趙淑君 農(nóng)林舒真 黃曉文 寇俊克*

（桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林541004）

在實(shí)際應(yīng)用中,獲取的信號(hào)通常含有噪聲。這一現(xiàn)象的產(chǎn)生一方面是由于采集信號(hào)數(shù)據(jù)時(shí)容易受到外部雜音的影響,使得信號(hào)數(shù)據(jù)含有噪聲。另一方面原因在于信號(hào)采集設(shè)備的技術(shù)設(shè)計(jì)缺陷等,比如設(shè)備的數(shù)據(jù)精度、靈敏度等技術(shù)限制。噪聲的存在不僅影響信號(hào)的質(zhì)量,嚴(yán)重時(shí)還會(huì)淹沒原始信號(hào)。因此,信號(hào)去噪研究是信號(hào)處理領(lǐng)域中的基本研究問題[1-2]。小波作為“數(shù)字顯微鏡”,以其獨(dú)特的局部時(shí)頻分析特性而被廣泛應(yīng)用于信號(hào)去噪[3-5]。經(jīng)典小波閾值去噪研究起源于Donoho[6]的工作,他依據(jù)小波信號(hào)分解特征提出了軟、硬閾值函數(shù)去噪算法,并取得了較好的去噪效果。然而,常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)在數(shù)學(xué)表達(dá)式上存在一些缺陷,比如硬閾值函數(shù)在閾值處不連續(xù),軟閾值函數(shù)在閾值處不可導(dǎo)。這些數(shù)學(xué)性質(zhì)方面的不足可能會(huì)導(dǎo)致常規(guī)閾值函數(shù)進(jìn)行信號(hào)去噪處理時(shí)出現(xiàn)邊緣模糊,甚至?xí)霈F(xiàn)信號(hào)部分失真的現(xiàn)象。為了克服常規(guī)軟硬閾值函數(shù)的上述缺點(diǎn),牟雪姣等[7]借助圓切線的相關(guān)理論原理,提出了一種新的閾值函數(shù),提高了非平穩(wěn)信號(hào)的去噪效果。李維松等[8]針對(duì)小波閾值去噪算法中的閾值函數(shù)及閾值選取準(zhǔn)則進(jìn)行了改進(jìn)完善,并選取Heavysine 信號(hào)以及Block 信號(hào)進(jìn)行去噪效果驗(yàn)證。為了最大程度上提高去噪效果,2021 年李樹勛等人[9]根據(jù)指數(shù)函數(shù)特性,在硬閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù),并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)閾值函數(shù)具有更優(yōu)的去噪效果。然而,上述改進(jìn)閾值函數(shù)沒有考慮大于閾值的小波系數(shù)處理問題,這就意味著該閾值函數(shù)并非最優(yōu)?；诖?本文將從數(shù)學(xué)表達(dá)式以及去噪實(shí)效兩方面分析常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)、改進(jìn)閾值函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn),引入平滑因子構(gòu)建一種新的閾值函數(shù)。同時(shí),選取兩組具有不同特征的信號(hào)進(jìn)行去噪仿真實(shí)驗(yàn),通過誤差分析對(duì)比發(fā)現(xiàn)新閾值函數(shù)具有更好的去噪效果。

1 小波閾值去噪

信號(hào)去噪的數(shù)學(xué)模型為

其中,S(t)為含噪聲信號(hào),r(t)為原始信號(hào),n(t)為噪聲。信號(hào)去噪的目的是盡可能的減少噪聲n(t)對(duì)S(t)的影響,進(jìn)而獲得真實(shí)信號(hào)r(t)。在小波去噪過程中,含噪聲信號(hào)經(jīng)過小波分解以后,信號(hào)的能量將會(huì)集中在一些幅值較大的小波系數(shù)上。相反地,噪聲能量則會(huì)分布在整個(gè)小波域,這就意味著幅值較小的小波系數(shù)很大程度上以噪聲為主?；谶@一特點(diǎn),一般情況下默認(rèn)幅值較大的小波系數(shù)為信號(hào),而幅值較小的小波系數(shù)為噪聲。借助小波上述去相關(guān)性特征,小波在信號(hào)處理、圖像處理、數(shù)據(jù)分析與預(yù)測(cè)等[7-11]方面發(fā)揮著極其重要的作用。下面簡(jiǎn)單介紹一下小波變換的相關(guān)定義。一維連續(xù)函數(shù)r(t)的連續(xù)小波變換為：

其中,WTr(a,b) 為相應(yīng)的小波系數(shù),ψa,b(t)是小波函數(shù),ψ(t)為基本小波,a 是伸縮因子,b是平移因子。另一方面,小波逆變換為

下面簡(jiǎn)要敘述一下小波閾值去噪的關(guān)鍵步驟：

(1) 分析含噪聲信號(hào)特性,選擇合適的小波函數(shù)以及分解層數(shù)進(jìn)行小波分解,獲得不同尺度參數(shù)下的小波系數(shù)Wj,k。

