唐容 袁連海 景小榮

（1.重慶郵電大學通信與信息工程學院，重慶 400065；2.成都理工大學工程技術學院電子信息與計算機工程系，四川樂山 614000）

1 引言

大規(guī)模多輸入多輸出（massive Multiple-Input Multiple-Output，mMIMO）技術在基站端部署成百上千根天線，多個終端同時發(fā)送數據，極大地提升頻譜利用率［1-2］。由此，mMIMO 技術成為未來無線通信物理層關鍵使能傳輸技術之一。

上行鏈路信號檢測作為mMIMO 系統(tǒng)的關鍵研究內容，已有的相關研究分別從非線性檢測與線性檢測兩個方向展開。非線性檢測適用于收發(fā)天線數相當的情形，其中包括文獻［3］提出的似然上升搜索（Likelihood Ascent Search，LAS）算法，該算法能以較低復雜度取得近似最大似然（Maximum Like?lihood，ML）性能，但LAS 算法難以在高階調制系統(tǒng)中應用；文獻［4］在主動禁忌搜索（Reactive Tabu Search，RTS）的基礎上提出隨機重啟主動禁忌搜索（Random-Restart Reactive Tabu Search，R3TS）算法，以適應高階調制系統(tǒng)。線性檢測諸如最小均方誤差（Minimum Mean Square Error，MMSE）算法，通常適用于收發(fā)天線數量比值較大情形。該類算法得益于mMIMO 系統(tǒng)的信道硬化特性，能夠實現近似最優(yōu)檢測性能［5］；然而，MMSE 檢測涉及矩陣求逆運算，硬件負荷較大；為此，多種降低運算復雜度的算法陸續(xù)提出。文獻［6］利用Neumann 級數展開來近似矩陣的逆，但級數展開到三項及以上時，其復雜度飆升至O(K3)，并且檢測性能也不理想；牛頓迭代（Newton Iteration，NI）算法具備更快的收斂速度，然而迭代過程涉及矩陣間乘法，文獻［7］結合Richard?son 算法提出改進NI，在降低計算復雜度的同時保持較好的檢測性能。不同于上述近似矩陣的逆的方式，文獻［8］采取另一種思路，將信號檢測過程轉化為線性方程組迭代求解，其優(yōu)勢在于多次迭代后，算法復雜度依然保持在O(K2)。最近，文獻［9］結合格雷編碼調制信號的比特翻轉特性，提出能夠適用于高階QAM調制下的低復雜度信號檢測算法。

然而，大量涌現的mMIMO 系統(tǒng)上行鏈路檢測通常是考慮高精度或全精度模數轉換器（Analog-to-Digital Converter，ADC），這將引起過高硬件成本和功耗開銷等問題。于是，為降低硬件成本，基站通常采用低精度ADC（即量化比特b≤4）［10-12］。但低精度ADC 引起的量化失真，給上行信號檢測造成一定的性能損失。針對1-bit 量化mMIMO 系統(tǒng)，通過將信號檢測轉化為凸優(yōu)化問題求解，能夠取得近似ML 性能［13］。文獻［14］考慮低精度ADC 下 的mMIMO 系統(tǒng)，利用廣義近似消息傳遞（Generalized Approximate Message Passing，GAMP）算法，通過檢測器與譯碼器的外信息交互，其在系統(tǒng)性能與算法復雜度中取得折中?？傊?，低精度ADC 下mMIMO系統(tǒng)信號檢測的研究成果相對較少，而且鮮有考慮信道編碼；但在實際系統(tǒng)中，通常計算信道編碼的軟信息幫助實現信號恢復，以期望獲得比硬判決更優(yōu)良的檢測性能。

綜上所述，本文針對低精度ADC 下的mMIMO系統(tǒng)，首先基于MMSE 準則，結合mMIMO 的信道硬化特性，利用三對角迭代法（Tridiagonal Iterative Method，TDIM）完成信號檢測過程；然后，為加快TDIM 收斂，給出一種基于分塊矩陣求逆的初始解計算方法；最后，計算軟信息以幫助提升信號檢測性能。數值結果表明，本文所提算法能夠在檢測性能與計算復雜度之間取得折中，這對低精度ADC 下的mMIMO 系統(tǒng)及其產業(yè)化應用具有一定的現實意義。

