周鵬許，鐘匯凱，伏燕軍*，桂 程，鐘 聲

(1.南昌航空大學(xué)無(wú)損檢測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，330063，南昌；2.南昌航空大學(xué)測(cè)試與光電工程學(xué)院，330063，南昌)

0 引言

條紋投影輪廓測(cè)量法(FPP)因其具有數(shù)據(jù)采集量大、測(cè)量精度高、無(wú)接觸、便攜和靈活等優(yōu)點(diǎn)成為三維形貌測(cè)量中應(yīng)用最廣泛的技術(shù)之一。然而隨著工業(yè)設(shè)計(jì)變得更加精確和小型化，傳統(tǒng)(宏觀)的FPP已不能滿足越來(lái)越高的加工制造標(biāo)準(zhǔn)和要求，微觀層面的三維測(cè)量已經(jīng)變得越來(lái)越重要。顯微條紋投影輪廓測(cè)量法(MFPP)通過(guò)使用顯微光路縮小投影圖案和成像尺寸，在小視場(chǎng)內(nèi)實(shí)現(xiàn)了更高精度的三維測(cè)量[1]。相比于傳統(tǒng)的針孔模型相機(jī)，遠(yuǎn)心相機(jī)具有放大倍數(shù)恒定和幾乎零畸變的優(yōu)點(diǎn)，非常適用于高精度的成像檢測(cè)。近年來(lái)，基于遠(yuǎn)心相機(jī)的微小物體三維重建方法越來(lái)越受到關(guān)注[2-3]。然而遠(yuǎn)心鏡頭的成像原理為正交投影，待測(cè)物體和采集圖像之間呈仿射變換，不能用傳統(tǒng)針孔相機(jī)模型建模，無(wú)法利用旋轉(zhuǎn)矩陣內(nèi)在的正交性提供的約束來(lái)獲得外參的封閉解，一般需要引入額外的實(shí)驗(yàn)操作來(lái)輔助求解。

目前有很多關(guān)于遠(yuǎn)心相機(jī)的標(biāo)定方法已被提出[4-11]。Li等[4]提出了一種考慮鏡頭畸變遠(yuǎn)心相機(jī)精確標(biāo)定方法，但是該方法在標(biāo)定前需要知道相機(jī)傳感器的像素尺寸。在他們之后的工作中使用該方法標(biāo)定了一套遠(yuǎn)心FPP系統(tǒng)[5]。然而，該方法在求相機(jī)的外部參數(shù)時(shí)存在旋轉(zhuǎn)矩陣的符號(hào)模糊問(wèn)題。Chen[6]提出了一種新的遠(yuǎn)心相機(jī)標(biāo)定方法，該方法通過(guò)分解單應(yīng)性矩陣得到相機(jī)的內(nèi)參與外參，并利用微定位平臺(tái)成功解決了基于平面標(biāo)定技術(shù)的符號(hào)模糊問(wèn)題。Yin等[7]提出使用一般成像模型對(duì)遠(yuǎn)心相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，獲得了較高的標(biāo)定精度。該方法的缺點(diǎn)是在標(biāo)定系統(tǒng)的過(guò)程中，需要位移臺(tái)來(lái)控制標(biāo)定板按預(yù)設(shè)的方式進(jìn)行移動(dòng)，增加了整個(gè)標(biāo)定過(guò)程和測(cè)量系統(tǒng)的復(fù)雜度。Rao等[12]提出了一種遠(yuǎn)心FPP系統(tǒng)的柔性標(biāo)定方法，該方法假設(shè)遠(yuǎn)心相機(jī)的遠(yuǎn)心度并不是完美的，可以將遠(yuǎn)心相機(jī)的仿射成像模型看成是針孔成像模型的特殊情況，并且用張[13]的相機(jī)標(biāo)定方法標(biāo)定遠(yuǎn)心相機(jī)的外部參數(shù)。然而當(dāng)使用遠(yuǎn)心度很好的遠(yuǎn)心相機(jī)時(shí)，此方法可能會(huì)失效。Yao等[14]提出了一種雙側(cè)遠(yuǎn)心鏡頭的靈活標(biāo)定方法，使用一個(gè)帶有額外已知高度平臺(tái)的平面標(biāo)定板，解決了符號(hào)模糊問(wèn)題，但該方法需要特制的標(biāo)定板。

