朱華丹， 李愛(ài)軍， 方 輝， 劉 勇

(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院， 山東 青島 266100)

超大型浮式結(jié)構(gòu)研究對(duì)海洋利用和開(kāi)發(fā)具有重要意義[1]。由于此類浮體水平尺寸通常遠(yuǎn)大于厚度，研究中多將其簡(jiǎn)化為均質(zhì)彈性薄板(歐拉板)。Fox和Squire[2]基于線性勢(shì)流理論發(fā)展了波浪作用下半無(wú)限浮冰的水彈性響應(yīng)解析模型。Meylan和Squire[3]采用邊界元方法建立了波浪與有限長(zhǎng)浮冰相互作用的數(shù)值解。對(duì)于超大型海洋浮式結(jié)構(gòu)物，通常需要在其端部施加合適的約束，除了自由狀態(tài)之外的其他端部條件也需要考慮。Sahoo等[4]建立了波浪與半無(wú)限漂浮彈性薄板相互作用的解析模型，分別考慮了彈性板的端部自由、簡(jiǎn)支和固支3種情況。在他們的求解過(guò)程中，提出了薄板覆蓋水域下的特征函數(shù)正交關(guān)系，提高了計(jì)算結(jié)果的精度。Teng等[5]改進(jìn)了Sahoo等[4]提出的方法，簡(jiǎn)化了計(jì)算步驟，并提高了計(jì)算效率。Teng等[6]進(jìn)一步考慮彈性薄板吃水深度對(duì)結(jié)構(gòu)水彈性響應(yīng)的影響，研究結(jié)果表明：在低頻入射波情況下，可以忽略吃水深度；但是在高頻入射波情況下，吃水深度對(duì)水彈性響應(yīng)的影響較為明顯。Guo等[7]基于勢(shì)流理論研究了不同地形下的斜向波浪與半無(wú)限漂浮彈性薄板的相互作用，闡明了波浪發(fā)生全反射時(shí)的臨界入射角度，探討了地形高度、薄板吃水深度等對(duì)彈性板撓度、剪力、彎矩等水動(dòng)力參數(shù)的影響規(guī)律。Mohapatra等[8]基于勢(shì)流理論和薄板理論，建立了波浪與漂浮柔性板或水下柔性板相互作用的一般三維數(shù)學(xué)模型。

本文研究波浪作用下層合型浮體的水彈性響應(yīng)，該浮體由上下面板和中間芯材構(gòu)成。高剛度面板彎曲變形，低剛度芯材剪切變形，芯材密度遠(yuǎn)小于面板，能夠有效減輕浮體整體質(zhì)量且保持較高的整體剛度。本文結(jié)合勢(shì)流理論與夾芯梁振動(dòng)理論，采用匹配特征函數(shù)展開(kāi)法建立波浪作用下層合型浮體的水彈性響應(yīng)分析模型，探討各層厚度比例、端部約束等對(duì)夾芯板水動(dòng)力參數(shù)的影響規(guī)律，為海上超大型浮體的實(shí)際設(shè)計(jì)應(yīng)用提供科學(xué)依據(jù)。

1 解析模型

1.1 夾芯梁運(yùn)動(dòng)理論

考慮由上、下面板和中間芯材構(gòu)成的夾芯梁，圖1給出單位寬度的夾芯梁截面受力情況。在外荷載作用下，夾芯梁的運(yùn)動(dòng)偏微分方程[9]為:

(1)

式中：ms是夾芯梁的單位面積質(zhì)量；q為外荷載；h1和h3分別為上面板和下面板厚度；h2為芯材厚度；E1和E3分別為上面板和下面板的彈性模量；G為芯材剪切模量。

((a) 夾芯梁的撓度 Deflection; (b) 夾芯梁的彎矩和剪力 Bending moment and shear force of the sandwich beam; (c) 夾芯梁下面板單元的縱向力 Longitudinal force of the lower panel element of the sandwich beam. : 夾芯梁的位移Displacement of the sandwich beam; u1: 上層的位移 Displacement of the upper panel; u2: 下層的位移 Displacement of the lower panel; u: 夾芯層的位移 Displacement of the core; M1: 上層的彎矩Bending moment of the upper panel; M2: 下層的彎矩 Bending moment of the lower panel; S1: 上層的彎矩 Bending moment of the upper panel; S3: 下層的彎矩 Bending moment of the lower panel; S2: 夾芯層的彎矩 Bending moment of the core; P1: 上層受到的縱向力 Longitudinal force of the upper panel; P3: 下層受到的縱向力 Longitudinal force of the lower panel; M: 總彎矩 Total bending moment; S: 總剪力 Total shear force; τ: 夾芯層的剪切應(yīng)力Core shear stress.)

