趙東紅， 魏海瑞， 劉 宇

(北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083)

1 引 言

2019年4月，教育部啟動“雙萬計劃”.2019年10月31日，教育部印發(fā)《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實施意見》[1]，在這樣的大背景下，淘汰“水課”，獎勵“金課”，把最好的資源給本科生，從根本上提高本科育人質(zhì)量.正如教育部高等教育司司長吳巖表示，要全面振興本科教育，推進質(zhì)量革命.

線性代數(shù)作為重要基礎(chǔ)課程之一，在教學(xué)中面臨著諸多問題.一方面，學(xué)生經(jīng)常反映課程內(nèi)容枯燥、概念抽象、計算繁瑣，低年級學(xué)生尚未完全擺脫應(yīng)試教育影響，獨立思考能力相對薄弱，對概念和定義的理解能力欠缺，直接導(dǎo)致學(xué)生不能系統(tǒng)理解和掌握課程知識；另一方面，線性代數(shù)在自然科學(xué)和社會科學(xué)的眾多領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，歷史文化內(nèi)涵是極其豐富的，但國內(nèi)許多教材中過分注重數(shù)學(xué)本身的邏輯結(jié)果，教學(xué)內(nèi)容更偏重于理論學(xué)習(xí)，忽視了其應(yīng)用價值和未來的發(fā)展趨勢，導(dǎo)致許多學(xué)生不了解線性代數(shù)的真實用途，對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣日趨下降，從而導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)時，只是單純地為了應(yīng)試，為了拿到課程學(xué)分，而沒有從根本上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)源動力不足，學(xué)習(xí)動機不端正，學(xué)習(xí)后勁不足，不能將線性代數(shù)應(yīng)用到自己的研究方向和課題方面.“激發(fā)學(xué)習(xí)者的好奇與興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的直覺與洞察力，這是創(chuàng)新人才除了知識的積累和分析解決問題能力以外的重要素質(zhì)”是朱清時院士關(guān)于創(chuàng)新人才培養(yǎng)的一段論述.為了激發(fā)數(shù)學(xué)方面的好奇心與興趣，融入應(yīng)用案例到抽象的知識點是重要手段，能使許多抽象的數(shù)學(xué)概念更具有實際意義.

文獻[2]將線性代數(shù)與應(yīng)用案例相結(jié)合是必要的和緊迫的；文獻[3]引導(dǎo)學(xué)生一步步建立數(shù)學(xué)模型描述和解決實際問題，在解決問題的過程中引出概念和方法；文獻[4]探討了工科公共計算機實驗課程的線上教學(xué)和應(yīng)用方案；文獻[5]就如何構(gòu)建全方位、立體式研究型教學(xué)進行分析，在教學(xué)設(shè)計方面談了幾點看法；文獻[6]以應(yīng)用案例庫建設(shè)進行示范，突出線性代數(shù)的思維和方法在信息大類學(xué)科中的應(yīng)用，以培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.但是，以上線性代數(shù)應(yīng)用案例實現(xiàn)過程更偏重于教材基本知識點，主要是挖掘現(xiàn)有的應(yīng)用案例，比如人口遷移問題、遞推問題、圖像加密、密碼破譯等.具體來說，線性代數(shù)很多章節(jié)中都可以引入實際案例，以完成案例為主線實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的傳授.在講線性方程組時，引入交通流量計算模型、化學(xué)方程式配平問題、電路網(wǎng)節(jié)點處電流模型[7]等，當(dāng)然對于不同專業(yè)的學(xué)生，可以有側(cè)重點的選擇與其專業(yè)有關(guān)的案例模型，管理專業(yè)的學(xué)生以生產(chǎn)總值問題和工資分配問題[8]作為講解案例；講向量組線性相關(guān)性，藥方配制問題作為實際案例完成教學(xué)內(nèi)容，可以降低線性相關(guān)和極大無關(guān)組的抽象性；講相似矩陣及矩陣對角化，可以引入人口流動的穩(wěn)定狀態(tài)問題，讓學(xué)生體會相似矩陣的神奇妙用.

