劉壯，王啟東，史浩東，成麗波

（1 長春理工大學(xué)空間光電技術(shù)研究所，長春 130022）

（2 中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所應(yīng)用光學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長春 130033）

（3 長春理工大學(xué)理學(xué)院，長春 130022）

0 引言

光學(xué)相控陣器件可實(shí)現(xiàn)光束的非機(jī)械偏轉(zhuǎn)，在激光通信、激光雷達(dá)、激光測距、測高等領(lǐng)域均具有重要應(yīng)用前景［1-3］。目前成熟的光學(xué)相控陣器件主要包含液晶空間光調(diào)制器與級聯(lián)液晶偏振光柵（Liquid Crystal Polarization Grating，LCPG），其中液晶空間光調(diào)制器可實(shí)現(xiàn)小范圍、高精度的非機(jī)械偏轉(zhuǎn)，級聯(lián)的LCPG 可實(shí)現(xiàn)大范圍、大角間隔的非機(jī)械偏轉(zhuǎn)，其最大偏轉(zhuǎn)角度可達(dá)到±40°［4-5］。

相控陣器件采用衍射原理，對于非單色光具有色散作用，激光器中心波長與設(shè)計(jì)值會有一定偏差，使用過程中也有可能產(chǎn)生一定波長漂移，同時激光也具有一定光譜寬度，色散作用會引起激光光束角度與截面功率分布的變化，光束截面中心位置與光功率分布模型對于激光應(yīng)用能力的計(jì)算至關(guān)重要。目前在計(jì)算光束截面功率密度時，通常假設(shè)激光光束截面功率分布是均勻的，而實(shí)際情況下為使激光光束截面功率更加集中，通常使用基模激光，光束截面功率是高斯分布或者瑞利分布。由于色散作用，高斯分布或者瑞利分布已不再適用。陳萬等利用帶有鏡面對稱結(jié)構(gòu)的圓偏振轉(zhuǎn)換器設(shè)計(jì)了超寬帶幾何相位元件，設(shè)計(jì)的基于四層鏡面對稱的偏振光柵在420～945 nm 的超寬波段內(nèi)衍射效率都保持在99%以上，解決了液晶級聯(lián)偏振光柵衍射效率低、工作譜段窄的問題，但未解決相控陣引起的色散問題［6］。Paul 等計(jì)算并模擬了不同波長經(jīng)過液晶光學(xué)相控陣后由于色散導(dǎo)致的光束分離，并沒有分析出光束截面的光功率分布模型［7］。

本文根據(jù)液晶相控陣器件的色散原理，給出了組合液晶相控陣器件的色散公式，結(jié)合激光光源的光功率譜分布與單模激光的光截面功率分布公式，推導(dǎo)出激光光源經(jīng)過組合液晶相控陣器件后的光功率分布公式，給出簡易計(jì)算方法，最后根據(jù)特定系統(tǒng)參數(shù)與設(shè)定的偏轉(zhuǎn)角度分析了液晶相控陣器件色散特性對能量收集的影響。

1 理論

1.1 液晶相控陣角度偏轉(zhuǎn)

1.1.1 液晶相控陣器件色散

液晶相控陣器件實(shí)現(xiàn)角度偏轉(zhuǎn)采用衍射光柵的原理，不同波長入射光經(jīng)過光柵后出射角度表示為

式中，θout為出射角，θin為入射角，m為衍射級次，通常m取±1，λ為入射光波長，d為光柵常數(shù)（即光柵溝槽間隔），對于空間光調(diào)制器，d=M·e，M為調(diào)制參數(shù)，e為液晶控制單元尺寸。相近的波長的出射角度差（即色散角）為