關(guān)于夾芯梁撓度、彎矩和剪力的計(jì)算公式可參閱文獻(xiàn)[9]。當(dāng)夾芯梁做小振幅簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，分離出時(shí)間因子，則有

q(x,t)=Re[Q(x)e-iωt]，

(2)

w(x,t)=Re[W(x)e-iωt]，

(3)

(4)

(5)

將式(2～5)代入式(1)，并消去時(shí)間因子，可以得到：

(6)

同理，夾芯梁的彎矩為：

(7)

(8)

上面板的縱向力P1和下面板的縱向力P3為:

(9)

1.2 邊值問(wèn)題

圖2為波浪作用于半無(wú)限長(zhǎng)夾芯板示意圖，忽略?shī)A芯板的吃水。假設(shè)流體無(wú)黏性、不可壓縮，且流體運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，則可以用速度勢(shì)描述整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)[10]。考慮圓頻率為ω的小振幅正弦波，分離出時(shí)間因子，則速度勢(shì)可以表示為:

Φ(x,z,t)=Re[φ(x,z)e-iωt]。

(10)

式中φ(x,z)表示空間速度勢(shì)，為復(fù)數(shù)形式。

(c: 夾芯板總厚度 Thickness of the semi-infinite sandwich plate; h: 水深 Depth of the water; Ω1: 左側(cè)區(qū)域 Left region; Ω2: 右側(cè)區(qū)域 Right region)

整個(gè)流體區(qū)域劃分成2個(gè)子區(qū)域：左側(cè)的開(kāi)放水體區(qū)域Ω1(x≤0，-h≤z≤0)和夾芯板覆蓋的水體區(qū)域Ω2(0≤x，-h≤z≤0)。流體的速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程和以下邊界條件:

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：下標(biāo)j表示流體區(qū)域編號(hào)；g表示重力加速度；k0表示波數(shù)；φI表示入射波的速度勢(shì)。假設(shè)流體與夾芯板之間不存在間隙，則運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件和動(dòng)力學(xué)邊界條件分別為

(15)

Q=iωρφ2-ρgW,z=0。

(16)

式中ρ是流體的密度。將式(15)和式(16)代入式(6)，可以得到僅與速度勢(shì)有關(guān)的彈性邊界條件：

(17)

為了求解夾芯板的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，需要在夾芯板端部施加合適的約束，因此本文作者考慮到2種不同約束條件：端部自由和端部簡(jiǎn)支，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(a)自由狀態(tài)：面板的縱向受力為0，即

(18)

芯材彎矩為0，即

(19)

剪力為0，即

(20)

(b)簡(jiǎn)支狀態(tài)：撓度為0，即

(21)

面板彎矩為0，即

(22)

芯材彎矩為0，即

(23)

1.3 速度勢(shì)求解

滿足控制方程(11)和邊界條件(12)、(13)和(14)的速度勢(shì)級(jí)數(shù)表達(dá)式為:

(24)

式中：H是入射波的波高；Rn(n≥0)是待定的復(fù)展開(kāi)系數(shù)；波數(shù)kn滿足色散方程：

ω2=gk0tanhk0h=-gkntanknh(n≥1)。

(25)

Zn(z)是垂向特征函數(shù)：

(26)

滿足控制方程(11)、邊界條件(13)以及遠(yuǎn)場(chǎng)輻射邊界條件的速度勢(shì)級(jí)數(shù)表達(dá)式為:

(27)

式中：Tn(n≥-2)是待定的復(fù)展開(kāi)系數(shù)；波數(shù)λn滿足色散方程:

(28)

Yn(z)是垂向特征函數(shù):

(29)

