林勝威 (廣東省化州市新安中學 525133)

陳興海 (廣東省茂名市新世紀學校 525400)

2019年11月22日教育部發(fā)布的《關于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》(下簡稱《意見》)指出：初中學業(yè)水平考試命題要發(fā)揮引導教育教學作用，引導教師積極探索基于情境、問題導向、深度思維、高度參與的教育教學模式，引導學生自主、合作、探究學習．以素養(yǎng)為導向、提升試題科學化水平已成為各地中考試題命制的方向與共識．本文對浙江省2021年初中學業(yè)水平考試(金華卷)第23題進行評析，從中獲得了一些有益的啟示．

1 原題

背景：點

A

在反比例函數的圖象上，

AB

⊥

x

軸于點

B

，

AC

⊥

y

軸于點

C

，分別在射線

AC

,

BO

上取點

D

,

E

，使得四邊形

ABED

為正方形．如圖1，點

A

在第一象限內，當

AC

=4時，小李測得

CD

=3．

圖1 圖2

探究：通過改變點

A

的位置，小李發(fā)現點

D

，

A

的橫坐標之間存在函數關系．請幫助小李解決下列問題．(1)求

k

的值．(2)設點

A

，

D

的橫坐標分別為

x

,

z

，將

z

關于

x

的函數稱為“

Z

函數”．如圖2，小李畫出了

x

>0時“

Z

函數”的圖象．①求這個“

Z

函數”的表達式；②補畫

x

<0時“

Z

函數”的圖象，并寫出這個函數的性質(兩條即可)；③過點(3,2)作一直線，與這個“

Z

函數”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標．

2 評析

2.1 回歸本源——考查對函數概念的理解

第(1)問求反比例函數中

k

的值，求出點

A

坐標代入即可(

k

=4)，是對“待定系數法”基本技能的考查．第(2)問引入了新函數——“

Z

函數”，從題目給出的部分圖象可知，這并不是熟知的三大函數(一次函數、反比例函數、二次函數)之一．學生欲求“

Z

函數”的表達式，待定系數法“一設二代三求”的解題套路顯然無能為力，必須回歸到對函數本質的理解：函數是蘊含于變量之間的一種依存關系．求“

Z

函數”的表達式應從

z

與

x

兩者之間的關系入手，結合圖1易得幾何等量關系

CD

+

DA

=

CA

，而由四邊形

ABED

為正方形得

DA

=

AB

，所以

CD

+

AB

=

CA

，將幾何等量關系“坐標化”即為故“

Z

函數”的表達式為

函數是中學數學的核心內容，也是歷年中考的重點和熱點．根據廣東省教育考試院發(fā)布的2020年廣東省初中學業(yè)水平考試數學試題評析的統(tǒng)計分析，三大函數是近五年廣東省初中學業(yè)水平考試數學的高頻考點．在各地的初中學業(yè)水平考試數學試題中，對函數考查的主要方向是函數的圖象與性質、函數與幾何的綜合、函數的實際應用．這些考題是運用“已知”的圖形性質、“已有”的函數模型去解決問題，是對舊知的記憶與運用，在一定程度上考查了學生的運算能力、推理能力、分類討論思想和應用意識等．本題要求學生探索未知函數求表達式、性質與圖象等，是基于函數概念的理解對新知進行探索，考查了學生對函數概念的理解．義務教育階段函數的學習，要在學習“三大函數”基礎上，形成利用函數的觀點認識現實世界的意識，讓學生會用函數的眼光觀察世界、會用函數的思維思考世界、會用函數的語言表達世界．

2.2 累積經驗——考查研究函數一般方法的掌握

第(2)題第②小問，要補畫

x

<0時“

Z

函數”的圖象，并至少寫出這個函數的兩條性質．學生沒有現成的知識可憑借，需要利用“經驗”對新函數進行研究．根據一次函數、反比例函數和二次函數的學習研究經驗，研究函數的一般方法和步驟是：畫函數圖象、觀察歸納特征、用數學語言描述性質．由“