如上所述，基于二維平面標(biāo)定板的遠(yuǎn)心相機(jī)標(biāo)定方法存在外部參數(shù)符號(hào)模糊問(wèn)題[15-16]，本文在單應(yīng)性變換平面標(biāo)定法的基礎(chǔ)上，對(duì)雙遠(yuǎn)心三維測(cè)量系統(tǒng)提出了一種便捷的標(biāo)定方法，能夠直接獲取遠(yuǎn)心相機(jī)的外部參數(shù)。通過(guò)建立2個(gè)間隔一定高度標(biāo)定板平面之間的面內(nèi)旋轉(zhuǎn)和平移關(guān)系，能夠得到標(biāo)定板平面控制點(diǎn)的三維坐標(biāo)信息，進(jìn)而完成外參封閉解的求解。該標(biāo)定方法僅需要借助一個(gè)可以在參考面上任意放置的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量塊就能完成遠(yuǎn)心三維測(cè)量系統(tǒng)的標(biāo)定，具有高靈活性和實(shí)用性。

1 遠(yuǎn)心三維重建系統(tǒng)標(biāo)定方法

1.1 遠(yuǎn)心相機(jī)成像模型

遠(yuǎn)心相機(jī)仿射成像模型可用式(1)表示

(1)

式中：m表示遠(yuǎn)心成像系統(tǒng)的有效放大倍數(shù)；(u0,v0)是畸變中心，一般定為相機(jī)成像平面的中心；R和T分別是世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量；A和K分別表示遠(yuǎn)心相機(jī)的內(nèi)參矩陣和外參矩陣；P(XW,YW,ZW)是世界坐標(biāo)系下控制點(diǎn)的坐標(biāo)。由于仿射成像模型只涉及到旋轉(zhuǎn)矩陣的前兩行，所以R2×3表示旋轉(zhuǎn)矩陣的前兩行，T2×1=(tx,ty)表示截短的平移向量。通常將世界坐標(biāo)系的x-o-y面建立在標(biāo)定目標(biāo)平面上，這樣每個(gè)特征點(diǎn)的Zw坐標(biāo)為0。由此式(1)可表示為

(2)

其中H是一個(gè)3 × 3的單應(yīng)矩陣，該矩陣用于描述靶標(biāo)平面點(diǎn)的世界坐標(biāo)與控制點(diǎn)的像素坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以用直接線性變換(DLT)算法求得。

由于鏡頭制造或安裝的原因，鏡頭畸變總是存在的，遠(yuǎn)心鏡頭的畸變主要分為徑向畸變、切向畸變和薄棱鏡畸變。徑向畸變是由于透鏡形狀不完美引起的，在所有畸變類型中徑向畸變占主要成分，因此本文只考慮徑向畸變?；兎匠炭杀硎緸閇9]：

(3)

1.2 放大倍數(shù)的標(biāo)定

由于旋轉(zhuǎn)矩陣是正交的，且旋轉(zhuǎn)矩陣的列向量是單位向量 ，由此可得如下約束關(guān)系

r11r12+r21r22+r31r32=0

(4)

(5)

結(jié)合式(4)和式(5)，可得

(6)

結(jié)合式(2)和式(6)可得

m4+Bm2+C=0

(7)

假設(shè)畸變中心(u0,v0)的坐標(biāo)為相機(jī)成像面的中心，則截短的平移參量可由式(8)得到

(8)

1.3 外部參數(shù)的標(biāo)定及符號(hào)模糊問(wèn)題

每一個(gè)標(biāo)定板姿態(tài)的外部參數(shù)一般是不一樣的，其旋轉(zhuǎn)矩陣左上角2×2的子矩陣可由H矩陣直接得到。由于旋轉(zhuǎn)矩陣的約束條件RRT=I和det(R)=1，剩下的矩陣元素可由式(9)得到

(9)

r1、r2、r3分別是矩陣R的3個(gè)行向量。然而，從公式(9)看出，元素r13和r23存在符號(hào)不確定問(wèn)題。

為了恢復(fù)正確的符號(hào)，需要知道特征點(diǎn)的高度坐標(biāo)。在本文中，使用一個(gè)已知高度的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量塊，將平面標(biāo)定板放置在該標(biāo)準(zhǔn)塊上，捕獲標(biāo)定板圖像。結(jié)合放置之前所拍攝的標(biāo)定板圖像，隨后用于確定旋轉(zhuǎn)矩陣。如圖(1)所示，由于標(biāo)準(zhǔn)塊的2個(gè)面平行，所以2個(gè)標(biāo)定板平面也是彼此平行的。