2 系統(tǒng)模型

考慮多用戶mMIMO系統(tǒng)上行鏈路（圖1所示）?；静渴餗根天線，為K?M個單天線用戶提供服務。令xc（本文變量含有下標“c”為復數變量）表示由K個用戶待發(fā)送符號所組成的信號矢量，滿足，則基站接收信號矢量可表示為

其中Hc∈CM×K表示K個用戶到基站的信道矩陣，其元素為相互獨立的復高斯隨機變量［15］，假設基站確知Hc；nc～CN(0，)表示基站端加性高斯白噪聲矢量，是噪聲方差，IM表示M階單位矩陣。

受硬件成本和功耗限制，基站端采用低精度ADC 量化，為便于分析，姑且假設與各天線連接的ADC 均采用相同量化精度，則根據加性量化噪聲模型（Additive Quantization Noise Model，AQNM），量化后的接收信號yqc可表示為

其中nqc是加性高斯量化噪聲矢量，其與量化輸入yc統(tǒng)計不相關；α=1 -ρ，ρ表示與量化比特數b相關的失真因子，當b≤5時，ρ的值如文獻［16］中表1所示；當b>5時，ρ≈。

對于給定信道矩陣實現Hc，量化噪聲的協(xié)方差矩陣可表示為

3 低精度ADC 下基于MMSE 準則的軟輸出信號檢測

低精度ADC下，MMSE檢測矩陣滿足

將xc、yqc代入式（5），計算得到

由式（6）可知，低精度ADC 量化下，MMSE 均衡矩陣包含了量化噪聲的影響。

發(fā)送信號矢量xc的估計值為

其中φk表示Φc中第(k，k)個元素，ξc，k表示MMSE 均衡后中所包含的量化噪聲、噪聲以及干擾項（Quantization and Noise Plus Interference，QNPI），其對應方差可表示為

在MMSE 準則下，直接求解發(fā)送信號矢量的估計值需要計算MMSE 濾波矩陣Fc的逆；同時，計算軟信息涉及矩陣間乘法運算，而mMIMO 系統(tǒng)天線數量較多，導致上述檢測過程計算開銷過大。于是，下面我們將基于TDIM，并結合初始值確定，給出一種低復雜度的軟輸出信號檢測算法。

4 基于三對角迭代法的低復雜度軟輸出信號檢測

為有效降低MMSE 準則下信號檢測的復雜度，本節(jié)基于TDIM 以迭代的形式完成信號檢測過程；然后，提出一種基于分塊矩陣求逆的初始解計算方法，加快TDIM 收斂速度；最后結合MMSE 濾波矩陣的特性，給出簡化計算LLR 的具體過程，以期望進一步降低軟輸出信號檢測算法的復雜度。

4.1 基于TDIM 的迭代信號檢測

線性方程組Ax=b，若A是對角占優(yōu)矩陣，在給定初始解情況下，可利用TDIM 實現迭代求解，而無需對矩陣A進行求逆運算［17］。為適應TDIM，將復數信號模型轉化到實數域下

對應地，低精度ADC 量化后的信號模型可用下式表示

由上述過程得到矩陣L和矩陣U；然后即可再分別求解二對角線性系統(tǒng)Ld=f和=d。

首先解二對角線性系統(tǒng)Ld=f

由式（20）可得到d1=f1

計算得到d后，繼續(xù)求解=d，即

4.2 基于分塊矩陣的初始解計算

TDIM 作為一種迭代算法，需要設置初始解。盡管初始解并不改變迭代算法的收斂性，但對收斂速度和計算復雜度均有一定的影響。為此，本節(jié)提出一種基于分塊矩陣求逆的初始解確定方法，該方法不但加快了TDIM 的收斂速度，而且在相對較低的計算復雜度下使TDIM 方法取得了近似最優(yōu)的檢測性能。

實數信號模型下，MMSE 濾波矩陣F∈R2K×2K是一個方陣，對F進行分塊，如式（24）所示

其中Z1∈RK×K，B∈RK×K，V∈RK×K，Z2∈RK×K均為方陣。

定義矩陣S，其包含矩陣F的對角線元素以及矩陣V

其中diag(·)表示取對角矩陣，0K表示K階的零矩陣。由分塊矩陣求逆可得S-1

在已有的大部分研究中，通常將初始解設置為零向量，或者利用F的對角線元素來確定初始解，與這兩種方式相比，本節(jié)所提出的基于分塊矩陣求逆計算S-1稍顯復雜，但其能加快TDIM 的收斂速度，即其以少量計算復雜度為代價，使TDIM 信號檢測算法能夠更快地取得近優(yōu)性能。