Z

函數”表達式，易畫它的圖象；而對函數圖象的研究可從圖象的形狀、位置、增減性(單調性)、對稱性等角度進行觀察，最后用數學語言概括與描述如下：

a.此函數的圖象是由兩個分支組成的曲線(形狀)．

b.此函數的圖象關于直角坐標系的原點成中心對稱(對稱性)．

c.當

x

>0時，函數值

z

隨自變量

x

的增大而增大；當

x

<0時，函數值

z

隨自變量

x

的增大而增大(增減性)．

基礎知識、基本技能主要表現為結論性知識、事實性知識，基本思想、基本活動經驗主要表現為在數學活動中形成和積累的過程性知識、策略性知識．從學生的數學素養(yǎng)培養(yǎng)來看，它并非單純地通過接受數學事實性知識來實現，它更多地需要通過對數學思想的領悟、對數學活動經驗的積累和條理化，以及對數學知識的自我組織等活動來實現．數學教學要克服“雙基”教學中過于表層、追求熟練、缺乏對數學本質理解的弱點，讓數學的思維方法、研究方法銘刻在頭腦中，并內化成為讓學生受益終生的必備品格和能力，就要引導學生對“所學知識”“所經歷的活動”進行概括與歸納，上升為更一般的思想方法、原理觀念．

2.3 學以致用——考查問題解決能力

通過關系分析得出函數表達式，再結合圖象觀察歸納函數性質，最后應用此函數去解決相關的問題，這是研究函數的“基本套路”．在①②小問的基礎上，第③小問要求利用“新知識”解決“舊問題”：求直線與函數圖象的交點．由幾何直觀知，當直線與“

Z

函數”圖象僅有一個交點時，存在“相交”與“相切”兩種情況：a.第一種情況(相交)：“

Z

函數”圖象不與

y

軸相交，故平行于

y

軸的直線與“

Z

函數”圖象僅有一個交點，且直線過點(3,2)，可得交點的橫坐標為3．b.第二種情況(相切)：若從圖形的角度看則難于求出切點，可轉換為用代數的方法求解，考查學生對數形結合思想的領悟．可設直線的表達式為

z

′=

mx

+

b

(

m

≠0)，將點(3,2)代入可求得

b

=-3

m

+2，故

z

′=

mx

-3

m

+2．聯立兩函數表達式可得含

m

的方程轉化為整式方程得(

m

-1)

x

+(2-3

m

)

x

+4=0．當整式方程僅有一個解時，直線與函數圖象僅有一個交點，求得交點的橫坐標為4或2或6．

初中學業(yè)水平考試主要衡量學生達到國家規(guī)定學習要求的程度，既要注重考查基礎知識、基本技能，還要注重考查思維過程、創(chuàng)新意識以及分析問題與解決問題的能力．“舊知識”應用于“新問題情境”，注重的是問題解決中的知識遷移與運用；本題是“新知識”應用于“舊問題情境”，讓學生不囿于原有知識藩籬或固有的思維模式，使得學生更關注于問題解決的數學策略、思路、方法等．德國2012年頒布的高中數學標準中，將“數學地解決問題能力”界定為學生“擁有恰當的數學策略去發(fā)現解決問題的思路或方法，并加以反思”．

3 啟示

3.1 考查內容由“形變”向“質變”的遞進

在《意見》頒布之前，《考試大綱》和歷年中考試題是復習備考的兩大必備資料，認真研究《考試大綱》和歷年中考試題是復習備考的成功經驗和基本要求．《考試大綱》指明了考試內容與范圍，即明確了“考什么”；歷年中考試題則蘊含了考查的形式與方法，即提供了“怎么考”的示范樣例．相同的知識點，不同年份的試題只是在考查形式上變化(形變)，而考查的內容實質沒有變化(質變)．例如，廣東省2017—2019年中考試題的解答題部分對“方程與不等式”的考查，見表1.