圖1 標(biāo)定板位置關(guān)系示意圖

分別建立世界坐標(biāo)系OW(Xw,Yw,Zw)和標(biāo)定板坐標(biāo)系OT(Xt,Yt,Zt)在標(biāo)定板位置A和位置B上。實(shí)際上2個(gè)標(biāo)定板平面之間只有繞z坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，因而對(duì)于標(biāo)定板位置B上的任意一點(diǎn)p(XT,YT,ZT)，有如下關(guān)系：

(10)

其中θ表示2個(gè)標(biāo)定板之間的面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角度，(tx,ty,tz)表示2個(gè)坐標(biāo)系之間的平移變換，tz為已知量，即標(biāo)準(zhǔn)塊的高度。去掉Z坐標(biāo)的變換，則式(10)可表示為

(11)

(12)

由式(12)和式(2)可得：

其中HT是標(biāo)定板在位置B的單映性矩陣。因此坐標(biāo)系OT中的點(diǎn)(XT,YT,0)的世界坐標(biāo)為PW(xw,yw,tz)。其中，xw,yw由式(10)得到。根據(jù)式(1)，r13和r23的值可由式(13)得到

(13)

r13和r23的值不一定嚴(yán)格滿足(4)和(5)的約束條件，但它們的符號(hào)被確定。

1.4 參數(shù)優(yōu)化

相機(jī)的所有內(nèi)外參數(shù)都需要進(jìn)一步的優(yōu)化，使用極大似然估計(jì)使標(biāo)記點(diǎn)的像素坐標(biāo)與預(yù)測(cè)像素坐標(biāo)之間的距離之和最小。這是一個(gè)由式(14)表示的非線性優(yōu)化問(wèn)題。

(14)

本文使用立體視覺模型來(lái)計(jì)算世界坐標(biāo)系下的三維點(diǎn)云[18]。投影儀可以看作是一個(gè)逆相機(jī)，其工作原理可以用與1.1部分相同的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述[19]。因?yàn)橥队皟x不能直接捕捉圖像，建立相機(jī)像素和投影儀像素之間的精確對(duì)應(yīng)關(guān)系，使投影儀也能像相機(jī)一樣拍攝到圖像。本文中使用相移法和多頻外差法計(jì)算連續(xù)相位，通過(guò)連續(xù)相位來(lái)建立相機(jī)像素坐標(biāo)和投影儀像素坐標(biāo)之間映射關(guān)系。對(duì)應(yīng)投影儀中的像素坐標(biāo)可表示為：

(15)

2 系統(tǒng)裝置和三維重建實(shí)驗(yàn)

2.1 系統(tǒng)裝置

測(cè)量系統(tǒng)的遠(yuǎn)心相機(jī)是由分辨率為1 920×1 200的相機(jī)MER-131-210U3c和放大倍率為0.37的遠(yuǎn)心鏡頭VP-LTCM037-150-S組成。相機(jī)的視場(chǎng)范圍為13.5(H) mm × 16.5(W) mm。鏡頭工作距離為150 mm。一個(gè)裝有遠(yuǎn)心鏡頭(型號(hào)：VP-LTCM02-180S)的DLP投影儀(DLP LightCrafter 4500，分辨率：1 140×912)用來(lái)投影正弦條紋。標(biāo)定板是一個(gè)由9×11白色圓形陣列均勻分布的陶瓷平面板(型號(hào)：cc-008-G-0.65)，鄰近2個(gè)圓的距離為0.65 mm。實(shí)驗(yàn)所用標(biāo)準(zhǔn)塊厚度為1.01 mm。圖2為微小物體測(cè)量系統(tǒng)實(shí)物示意圖。

圖2 (a)實(shí)驗(yàn)所用標(biāo)定板；(b)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物圖；(c)實(shí)驗(yàn)所用標(biāo)準(zhǔn)塊

