許小健，涂芬芬

（1 蕪湖市勘察測繪設(shè)計研究院有限責(zé)任公司，安徽蕪湖 241000；2 建設(shè)綜合勘察研究設(shè)計院有限公司，廣東深圳 518026）

0 引言

土的最大干密度和最優(yōu)含水率是工程中基槽回填、 地基處理等所涉及填土壓實問題質(zhì)量控制和評定的重要依據(jù)和關(guān)鍵參數(shù)[1]。 因此，如何通過室內(nèi)土工擊實試驗數(shù)據(jù)快捷、方便、有效、可靠地獲得最大干密度和最優(yōu)含水率，是具有重要工程意義的問題。

目前，《土工試驗方法標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50123—2019） 和 《公路土工試驗規(guī)程》（JTG 3430—2020）中均采用圖解法確定最大干密度和最優(yōu)含水率，即以土工擊實試驗數(shù)據(jù)組中的干密度和其對應(yīng)的含水率分別為縱、橫坐標(biāo)，繪制關(guān)系曲線，再以曲線上峰值點的縱、橫坐標(biāo)為最大干密度ρdmax和最佳含水率ωop。眾所周知，圖解法的優(yōu)點是可視化，可以直接觀察試驗數(shù)據(jù)的分布情況，因為簡單易用而被工程技術(shù)人員所廣泛接受，但其缺點是作圖過程和利用關(guān)系曲線圖讀取最大干密度和最優(yōu)含水率的結(jié)果會因人為因素而具有較大的任意性[2]。

當(dāng)前，除圖解法外，利用擊實試驗數(shù)據(jù)求解最大干密度和最優(yōu)含水率的方法主要為數(shù)值插值法和多項式擬合法兩類[3-4]。 其中數(shù)值插值法[4-8]是利用不同插值函數(shù)如Lagrange、Newton、樣條曲線、分段Hermite 插值等數(shù)值分析方法處理試驗成果，這類方法需要工程技術(shù)人員具備一定的數(shù)值分析理論基礎(chǔ)；而多項式擬合法[8-14]一般以2～4 次多項式為基函數(shù)，先對試驗數(shù)據(jù)進行擬合確定多項式模型的待定系數(shù)，再采用優(yōu)化方法如Newton 迭代法求解高次方程極值，從而獲得土的最大干密度和最優(yōu)含水率。 顯然，對多項式模型進行待定系數(shù)及其峰值點確定，需要進行二次求解過程，稍顯繁瑣，而且求解精度受計算方法影響較大。 以上方法在數(shù)據(jù)插值和擬合的實現(xiàn)手段上，主要采用了Matlab[11]、Spss[12]、Origin[13]、Excel[14]等商業(yè)軟件等進行。

為避免人工圖解法確定最大干密度和最優(yōu)含水率任意性大和常規(guī)多項式擬合法二次求解繁瑣的劣勢，本文提出基于Cauchy 分布模型推求土的最大干密度和最優(yōu)含水率的解決方案，可取得客觀準(zhǔn)確、高效便捷的效果。

1 基于Cauchy 分布的擬合模型

1.1 描述干密度與含水率關(guān)系的模型

眾所周知，土的干密度隨著含水量的增加而增加，當(dāng)達到某一峰值后，反而會減小。這一土工擊實試驗數(shù)據(jù)的分布特征若用關(guān)系曲線圖展現(xiàn)，一般呈現(xiàn)為上突的光滑曲線。 而擬合法作為求解土的最大干密度和最優(yōu)含水率的最為常用的方法之一，Cauchy 分布密度函數(shù)性狀恰好符合這一上突光滑曲線特征，因此，本文選用Cauchy 分布密度函數(shù)來進行干密度和含水率關(guān)系特征的擬合描述。

Cauchy 分布是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)與概率論中常用的分布之一，在很多領(lǐng)域都有較為廣泛的應(yīng)用，其密度函數(shù)為，其中γ，μ 為參數(shù)。 當(dāng)γ=1，μ=0 時，為標(biāo)準(zhǔn)Cauchy 分布。

為使Cauchy 分布能夠更好地擬合土的干密度與含水率關(guān)系曲線，本文在文獻[15]和文獻[16]非標(biāo)準(zhǔn)雙截尾Cauchy 分布密度函數(shù)的基礎(chǔ)上引入?yún)?shù)ρd0，構(gòu)建能更為靈活地描述含水率ω 和干密度ρd關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，如下：

式中，ρd0，c，γ，ωop為參數(shù)。 容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)含水率ωop為參數(shù)之一，當(dāng)ω=ωop時，式（1）可獲得極大值，也即最大干密度ρdmax=ρd0+c/γ。