(2) 借助適切的閾值函數(shù)以及閾值參數(shù),對(duì)獲取的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理。

(3) 針對(duì)上述閾值算法處理后的小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu),進(jìn)而獲得去噪信號(hào)。

2 新閾值函數(shù)

縱觀小波閾值算法,閾值函數(shù)在去噪結(jié)果中發(fā)揮著決定性作用。下面我們將給出常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)的定義,并分析其優(yōu)缺點(diǎn)。

這里,Wj,k為含噪聲信號(hào)經(jīng)過小波分解后得到的小波系數(shù)j,k是閾值算法處理后的小波系數(shù), λ為閾值。其常規(guī)閾值函數(shù)圖像如圖1 所示。

圖1 軟、硬閾值函數(shù)圖像

通過閾值函數(shù)表達(dá)式可以看出,當(dāng)小波系數(shù)絕對(duì)值小于閾值時(shí),常規(guī)閾值函數(shù)都是直接將其變?yōu)榱?這一處理方法在很大程度上可以有效地去除噪聲。同時(shí),硬閾值函數(shù)只關(guān)注于較小的小波系數(shù),這意味著硬閾值函數(shù)能夠保留原始信號(hào)更多的細(xì)節(jié)特征。然而,硬閾值函數(shù)在閾值處是不連續(xù)的,這會(huì)使得去噪處理后的信號(hào)產(chǎn)生局部抖動(dòng)現(xiàn)象。對(duì)于軟閾值函數(shù)來說,該閾值函數(shù)整體上具有良好的連續(xù)性,所以利用軟閾值函數(shù)去噪處理后的信號(hào)較為平滑。但是,軟閾值函數(shù)算法中小波系數(shù)存在恒定偏差,進(jìn)而導(dǎo)致信號(hào)去噪精度不高,甚至出現(xiàn)失真的現(xiàn)象。針對(duì)傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)的不足,李樹勛等[9]提出利用指數(shù)函數(shù)的衰減特性,結(jié)合硬閾值函數(shù),通過在指數(shù)函數(shù)中加入?yún)?shù)來調(diào)整閾值函數(shù)的陡峭性,進(jìn)而構(gòu)造了一種改進(jìn)的閾值函數(shù),

其中,λ 為閾值, δ （δ ＞0）為調(diào)節(jié)因子。其函數(shù)圖像如圖2 所示。

圖2 文獻(xiàn)[9]閾值函數(shù)圖像

上述改進(jìn)閾值函數(shù)通過結(jié)合硬閾值函數(shù)與指數(shù)函數(shù),使得與閾值接近的一部分小波系數(shù)能夠被保留,防止了對(duì)信號(hào)的過度去噪,取得了較好的去噪效果。需要指出的是,當(dāng)小波系數(shù)絕對(duì)值大于閾值時(shí),雖然小波系數(shù)主要以原始信號(hào)為主,但是也有可能含有部分噪聲。為了達(dá)到更加理想的去噪效果,必須改進(jìn)完善硬閾值函數(shù)的處理方法,使其盡可能最大程度上消除噪聲。

通過上述關(guān)于常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)特性分析,為了取得更優(yōu)的去噪效果,本文繼承了常規(guī)閾值函數(shù)的優(yōu)勢(shì),在文獻(xiàn)[9]閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種新的閾值函數(shù),

這里,α 為新引進(jìn)的平滑因子。當(dāng) α增大時(shí),新閾值函數(shù)越來越接近于硬閾值函數(shù)。當(dāng) α減小時(shí),新閾值函數(shù)則變得更加平緩。眾所周知,硬閾值函數(shù)在信號(hào)去噪處理中可以較好地保留原始信號(hào)的細(xì)節(jié)特征,這就意味著硬閾值處理后的信號(hào)不夠光滑?；谶@一特征,在借助上述新閾值函數(shù)進(jìn)行信號(hào)去噪處理時(shí),如果要保留更多的細(xì)節(jié)特征,則平滑參數(shù)α 可適當(dāng)增大；若期望得到較為光滑的去噪信號(hào),可以通過減小平滑參數(shù)實(shí)現(xiàn)。通過上述分析可以得出,新閾值函數(shù)的去噪效果一定程度上也依賴于平滑因子的取值。下面給出新閾值函數(shù)(α=0.9)與其他幾種閾值函數(shù)的對(duì)比圖像。

圖3 新閾值函數(shù)與文獻(xiàn)[9]閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)圖像對(duì)比

