陳祥維 趙知勁，2

（1.杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江杭州 310018；2.中國電子科技集團(tuán)第36研究所通信系統(tǒng)信息控制技術(shù)國家級重點實驗室，浙江嘉興 314001）

1 引言

跳頻通信在軍事和民用通信領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，相較于傳統(tǒng)定頻通信方式，其抗干擾、低截獲和難破譯的特點也對跳頻通信偵察帶來了更多的困難［1］。作為干擾和截獲敵方信號的前提，跳頻信號的頻率跟蹤估計是急需解決的問題。

跳頻信號的頻率估計有時頻分析法［2-9］，子空間分解法［10-11］和原子分解法［12-16］等。文獻(xiàn)［2-3］利用偽Wigner-Ville 分布估計跳頻頻率和跳變時刻，文獻(xiàn)［4-6］利用短時傅里葉變換（Short Time Fourier Transform，STFT），但頻率估計精度有限。文獻(xiàn)［7-8］利用STFT和偽Wigner-Ville分布相結(jié)合的方法，不僅提高了時頻分辨率，又抑制了交叉項干擾。文獻(xiàn)［9］利用小波變換和STFT 緩解了跳頻信號參數(shù)估計存在的時頻不確定性問題。文獻(xiàn)［10］利用二次STFT和多重信號分類法（multiple signal classification，MUSIC）完成對載波頻率和跳變時刻的高精度估計，文獻(xiàn)［11］在文獻(xiàn)［10］的基礎(chǔ)上，將FFT 與求根MUSIC 算法和旋轉(zhuǎn)不變法相結(jié)合，提出一種具有可選結(jié)構(gòu)的高精度頻率估計方法，滿足不同信噪比條件的需求，但計算量過大。文獻(xiàn)［12］提出一種基于稀疏重構(gòu)的跳頻信號頻率跟蹤方法。文獻(xiàn)［13］以Gabor 函數(shù)為基函數(shù)對跳頻信號進(jìn)行原子分解，并利用信息論準(zhǔn)則測度對跳頻信號進(jìn)行參數(shù)估計。文獻(xiàn)［14］提出一種分段壓縮和原子范數(shù)的跳頻信號參數(shù)估計方法，但這兩種方法受限于原子字典規(guī)模，頻率估計精度較低。文獻(xiàn)［15］在文獻(xiàn)［12］的基礎(chǔ)上，通過頻率搜索間隔細(xì)化提高頻率估計精度，文獻(xiàn)［16］利用基于自適應(yīng)網(wǎng)格的變分貝葉斯稀疏重構(gòu)算法，通過對字典的加權(quán)、聚類與縮放提高頻率估計精度，但基于搜索的頻率估計方法計算量依然過大。

由于跳頻信號是寬帶信號［17］，上述方法需要較高采樣頻率的模數(shù)轉(zhuǎn)換器（Analog to digital converter，ADC）對其進(jìn)行采樣，對硬件性能、功耗和成本要求高。文獻(xiàn)［18-19］利用多通道欠采樣和中國余數(shù)定理（Chinese remainder theorem，CRT）估計高頻信號的頻率，但計算量非常大。文獻(xiàn)［20］在文獻(xiàn)［18-19］的基礎(chǔ)上，將魯棒CRT 的二維搜索算法優(yōu)化為一維搜索算法，一定程度上降低了計算量。文獻(xiàn)［21］提出一種魯棒CRT 的閉式求解方法，大大降低了運(yùn)算量，使基于CRT 的高頻信號頻率實時估計成為可能。然而，文獻(xiàn)［18-21］所提出的CRT 頻率估計算法余數(shù)值僅根據(jù)DFT 的譜峰搜索得到，忽略了DFT的柵欄效應(yīng)導(dǎo)致的余數(shù)誤差問題。文獻(xiàn)［22］在不補(bǔ)零的基礎(chǔ)上利用Candan 算法對CRT 頻率余數(shù)進(jìn)行校正，文獻(xiàn)［23］在補(bǔ)零的基礎(chǔ)上利用Fang算法進(jìn)一步提高估計精度，但Candan 算法和Fang 算法對DFT 的點數(shù)選取不靈活，且估計精度有待進(jìn)一步提高。本文提出一種新的頻率校正算法，序列補(bǔ)零數(shù)量靈活，且增加補(bǔ)零數(shù)量可以進(jìn)一步提高頻率估計精度。本文還提出一種頻率估計檢錯機(jī)制，可提高頻率估計可靠性。

