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        多想少算視角下2020年高考數(shù)學試題分析

        2022-06-23 02:46:12楊小兵
        數(shù)理化解題研究 2022年16期
        關(guān)鍵詞:特殊化換元題意

        楊小兵

        (四川省簡陽市實驗中學 641400)

        1 利用特殊化

        解決問題的一般策略是從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、從已知到未知,特殊化策略是處理選擇題和填空題最常用的簡便方法,也是解決問題的基本策略.波利亞認為:“特殊化是從對象的一個給定集合,轉(zhuǎn)而考慮包含在這集合內(nèi)較小的集合”.在幾何中,特殊化就是讓直線、平面處于一些特殊的位置或臨界情況,例如:直線的平行、直線的垂直、直線和圓相切等;在代數(shù)中,特殊化就是讓變量取一些特殊的值,使問題變得簡單明了.

        例1(2020年全國Ⅰ卷理第11題)若⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點,過點P作⊙M的切線PA,PB,切點為A,B,當|PM|·|AB|最小時,直線AB的方程為( ).

        A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

        C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

        解析當|PM|·|AB|最小時,只需要各自最小即可,所以猜想:當PM⊥l時,|PM|·|AB|最小.

        因為PM⊥l,則|PM|最小,設(shè)PM與AB的交點為C,則由三角形面積可知

        則有|PM|最小時|AB|也最小.

        又因為AB∥l,則kAB=-2,排除A,C.

        易求直線AB方程為x-2y+1=0.

        例2 (2020年浙江卷第9題)已知a,b∈R且ab≠0,對于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,則( ).

        A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0

        解析當a=1,b=-1時,(x-1)(x+1)(x-1)≥0在x≥0時恒成立.

        當a=-1,b=-1時有(x+1)2(x+3)≥0在x≥0時恒成立.

        當a=-1,b=1時有(x+1)2(x-1)≥0在x≥0時不一定成立,故選C.

        評注牛頓指出:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”,例1通過猜想對圖形位置進行了特殊化;例2對字母數(shù)據(jù)進行了特殊化,避免了直接對字母進行分類討論,都對解題過程進行了極大簡化.

        2 利用“二級結(jié)論”

        二級結(jié)論是指教材中現(xiàn)有結(jié)論之外的結(jié)論,它是通過教材中的一些定理、公理進行推導(dǎo)所得到的結(jié)論,一般是經(jīng)驗性的利于考試解題的結(jié)論.例如:拋物線的焦點弦長公式、橢圓焦半徑公式、橢圓焦點三角形的面積、對數(shù)—平均值不等式、三角形面積的坐標表示、若奇函數(shù)存在最大值和最小值,則其之和為0等.這些二級結(jié)論不應(yīng)該去死記硬背,而是應(yīng)該在理解或者解題的基礎(chǔ)上去記憶.

        A.1 B.2 C.4 D.8

        代入數(shù)據(jù)解得b=2.

        所以a=1,選擇A.

        解得雙曲線離心率為2.

        3 利用模型

        數(shù)學模型是為了某種目的,用字母、數(shù)字及數(shù)學符號建立起來的函數(shù)、方程、等式或不等式以及圖表、圖象等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學結(jié)構(gòu)表達式.常見的數(shù)學模型包括:向量恒等式模型、三點共線模型、面積模型、點到直線的距離模型、指數(shù)模型、對數(shù)模型、均值不等式模型等.

        由向量恒等式,有

        例6 (2020年全國Ⅲ卷文第16題)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為____.

        4 利用數(shù)形結(jié)合

        數(shù)和形是數(shù)學研究的兩部分,它們既有區(qū)別又有聯(lián)系,不能將它們視作孤立存在,華羅庚指出:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合千般好,隔離分家萬事休.”由此可見:“形”具有直觀性,而“數(shù)”具有抽象性,只有將兩者結(jié)合才能達到事半功倍的效果.

        例7 (2020年全國Ⅰ卷理第10題)如圖1,已知A,B,C為球O的球面上的三個點,⊙O1為△ABC的外接圓,若⊙O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為( ).

        圖1

        A.64π B.48π C.36π D.32π

        解析設(shè)圓O1半徑為r,球的半徑為R,由題意得πr2=4π.解得r=2.

        因為△ABC為等邊三角形,由正弦定理,得

        根據(jù)球的截面性質(zhì),OO1⊥平面ABC.

        所以球O的表面積S=4πR2=64π.故選A.

        5 利用觀察

        圖2

        k=1時,g(x)=f(x)-|x2-2x|恰有4個零點,畫出函數(shù)圖象(如圖3)可知:此時并不滿足題意排除C,選擇D.

        圖3

        評注觀察是尋找解決數(shù)學問題思路的基本方法和策略.在審題的過程中要觀察題目所給條件、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、選項的組成情況,如果能善于觀察并選擇合適方法,將會極大提高解題效率和正確率.本題正是通過觀察選項的組成情況,對參數(shù)進行賦值從而極大地優(yōu)化了解題過程.