值得注意的是，λ0是式(28)的負(fù)純虛根，對(duì)應(yīng)向右傳播的波浪傳播模態(tài)；λ-2(=α+iβ)和λ-1(=α-iβ)(α>0，β>0)是式(28)的共軛復(fù)數(shù)根，對(duì)應(yīng)向右傳播但幅值不斷衰減的傳播模態(tài)；λn(n≥1)是式(28)的正實(shí)根，對(duì)應(yīng)波浪的非傳播模態(tài)。

在區(qū)域交界處(x=0)，速度勢(shì)滿足壓強(qiáng)連續(xù)條件和水平速度連續(xù)條件:

φ1=φ2,x=0,-h≤z≤0，

(30)

(31)

將Ω1區(qū)域和Ω2區(qū)域的速度勢(shì)表達(dá)式代入匹配邊界條件(30)和(31)，并在式子兩邊同時(shí)乘以特征函數(shù)Zm(z)，然后對(duì)z沿水深積分，可以得到

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

簡(jiǎn)支狀態(tài)：

(37)

(38)

(39)

將式(32)中的m和n截?cái)嗟絅項(xiàng)，式(33)中的m和n分別截?cái)酁镹-1項(xiàng)和N項(xiàng)，式(34)～(39)中的n截?cái)嗟絅項(xiàng)，然后聯(lián)立式(32)和式(33)以及任意端部條件，可以得到含2N+4個(gè)未知數(shù)的線性方程組，求解方程組便可確定速度勢(shì)的展開(kāi)系數(shù)Rn和Tn。

1.4 水動(dòng)力參數(shù)

當(dāng)波浪遇到漂浮夾芯板產(chǎn)生反射和透射，反射系數(shù)Kr和透射系數(shù)Kt為：

Kr=|R0|，

(40)

(41)

利用速度勢(shì)可以計(jì)算夾芯板的撓度W(x)、彎矩(x)和剪力(x)，具體表達(dá)式為:

(42)

(43)

(44)

無(wú)因次撓度、彎矩和剪力定義為

(45)

2 結(jié)果分析與討論

2.1 收斂性檢驗(yàn)

端部自由時(shí)，重力加速度為g=9.8 m/s2，流體的密度為1 025 kg/m3，水深為100 m，夾芯板參數(shù)為：總厚度1 m，上下面板厚度為0.04 m，彈性模量E1和E3均為192 GPa，芯材厚度為0.92 m，剪切模量G為1.06 GPa。表1給出不同截?cái)鄶?shù)時(shí)夾芯板的反射系數(shù)和透射系數(shù)，系數(shù)隨著截?cái)鄶?shù)的增加而逐漸收斂，截?cái)鄶?shù)N=50的計(jì)算結(jié)果達(dá)到4位有效數(shù)字精度，因此，在下文計(jì)算中截?cái)鄶?shù)均取N=50。

表1 端部自由狀態(tài)下夾芯板的反射系數(shù)和透射系數(shù)隨截?cái)鄶?shù)的變化

2.2 極限情況驗(yàn)證

夾芯板上面板和中間芯材的厚度均為零時(shí)，浮體退化成單層均質(zhì)薄板。Teng等[6]基于勢(shì)流理論研究波浪作用下半無(wú)限薄板水彈性響應(yīng)，采用歐拉梁模型為水面條件。圖3給出退化之后的計(jì)算結(jié)果與Teng等[6]計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，計(jì)算中抗彎剛度滿足EI/(ρgh4)=0.005，薄板單位面積質(zhì)量滿足ms/(ρh)=0.01，端部自由，2種方法的計(jì)算結(jié)果符合良好。

(Kr: 反射系數(shù) Reflection coefficient; Kt: 透射系數(shù) Transmission coefficient; k0h: 無(wú)量綱波數(shù) Dimensionless wavenumber; 無(wú)量綱撓度 Dimensionless deflection; 無(wú)量綱彎矩 Dimensionless bending moment; x/h: 無(wú)量綱板長(zhǎng) Dimensionless plate length; 現(xiàn)在的結(jié)果 The results of the present; Teng等的結(jié)果 The results of the Teng’s methods。)

