陳 慶， 華夢霞

(南陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南南陽473061)

1 引 言

中國數(shù)學(xué)會2009年起開始舉辦全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽. 參加數(shù)學(xué)競賽，可以增強大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)其分析和解決問題的能力，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，故競賽試題受到許多學(xué)者關(guān)注[1-3].第十屆(2018年)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽(非數(shù)學(xué)類)第三題和第十二屆(2020年)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽(數(shù)學(xué)類B組)第二題考了相同一道題. 為敘述簡便，先將此題敘述.

由于此題曾兩次作為競賽試題，故在教學(xué)中加以介紹是有意義的，在實際教學(xué)中可以先從學(xué)生最容易想到的角度入手，加以引導(dǎo)，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其分析問題的能力.

進而得出

(1)

那么這個結(jié)果離命題1還有距離. 對于命題1的左半部分可以給學(xué)生介紹利用Schwarz不等式來證明.

引理1[1](Schwarz不等式) 若f(x)，g(x)在[a,b]上可積，則

命題1的右半部分可向?qū)W生介紹下面的結(jié)果(見文獻[4]).

定理1若f(x)在[a,b]上可積，且0

2 主要結(jié)果

命題2f(x)在[a,b]上連續(xù)，且0

(ii) 若f不為常值函數(shù)，則函數(shù)

且g(x)不恒為0.(因為若g(x)≡0，則?x∈[a,b],f(x)=m，或f(x)=M，又f不恒為常數(shù)，所以f(x)不恒等于m,，也不恒等于M.所以?x1,x2∈[a,b],f(x1)=m

由文獻[5]例2知

可得

可得

從而

證記Ω∶a

顯然gs,t(x)在[a,b]上連續(xù)，且m≤gs,t(x)≤M,x∈[a,b].

于是I(s,t)為Ω上連續(xù)函數(shù).

(2)

(3)

(ii) 若μ=(b-a)2，取f≡m，則f在[a,b]上連續(xù)，且m≤f(x)≤M,x∈[a,b]，顯然

如果研究范圍擴大為可積函數(shù)，則結(jié)論如下.

在[a,b]上的可積函數(shù)f(x)，使得m≤f(x)≤M,x∈[a,b]，且

顯然g(x)在[a,b]上的可積函數(shù)，m≤g(x)≤M,x∈[a,b]，且

推論10

3 結(jié) 論

致謝感謝審稿專家的細心審閱并提出極有價值的修改建議.