從數(shù)學(xué)表達(dá)式以及圖像可以看出：新閾值函數(shù)在(- ∞, +∞)是連續(xù)的；新閾值函數(shù)是以y=x 為漸近線的,即隨著Wj,k增 大,小波系數(shù)j,k越來越接近于原始系數(shù)Wj,k。同時(shí),新閾值函數(shù)在形式上也越來越趨近于常規(guī)硬閾值函數(shù)。綜上所述,新閾值函數(shù)通過引入平滑因子對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行重新構(gòu)造,改進(jìn)了其對(duì)于大于閾值的小波系數(shù)的處理方式,理論上提升了信號(hào)的去噪質(zhì)量。新閾值函數(shù)在定義域上是連續(xù)的,避免了去噪過程中偽吉布斯現(xiàn)象的出現(xiàn)。此外,新閾值函數(shù)在接近閾值部分對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行減弱處理,在遠(yuǎn)離閾值部分十分接近硬閾值函數(shù),盡可能保留了信號(hào)的有效部分。同時(shí),利用新閾值函數(shù)進(jìn)行信號(hào)去噪處理時(shí),可以通過調(diào)整平滑參數(shù)進(jìn)行去噪效果優(yōu)化,這一特點(diǎn)使得新閾值函數(shù)就有更強(qiáng)的適應(yīng)性。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所提新閾值函數(shù)的有效性,借助MATLAB 軟件進(jìn)行信號(hào)去噪仿真實(shí)驗(yàn)。選取Doppler 信號(hào),添加噪聲強(qiáng)度為26dB 的隨機(jī)噪聲。在小波閾值算法中小波函數(shù)選用sym8 小波,分解層數(shù)為5,平滑因子α取值2.36,其去噪結(jié)果如圖4、表1 所示。通過觀察圖4可以看出,本文所選Doppler 信號(hào)具有非平穩(wěn)特性,該信號(hào)的振蕩頻率逐步由強(qiáng)變?nèi)?且前端部分振蕩極強(qiáng),故針對(duì)此信號(hào)的去噪處理具有一定的難度和代表性。

圖4 Doppler 信號(hào)去噪結(jié)果

表1 信噪比和均方根誤差對(duì)比表

由圖4 可以看出,上述四種閾值函數(shù)均可以有效地消除噪聲。另外,信噪比作為衡量信號(hào)去噪效果的關(guān)鍵指標(biāo)之一,其信噪比數(shù)值越大,表示信號(hào)去噪效果越好。均方根誤差旨在度量去噪處理后的信號(hào)與原始信號(hào)的差距,即均方根誤差越小,則去噪處理后的信號(hào)越接近于原始信號(hào),去噪效果越好。利用表1 中數(shù)據(jù)對(duì)比常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)、文獻(xiàn)[9]閾值函數(shù)、新閾值函數(shù)的去噪信噪比以及均方根誤差可以看出,新閾值函數(shù)去噪效果最好。為了驗(yàn)證新閾值函數(shù)的一般性,下面采用quadchirp 信號(hào)進(jìn)行處理,添加噪聲強(qiáng)度為19dB 的隨機(jī)噪聲,同樣選取sym8 小波函數(shù),分解層數(shù)為5,平滑因子取值1.7,其結(jié)果如圖5、表2 所示。通過觀察圖5 可以發(fā)現(xiàn),本文所選Doppler 信號(hào)以及quadchirp 信號(hào)均為非平穩(wěn)信號(hào)。Doppler 信號(hào)的振蕩頻率為由強(qiáng)逐漸變?nèi)?而quadchirp 信號(hào)的振蕩特性則為由弱變強(qiáng)。特別地,從圖5 還可以看出本文所選的quadchirp 信號(hào)在后端部分振蕩頻率極高。眾所周知,噪聲之所以稱之為噪聲,主要是由于噪聲相對(duì)于原始信號(hào)來說具有更高的頻率,也就是振蕩頻率較高。然而,本文所選的quadchirp 信號(hào)在后端具有極高的振蕩頻率,這一點(diǎn)在形式上與噪聲特征一致,這就大大增加了信號(hào)去噪的難度。但是,需要特別說明的是,從下述去噪實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出即使針對(duì)具有噪聲特征的含噪聲信號(hào),本文所提出的新閾值函數(shù)仍然具有較好的去噪性能。

圖5 Quadchirp 信號(hào)去噪效果

表2 信噪比和均方誤差的對(duì)比表

通過觀察圖5 容易看出,常規(guī)閾值函數(shù)、文獻(xiàn)[9]閾值函數(shù)、新閾值函數(shù)都達(dá)到了有效去除噪聲的目的。然而,從表2誤差分析可以得出,新閾值函數(shù)相對(duì)于其他閾值函數(shù)具有更高的信噪比,且均方根誤差最小,這就表明了新閾值函數(shù)具有更好的去噪效果。

結(jié)束語

本文基于小波閾值去噪基本原理,通過分析傳統(tǒng)閾值函數(shù)和其他改進(jìn)閾值函數(shù)的特點(diǎn),提出了一種新閾值函數(shù)。新閾值函數(shù)不僅保持了常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn),同時(shí)又克服上述改進(jìn)閾值函數(shù)的不足。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：新閾值函數(shù)相對(duì)于其他閾值函數(shù)去噪效果更加明顯,具有較強(qiáng)的去噪優(yōu)勢(shì)。