1.2 模型的求解

為確定上述數(shù)學(xué)模型，需要對其待定系數(shù)ρd0，c，γ，ωop進行求解，原理如式（2）。 對于每組試驗的n（一般n=5～7）個土樣的含水率和干密度擊實試驗數(shù)據(jù) （ωi，ρi）（i=1,2, …,n），根據(jù)最小二乘原理，即當(dāng)殘差平方和達到最小值時，ρd0，c，γ，ωop即為所求待定系數(shù)值。 由于最優(yōu)含水率ωop為待定系數(shù)之一，因此，最優(yōu)含水率ωop在模型求解的過程中即可獲得，而最大干密度ρdmax可直接由=ρd0+c/γ 確定。 由此可見，相比于多項式模型，Cauchy 分布模型無需進行二次求解就能確定最大干密度和最優(yōu)含水率。

顯而易見，式(2)為高次復(fù)雜非線性方程，常用的求解方法有高斯牛頓法、共軛梯度法、阻尼最小二乘法、遺傳算法等。 但對于工程技術(shù)人員而言，將上述方法應(yīng)用到實際問題中需要一定的數(shù)學(xué)理論知識和編程基礎(chǔ)，具有一定的門檻，而Excel“規(guī)劃求解”工具的出現(xiàn)極大地改變了這種情況。 Excel “規(guī)劃求解”工具采用由Leon Lasdon 和Alan Waren 開發(fā)并封裝后提供的“Generalized Reduced Gradient （GRG2）”代碼，使得工程技術(shù)人員無需關(guān)心具體的代碼，只需要簡單地設(shè)定目標(biāo)函數(shù)式（2）和條件，通過與Excel 界面對話交互的方式，直接調(diào)用該代碼即可實現(xiàn)復(fù)雜問題的求解。 因使用較為簡單，這里不再贅述，可通過查閱Excel 幫助文檔或訪問網(wǎng)站[17]獲得相關(guān)信息。

2 應(yīng)用算例

現(xiàn)以表1 中s1、s2 試驗數(shù)據(jù)組為例來說明本文Cauchy 分布擬合法的有效性。 其中s1、s2 試驗數(shù)據(jù)組分別取自《公路土工試驗規(guī)程》（JTG 3430—2020）[18]和文獻[8]。通過計算，Cauchy 分布擬合模型的待定系數(shù)、 擬合殘差平方和SSE 的結(jié)果如表2 所示，所求可決系數(shù)R2、最大干密度和最優(yōu)含水率情況見表3 和表4。 由表3、表4 可知，本文Cauchy 分布模型所得到的最大干密度和最優(yōu)含水率與圖解法結(jié)果較為接近；Cauchy 分布模型的可決系數(shù)R2均在0.98 以上，均優(yōu)于2 次和3 次多項式擬合模型，說明Cauchy 分布模型擬合度較好。 因此，Cauchy 分布模型用于擊實試驗數(shù)據(jù)擬合是有效的。

表1 各數(shù)據(jù)組原始試驗數(shù)據(jù)

表2 各數(shù)據(jù)組的計算結(jié)果

表3 不同方法所得結(jié)果的比較（s1數(shù)據(jù)組）

表4 不同方法所得結(jié)果的比較（s2數(shù)據(jù)組）

為便于進一步觀察各模型擬合擊實試驗數(shù)據(jù)情況，將各模型擬合s1、s2 試驗數(shù)據(jù)組的結(jié)果進行可視化展示，分別如圖1a)和圖1b)所示。 容易發(fā)現(xiàn)，對于2 次和3 次多項式，其擬合結(jié)果均不如本文Cauchy 分布模型；雖然4 次多項式擬合所得可決系數(shù)R2較高，但其所擬合的曲線在兩側(cè)尾部均出現(xiàn)了“擺動”的情況，不符合數(shù)據(jù)發(fā)展規(guī)律，而本文Cauchy 分布模型為單峰函數(shù)，不會出現(xiàn)多項式“擺動”現(xiàn)象?？梢?，Cauchy 分布模型是具有一定優(yōu)勢的。此外，在求得最大干密度和最優(yōu)含水率的效率和便捷度方面，采用多項式擬合模型，首先需要先進行多項式模型待定系數(shù)的確定，之后還需利用優(yōu)化方法對已確定的多項式模型進行最優(yōu)含水率極值求解，二次求解過程顯得較為繁瑣。 而本文Cauchy 分布模型在確定模型待定系數(shù)的過程中已將最優(yōu)含水率作為參數(shù)之一進行了直接確定，使得求解過程更加高效、便捷。

圖1 各模型擬合結(jié)果的比較

3 結(jié)論

本文提出了基于Cauchy 分布擬合土的最大干密度和最優(yōu)含水率的方法，對試驗數(shù)據(jù)進行的應(yīng)用探討驗證了Cauchy 分布擬合模型的可行性。 Cauchy 分布擬合模型避免了圖解法的繁瑣和具有主觀性的缺陷，使得結(jié)果更為客觀可靠。同時，相較于常用的多項式擬合模型，Cauchy 分布擬合模型可一次性獲得最大干密度和最優(yōu)含水率，使得求解過程更為高效、便捷。