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        淺議優(yōu)化解題策略
        ——以一道填空壓軸模擬試題的“母題”多解為例

        2022-06-23 02:45:46杜海洋
        數(shù)理化解題研究 2022年16期
        關(guān)鍵詞:母題余弦定理平分線

        杜海洋

        (四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 610100)

        1 一道高考題及其分析

        2018年江蘇卷13題,是一道解三角形求最值問(wèn)題,題型常規(guī)但不乏新意,解法眾多但多解歸一.本題作為全卷第13題(次壓軸填空題)而成為2021年成都市高三一診理科數(shù)學(xué)壓軸16題,自身有一定難度和新意.解題方法較多,文[1]不同方法之間效果(思維、時(shí)間、運(yùn)算、書(shū)寫(xiě)等要求差異較大)相去甚遠(yuǎn),在邏輯推理思路、運(yùn)算繁簡(jiǎn)、解題過(guò)程表達(dá)、時(shí)間成本付出等諸方面大相徑庭.本題真正體現(xiàn)了高考突出“多考想、少考算”,在思維層次上區(qū)分的命題立意.但是,深層次探討這些差異產(chǎn)生的原因,可以說(shuō)都主要指向了解題過(guò)程的優(yōu)化策略.這里筆者將通過(guò)對(duì)此道高考題的分析,談一下解題優(yōu)化策略.

        1.1 模擬題目

        1.2 真題再現(xiàn)

        (2018年江蘇高考)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為_(kāi)___.

        1.3 真題解析

        解法1由題意可知S△ABC=S△ABD+S△BCD.

        由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式,得

        下面求4a+c的最小值

        思路2(構(gòu)成方程,利用判別式求最值)由法1可得出a+c=ac.

        令4a+c=t,則c=t-4a.

        代入a+c=ac,得關(guān)于a的一元二次方程

        4a2-(t+3)a+t=0.

        由△=(t+3)2-16t≥0,即

        (t-1)(t-9)≥0,

        解得t≤1或t≥9.

        由已知BD=1可得tmin=9成立.

        思路3(構(gòu)造線性規(guī)劃求最值)由法1得

        a+c=ac.

        設(shè)a=x,c=y(x>0,y>0),即xy=x+y.

        圖1

        評(píng)注本題實(shí)際上涉及解三角形知識(shí),因?yàn)橐,c邊的關(guān)系,根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.

        解法2(利用正弦定理,邊化雙角)因?yàn)椤螦BC=120°,所以在△ABC中,由正弦定理,得

        又因?yàn)锽D平分∠ABC,

        則下面求4a+c的最小值.

        思路1 (利用基本不等式)

        則4a+c的最小值為9.

        思路2(利用函數(shù)單調(diào)性求最值)

        易得函數(shù)f(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增,在(0,2)單調(diào)遞減.

        所以f(x)min=f(2)=9.

        解法3(利用正弦定理化單角的函數(shù))

        分別在△ABD,△BCD中,由正弦定理,得

        評(píng)注因?yàn)樯婕八筮叺年P(guān)系在△ABC中,所以在此三角形中找∠A或∠B作為函數(shù)變量.建立函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常見(jiàn)的一個(gè)重要方法,此法的關(guān)鍵是合理設(shè)元,再用函數(shù)知識(shí)求解,當(dāng)然要留意未知數(shù)的范圍.

        解法4 (正弦定理入手,建立角化邊)同法2有

        則可得a+c=ac,下同解法1.

        解法5 (利用余弦定理建立邊的關(guān)系)

        在△ABD中,由余弦定理,得

        兩邊平方整理,得

        (a-c)(a+c-ac)=0.

        若a=c,解得a=c=2,則4a+c=10.

        若a+c-ac=0,下同解法1.

        評(píng)注正弦定理、余弦定理是實(shí)現(xiàn)邊角互化的工具.

        解法6 由三角形角平分線得向量表達(dá)式

        因?yàn)锽D=1,等式兩邊平方整理,得a+c=ac,下同解法1.

        也可將a+c=ac化為(a-1)(c-1)=1.

        即4a+c=4(a-1)+(c-1)+5≥9,

        當(dāng)且僅當(dāng)4(a-1)=(c-1)時(shí),

        評(píng)注向量與三角函數(shù)關(guān)系密不可分,本題用基底法表示向量BD是關(guān)鍵.同時(shí)在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

        圖2

        整理,得a+c=ac,下同解法1.

        整理,得a+c=ac,下同解法1.

        評(píng)注坐標(biāo)法是實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化的有力工具,解法7,8主要體現(xiàn)了建系的合理性.

        解法9 (幾何法1)如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DE∥CB交AB于點(diǎn)E,易得△BDE為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.

        圖3

        整理,得a+c=ac,下同解法1.

        解法10 (幾何法2)如圖4,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E,易得△BDE為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.

        圖4

        整理,得a+c=ac,下同解法1.