2 跳頻信號頻率跟蹤估計模型

本文結(jié)合跳頻信號的特點，先通過多路低采樣頻率的ADC 對信號進(jìn)行并行欠采樣，再利用FFT 和本文提出的頻率校正算法對各支路的頻率余數(shù)進(jìn)行校正，最后應(yīng)用魯棒中國余數(shù)定理對跳頻信號頻率進(jìn)行高精度估計和檢錯。另外，設(shè)計如圖1 所示的滑動策略實現(xiàn)跳頻信號頻率跟蹤，其中Tg為滑動窗長，Tp為滑動步長。跳頻信號頻率估計具體方案如圖2 所示，前I個支路用于頻率估計，后Q個支路用于檢錯。

2.1 跳頻信號頻率估計模型

在觀測時間T內(nèi)，單頻跳頻復(fù)信號可以表示為：

其中，K表示在觀測時間T內(nèi)的跳變頻率數(shù)；A和Th表示信號幅度和跳頻周期；fk和φk分別表示信號的第k個頻率和相位；rect(t)是單位矩形脈沖；v(t)是均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲。

以采樣頻率fs1，fs2，…，fsI對跳頻信號x(t)進(jìn)行I路并行欠采樣，第i路欠采樣信號表達(dá)式為：

其中Tsi=1/fsi為第i路的采樣間隔，φki表示第i路第k個頻率的信號相位，Nhi=Th fsi。故當(dāng)滑動窗長為Tg時，第i路每個滑動窗內(nèi)的樣本點數(shù)為Ni=Tg fsi。

根據(jù)奈奎斯特采樣定理可知，對信號的欠采樣將使信號頻譜以欠采樣率為周期進(jìn)行周期延拓，故一個滑動窗內(nèi)第i路的欠采樣信號頻率fk與其歸一化頻率Fi及欠采樣頻率fsi的關(guān)系可以表示為：

其中ni為折疊系數(shù)；mi為該滑動窗內(nèi)第i路的欠采樣信號做Ni點DFT 得到的幅度譜峰值索引；δi為在幅度譜上真實譜峰與mi的距離，|δi|≤0.5。

故一個滑動窗內(nèi)欠采樣跳頻信號頻率估計問題可以看作是解模糊問題，且滿足同余方程組：

其中，ri=為取模運(yùn)算。故求解同余方程組（4）的關(guān)鍵是根據(jù)頻率余數(shù)r1，r2，…，rI和采樣頻率fs1，fs2，…，fsI求出折疊系數(shù)n1，n2，…，nI。CRT為解模糊問題提供了方法。

2.2 魯棒閉式中國余數(shù)定理簡述

定義1［19］對于未知的正整數(shù)N，如式（5）所示N關(guān)于模J1，J2，…，JI的余數(shù)分別為r1，r2，…，rI，折疊系數(shù)分別為n1，n2，…，nI。對于J1，J2，…，JI，除去最大公約數(shù)J后，兩兩互質(zhì)，即Ji=JΓi，且gcd(Γi，Γj)=1，i≠j，gcd(·)表示最大公約數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)0 ≤N

選擇采樣頻率fsi=JΓi(i=1，2，…，I)，使多路欠采樣跳頻信號頻率估計同余方程組（4）滿足定義1 的條件，則當(dāng)跳頻信號的跳變頻率fk處于0到JΓ1Γ2…ΓI之間時，可以利用閉式求解法［21］較為準(zhǔn)確地估計fk。閉式求解方法步驟如下：

