贛南師范大學數(shù)學與計算機科學學院 曾建國 （郵編：341000）

1 引言

平面幾何中，兩圓的根軸(或等冪軸)是人們熟知的概念. 根據(jù)圓冪定理有如下定義

定義1[1]點P對半徑為R的圓O的冪，等于OP2－R2．

由下面的性質(zhì)可得兩圓的根軸概念

命題1[1][2]對于兩已知圓(不同心)有等冪的點的軌跡，是一條垂直于連心線的直線．

定義2[1][2]將命題1 中這條垂直于連心線的直線稱為兩圓的根軸(或等冪軸).

特別地，當兩圓相交(相切)時，其根軸就是兩圓的公共弦所在的直線(切點處的公切線).

關(guān)于根軸有下面被稱為根心定理的結(jié)論[1][2](圖1).

圖1

命題2（根心定理）平面上有三個圓，當三個圓心不共線時，其兩兩的根軸交于一點；當三個圓心共線時，其兩兩的根軸互相平行.

文[3][4]將圓冪概念及圓冪定理推廣至三維空間，建立了球冪概念，得到了完全類似于圓冪定理的結(jié)論

命題3(球冪定理)過空間一點P作球面的兩條割線(或切線)分別交球面于A、B與C、D，則有PA·PB=PC·PD.

定義3[3]一點P對半徑為R的球O的冪為OP2－R2．

由此可知[3]：若點P在球內(nèi)，則該點的球冪為負；P在球上，球冪為零；P在球外，球冪為正．

本文在此基礎(chǔ)上進一步將根軸概念及根心定理類比推廣至三維空間.

2 兩球的根軸面

關(guān)于兩個球有下面的結(jié)論：

定理1對于兩已知球(不同心)有等冪的點的軌跡，是一個垂直于連心線的平面.

證明如圖2，設(shè)已知兩球的球心分別為O1、O2，半徑分別為R，r(R≥r)，設(shè) 點P到 球O1、O2的冪相等，即有O1P2－R2=O2P2－r2.

圖2

過點P作PH⊥O1O2，垂足為H，設(shè)O1O2的中點為M，則由上 式 可 得R2－r2=O1H2－O2H2=(O1H+O2H)(O1H－O2H)=O1O2·2MH. 則表明H為O1O2上的定點，即點P在過點H且與O1O2垂直的平面內(nèi). 反之，與O1O2垂直相交于點H的平面內(nèi)任一點對球O1、O2的冪相等. 證畢.

定義4將定理1 中這個垂直連心線的平面稱為兩球的根軸面(或等冪軸面).

特別地(證略)，有

推論1當兩球面相交(相切)時，其根軸面就是兩球面交線圓所在的平面(切點處的公切面）.同心的兩球不存在根軸面.

在解析幾何中，容易驗證，將兩球面方程x2+y2+z2+ai x+bi y+ci z+di=0(i=1，2)

，相減即可得到它們的根軸面方程，這與平面內(nèi)求兩圓根軸的方法類似.

3 球的根心定理

將命題2 類比推廣至三維空間，就有

定理2(球的根心定理）空間有三個球，當三個球心不共線時，其兩兩的根軸面相交于一直線；當三個球心共線時，其兩兩的根軸面互相平行.

證明設(shè)三個球心分別為O1、O2、O3，其兩兩的根軸面分別記為π12、π23、π13(圖3).

圖3

若O1、O2、O3共 線，由 定理1 及推論1 知，三個根軸面π12、π23、π13均垂直于同一直線O1O2O3，于是它們互相平行.若O1、O2、O3不 共 線，則 三 個根軸面互不平行.

設(shè)π12、π23相交于直線l，我們來證明π13也經(jīng)過直線l. 設(shè)P是直線l上任一點，則由P∈平面π12及定義4、定理1 知，P對球O1、O2的冪相等，由P∈平面π23同理可得，P對球O2、O3的冪相等，于是P對球O1、O3的冪相等，由定理1 知P∈平面π13.

直線l上任一點都在平面π13上，表明平面π13經(jīng)過直線l，故三個根軸面π12、π23、π13交于直線l.證畢.

4 應(yīng)用舉例——戴維斯（Davis）定理的推廣

我們應(yīng)用球的根心定理，將三角形中的戴維斯定理推廣至四面體中.

命題4（戴維斯（Davis）定理）[5]三角形的每邊所在直線上有一對點(可以重合)，若每兩對點同在一圓上，則三對點(六點)都在同一圓上(若題設(shè)中的圓與某直線相切，則該線上一對點重合為一點).

推廣至四面體就有

定理3（四面體戴維斯定理）四面體的每條棱所在直線上有一對點(可以重合)，若每個頂點發(fā)出的三條棱上的三對點同在一球面上，則六對點(十二點)都在同一球面上(若題設(shè)中的球面與某棱相切，則該棱上的一對點重合為一點).

證明如圖4，設(shè) 四 面 體A1A2A3A4的棱Ai Aj所在直線上的一對點為Bij、B′ij(1≤i＜j≤4).

圖4

依題設(shè)知，自頂點Ai發(fā)出的三條棱上的三對點同在一個球面上，設(shè)此球心為Oi(i=1，2，3，4).則四面體A1A2A3A4每個側(cè)面三角形三邊上的三對點(六點)中，每兩對點(四點)在同一個圓(該側(cè)面與相應(yīng)球面的交線圓)上.

根據(jù)命題4(戴維斯定理)可知，每個側(cè)面三角形三邊上的三對點(六點)都共圓.(*)

下面 先 證 明 四 個 球 心O1、O2、O3、O4中 必 有兩個重合，用反證法.

假設(shè)O1、O2、O3、O4是相 異 的 四 點，因 球 面O1、O2都經(jīng)過棱A1A2上一對點B12、B′12，根據(jù)推論1 可知，球O1、O2的根軸面經(jīng)過直線A1A2.

同理可證，球O2、O3的根軸面經(jīng)過直線A2A3；球O1、O3的根軸面經(jīng)過直線A1A3.

根據(jù)定理2，三個不同心的球，其兩兩的根軸面(三個平面)交于一直線或互相平行. 但分別經(jīng)過ΔA1A2A3三邊的三個平面顯然不可能交于一直線或互相平行，矛盾！

由上可知，球心O1、O2、O3、O4中必有兩點重合.

進而可以證明這四個球面為同一球面，即題設(shè)中的六對點(十二點)共球面.

事實上，我們不妨設(shè)O1、O2重合，則球面O1經(jīng)過了四面體A1A2A3A4中除A3A4外的其余五條棱上的五對點(十點). 下面證明球面O1也經(jīng)過A3A4上的一對點B34、B′34.

作O1H⊥平面A1A3A4于H，因為球面O1(半徑 設(shè) 為R1)經(jīng) 過B13、B′13、B14、B′14，則O1B13=O1B′13=O1B14=O1B′14=R1，因 此 有HB13=HB′13=HB14=HB′14. 即B13、B′13、B14、B′14四 點 共圓，圓心為H、半徑為R1.

根據(jù)前面的證明(*)知：B13、B′13、B14、B′14、B34、B′34這六點共圓，因此點H就是這個圓的圓心. 于是，HB34=HB′34=HB13，則O1B34=O1B′34=R1.

這就證明了題設(shè)中的六對點(十二點)都在球面O1上(四個球面重合). 證畢.