        解法11 (幾何法3)如圖5,過(guò)點(diǎn)C作CE∥DB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易得△BCE為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.

        圖5

        整理,得a+c=ac,下同解法1.

        解法12 (幾何法4)如圖6,過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易得△ABE為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.

        圖6

        整理,得a+c=ac,下同解法1.

        解法13 (幾何法5)如圖7,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE,由已知易得△ABE為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.

        圖7

        整理,得a+c=ac,下同解法1.

        圖8

        整理,得a+c=ac,下同解法1.

        評(píng)注以上6種幾何法可看出從三角形任意點(diǎn)出發(fā)均可作圖,可見(jiàn)作圖的多樣性,其核心都是圍繞角平分線段BD展開(kāi).

        1.4 考生答題情況簡(jiǎn)述

        據(jù)筆者調(diào)查,總體來(lái)看,考生解答這道題情況并不理想.具體體現(xiàn)在:(1)目標(biāo)意識(shí)不強(qiáng),不明確解題方向,機(jī)械套用公式.例如,本小題的結(jié)論是邊的最值關(guān)系,大方向應(yīng)該是朝著建立邊的關(guān)系變形.但有些考生對(duì)“消角留邊”還是“化邊為角”不清楚,一味機(jī)械套用正弦定理、余弦定理,繞來(lái)繞去沒(méi)有抓住角平分線這一核心.(2)是解題策略選擇不當(dāng),導(dǎo)致運(yùn)算推理耗時(shí)太多.(3)是分析問(wèn)題的能力較差.主要表現(xiàn)在思維只停留在正余弦定理范圍,尋求邊a,c的關(guān)系,至于運(yùn)用幾何作圖法,更是鳳毛麟角,說(shuō)明考生解題方法單一.

        2 核心素養(yǎng)下的解題優(yōu)化策略

        2.1 核心素養(yǎng)下的解題

        數(shù)學(xué)解題,一要先有目標(biāo),二要整體把握解題過(guò)程,可以從大處著眼,小處著手二個(gè)層次把握.大處著眼(俗稱大局觀)即:理解題意、弄清條件、明確目標(biāo)是解題的基礎(chǔ).小處著手,就是具體解題過(guò)程的實(shí)施,套用基本模型,或建立數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行邏輯推理,或運(yùn)算變形,還需要把握解題過(guò)程與步驟等.當(dāng)然,在解題過(guò)程中,有效監(jiān)控伴隨始終,在思維受阻,運(yùn)算推理遭遇困難時(shí),需要調(diào)整優(yōu)化預(yù)案,甚至有時(shí)需要改弦易轍,另起爐灶.

        2.2 目標(biāo)引領(lǐng)下的解題教學(xué)設(shè)計(jì)(片斷)

        對(duì)2018年江蘇卷13題,前面給出了諸多解法,并對(duì)這些解法作了分析.就其解題而言,自然希望能較快找到解決問(wèn)題的思路,并在明確解題目標(biāo)的基礎(chǔ)上,評(píng)估并選擇最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.那么,在解題教學(xué)時(shí),如何引導(dǎo)學(xué)生分析目標(biāo),尋找恰當(dāng)?shù)乃悸纺?

        下面給出該題解題中啟發(fā)學(xué)生思考的問(wèn)題串(要點(diǎn)),當(dāng)然,在具體教學(xué)實(shí)施時(shí),要突出問(wèn)題的啟發(fā)引導(dǎo),并隨機(jī)應(yīng)變,順勢(shì)而為.①目標(biāo)是求長(zhǎng)度(邊)和的最值,大方向是消角化邊,找到兩邊關(guān)系;②所給條件核心是三角形角平分線的長(zhǎng)度(唯一一邊值);③分析所給條件結(jié)構(gòu),應(yīng)首先考慮用面積關(guān)系或正弦定理;④始終要用到角平分線,盡可能避免b邊出現(xiàn),可以看出前面給出的多種解法都圍繞這一目標(biāo)而展開(kāi),或者說(shuō),這些解法全部指向求a,c的關(guān)系,不同方法只是求的路徑不同.在這一意義下,甚至可以說(shuō),其幾種解法只有一種,雖是一題多解,實(shí)則多解一法;⑤再觀察式子a+c=ac與目標(biāo)4a+c結(jié)構(gòu)特征,同時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到,直接求出a,c是困難的,應(yīng)該對(duì)式子進(jìn)行變形,其本質(zhì)是可以減少字母?jìng)€(gè)數(shù)或整體代換.

        從以上方法來(lái)看,試題的解答入口很寬,命題設(shè)計(jì)上體現(xiàn)了具有開(kāi)放性和探究性,同時(shí)在解法上出現(xiàn)了常規(guī)性和創(chuàng)新性.真正檢驗(yàn)了考生的邏輯推理核心素養(yǎng),同時(shí)也為我們傳導(dǎo)了平時(shí)教學(xué)中對(duì)問(wèn)題的深入探究,進(jìn)一步提升教學(xué)方法.

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