        6 利用函數(shù)性質(zhì)

        克萊因曾說:“函數(shù)是數(shù)學的靈魂”,函數(shù)是高中學習的重點,高考的熱點.對于函數(shù)性質(zhì)的考查更是順理成章,高考中常考查的函數(shù)性質(zhì)包括:函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性、凹凸性等.

        例9 (2020年新高考山東卷第8題)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( ).

        A.[-1,1]∪[3,+∞)

        B.[-3,-1]∪[0,1]

        C.[-1,0]∪[1,+∞)

        D.[-1,0]∪[1,3]

        解析由奇函數(shù)的性質(zhì)可知:奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同,并且滿足f(-x)=-f(x).

        根據(jù)題意可知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增并且f(-2)=0,f(0)=0,畫出示意圖如圖4所示,選擇D.

        圖4

        例10(2020年全國Ⅰ卷理第12題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ).

        A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

        解析根據(jù)題意有2a+log2a=22b+log2b.

        令f(x)=2x+log2x,

        易證f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        則有2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b.

        則f(a)

        所以a<2b.故選B.

        評注例10作為理科壓軸選擇題,不偏不怪、題干簡練、設(shè)問巧妙、解法多樣,是一道好題,熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)并且學會選擇與應(yīng)用非常重要.

        7 利用換元

        又因為e1·e2≤|e1|·|e2|=1

        評注換元法是解題中常用的方法,其實質(zhì)是轉(zhuǎn)化進行等量代換,使一個復(fù)雜、困難的問題變得簡單容易處理.換元的關(guān)鍵在于確定替換的部分和引入新參數(shù)的范圍,常見的換元包括:整體換元、局部換元、三角換元、均值換元等.

        8 利用補體法

        補體或者造形的本質(zhì)是從宏觀的角度看待和處理立體幾何問題.補體法根據(jù)已知條件將一個幾何體補成一個比較熟悉的幾何體(例如:正方體、長方體、椎體、柱體、球體等),使其原來不易發(fā)掘或不易表示的點、線、面之間的關(guān)系可以更加直觀地呈現(xiàn).補體這一過程需要充分發(fā)揮考生的空間想象力和創(chuàng)造力,具有創(chuàng)造的成分.

        圖5

        解析將三棱錐P-ABC的平面展開圖還原為三棱錐P-ABC,然后補成一個斜四棱柱ABOC-DB1O1C1,其中D,E,F,P為同一個點,所以在△DCB中,由余弦定理有

        CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos30°.

        則CD=1.

        9 構(gòu)造函數(shù)

        例13 (2020年全國Ⅱ卷文第12題)若2x-2y<3-x-3-y,則( ).

        A.ln(y-x+1)>0

        B.ln(y-x+1)<0

        C.ln|x-y|>0

        D.ln|x-y|<0

        解析由題可得2x-3-x<2y-3-y.

        易證該函數(shù)在R上為增函數(shù).

        所以f(x)

        則有x

        那么y-x>0,y-x+1>1.

        所以ln(y-x+1)>ln1=0,故選A.

        評注構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件去尋找相同或相似的式子,然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值進行解決.

        10 利用設(shè)而不求

        與拋物線方程聯(lián)立,得3x2-10x+3=0.

        評注本題根據(jù)題意設(shè)出兩點坐標但是并沒有直接將其計算出來,而是利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體代換,避免了大量繁瑣的計算.在解決直線與拋物線相交的弦長問題時,如果該直線過焦點,那么可直接利用弦長公式:|AB|=x1+x2+p.

        11 利用極限

        例15(2020年浙江卷第22題(節(jié)選))已知1

        解析由已知,得f′(x)=ex-1,故f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f′(x)>f′(0)=0.

        所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        x→+∞時,f(x)→+∞;

        x→0+時,f(x)→1-a<0.

        所以在(0,+∞)上存在x0使得f(x0)=0.

        即f(x)在(0,+∞)上有唯一零點.

        評注極限策略是利用極限思想來分析問題和解決問題.利用極限思想是對問題進行極端化,特別是在判斷函數(shù)圖象、證明函數(shù)極值點、判斷函數(shù)零點時可以起到化繁為簡的作用.

        12 利用高等數(shù)學工具

        高等數(shù)學工具是指利用高等數(shù)學中的定理、公式進行解題.常用的高等數(shù)學工具包括:洛必達法則、泰勒展開式、琴生不等式、條件極值、隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、拉格朗日乘數(shù)法等.

        例16 (2020年新高考山東卷第22題(節(jié)選))已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

        所以ex-1≥x,lnx≤x-1.

        則f(x)≥1恒成立可以轉(zhuǎn)化為(a-1)x+lna≥0恒成立.

        評注泰勒公式的本質(zhì)就是利用多項式函數(shù)去逼近一個給定的函數(shù).不等式ex≥x+1,lnx≤x-1是壓軸題中常用的放縮結(jié)論,值得重點掌握.

        多想少算策略作為基本的高考命題策略,在2020年高考(12套)試卷中得到了充分的體現(xiàn),其種類遠不止這些,文中案例僅僅想起到拋磚引玉的作用.新時代要求教師應(yīng)該是教育教學的研究者,對于這些能優(yōu)化解題的策略,讓學生取得數(shù)學思維上的突破,值得深入研究.

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