由式（2）可知，光柵的色散角與光源的波長間隔或光譜寬度成正比，與光柵常數(shù)成反比，并隨著出射角的增大而增大。

1.1.2 組合液晶相控陣器件色散

級聯(lián)LCPG 是多片LCPG 與液晶可調(diào)半波片的組合形式，單獨(dú)的液晶LCPG 與液晶可調(diào)半波片組合可實(shí)現(xiàn)一個固定角度的偏轉(zhuǎn)，多片LCPG 正交級聯(lián)可實(shí)現(xiàn)大角度范圍的二維光束偏轉(zhuǎn)。級聯(lián)LCPG 組合的形式為第一層決定角度分辨率，以后每一層衍射角都是上一層衍射角的2 倍（例如：1.25°、2.5°、5.0°、10.0°、20.0°），對于一個N層的級聯(lián)LCPG，理論上共可以控制2N+1個角度［8-12］。因此，為了實(shí)現(xiàn)1.25°分辨率、±40°范圍的角度偏轉(zhuǎn)控制，共需要5 層（N=5，2N+1=64，角度范圍與分辨率的商為2×（40°/1.25°）=64），為了實(shí)現(xiàn)二維的光束偏轉(zhuǎn)，在正交方向需要同樣的5 層，例如，為實(shí)現(xiàn)（22.5°，-16.25°）的光束偏轉(zhuǎn)，方位方向每一層LCPG 中可調(diào)液晶半波片的控制系數(shù)為

俯仰方向每一層LCPG 中可調(diào)半波片的控制方式為

對于偏轉(zhuǎn)角度分別為1.25°、2.5°、5.0°、10.0°、20.0°的LCPG，工作波長為1 064 nm 時，根據(jù)式（1），光柵常數(shù)分別為48.77 μm、24.39 μm、12.21 μm、6.13 μm、3.11 μm。

LCPG 多采用±1 級衍射光，偏轉(zhuǎn)角度同樣可根據(jù)式（1）計(jì)算，推導(dǎo)出一維級聯(lián)LCPG 入射光經(jīng)過每一級LCPG 的偏轉(zhuǎn)角度為

將式（5）相加，可得到入射光束經(jīng)過多級LCPG 衍射后的實(shí)際出射角度為

當(dāng)采用液晶相控陣與LCPG 組合的光束偏轉(zhuǎn)形式時，可將式（1）與式（6）結(jié)合，得到

令

光束入射角為0°，則式（7）可表示成

光學(xué)相控陣組合所在位置坐標(biāo)為（0，0，0），若光學(xué)相控陣組合只實(shí)現(xiàn)x方向偏轉(zhuǎn)，則距離為z處，波長為λ的光束所在位置x的坐標(biāo)為

正交級聯(lián)LCPG 衍射光束中心位置二維坐標(biāo)為

根據(jù)式（7），得

1.2 激光中心波長漂移量與光束中心位置最大偏差關(guān)系

激光器的中心波長與設(shè)計(jì)值可能存在一定誤差，使用過程中也可能存在一定波長漂移，漂移量主要受發(fā)光類型、溫度、老化程度等因素影響。根據(jù)式（11），得到激光中心波長漂移量Δλ與光束中心位置坐標(biāo)偏移之間關(guān)系為

假設(shè)激光波長為1 064 nm，中心波長漂移Δλ為0.05 nm［13］，當(dāng)組合液晶相控陣器件偏轉(zhuǎn)角度為0°時，激光相當(dāng)于經(jīng)過平面，中心波長漂移不會引起光束位置變化，當(dāng)級聯(lián)偏振光柵偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-16.25°）時，激光經(jīng)過后在1 000 km 外光束坐標(biāo)偏移量為（26.76 m，-19.60 m）；當(dāng)級聯(lián)偏振光柵偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-22.5°）時，激光經(jīng)過后在1 000 km 外光束坐標(biāo)偏移量為（30.79 m，-30.79 m），由此可見，液晶相控陣器件的偏轉(zhuǎn)角更大時，最大偏移量更大。

1.3 激光器功率譜密度表示

激光器相較于其他光源具有良好的單色性，但其仍具有一定的光譜寬度（線寬），激光器光譜功率分布因激光器的類型、功率參數(shù)、老化程度等因素而異，通常利用柯西—洛倫茲分布來表示激光器功率譜密度，即［11］

