紀(jì) 剛，史麗楠，伊 鑫，竇志紅，王 飛

（北京航天自動(dòng)控制研究所，北京，100854）

0 引 言

運(yùn)載火箭在飛行過(guò)程中，根據(jù)時(shí)序指令完成多次分離、轉(zhuǎn)級(jí)和起控動(dòng)作，起控動(dòng)作是液體運(yùn)載火箭貯箱晃動(dòng)的激勵(lì)因素，液體晃動(dòng)抑制不好，不僅對(duì)箭體造成結(jié)構(gòu)性破壞，而且與剛體運(yùn)動(dòng)、彈性振動(dòng)相互耦合，造成姿控系統(tǒng)失靈。液體大幅度晃動(dòng)同時(shí)對(duì)姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度也會(huì)產(chǎn)生不利影響，起控平穩(wěn)性在一定程度上決定了后續(xù)飛行的安全性。姿態(tài)快速收斂，可以使火箭速度方向盡快指向理論方向，減少燃料的消耗。在特定情況下，運(yùn)載火箭起控面臨箭體角速度60 (°)/s，姿態(tài)角偏差最大180°的極端工況。由于發(fā)動(dòng)機(jī)擺角嚴(yán)格限制，控制能力受到極大約束，常規(guī)的PD 控制律會(huì)導(dǎo)致起控過(guò)程中出現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)擺角長(zhǎng)時(shí)間飽和，姿態(tài)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)過(guò)程差的問(wèn)題，液體火箭因此可能出現(xiàn)液體晃動(dòng)不穩(wěn)，動(dòng)力系統(tǒng)燃料耗盡誤判等情況。

為了解決這一問(wèn)題，需要對(duì)起控過(guò)程協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)，使得有限控制能力最優(yōu)化使用。最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的一個(gè)重要組成部分，20 世紀(jì)80 年代，Junkins和Turner就已經(jīng)將最優(yōu)控制理論應(yīng)用到航天器姿態(tài)控制中。最優(yōu)控制即為對(duì)給定系統(tǒng)，選取特定的控制輸入，使得指定的性能指標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大或最小的一種控制?，F(xiàn)代的最優(yōu)控制方法，主要來(lái)源于動(dòng)態(tài)規(guī)劃和極小值原理兩種理論。航天器控制的執(zhí)行機(jī)構(gòu)一般采用姿控噴管或者力矩陀螺，最優(yōu)控制的方法有較多的應(yīng)用探索，而運(yùn)載火箭由于飛行中存在強(qiáng)非線性和高動(dòng)態(tài)的特征，同時(shí)對(duì)于快速性和穩(wěn)定性提出了較高的要求，新一代運(yùn)載火箭更是對(duì)火箭適應(yīng)能力提出了更高的要求。

本文在典型運(yùn)載火箭主動(dòng)段動(dòng)力學(xué)模型分析的基礎(chǔ)上，對(duì)控制能力受限條件下時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)穩(wěn)定控制問(wèn)題進(jìn)行了研究。

1 運(yùn)載火箭動(dòng)力學(xué)模型

1.1 運(yùn)載火箭主動(dòng)段動(dòng)力學(xué)模型

考慮運(yùn)載火箭彈性運(yùn)動(dòng)和液體晃動(dòng)，為便于起控設(shè)計(jì)分析，以俯仰通道為例，基于系數(shù)凍結(jié)法和小擾動(dòng)線性化假設(shè)的小偏差方程，并且不考慮彈道傾角的長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)和大氣的影響，簡(jiǎn)化后的動(dòng)力學(xué)方程為

式中 Δy為第階晃動(dòng)的廣義位移；Δ˙˙為第階晃動(dòng)的加速度。

式中為第階彈性的廣義位移；為廣義法向方向的廣義干擾。

簡(jiǎn)化后的動(dòng)力學(xué)方程實(shí)踐中可以被用于進(jìn)行火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)。

1.2 姿態(tài)控制方程

以角偏差作為控制的主要指標(biāo)，采用PD 調(diào)整參數(shù)，形成控制指令并對(duì)其進(jìn)行分配，驅(qū)動(dòng)伺服機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)箭體姿態(tài)對(duì)理論程序角的跟蹤，控制系統(tǒng)如圖1 所示。