2.3 頻率校正

由于DFT 的性質(zhì)，一個滑動窗內(nèi)的樣本點數(shù)的大小會影響DFT 的頻率分辨率，另外，如式（3）所示，柵欄效應(yīng)導(dǎo)致各路欠采樣信號經(jīng)過DFT 得到的頻率余數(shù)估計值只能精確到整數(shù)mi而丟棄小數(shù)δi，即精確到整數(shù)倍的DFT 頻率分辨率。根據(jù)定理1，丟棄小數(shù)δi后的頻率余數(shù)誤差為，故丟棄δi將降低頻率估計精度。因此本文將改進(jìn)各路的δi估計，進(jìn)行頻率校正，提高頻率估計精度。

由于跳頻信號在每一跳內(nèi)載頻不變，所以在每一個跳頻周期內(nèi)可看作平穩(wěn)單頻信號，當(dāng)滑動窗長滿足Tg

2.3.1 已有頻率校正算法

Candan算法［24］對第i路采樣得到的Ni點信號直接進(jìn)行DFT，得到幅度譜XCan[m]以及幅度譜峰值索引mCan，對δi的估計為：

而Fang 算法［25］對第i路采樣得到的Ni點信號補(bǔ)零至2Ni點后再進(jìn)行DFT，得到幅度譜XF[m]以及幅度譜峰值索引mF，對δi的估計為：

Ni為2的整數(shù)次冪時才可使用FFT 減小DFT 的運(yùn)算量。而在一個滑動窗內(nèi)，各支路采樣點數(shù)滿足Ni=Tg fsi，顯然，若在應(yīng)用FFT 的前提下利用Candan 算法和Fang 算法對各支路頻率余數(shù)進(jìn)行校正，只能對原采樣序列進(jìn)行截斷處理，使Ni為2的整數(shù)次冪，這將影響算法的頻率估計精度。

2.3.2 本文頻率校正算法

對第i路信號補(bǔ)零至cNi點，稱c為補(bǔ)零程度，其cNi點DFT為：

因為|δi|≤0.5，所以當(dāng)c≥1.5 時，利用三角函數(shù)公式分別展開式（11）和式（12），并整理后可以得到：

兩式相加，整理后可得：

最終得到各路采樣信號的頻率估計余數(shù)為：

可以看出，當(dāng)補(bǔ)零程度c=2 時，本文算法退化為Fang 算法，但本文算法補(bǔ)零數(shù)量更加靈活，所以任意長度的滑動窗內(nèi)的采樣序列都能在補(bǔ)零至2的整數(shù)次冪后應(yīng)用FFT進(jìn)行頻率校正。

2.4 檢錯機(jī)制

利用中國余數(shù)定理進(jìn)行頻率估計會存在兩種情況。一是估計誤差的估計正確情況，其中為估計頻率，fk為真實頻率，τ為余數(shù)最大誤差。二是由于余數(shù)選擇錯誤引發(fā)的估計錯誤情況。在信噪比較低的情況下，欠采樣信號頻譜中的主頻分量可能會被噪聲淹沒，導(dǎo)致根據(jù)幅度譜定位得到的頻率余數(shù)是隨機(jī)的且與真實頻率余數(shù)相差在τ以上。只要I路欠采樣信號中有一個出現(xiàn)上述情況，頻率估計就會出現(xiàn)錯誤且頻率估計值在全頻段上隨機(jī)取值。故本文引入一種檢錯機(jī)制，在估計錯誤時及時報警。

定義特殊距離da，b：

其中，G為余數(shù)a與b共同的模。

在I個用于頻率估計的支路之外引入額外的Q個支路作為檢錯支路。各檢錯支路的欠采樣頻率分別為。由于真實頻率fk和第q個檢錯支路欠采樣頻率存在如式（19）所示的關(guān)系：

3 仿真實驗及分析

在高斯白噪聲環(huán)境下，在0～5.9 GHz 范圍內(nèi)隨機(jī)取100 個頻率值作為跳頻信號載頻頻率集，生成跳速為8000 hops/s 的跳頻信號，每跳內(nèi)為單頻信號。故根據(jù)定義1，設(shè)置最大公約數(shù)J=100000，選用I=3 的頻率估計支路，則欠采樣頻率可分別選為3.7 MHz、3.9 MHz 和4.1 MHz。選用Q=3 的檢錯支路，欠采樣頻率分別選為5.1 MHz，5.2 MHz，5.7 MHz。