式中，λp為中心波長，Δλp為波長半寬度，對式（14）在范圍（λp-Δλp，λp+Δλp），（λp-2Δλp，λp+2Δλp），（λp-3Δλp，λp+3Δλp）求取定積分，可得到

從結(jié)果中可以看出，（λp-Δλp，λp+Δλp）、（λp-2Δλp，λp+2Δλp）、（λp-3Δλp，λp+3Δλp）內(nèi)分別集中了70.5%、84.4%、89.5%的能量。

用于測距或者測高的固體激光器的中心波長通常為1 064 nm，光譜寬度Δλp為0.05 nm［14-15］，其光譜密度分布曲線如圖1 所示。

圖1 中心波長為1 064 nm 的激光器光譜分布曲線Fig.1 Spectral distribution curve of laser with central wavelength of 1 064 nm

由于色散的存在，直徑無限小的平行光束空間中一點(diǎn)（x，y，z）的光強(qiáng)I（x，y，z）將分散成一個以（xp，yp，z）為中心的線型分布，坐標(biāo)點(diǎn)（x，y，z）光強(qiáng)I（x，y，z）的大小將取決于其波長。通過式（11）與式（14）聯(lián)合計(jì)算可以得到空間中不同點(diǎn)的光功率分布。

假設(shè)激光波長為1 064 nm，光譜寬度Δλp為0.05 nm，經(jīng)過可實(shí)現(xiàn)（22.5°，-16.25°）偏轉(zhuǎn)的級聯(lián)LCPG 后，當(dāng)光源為直徑無限小的線光束時，在1 000 km 外光束截面功率分布曲線如圖2 所示。

圖2 線光源1 000 km 外光束截面功率分布曲線Fig.2 Power distribution curve of beam section outside 1 000 km of linear light source

1.4 激光光束截面功率分布表示

激光器的光束截面功率分布因激光的模式不同而不同，激光測距與激光通信通常采用質(zhì)量因子M2接近于1 的單模激光，其光強(qiáng)呈現(xiàn)高斯分布，即

式中，P為光功率，λ為波長，ω0為束腰直徑。激光的發(fā)散角為

激光波長為1 064 nm，功率為1 W，經(jīng)過擴(kuò)束后束散角為20 μrad，則束腰直徑為24.7 mm，根據(jù)式（16），在沒有色散的影響下，在1 000 km 外光束截面功率分布曲線如圖3 所示。

從圖中可見，光功率呈現(xiàn)中間高、邊緣低的旋轉(zhuǎn)對稱分布，取接收光孔徑為1.0 m，在中心位置可接收到的光功率約為5.0 mW，在距中心位置7.0 m 處可接收到的光功率約為3.8 mW。

1.5 色散作用下激光光束截面功率分布表示

若不考慮色散，激光在距離z處的空間中光功率分布函數(shù)為I（x1，y1，z），由于色散的存在，光功率將被分散，空間中一點(diǎn)（x2，y2，z）光功率分布函數(shù)H（x2，y2，z）將變成附近每一點(diǎn)（x（λ），y（λ），z）的分布在該點(diǎn)的累加，所以H（x2，y2，z）可表示為

經(jīng)過液晶相控陣器件后的光功率分布公式為

式（19）很難直接求解，利用拆積分的方法，將（λp-3Δλp，λp+3Δλp）內(nèi)的點(diǎn)分成m份（m為偶數(shù)，m→∞），則每份大小為6Δλp/m，式（20）將轉(zhuǎn)換成