在教育部號召“一流本科課程”建設(shè)的指導(dǎo)意見下，線性代數(shù)教學(xué)團隊認(rèn)真學(xué)習(xí)了《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實施意見》，指出一流本科課程建設(shè)的總體要求、總體目標(biāo)和建設(shè)原則.具體來說，“優(yōu)化重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容與課程體系，破除課程千校一面”“杜絕單純知識傳遞、忽視能力素質(zhì)培養(yǎng)的現(xiàn)象，強化現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合”[1].本文體現(xiàn)的教學(xué)改革正是讓學(xué)生忙起來，以激發(fā)學(xué)習(xí)動力和專業(yè)志趣為著力點，加強計算機信息技術(shù)與課程知識點的融合，提升課程學(xué)習(xí)的廣度和學(xué)習(xí)深度.所以本文案例的學(xué)習(xí)需要學(xué)生增加閱讀量和和探究式學(xué)習(xí)過程.所涉及知識點充分體現(xiàn)一流本科課程建設(shè)的總體目標(biāo)和基本原則，特別是提高高階性思維，突破習(xí)慣性認(rèn)知模式，培養(yǎng)學(xué)生深度分析、大膽質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的精神和能力.基于此，本文深度挖掘了最小生成樹求解、集合劃分、動力系統(tǒng)等案例，融合了更有深度的知識點，增加了挑戰(zhàn)度，提高學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力.

教學(xué)團隊針對自動化、計算機等專業(yè)的學(xué)生，重新進行教學(xué)設(shè)計，挖掘適合此類專業(yè)學(xué)生的應(yīng)用案例，豐富擴充原有的教學(xué)內(nèi)容，研發(fā)可以提高學(xué)生應(yīng)用能力，創(chuàng)新能力的教案，開展翻轉(zhuǎn)課堂，大大增加了課程內(nèi)容前沿性和應(yīng)用性，培養(yǎng)了學(xué)生獨立思考能力與學(xué)以致用能力.

本文最后設(shè)計了科學(xué)的調(diào)查問卷，通過分析數(shù)據(jù)，可以看到在教務(wù)評價系統(tǒng)中，同學(xué)們對應(yīng)用案例融于教學(xué)內(nèi)容的反饋取得了令人滿意的成效.初步實現(xiàn)了適合計算機等專業(yè)的線性代數(shù)課程內(nèi)容重整，教學(xué)設(shè)計更新，全面提升教學(xué)效果和學(xué)生素質(zhì).由于篇幅限制，本文僅以矩陣乘法、矩陣冪運算、行列式為知識點，拓展應(yīng)用案例，激發(fā)學(xué)生興趣，學(xué)生了解線性代數(shù)的應(yīng)用價值、未來的發(fā)展趨勢和真實用途.

2 主要內(nèi)容

2.1 矩陣高次冪運算應(yīng)用到遞推公式求解問題

矩陣高次冪運算在諸多領(lǐng)域，如數(shù)值計算、計算機圖形學(xué)、機器學(xué)習(xí)以及人工智能等扮演了重要的角色.利用求矩陣高次冪運算求解遞推問題是常見的方法，但計算瓶頸在于矩陣乘法，因此給同學(xué)們嘗試優(yōu)化計算機中矩陣高次冪算法.

例1斐波那契數(shù)列：分析了遞推算式中矩陣高次冪的計算方法，此算法可以應(yīng)用到所有需要矩陣高次冪計算的方面.

根據(jù)矩陣乘法的定義將斐波那契數(shù)列遞推式表示為

遞推可得

同理，遞推表達式采取類似的方式，F(xiàn)n=aFn-1+bFn-2+cFn-3+dFn-4，化為

觀察可知，需要求解遞推矩陣n次冪.那么，如何求解矩陣n次冪呢?

對于計算機而言，λn的計算仍然十分耗時，而且矩陣對角化對于計算機需要相當(dāng)大的計算量.此時需要一種能夠快速計算矩陣高次冪的方法.在這個問題上，為學(xué)生拓展了三種計算矩陣高次冪的優(yōu)化算法，對比數(shù)值實驗結(jié)果.

第一種：平凡算法

第二種：快速冪優(yōu)化

通過課堂上介紹的基本計算方法，可以分析出有兩個部分進行優(yōu)化，分別是矩陣乘法計算和矩陣冪運算.對于一個矩陣的高次冪An，分類如下：

第三種：基本內(nèi)存再優(yōu)化

由于計算機的內(nèi)存是由連續(xù)的物理單元組成的，二維數(shù)組則是在邏輯上的二維，實際上還是在一條一維的內(nèi)存.所以，在進行更換行號時，計算機需要額外的時間來計算下一行在什么位置，這消耗了許多時間，如果調(diào)整循環(huán)次序，使得計算時可以連續(xù)讀取內(nèi)存，則可以實現(xiàn)矩陣乘法的加速.課堂上引導(dǎo)同學(xué)們利用計算機編程實現(xiàn)三種算法的對比.