4.3 對數似然比計算

4.4 復雜度分析

本節(jié)以算法所需浮點運算量作為度量，主要針對TDIM 與相關對比算法的信號檢測部分進行復雜度分析，各算法采用相同的LLR 近似計算以保證公平比較。因此，MMSE 濾波矩陣F、匹配濾波信號以及LLR的計算復雜度均不予考慮。

根據上述分析，基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法復雜度主要包括初始解確定和迭代計算兩個部分。第一部分利用分塊矩陣求逆計算初始解向量共需要4K2+5K次浮點運算。第二部分為基于TDIM 來迭代求解發(fā)送信號估計值，在該部分，首先對轉化后的三對角線性系統(tǒng)的系數矩陣進行LU分解，其需要3(2K-1)次浮點運算（該分解在迭代過程中僅需一次，不隨迭代次數變化）；然后對給定的，t=1，2，…，T，計算，需浮點運算量為8K2-12K；最后，計算需10K-4 次浮點運算。因此，基于TDIM 的信號檢測算法，經T次迭代后，其所需浮點運算量為T·(8K2-2K)+4K2+11K。

圖2 給出本文基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法（圖中及后續(xù)描述以TDIM 標識，除非特殊說明，其初始值基于分塊矩陣求逆方法確定）、基于Neu?mann 級數展開［6］的軟輸出信號檢測算法（圖中及后續(xù)描述以Neumann標識）、基于Jacobi迭代［18］的軟輸出信號檢測算法（圖中及后續(xù)描述以Jacobi標識）和基于Cholesky 分解的軟輸出信號檢測算法（圖中及后續(xù)描述以Cholesky標識）的計算復雜度對比圖，其中TN表示Neumann 級數展開的項數，T表示迭代次數。由圖2 可知，由于Neumann 級數展開和Cho?lesky 分解的信號檢測算法分別涉及矩陣間乘法與矩陣求逆運算，浮點運算量較大；而TDIM 與Jacobi算法以迭代形式規(guī)避了矩陣求逆運算，因此浮點運算量較少。同時，TDIM 結合基于分塊矩陣求逆的初始解確定，其復雜度略大于Jacobi算法，但后續(xù)仿真結果驗證TDIM算法性能明顯優(yōu)于Jacobi算法，因此，其適度的計算量增加是可以接受的。

5 仿真結果及分析

本節(jié)將從多個角度對基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法進行評估。仿真參數除特殊說明外，均設置如下：基站天線數M=128，用戶數K=16，信道編碼采用碼率為1/2 的卷積碼，基帶信號調制模式為64-QAM，用戶平均發(fā)送功率歸一化為1 mW。

圖3 給出了基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在不同ADC 量化精度下，其BER 性能隨SNR 的變化情況（圖中及后文描述中“full”表示“全精度ADC”，即不考慮量化影響）。由圖3可知，隨SNR增加，各量化精度下的BER性能均有所提升，但1（bit）量化的BER 性能變化幅度較小，這是因為1（bit）量化時，量化噪聲較大，起主導作用，導致量化后的接收信號失真非常嚴重，因此，性能曲線隨SNR 變化不明顯。當ADC 量化比特b=4(bits)時，特別在較低SNR 范圍內，基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法可取得近似全精度ADC 的信號檢測性能；同時注意到，在較高SNR 范圍，其性能與全精度ADC 下的信號檢測性能差別不大，例如在可接受的檢測性能BER=10-4時，與全精度ADC 性能僅相差0.4 dB。因此，綜合考慮硬件成本和系統(tǒng)功耗，在mMIMO 系統(tǒng)中，基站ADC 采用4（bits）量化是有效可行的方案。