3.1 滑動窗長對頻率估計正確率的影響

不使用頻率校正，利用CRT 進(jìn)行頻率粗估計的頻譜頻率分辨率為，則頻率余數(shù)最大誤差為，所以本實驗中，當(dāng)，認(rèn)為頻率估計正確。當(dāng)信噪比為-23 dB～8 dB，窗長Tg為0.02 ms，0.04 ms 和0.08 ms 時，分別對三種窗長下各支路進(jìn)行128 點、256 點和512 點的FFT，并利用本文算法進(jìn)行頻率校正，6000 次蒙特卡洛實驗得到的跳頻信號頻率估計正確率如圖3 所示。由圖可知，當(dāng)信噪比大于-5 dB 時，三種窗長的本文算法的頻率估計正確率十分接近，考慮到頻率跟蹤性能和頻率估計精度，下文取Tg=0.04 ms，即三個支路滑動窗樣本點數(shù)分別為148，156和164。

3.2 頻率估計性能

利用相對誤差分析算法的頻率估計性能，其計算公式為：

其中，P為蒙特卡洛實驗次數(shù)，K為跳頻頻率集中包含的頻點數(shù)量,為第k個頻點第p次實驗的頻率估計值，fk為第k個頻點的真實頻率值。

為了使用FFT，Candan 算法需截取各支路樣本點中的128 點作FFT，F(xiàn)ang 算法需截取各支路樣本點中的128 點補(bǔ)零至256 點后作FFT，而本文算法將樣本點補(bǔ)零至256 點和1024 點FFT。信噪比為-10 dB～40 dB，利用Candan 算法、Fang 算法和本文算法得到的跳頻信號頻率估計相對誤差如圖4所示，每條曲線是100次蒙特卡洛實驗平均。

由圖4 可知：當(dāng)信噪比處于-10 dB～20 dB 時，三種算法的估計精度隨信噪比的增大而提高，且在同一信噪比條件下，補(bǔ)零至256 點的本文算法估計精度最高，F(xiàn)ang 算法次之，Candan 算法最低。所有MRE 曲線都存在信噪比閾值，即當(dāng)信噪比大于某個信噪比閾值時，算法的MRE不再隨著信噪比的增大而減小，將此稱為誤差平臺。從圖中可以看出，補(bǔ)零至256 點的本文算法和Fang 算法的誤差平臺一樣，而Candan算法的誤差平臺較高。通過對比補(bǔ)零至不同數(shù)量的本文算法MRE曲線可知，本文算法可以通過增大補(bǔ)零程度，進(jìn)一步提高估計精度和信噪比閾值，且進(jìn)一步降低誤差平臺。

表1給出了不同補(bǔ)零程度的本文算法對無噪聲跳頻信號頻率估計的MRE 曲線的誤差平臺。從表中可以看出，當(dāng)補(bǔ)零至2048 點后，繼續(xù)增加補(bǔ)零數(shù)量，誤差平臺下降變得緩慢，但計算復(fù)雜度大大增加，所以下文本文算法都補(bǔ)零至1024點。

表1 無高斯白噪聲下不同補(bǔ)零數(shù)量的誤差平臺Tab.1 Error floor with different number of zero padding without Gaussian white noise

當(dāng)每跳跳頻信號是BPSK 調(diào)制，1 跳內(nèi)傳輸2 比特，即比特率為16 kbps，其余參數(shù)同前，Candan 算法、Fang算法和補(bǔ)零至1024點的本文算法的頻率估計相對誤差如圖5 所示，每條曲線是1000 次蒙特卡洛實驗結(jié)果的平均。從圖中可以看出，當(dāng)信噪比處于-10 dB～-2 dB 時，估計精度隨信噪比增大而提高，本文算法的估計精度最高。與圖4 的1 跳內(nèi)為單頻信號的跳頻信號頻率估計結(jié)果相比，三種算法的估計性能都有不同程度的下降，F(xiàn)ang 算法和Candan 算法的估計精度下降更明顯，故由此得出Candan 算法和Fang 算法的頻率估計性能對信號相位變化敏感，而本文算法對信號的相位變化不太敏感，獲得高的頻率估計精度。