表1

年份題號分值試題考查內容201921(8分)某校為了開展“陽光體育運動”,計劃購買籃球、足球共60個,已知每個籃球的價格為70元,每個足球的價格為80元.(1)若購買這兩類球的總金額為4 600元,求籃球、足球各買了多少個?(2)若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額,求最多可購買多少個籃球?列方程組、不等式解應用題201820(8分)某公司購買了一批A、B型芯片,其中A型芯片的單價比B型芯片的單價少9元,已知該公司用3 120元購買A型芯片的個數與用4 200元購買B型芯片的個數相等. (1)求該公司購買的A、B型芯片的單價各是多少元?(2)若兩種芯片共購買了200個,且購買的總費用為6 280元,求購買了多少個A型芯片?列方程組解應用題201719(6分)學校團委組織志愿者到圖書館整理一批新進的圖書.若男生每人整理30本,女生每人整理20本,共能整理680本;若男生每人整理50本,女生每人整理40本,共能整理1 240本.求男生、女生志愿者各有多少人?列方程組解應用題

通過對比發(fā)現，三年試題考查的是“根據具體問題中的數量關系列出方程(組)、不等式(組)”的建模能力和“解方程(組)、解不等式(組)”的運算技能．不同年度的考題只是問題情境和數據的

不同，對考生的能力要求沒有實質性的改變．這在一定程度上導致在復習備考中出現“為考試而考試”的短視行為：只關注“能列會算”等基本技能的操練，忽略對方程、方程的解等概念的理解與思考．而在廣東省2020年的中考試題中，除了基礎知識、基本技能的考查外，還加強了對概念本質理解的考查：

(2020年廣東中考第21題)已知關于

x

,

y

的方程組與的解相同．(1)求

a

,

b

的值；(2)若一個三角形的一條邊的長為另外兩條邊的長是關于

x

的方程

x

+

ax

+

b

=0的解，試判斷該三角形的形狀，并說明理由．

對“兩個二元一次方組的解相同”的理解是解答本題的關鍵．“解相同”可以理解為兩個方程組有“公共解”或“相同解”；兩個方程組的“公共解”既滿足方程組(I)，也滿足方程組(II)；滿足方程組(I)的解是方程①②的解，滿足方程組(II)的解是方程③④的解．那么這個“公共解”是方程②③的共同解，方程組的解是方程①②③④的解．

面對此問題，學生沒有固定的解題模式可模仿．因此，在復習備考中也就不能只是“死摳”題型，而要注重對數學概念本質的理解，以不變應萬變！中考考查的內容與形式由“形變”到“質變”的遞進，是“在新課標與高考評價體系的指引下，以高考為代表的大規(guī)模中學數學考試命題正在發(fā)生從能力立意到素養(yǎng)導向的重要轉變”．

3.2 考查要求由“學會”向“會學”演進

學習是人類的生存本能，也是人類需要不斷學習提高的能力，以適應不斷發(fā)展變化的環(huán)境．2016年發(fā)布的《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架指出，學會學習是自主發(fā)展素養(yǎng)的基本要點．課堂教學除了讓學生“學會”具體知識、掌握特定技能，還要在知識技能的基礎上培養(yǎng)關鍵能力，形成能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的素養(yǎng)．用什么方式引導學生的數學思維活動，使學生在掌握知識的過程中學習數學思考方法，從學會思考逐步走向學會學習，是教材編寫中需要認真思考和落實的主要任務．作為“指揮棒”的中考試題，除了考查學生是否“學會”了基礎知識與基本技能，更要引導學生在學習中“學會學習”，即“會學”．例如，2020年貴州省遵義市中考數學第10題：

構建幾何圖形解決代數問題是數形結合思想的重要性，在計算 tan 15°時，如圖3，在Rt△

ABC

中，∠

C

=90°,∠

ABC

=30°，延長

CB

使

BD

=

AB

，連結

AD

，使得∠

D

=15°，所以tan 15°類比這種方法，計算tan 22.5°的值為( ).

圖3

學生要解決本題，除了掌握含根式的分式化簡外，關鍵是通過題目給出的示例，學習領會其構造的方法，然后應用于所求的問題．此題考查的不是學生對具體知識技能的理解與掌握，而是對新知識的理解、遷移、運用的能力．學習能力在學習過程中培養(yǎng)，但不能僅停留于基礎知識的記憶、基本技能的操練，還要對學習過程進行審視與反思，習得符合自已的科學的學習方法與策略，提升自我評估與調控的元認知水平，養(yǎng)成注重學習的學習習慣與品格意識，實現由“學會”向“會學”的演進．