實驗得出，規(guī)模較大時，計算矩陣高次冪采用上述快速冪算法可以大幅提高效率，利用計算機內(nèi)存性質(zhì)進一步小幅度優(yōu)化.根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗，對于矩陣冪運算，同學(xué)們感到計算過程過于繁瑣，部分同學(xué)學(xué)習(xí)興趣有所下降.此案例的引入，讓同學(xué)們理解，掌握了基本知識點后，可以不需要動手計算，引導(dǎo)和鼓勵同學(xué)們利用計算機實現(xiàn)算法，增強科學(xué)計算本領(lǐng)，有效地將線性代數(shù)知識點與強大的計算機相結(jié)合，提高計算效率，增強同學(xué)們對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣.

2.2 行列式應(yīng)用到圖論最小生成樹求解問題

本文研究對象是計算機和自動化兩個專業(yè)學(xué)生，根據(jù)調(diào)研情況，授課學(xué)生專業(yè)課程需要學(xué)習(xí)程序設(shè)計與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，而且專業(yè)課程需要學(xué)習(xí)最小生成樹和掌握最小生成樹的應(yīng)用.基于此，線性代數(shù)課程改革里面增加了矩陣在最小生成樹方面的應(yīng)用.大作業(yè)布置一個類似的題目讓學(xué)生自己課下解決，例如利用最小生成樹求解通信線路總代價最小的最佳方案.對于一些感覺 “吃不飽”的同學(xué)，可以布置如何用最少的電線給一所房子安裝電路.讓學(xué)生使用拓展的知識點和MATLAB知識解決，提高學(xué)生自學(xué)能力和應(yīng)用能力，體會在計算機上解決問題的準(zhǔn)確與簡潔.在解決問題的過程中，加深理解抽象數(shù)學(xué)概念，實現(xiàn)“一流本科課程”的指導(dǎo)意見——拓展學(xué)習(xí)深度和廣度.

例2生成樹的數(shù)量問題：連通圖的生成樹是它的極小連通生成子圖，求解圖的生成樹，是圖論中一個重要的問題.而圖的最小生成樹可能有多個，使數(shù)目與圖的線性性質(zhì)緊密相關(guān).給定圖G，求G的生成樹數(shù)量.

第一步：提取生成樹問題中的特征，根據(jù)節(jié)點與節(jié)點間的連通關(guān)系定義矩陣

第二步：寫出M，以Mt表示圖的子樹，Mt是M去掉最后一行再抽出m-n+1列形成的矩陣；

第三步：計算行列式detMt；

若detMt=0，Mt未形成樹；若detMt=±1，Mt形成樹；

進行數(shù)值實驗，枚舉G的所有子樹，統(tǒng)計生成樹的個數(shù)，首先輸入兩個正整數(shù)m，n表示節(jié)點數(shù)和邊數(shù)，每行兩個正整數(shù)ui，vi表示第i條邊的起點與終點，最后輸出一個自然數(shù)，即圖G生成樹的個數(shù).

圖1 矩陣高次冪優(yōu)化算法耗時對比

圖2 生成矩陣M 圖3 G的生成樹的個數(shù)

通過將圖進行矩陣化，可以處理大量的連通關(guān)系，這一處理過程是將圖進行抽象化，抽象和直觀是互相輔助，利用抽象矩陣表達直觀的圖，更加讓學(xué)生看到線性代數(shù)的應(yīng)用價值，特別是對以上兩個專業(yè)的同學(xué)，相當(dāng)于一個課堂實踐過程，能與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和程序設(shè)計中知識點相結(jié)合引出此案例，既提高了學(xué)生專業(yè)素養(yǎng)，又提高了學(xué)生對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)源動力.

2.3 矩陣乘法和布爾型矩陣在確定集合的等價關(guān)系上的應(yīng)用

在計算機領(lǐng)域，集合劃分問題一直是一個非常重要的問題.以百度、谷歌搜索引擎為例，當(dāng)今世界信息量與日俱增，每分鐘可能都有上百萬的信息要存入這些搜索引擎，那么如何對這些信息進行分類就成了一個至關(guān)重要的問題.在“一流本科課程”建設(shè)的指導(dǎo)意見下，課程內(nèi)容強調(diào)廣度和深度，需要增加學(xué)生閱讀和探究式的學(xué)習(xí)過程，拓展矩陣類型——布爾型方陣，即元素只有0或1的方陣(又稱位矩陣).

分析如何運用矩陣的相關(guān)知識對集合進行劃分.