3.3 頻率跟蹤性能

在跳頻信號中選取任意1000 個頻率跳變時刻為觀測起點，觀測時間T=0.3125 ms，獲取1000個跳頻信號觀測段。分別利用補(bǔ)零至1024 點的本文算法和Fang 算法進(jìn)行頻率余數(shù)校正，滑動步長Tp為0.005 ms，滑動窗長Tg為0.04 ms，對1000個跳頻信號觀測段進(jìn)行頻率跟蹤。若滑動窗處于頻率跳變時刻時，視滑動窗中心位置的頻率為此刻真實跳變頻率值。利用式（21）表示的每個滑動窗內(nèi)頻率估計相對誤差分析算法的頻率跟蹤性能。

其中，P為觀測段總數(shù)，fp(n)和分別為第p個觀測段的第n個滑動窗內(nèi)的真實跳變頻率值和頻率估計值。當(dāng)信噪比為15 dB，本文算法和Fang 算法在不同時刻的頻率估計相對誤差如圖6所示。從圖中可以看出，當(dāng)滑動窗處于跳周期中間區(qū)間時，兩種算法的頻率估計相對誤差較小且平穩(wěn)，且本文算法誤差更低；當(dāng)滑動窗中心處于頻率跳變時刻附近，兩種算法誤差增大，隨后又能跟蹤上且正確估計出頻率。

3.4 檢錯機(jī)制準(zhǔn)確率

在利用頻率校正后，檢錯機(jī)制的條件設(shè)置可以更為嚴(yán)格，本實驗中檢錯條件設(shè)為。在Tg=0.04 ms，信噪比為-23 dB～8 dB 的情況下，補(bǔ)零至1024點的本文算法中利用單個采樣頻率為5.1 MHz的檢錯支路進(jìn)行檢錯和利用三個采樣頻率分別為5.1 MHz、5.2 MHz和5.7 MHz的檢錯支路對單頻跳頻信號進(jìn)行檢錯的檢錯準(zhǔn)確率如圖7 所示，每條曲線是15000次蒙特卡洛實驗結(jié)果的平均。

從圖中可以看出，當(dāng)信噪比為-23 dB 至8 dB時，檢錯正確率都高于93%，但當(dāng)信噪比處于-13 dB左右時，單個檢錯支路的判斷正確率下降。對比圖3 的估計正確率曲線可以得知，此時頻率估計的正確率為30%～40%，會出現(xiàn)大量虛警的情況，導(dǎo)致檢錯準(zhǔn)確率下降。當(dāng)使用三個檢錯支路時，檢錯準(zhǔn)確率都高于95.5%。另外，當(dāng)信噪比小于-17 dB時，不同數(shù)量檢錯支路的檢錯正確率都高于99.5%，從圖3可以得到其原因是當(dāng)信噪比小于-17 dB 時，由于信號頻譜被噪聲淹沒，頻率估計支路的估計頻率正確率為0，檢錯支路的頻率是隨機(jī)取值，所以大概率不滿足檢錯條件，得到高的檢錯正確率。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于多通路和中國余數(shù)定理的跳頻信號頻率跟蹤估計方法。該方法利用中國余數(shù)定理降低了傳統(tǒng)算法中對ADC 采樣率的要求；提出的頻率校正算法改善了中國余數(shù)定理在頻率估計應(yīng)用中的估計精度，該算法性能優(yōu)于Candan算法和Fang 算法，且補(bǔ)零數(shù)量靈活，滑動窗長度選取不受限制，增加補(bǔ)零數(shù)量可以進(jìn)一步提高算法的頻率估計精度和信噪比閾值，降低算法的誤差平臺；本文還給出了一種頻率估計的檢錯機(jī)制，提高了算法可靠性。