圖1 姿態(tài)控制系統(tǒng)原理Fig.1 Principle of Attitude Control System

運(yùn)載火箭因其動(dòng)態(tài)高，參數(shù)時(shí)變性強(qiáng)的特征，經(jīng)常采用簡(jiǎn)單可靠的PD 控制，還可以借用速率陀螺等測(cè)量設(shè)備降低姿控系統(tǒng)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的難度。運(yùn)載火箭PD姿態(tài)控制的根本是系統(tǒng)的角偏差，其基本原理是對(duì)角偏差進(jìn)行比例、微分控制，通過(guò)對(duì)這兩個(gè)環(huán)節(jié)系數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)，結(jié)合箭體傳遞函數(shù)，使系統(tǒng)滿足古爾維茨穩(wěn)定性定律，得到如下的控制方程：

傳遞函數(shù)表達(dá)式為

式中為發(fā)動(dòng)機(jī)擺角與角偏差的比例系數(shù)；為發(fā)動(dòng)機(jī)擺角與角速度的比例系數(shù)。

比例系數(shù)約定了角偏差與控制擺角的比例關(guān)系，在滿足穩(wěn)定性要求的條件下，可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，但過(guò)大的比例系數(shù)會(huì)引發(fā)系統(tǒng)的振蕩，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。微分系數(shù)可以有效地對(duì)系統(tǒng)提供超前相位，但過(guò)大的微分系數(shù)會(huì)對(duì)角偏差中的特定頻率進(jìn)行放大，出現(xiàn)不合理的指令振蕩，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度下降，控制品質(zhì)受到影響。

從式（5）可以看出，控制擺角Δ 在常規(guī)的應(yīng)用中，遵循了箭體角偏差和角速度/的指令分配關(guān)系，但在惡劣的起控階段，大的角偏差和大的角速度會(huì)“爭(zhēng)搶”有限總擺角Δ ，導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)擺角無(wú)序分配，且長(zhǎng)時(shí)間飽和，角偏差和角速度也會(huì)劇烈振蕩，系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

另外從式（1）至式（3）可以看出，晃動(dòng)運(yùn)動(dòng)與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)存在強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性和耦合性。1969 年ATS-V 航天器和2000 年NEAR 航天器的失效以及2007 年SpaceX 運(yùn)載火箭發(fā)射失敗均是由貯箱內(nèi)液體燃料晃動(dòng)所導(dǎo)致的。抑制晃動(dòng)干擾的控制方法有很多，除在貯箱內(nèi)增加防晃板等措施外，確保姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)是一個(gè)必要的條件。

2 控制能力受限的起控問(wèn)題

2.1 最優(yōu)起控問(wèn)題描述

火箭起控過(guò)程，重點(diǎn)在于剛體運(yùn)動(dòng)部分角偏差和角速度綜合求解，對(duì)于晃動(dòng)、彈性部分的描述可以暫不考慮，且由于控制能力遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)干擾，δΔ 較小的條件下，式（1）可表達(dá)為

時(shí)間最短問(wèn)題的提法可以表示為

式（7）寫(xiě)為狀態(tài)方程為

由此可以得到哈密爾頓函數(shù)為

由全局最小，應(yīng)有，當(dāng)() > 0，取() < 0，當(dāng)() < 0，取() > 0。

運(yùn)載火箭控制量() 通過(guò)擺動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的擺角Δ 實(shí)現(xiàn)對(duì)火箭的控制，求解后有：

進(jìn)而得到：

由式（12）可以看出，當(dāng)控制量是一個(gè)大小恒定的數(shù)值，時(shí)間最優(yōu)的控制實(shí)際上表現(xiàn)為是一族與時(shí)間相關(guān)的拋物線，如圖2 所示，其中給出了、和3 條曲線開(kāi)口向左、控制量為負(fù)值的情況，每條曲線的頂點(diǎn)代表不同的起控初始條件。

