板下方水域的波浪能量增加，主要是因為芯材厚度增加使得夾芯板整體等效剛度減小。圖4(b)為夾芯板端部簡支狀態(tài)下的反射系數(shù)Kr和透射系數(shù)Kt隨無因次波數(shù)k0h的變化，當無因次波數(shù)k0h增大時，反射系數(shù)和透射系數(shù)的變化趨勢與圖4(a)一致；但是，對比同一波數(shù)k0h，端部簡支夾芯板的反射系數(shù)相對端部自由的顯著增大，透射系數(shù)減小。

(Kr: 反射系數(shù) Reflection coefficient; Kt: 透射系數(shù) Transmission coefficient; 芯材厚度: Thickness of the second layer; k0h: 無量綱波數(shù) Dimensionless wavenumber。)

圖5給出端部自由狀態(tài)下3種不同夾芯板的無因次撓度、彎矩和剪力，無因次波數(shù)k0h=6。夾芯板撓度隨著芯材厚度的增大逐漸減小，這主要是因為夾芯板的整體剛度增大；面板厚度的變化不影響撓度最大值所對應(yīng)的位置，3種不同夾芯板的撓度均在端點處達到最大值；隨著離端點距離的增加，夾芯板的撓度先減小，然后趨于穩(wěn)定，這是因為此時流體區(qū)域僅存在向右傳播的傳播波；隨著芯材厚度的增加，夾芯梁的彎矩和剪力均逐漸增大。圖6給出端部簡支狀態(tài)下三種不同夾芯板的無因次撓度、彎矩和剪力，計算條件與圖5中的參數(shù)一致。芯材厚度影響與端部自由狀態(tài)時相同，不過，端部簡支約束使撓度最大值不再出現(xiàn)在夾芯板左端(此處撓度和彎矩均為0)，而且撓度響應(yīng)最大值明顯減小。

(CW: 無量綱撓度 Dimensionless deflection; 無量綱彎矩 Dimensionless bending moment; 無量綱剪力 Dimensionless shear force; x/h: 無量綱板長 Dimensionless plate length; 芯材厚度: Thickness of the second layer。)

(CW: 無量綱撓度 Dimensionless deflection; 無量綱彎矩 Dimensionless bending moment; 無量綱剪力 Dimensionless shear force; x/h: 無量綱板長 Dimensionless plate length; 芯材厚度: Thickness of the second layer。)

3 結(jié)語

本文基于夾芯板理論和勢流理論，采用匹配特征函數(shù)展開法，建立了波浪作用下超大型層合浮體水彈性響應(yīng)分析的解析模型，不同端部約束都具有很好的收斂性。對波浪反射系數(shù)、透射系數(shù)以及夾芯板撓度、剪力和彎矩進行分析：相對自由夾芯板，簡支板的撓度幅值更大；芯材厚度減小增大板整體剛度，有效降低撓度響應(yīng)幅值。本文解析模型可為復(fù)雜的數(shù)值模擬或物理模型試驗研究提供理論指導(dǎo)，為超大型層合浮體設(shè)計提供快速分析方法和參考依據(jù)。