例3同鄉(xiāng)關(guān)系問題：有6個人，1說3是他同鄉(xiāng)，2說5和6是他同鄉(xiāng)，4說6是他同鄉(xiāng)，以同鄉(xiāng)關(guān)系這個性質(zhì)確立等價關(guān)系，求出這6人的等價關(guān)系矩陣.

第一步：在理解布爾型矩陣定義基礎(chǔ)上，引導(dǎo)同學(xué)們使用布爾型方陣A描述這六個人的關(guān)系；

若A(i,j)=1，則代表第i個人是第j個人的同鄉(xiāng)，A(j,i)=1，代表第j個人是第i個人的同鄉(xiāng)，若A(i,j)=1，A(j,i)=0，則代表i是j的同鄉(xiāng)，j不是i的同鄉(xiāng).

第二步：對方陣A求完對稱閉包，自反閉包，傳遞閉包后所得矩陣即為等價關(guān)系矩陣；

第三步：利用計算機功能將以上過程進行數(shù)值實驗；

圖4 布爾型方陣圖 圖5 對稱閉包

圖6 自反閉包 圖7 傳遞閉包

圖8 等價關(guān)系矩陣

有了布爾型矩陣定義的介紹，結(jié)合已學(xué)習(xí)的等價關(guān)系，很自然地引出了等價關(guān)系矩陣定義.如果矩陣同時滿足三個條件：

(i) 矩陣是一個布爾型矩陣；

(ii) 矩陣確定了給定集合U到U的關(guān)系R；

(iii) 矩陣是對稱矩陣，其中關(guān)系R具有對稱性、反身性、傳遞性，即R是一個等價關(guān)系，則矩陣為等價關(guān)系矩陣.此例中，所反映的同鄉(xiāng)關(guān)系為一個等價關(guān)系矩陣.最終的等價關(guān)系矩陣中所有值1的元素所在行和列對應(yīng)的人均為同鄉(xiāng)關(guān)系.

在線性代數(shù)課程教學(xué)中，以“一個例子比十個定理有效(牛頓)”這句數(shù)學(xué)名言為主旨，在授課過程中，有意識地去印證這個名言.實踐表明：雖然只是線性代數(shù)的一個知識點，但卻可以解決抽象的數(shù)學(xué)問題， 使得學(xué)生加深理解矩陣的應(yīng)用價值，課堂更加生動、形象，加強了師生間相互交流，充分體現(xiàn)了線性代數(shù)是解決實際問題的一個強大數(shù)學(xué)工具，有效地培養(yǎng)了高階數(shù)學(xué)思維.

2.4 矩陣與向量乘法在線性動力系統(tǒng)上的應(yīng)用

2020年新冠疫情肆虐，如果能對未來疫情趨勢進行預(yù)測，那么將能夠通過預(yù)測結(jié)果使人們提高警惕，或緩解緊張情緒，于是更有效率的抵御病毒侵襲.

例4流行病動力學(xué)案例：5%易感者會感染疾病，1%已感者會由于疾病身故，10%易感者會康復(fù)并產(chǎn)生免疫，4%已感者會康復(fù)，但沒有免疫(他們再次成為易感者)，剩余85%易感者將仍然是已感者.提出兩個小問題：

(i) 試用矩陣運算，描述四個不同人群比例流動關(guān)系；

(ii) 通過計算機進行數(shù)值模擬，反應(yīng)四個不同人群比例發(fā)展趨勢.

首先需確定(xt+1)1，即下一天易感者的數(shù)量.這些人包括今天的易感者數(shù)量中沒有被感染0.95(xt)1，與今天的已感者中康復(fù)了但沒有產(chǎn)生免疫的人，即0.04(xt)2.它們的和是

(xt+1)1=0.95(xt)1+0.04(xt)2， (xt+1)2=0.85(xt)2+0.05(xt)1，

(xt+1)3=(xt)3+0.10(xt)2， (xt+1)4=(xt)4+0.01(xt)2，

矩陣表示

其中x為向量，A為動力學(xué)矩陣，計算短期內(nèi)的下一個狀態(tài)，是一種瞬態(tài)分析算法.線性動力系統(tǒng)是一種簡化的認(rèn)為下一狀態(tài)滿足上一狀態(tài)的線性函數(shù).

通過數(shù)值模擬，運用矩陣乘法計算每一個值下四個人群狀態(tài)比例，函數(shù)圖像表示：

圖9 四種人群狀態(tài)比例

推廣在更新方程中可以附加一些新的項

xt+1=Atxt+Btut+Ct，t=1，2…

假設(shè)人口的每個年齡段的人作為變量，則在記錄人口狀態(tài)的向量組B中，Bt可以穩(wěn)定地向Bt+1轉(zhuǎn)化，Bt擁有一定的死亡率.而處于特定年齡段的人口，則有穩(wěn)定的生育率，可推算出B1的下一狀態(tài).將上例留給同學(xué)作為大作業(yè)，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)分析問題和解決問題能力.