圖4 給出基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在不同初始解的條件下的BER 性能曲線圖。這里TDIM-Block 特指本文提出的基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法，其初始解基于分塊矩陣求逆來確定；TDIM-Diagonal 則指基于MMSE 濾波矩陣的對角線元素來確定初始解；TDIM-Zero 表示將零向量作為初始解。由圖3 仿真結果可知，ADC 量化比特數取4時，在硬件成本和性能之間可取得良好的折中，因此，圖4 給出基站ADC 量化比特為4（bits）時，選擇不同初始解對基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法性能的影響。圖4 表明，在相同迭代次數下，TDIMBlock 算法明顯優(yōu)于TDIM-Diagonal 和TDIM-Zero 算法；TDIM-Block 算法2 次迭代即可達到TDIM-Zero算法4 次迭代的性能。同時，TDIM-Block 算法4 次迭代可取得接近Cholesky 算法的性能，這充分說明本文提出采用分塊矩陣求逆來確定初始值能夠加快TDIM算法的收斂。

設定SNR=4 dB 和SNR=10 dB 時，圖5給出基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在基站ADC 量化比特b=1，2，3，4，full 時的收斂性能。由圖5 可知，各量化精度下的BER 性能曲線基本趨于平穩(wěn)，即算法實現收斂，因此，后續(xù)仿真中選取迭代次數T=4。

設定ADC 量化比特數b=4(bits)時，圖6 給出TDIM 與Neumann，Jacobi，Cholesky 算法的BER 性能曲線對比。由圖6 可知，各算法的BER 性能曲線均SNR 增加而下降；然而本文提出的TDIM 算法結合了分塊矩陣求逆的初始解計算，其收斂速度加快，因此，TDIM 算法BER 性能明顯優(yōu)于Neumann 與Jacobi 算法，且在迭代次數為4 時，TDIM 算法接近Cholesky 算法的性能，例如，在可接受的檢測性能BER=10-4時，TDIM 與Cholesky 分解的MMSE 理論性能僅相差0.2 dB。

設定SNR=10 dB，K=16，T=4，圖7 給出基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在不同ADC 量化精度下BER 性能隨基站天線數M變化的曲線圖。當基站天線數目較少時，MMSE 濾波矩陣的對角占優(yōu)性不明顯，TDIM 算法性能較差，與Cholesky 算法存在一定的差距；隨基站天線數目增加，由于mMIMO 系統(tǒng)陣列增益不斷提升，各量化精度下的BER 性能也得到改善。盡管ADC 量化比特取b=4(bits)時，其BER 性能與全精度ADC 仍存在一定差距，但相較b=3，2，1 情況，其性能提升非常明顯。同時，在全精度ADC 下，用戶數量一定時，隨著基站天線數量不斷增加，MMSE濾波矩陣的對角占優(yōu)性更加明顯，TDIM可取得近似Cholesky算法的檢測性能。

設定SNR=10 dB，M=128，T=4，圖8 給出基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法性能隨用戶數變化的曲線圖。由圖8可知，在用戶數量較少，即系統(tǒng)負荷較低時，TDIM 的檢測性能非常優(yōu)良，這是因為當接收天線數量一定，用戶數量越少，MMSE濾波矩陣的對角占優(yōu)性越明顯，而TDIM 在處理嚴格對角占優(yōu)矩陣時的優(yōu)勢也就越明顯。然而，隨著用戶數K的增加，用戶間干擾不斷增加，收發(fā)端天線數量比M/K減小，MMSE 濾波矩陣的對角占優(yōu)性不明顯，因此，本文所提出的基于TDIM 的軟輸出信號檢測性能有所下降，與Cholesky 算法的差距逐漸增大。當ADC 量化比特數取4 時，其BER 性能接近全精度量化，這也從側面說明，基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在低精度ADC 量化下也同樣適用于用戶較多的場景。

6 結論

受硬件成本限制，mMIMO 基站通常采用低精度ADC 量化。然而，線性MMSE 檢測算法涉及高維矩陣求逆，導致多用戶mMIMO 系統(tǒng)信號檢測復雜度過大。于是，文中基于TDIM 提出一種低復雜度的軟輸出信號檢測算法，以迭代的形式完成對發(fā)送信號矢量的估計，并結合分塊矩陣求逆確定初始值，TDIM 在4 次迭代后即收斂。仿真結果表明，TDIM 以較低的復雜度可完成近優(yōu)的軟輸出信號檢測，同時，在量化精度為4（bits）時，該算法可取得接近全精度ADC 的性能，從而在性能和硬件成本間取得了較好的折中。需要強調的是，本文研究假設基站確知完美信道狀態(tài)信息，且用戶端配置單天線；對于非完美信道狀態(tài)信息場景及用戶采用多天線情形，我們將在后續(xù)研究中深入展開。