圖2 狀態(tài)變化規(guī)律Fig.2 Law of State Change

2.2 運(yùn)載火箭最優(yōu)控制推導(dǎo)

實(shí)際負(fù)反饋控制中，控制量與比例關(guān)系，不能簡(jiǎn)單地考慮為一個(gè)恒定數(shù)值，則式（12）可表示為

求解后得到：

由式（13）可以看出，建立了控制量與比例關(guān)系后，變化趨勢(shì)是運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)、控制時(shí)間、靜態(tài)增益與控制力矩系數(shù)之間的關(guān)系?？紤]系統(tǒng)穩(wěn)定性，采用式（5）建立與的關(guān)系后，式（13）的表達(dá)形式則變?yōu)?/p>

圖3 姿態(tài)角偏差Fig.3 Attitude Angle Deviation

圖4 姿態(tài)角速度Fig.4 Attitude Angular Velocity

圖3至圖5 的起控過(guò)程，即便火箭姿態(tài)最終實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定，但動(dòng)態(tài)過(guò)程會(huì)對(duì)火箭貯箱液體晃動(dòng)運(yùn)動(dòng)造成不利影響，液位傳感器可能會(huì)被誤觸發(fā)導(dǎo)致災(zāi)難性后果。另外，在桿臂效應(yīng)下，對(duì)火箭箭上產(chǎn)品也會(huì)產(chǎn)生不利的影響。

圖5 發(fā)動(dòng)機(jī)擺角Fig.5 Engine Swing Angle

2.3 滑模變結(jié)構(gòu)控制律設(shè)計(jì)

運(yùn)載火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)擺角受伺服機(jī)構(gòu)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和工藝的約束，不能實(shí)現(xiàn)任意擺角擺動(dòng)，但在火箭轉(zhuǎn)級(jí)轉(zhuǎn)段過(guò)程中，火箭一般都會(huì)受到發(fā)動(dòng)機(jī)后效干擾、分離沖擊干擾的影響，前續(xù)飛行段殘余控制偏差、非預(yù)期突發(fā)故障等都會(huì)對(duì)起控的平穩(wěn)性和快速性帶來(lái)巨大的影響。因此對(duì)多約束下時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)控制技術(shù)應(yīng)用顯得極其迫切，但該技術(shù)方法目前多用于航天器等慢變姿態(tài)控制系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)機(jī)動(dòng)問(wèn)題中。偽譜法依然可以處理約束簡(jiǎn)單的時(shí)間最優(yōu)機(jī)動(dòng)問(wèn)題，但是在火箭快速性、大動(dòng)態(tài)和穩(wěn)定性等多約束情況下的能力是有限的。滑模變結(jié)構(gòu)控制具有響應(yīng)速度快、對(duì)模型參數(shù)變化和外部擾動(dòng)不靈敏、無(wú)需系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，因而得到廣泛的應(yīng)用。

針對(duì)本文提出的運(yùn)載火箭轉(zhuǎn)級(jí)轉(zhuǎn)段后，起控過(guò)程中面臨大角速度和大姿態(tài)角偏差的極端工況，必須在發(fā)動(dòng)機(jī)擺角小且嚴(yán)格受限的條件下，協(xié)調(diào)角速度和角偏差兩種模式的邏輯處理，實(shí)現(xiàn)快速和穩(wěn)定的起控。

從前文的分析可以看出，時(shí)間最優(yōu)控制在工程實(shí)現(xiàn)中，由于擺角限制、箭體安全性等因素，難以工程應(yīng)用實(shí)現(xiàn)。為了協(xié)調(diào)“爭(zhēng)搶”擺角的問(wèn)題，在最優(yōu)化分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行變結(jié)構(gòu)控制律的設(shè)計(jì)。變結(jié)構(gòu)控制框圖如圖6 所示。