式中，

2 色散作用下激光光束界面功率分布的實(shí)例計(jì)算

模擬的例子參數(shù)選擇某空間目標(biāo)激光測距系統(tǒng)，激光光源波長為1 064 nm，光譜寬度Δλp為0.05 nm，功率為1 W，發(fā)射光為近似基模的高斯光束，經(jīng)過擴(kuò)束后束散角為20 μrad，質(zhì)量因子為1，則束腰直徑為24.7 mm。若假設(shè)光束截面功率分布是均勻的，光束截面直徑為束散角與距離的乘積，例子中光束截面直徑為20 m，光功率密度為3.1 mW/m2，當(dāng)接收光孔徑為1.0 m 時，可收集或者反射的光功率為2.5 mW。

設(shè)液晶相控陣器件組合的偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-16.25°），根據(jù)式（20），激光經(jīng)過液晶器件組合后在1 000 km 外光束截面功率分布如圖4 所示。

圖4 偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-16.25°）時1 000 km 外激光光束截面功率分布Fig.4 Cross sectional power distribution of laser beam 1 000 km away when the deflection angle is（22.5°，-16.25°）

從圖中可見，1 000 km 外激光光束截面呈現(xiàn)為近似橢圓形分布，而不再是旋轉(zhuǎn)對稱，但依然是中間功率高邊緣功率低，同樣取接收光孔徑為1.0 m，在中心位置可接收到光功率約為1.8 mW，與均勻情況下相差28%，由此可見，由于色散的影響，中心的光功率密度在降低。在距中心位置（-5 m，-5 m），（-5 m，5 m），（5 m，-5 m），（5 m，5 m）處可接收到光功率分別為1.4 mW、1.6 mW、1.6 mW、1.4 mW，由此可見，延色散方向的光會更強(qiáng)。根據(jù)1.2 節(jié)中心波長漂移引起的位移量（26.76 m，-19.60 m），在距中心（26.76 m，-19.60 m）處可接收到的光功率約為0.57 mW，可見接收能量因中心波長漂移引起的差異極大。

更改液晶相控陣器件組合的偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-22.5°）與（27.5°，-16.25°），根據(jù)1.2 節(jié)中心波長漂移引起的位移量（30.79 m，-30.79）與（38.23 m，-22.84 m m），以及式（20），激光經(jīng)過液晶器件組合后在1 000 km 外光束截面功率分布曲線如圖5 與圖6 所示，綜合兩圖數(shù)據(jù)可見：色散引起的光功率分布進(jìn)一步向偏轉(zhuǎn)方向延伸（注意其坐標(biāo)范圍），同樣取接收光孔徑為1.0 m，在中心位置可接收到光功率分別為1.4 mW與0.97 mW，與均勻情況下分別相差36%與62%，可證實(shí)偏轉(zhuǎn)角度越大，能量集中程度越差。

圖5 偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-22.5°）時1 000 km 外激光光束截面功率分布Fig.5 Cross sectional power distribution of laser beam 1 000 km away when the deflection angle is（22.5°，-22.5°）

圖6 偏轉(zhuǎn)角為（27.5°，-16.25°）時1 000 km 外激光光束截面功率分布Fig.6 Cross sectional power distribution of laser beam 1 000 km away when the deflection angle is（27.5°，-16.25°）

3 結(jié)論

本文根據(jù)液晶相控陣器件色散的原理，給出了組合液晶相控陣器件的色散公式以及中心波長漂移引起的光束位置偏移公式，結(jié)合激光光源的光譜密度分布與單模激光的光功率分布公式，推導(dǎo)出激光經(jīng)過組合液晶相控陣器件后的光功率分布公式，給出了簡易計(jì)算方法，最后根據(jù)特定系統(tǒng)參數(shù)與設(shè)定的偏轉(zhuǎn)角度分析了液晶相控陣器件色散特性對能量收集的影響。分析結(jié)果表明：激光光束截面光功率不再旋轉(zhuǎn)對稱，而是向色散方向延伸，偏轉(zhuǎn)角度越大，色散引起的影響越嚴(yán)重，中心位置偏移越嚴(yán)重，峰值位置功率密度越低。該方法也適用于其他光譜密度分布與其他模式的激光光源。