2.3 算例分析與討論

本文作者采用3.1節(jié)材料參數(shù)，夾芯板總厚度不變，考慮3種不同的芯材厚度：h2=0.92 m、h2=0.96 m和h2=0.98 m。圖4(a)給出3種不同夾芯板端部自由狀態(tài)下的反射和透射系數(shù)隨無(wú)因次波數(shù)k0h的變化：隨著波數(shù)k0h的增大，反射系數(shù)逐漸增大、透射系數(shù)逐漸減小，即高頻波浪(短波)易被夾芯板所反射，低頻波浪(長(zhǎng)波)則不容易被反射，而且，芯材厚度增大，透射系數(shù)增大，反射系數(shù)減小，即芯材厚度的增加導(dǎo)致被反射的波浪能量減少，透射到夾芯板下方水域的波浪能量增加，主要是因?yàn)樾静暮穸仍黾邮沟脢A芯板整體等效剛度減小。圖4(b)為夾芯板端部簡(jiǎn)支狀態(tài)下的反射系數(shù)Kr和透射系數(shù)Kt隨無(wú)因次波數(shù)k0h的變化，當(dāng)無(wú)因次波數(shù)k0h增大時(shí)，反射系數(shù)和透射系數(shù)的變化趨勢(shì)與圖4(a)一致；但是，對(duì)比同一波數(shù)k0h，端部簡(jiǎn)支夾芯板的反射系數(shù)相對(duì)端部自由的顯著增大，透射系數(shù)減小。

(Kr: 反射系數(shù) Reflection coefficient; Kt: 透射系數(shù) Transmission coefficient; 芯材厚度: Thickness of the second layer; k0h: 無(wú)量綱波數(shù) Dimensionless wavenumber。)

圖5給出端部自由狀態(tài)下3種不同夾芯板的無(wú)因次撓度、彎矩和剪力，無(wú)因次波數(shù)k0h=6。夾芯板撓度隨著芯材厚度的增大逐漸減小，這主要是因?yàn)閵A芯板的整體剛度增大；面板厚度的變化不影響撓度最大值所對(duì)應(yīng)的位置，3種不同夾芯板的撓度均在端點(diǎn)處達(dá)到最大值；隨著離端點(diǎn)距離的增加，夾芯板的撓度先減小，然后趨于穩(wěn)定，這是因?yàn)榇藭r(shí)流體區(qū)域僅存在向右傳播的傳播波；隨著芯材厚度的增加，夾芯梁的彎矩和剪力均逐漸增大。圖6給出端部簡(jiǎn)支狀態(tài)下三種不同夾芯板的無(wú)因次撓度、彎矩和剪力，計(jì)算條件與圖5中的參數(shù)一致。芯材厚度影響與端部自由狀態(tài)時(shí)相同，不過(guò)，端部簡(jiǎn)支約束使撓度最大值不再出現(xiàn)在夾芯板左端(此處撓度和彎矩均為0)，而且撓度響應(yīng)最大值明顯減小。

(CW: 無(wú)量綱撓度 Dimensionless deflection; 無(wú)量綱彎矩 Dimensionless bending moment; 無(wú)量綱剪力 Dimensionless shear force; x/h: 無(wú)量綱板長(zhǎng) Dimensionless plate length; 芯材厚度: Thickness of the second layer。)

(CW: 無(wú)量綱撓度 Dimensionless deflection; 無(wú)量綱彎矩 Dimensionless bending moment; 無(wú)量綱剪力 Dimensionless shear force; x/h: 無(wú)量綱板長(zhǎng) Dimensionless plate length; 芯材厚度: Thickness of the second layer。)

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于夾芯板理論和勢(shì)流理論，采用匹配特征函數(shù)展開(kāi)法，建立了波浪作用下超大型層合浮體水彈性響應(yīng)分析的解析模型，不同端部約束都具有很好的收斂性。對(duì)波浪反射系數(shù)、透射系數(shù)以及夾芯板撓度、剪力和彎矩進(jìn)行分析：相對(duì)自由夾芯板，簡(jiǎn)支板的撓度幅值更大；芯材厚度減小增大板整體剛度，有效降低撓度響應(yīng)幅值。本文解析模型可為復(fù)雜的數(shù)值模擬或物理模型試驗(yàn)研究提供理論指導(dǎo)，為超大型層合浮體設(shè)計(jì)提供快速分析方法和參考依據(jù)。