圖6 變結(jié)構(gòu)控制框圖Fig.6 Variable Structure Control Block Diagram

令切換函數(shù)為

根據(jù)變結(jié)構(gòu)滑動(dòng)模態(tài)存在條件˙ <0 可以得到

考慮程序角變化，有：

為簡(jiǎn)化分析，式（17）可以表示為

進(jìn)而得到：

根據(jù)式（19）可以得到基于變結(jié)構(gòu)的發(fā)動(dòng)機(jī)擺角設(shè)計(jì)值，變結(jié)構(gòu)控制存在固有缺點(diǎn)，抖振的問(wèn)題需要考慮。 ()Δ 數(shù)值分別來(lái)源于姿態(tài)角偏差即 1Δ 和姿態(tài)角速度 z1Δ ，式（19）雖然能夠解決時(shí)間最優(yōu)控制所帶來(lái)的指令耦合問(wèn)題，但發(fā)動(dòng)機(jī)擺角的限制帶來(lái)的問(wèn)題依然沒(méi)有解決。結(jié)合火箭控制能力，設(shè)計(jì)協(xié)調(diào)控制項(xiàng)對(duì)擺角的限制進(jìn)行處理。

設(shè)計(jì)協(xié)調(diào)控制項(xiàng)， sgn(Δ)，將其加入到控制指令之中，滿足如下條件時(shí)進(jìn)行控制。

根據(jù)式（20），給出如圖7 所示的火箭起控協(xié)調(diào)變結(jié)構(gòu)控制邏輯框圖，其中閾值條件需要根據(jù)火箭常規(guī)控制能力進(jìn)行界定，一般要求Δ 不能長(zhǎng)時(shí)間不滿足發(fā)動(dòng)機(jī)擺角的限幅要求。

圖7 變結(jié)構(gòu)控制邏輯Fig.7 Variable Structure Control Logic

式（19）和（20）中可以看出變結(jié)構(gòu)控制方法本身存在抖振問(wèn)題，對(duì)于高動(dòng)態(tài)飛行的運(yùn)載火箭，不能隨意進(jìn)行控制律的切換，而本方法要做到的目標(biāo)也是在實(shí)現(xiàn)一次控制律結(jié)構(gòu)調(diào)整后，依然確?；鸺€(wěn)定的跟蹤彈道程序角，因此可以避免多次切換帶來(lái)的抖振問(wèn)題。

3 仿真結(jié)果及分析

采用前文所述的相同仿真用例，俯仰、偏航和滾動(dòng)角速度均為20 (°)/s，角偏差分別為-178°，-70°，-178°時(shí)，系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間振蕩難以穩(wěn)定，姿態(tài)角偏差甚至達(dá)到了最大180°左右的情況。使用如圖7 所示的控制變結(jié)構(gòu)邏輯，角速度閾值采用8 (°)/s，仿真的結(jié)果如圖8~10 所示。從圖8、圖9 可以看出，箭體角速度4.62 s 得到抑制，變結(jié)構(gòu)策略介入后，姿態(tài)在20 s 附近即可進(jìn)入角偏差較小的穩(wěn)定狀態(tài)。從圖10 中發(fā)動(dòng)機(jī)擺角的情況可以看出，除初始時(shí)刻擺角較大外，其他時(shí)間擺角均很小，相比圖5 有很大改善，箭頭所指為變結(jié)構(gòu)控制切換點(diǎn)。

圖8 姿態(tài)角偏差Fig.8 Attitude Angle deviation

圖9 姿態(tài)角速度Fig.9 Attitude Angular Velocity

圖10 發(fā)動(dòng)機(jī)擺角Fig.10 Engine Swing Angle

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了擺角受限條件下，協(xié)調(diào)角速度和角偏差的運(yùn)載火箭起控段變結(jié)構(gòu)控制方法。該方法針對(duì)運(yùn)載火箭在轉(zhuǎn)級(jí)轉(zhuǎn)段過(guò)程中大姿態(tài)角偏差和大姿態(tài)角速度同時(shí)存在的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行研究，采用變結(jié)構(gòu)控制策略實(shí)現(xiàn)姿態(tài)快速回穩(wěn)的目標(biāo)。通過(guò)仿真，結(jié)果表明，該方法可以有效地解決指令“爭(zhēng)搶”問(wèn)題，達(dá)到姿態(tài)穩(wěn)定起控的目的。