2.2 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

將標(biāo)定板擺放在相機(jī)和投影儀的共同視場(chǎng)內(nèi)，對(duì)于每一個(gè)標(biāo)定板姿態(tài)，將一系列垂直和水平方向的正弦相移條紋圖投影到標(biāo)定板平面上，用相機(jī)拍攝一組標(biāo)定板圖片(其中包含12張水平條紋圖、12張豎直條紋圖和一張255均勻灰度照明的空白圖)，然后任意改變標(biāo)定板姿態(tài)，再拍攝另一組。在本次實(shí)驗(yàn)中一共拍攝了9組圖片。采用四步相移結(jié)合三頻外差的方法得到連續(xù)相位。表1是相機(jī)和投影儀的標(biāo)定參數(shù)。

表1 相機(jī)和投影儀的內(nèi)外參數(shù)

如圖3(a)和3(b)所示是相機(jī)分別在位置A和位置B所拍攝的標(biāo)定板圖片，用來(lái)確定外部參數(shù)的符號(hào)。如圖3(c)顯示了在世界坐標(biāo)系下標(biāo)定板特征點(diǎn)的坐標(biāo)，可以看出2個(gè)位置的標(biāo)定板的對(duì)應(yīng)特征點(diǎn)并不重合，而是有一個(gè)旋轉(zhuǎn)平移關(guān)系，通過(guò)1.1.3部分計(jì)算出這個(gè)旋轉(zhuǎn)平移關(guān)系參數(shù)如圖3(d)所示。

圖3 (a)和(b)分別是相機(jī)拍攝的位置a和位置b的標(biāo)定板圖片；(c)世界坐標(biāo)系下標(biāo)定板特征點(diǎn)的坐標(biāo)；(d)位置a和位置b的旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

將所有特征點(diǎn)根據(jù)所求的參數(shù)進(jìn)行重投影，得到如圖4(a)和4(b)的相機(jī)和投影儀的重投影誤差分布圖，相機(jī)和投影儀的重投影誤差分別為0.3和0.4個(gè)像素?？紤]到相機(jī)1 920 ×1 200 的分辨率，該方法的精度已達(dá)到較高水平。

2.3 三維重構(gòu)

為了更直觀地展示所提出方法的效果，將兩部分的標(biāo)定參數(shù)用于遠(yuǎn)心條紋投影系統(tǒng)的三維重建。對(duì)如圖5(a)所示具有復(fù)雜幾何形狀的手機(jī)金屬主板進(jìn)行了三維測(cè)量。對(duì)應(yīng)的條紋圖像和三維重建結(jié)果分別如圖5(b)和5(c)所示?？梢?，三維重建的質(zhì)量很好，證明了本文方法的可行性。

圖4 相機(jī)和投影儀的重投影誤差分布圖

圖5 (a)手機(jī)金屬主板的紋理圖；(b)對(duì)應(yīng)的條紋圖；(c)三維重建點(diǎn)云圖

為了進(jìn)一步評(píng)估所提方法的準(zhǔn)確性，測(cè)量了一個(gè)厚度為1.06 mm的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量塊，測(cè)量結(jié)果如圖6(a)所示，并計(jì)算了標(biāo)準(zhǔn)塊高度值的RMSE(均方根誤差)為3.5 μm，與相機(jī)的隨機(jī)噪聲水平相比非常小，誤差分布圖如圖6(b)所示。結(jié)果表明，所提出的標(biāo)定方法可以實(shí)現(xiàn)精度良好的三維測(cè)量。

··(a)三維重建結(jié)果；(b)測(cè)量塊高度誤差分布圖

3 結(jié)論

基于二維平面標(biāo)定板的遠(yuǎn)心相機(jī)標(biāo)定方法存在外部參數(shù)符號(hào)模糊問(wèn)題，本文在單應(yīng)性變換平面標(biāo)定法的基礎(chǔ)上，對(duì)雙遠(yuǎn)心三維測(cè)量系統(tǒng)提出了一種便捷的標(biāo)定方法，能夠直接獲取遠(yuǎn)心相機(jī)的外部參數(shù)。通過(guò)建立2個(gè)間隔一定高度標(biāo)定板平面之間的面內(nèi)旋轉(zhuǎn)和平移關(guān)系，能夠得到標(biāo)定板平面控制點(diǎn)的三維坐標(biāo)信息，進(jìn)而完成外參封閉解的求解。該標(biāo)定方法僅需要借助一個(gè)可以在參考面上任意放置的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量塊就能完成遠(yuǎn)心三維測(cè)量系統(tǒng)的標(biāo)定，具有高靈活性和實(shí)用性。