當(dāng)前各學(xué)科之間相互交叉、相互滲透，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的趨勢，不同學(xué)科之間的界限日益突破傳統(tǒng)的認(rèn)知[9].可以看出，雖然這是數(shù)學(xué)應(yīng)用到生物學(xué)的一個簡單例子，但是對低年級的學(xué)生而言，此案例又與當(dāng)下的實際背景息息相關(guān)，同學(xué)們在構(gòu)造模型和理解模型時，充分體會矩陣乘法運算意義，矩陣作為計算工具的有效性和簡潔性.構(gòu)造了動力系統(tǒng)這種流動關(guān)系，拓展了數(shù)學(xué)視野和培養(yǎng)了高階數(shù)學(xué)思維，激發(fā)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的熱情.

3 教學(xué)效果與評價

3.1 教學(xué)效果

為了檢驗教學(xué)效果，針對自動化和計算機兩個專業(yè)同學(xué)，進行問卷調(diào)查，設(shè)計了三個評價指標(biāo)，分別為引導(dǎo)作用、培養(yǎng)創(chuàng)新能力、提高學(xué)習(xí)興趣，評價等級為非常有效、一般有效、無效三個層次.兩個專業(yè)人數(shù)分別為149人和180人，其中140人和170人自愿參加了調(diào)查問卷，調(diào)查結(jié)果如圖10所示.

圖10 調(diào)查數(shù)據(jù)餅圖

實踐表明，絕大多數(shù)同學(xué)對案例啟發(fā)教學(xué)是肯定的.在案例教學(xué)中，同學(xué)們拿到案例后，先要進行消化，而且是主動進行的.捕捉這些理論知識后，還要進行深入思考，提出解決問題方案.教師給予引導(dǎo)，這個過程是雙向的，促使教師加深思考，根據(jù)不同學(xué)生的不同理解補充新的教學(xué)內(nèi)容，大大地提高了學(xué)生創(chuàng)新能力，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.同時也說明了將案例融于數(shù)學(xué)類課程內(nèi)容，值得研究和探索，將在今后的教學(xué)中繼續(xù)應(yīng)用與改進.

3.2 教學(xué)評價

為了反映案例啟發(fā)教學(xué)在課程建設(shè)過程中的作用，針對自動化和計算機專業(yè)同學(xué)的評教體系進行改變.評價指標(biāo)見表1.

表1 教學(xué)評價指標(biāo)數(shù)據(jù)

注 線性代數(shù)課程樣本總數(shù)310

從表1中可以看出，將案例融入到課程教學(xué)中，提高了學(xué)生主動學(xué)習(xí)和思考能力，學(xué)生對教師各方面評分較高，特別對案例啟發(fā)式教學(xué)有效性評價較高.下面對表1中第2題和第3題進行詳細分析.

從圖11和圖12中可以看到，融入案例的線性代數(shù)課程受到了學(xué)生認(rèn)可和喜愛，但也看出個別同學(xué)覺得加入案例內(nèi)容與課程融合度比較弱，說明后面要繼續(xù)努力挖掘應(yīng)用案例，實現(xiàn)傳授知識與應(yīng)用案例融合無縫對接，實現(xiàn)更佳的育人效果.

圖11 圖12

4 結(jié) 論

在線性代數(shù)案例啟發(fā)式教學(xué)過程中，貫徹了教育部號召的“一流本科課程”建設(shè)目標(biāo).給學(xué)生案例后，同學(xué)先要進行消化，然后查閱必要的理論知識，無形中加深了理解，主動理解這些理論知識后，同學(xué)們經(jīng)過縝密地思考，提出解決問題方案，這一步應(yīng)視為能力上的升華.教師隨時給予指導(dǎo)，促使教師加深思考，這種教學(xué)形式對教師提出了更高要求，是一個教學(xué)相長過程.實踐表明，這一教學(xué)改革不僅解決了學(xué)與用之間的壁壘，而且增強了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生高階思維，提高了學(xué)生計算機應(yīng)用能力，全面提升了分析問題和解決問題的能力.

致謝非常感謝審稿專家對本文提出的寶貴意見，這些意見對本文的修改和完善起了很大的幫助作用，作者受益匪淺，在此表示衷心的感謝.