孫雙成，李 林，黃志華，陳楊凡

(1.國(guó)家先進(jìn)軌道交通裝備創(chuàng)新中心,湖南 株洲 412001；2.株洲國(guó)創(chuàng)軌道科技有限公司,湖南 株洲 412001；3.重慶大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,重慶 400044)

相變材料具有較高潛熱，可以通過(guò)自身相態(tài)的變化，實(shí)現(xiàn)能量的儲(chǔ)存和釋放，因而廣泛地應(yīng)用于太陽(yáng)能儲(chǔ)能、建筑節(jié)能、新能源系統(tǒng)散熱等領(lǐng)域[1-2]。相變材料的光學(xué)特性參數(shù)和熱物性參數(shù)是研究材料內(nèi)部光熱傳輸與轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)，光熱參數(shù)準(zhǔn)確測(cè)量對(duì)于儲(chǔ)能系統(tǒng)設(shè)計(jì)和調(diào)控、散熱系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)至關(guān)重要[3-4]。

相變材料光熱參數(shù)難以直接測(cè)量，需要根據(jù)材料表面的響應(yīng)信息，利用數(shù)值優(yōu)化算法反演獲得[5]。相變材料內(nèi)部傳熱過(guò)程涉及導(dǎo)熱、輻射、相變等多種換熱方式，耦合傳熱正問(wèn)題求解耗時(shí)較長(zhǎng)[6]。而在光熱參數(shù)反演過(guò)程中，需要反復(fù)調(diào)用傳熱正問(wèn)題，導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)程求解效率較低，高精度、高效率的反演優(yōu)化方法是相變材料光熱參數(shù)反演的關(guān)鍵。

求解耦合傳熱反問(wèn)題的數(shù)值優(yōu)化方法可分為兩類：人工智能算法和梯度優(yōu)化方法。人工智能算法具有模型簡(jiǎn)單、全局收斂等特點(diǎn)，在換熱系統(tǒng)優(yōu)化和參數(shù)反演方面已取得較多應(yīng)用。例如，Mazhar等[7]采用微粒群優(yōu)化算法反演了相變材料的比熱容、相變潛熱和熔化溫度；李軍等[8]采用遺傳算法對(duì)多機(jī)型換熱系統(tǒng)的熱電負(fù)荷進(jìn)行優(yōu)化分配，達(dá)到節(jié)能的目的；Wei等[9]采用改進(jìn)的量子微粒群優(yōu)化算法反演了石蠟相變材料的光譜復(fù)折射率；Ren等[10]采用改進(jìn)的煙花算法反演了熔鹽相變材料的導(dǎo)熱系數(shù)和吸收系數(shù)；方興等[11]采用彩虹量子微粒群算法反演了液滴群粒徑分布。然而，人工智能算法方法需要的迭代次數(shù)較多，收斂速度慢，而且反演結(jié)果存在一定隨機(jī)性。

梯度優(yōu)化方法是一類高效的優(yōu)化問(wèn)題求解方法，該方法沿著目標(biāo)函數(shù)梯度方向進(jìn)行搜索，通過(guò)使目標(biāo)函數(shù)最小化確定材料的物性參數(shù)。例如，Lachheb等[12]采用Levenberg-Marquardt法反演了石蠟/石墨相變材料的導(dǎo)熱系數(shù)和熱擴(kuò)散系數(shù)；Didier等[13]采用共軛梯度法反演了相變材料的導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容和相變潛熱。實(shí)驗(yàn)表明，梯度優(yōu)化方法在相變材料物性參數(shù)反演方面具有收斂速度快、結(jié)果穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。但這些優(yōu)化方法對(duì)優(yōu)化初值依賴性強(qiáng)，當(dāng)計(jì)算初值選取不當(dāng)時(shí)可能無(wú)法獲得全局最優(yōu)解。

序列二次規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming，SQP)算法具有超線性收斂能力，可快速獲得優(yōu)化問(wèn)題的解，并且全局收斂能力強(qiáng)，因而廣泛地應(yīng)用于參數(shù)識(shí)別[14]、醫(yī)學(xué)成像[15]、幾何優(yōu)化[16]等領(lǐng)域。結(jié)果表明，SQP算法在優(yōu)化精度和收斂速度方面都明顯優(yōu)于共軛梯度法、微粒群優(yōu)化算法等數(shù)值優(yōu)化方法。然而，至今還未見利用SQP算法反演相變材料光學(xué)特性參數(shù)和熱物性參數(shù)的研究。

本文以固-液相變材料為研究對(duì)象，引入SQP算法同時(shí)反演材料的光學(xué)特性參數(shù)和熱物性參數(shù)，提高物性參數(shù)測(cè)量的精度和效率。為了提高SQP算法的全局收斂能力，引入恰當(dāng)罰函數(shù)對(duì)迭代可行解進(jìn)行評(píng)估，保證優(yōu)化模型的全局收斂性。

1 耦合傳熱模型

以一維固-液相變材料為研究對(duì)象，材料受熱相變過(guò)程中，其內(nèi)部可分為固相區(qū)、糊狀區(qū)和液相區(qū)，如圖1所示。

圖1 相變材料內(nèi)部傳熱過(guò)程示意圖

相變過(guò)程中，采用基于焓法的能量方程描述相變材料內(nèi)部傳熱過(guò)程，可表示為[17]

(1)

式中ρ——材料的密度；

λ——材料的導(dǎo)熱系數(shù);

T——溫度;

t——時(shí)間;

qr——輻射熱流密度;

H——材料的總焓[18]

H=cpT+flL

(2)

式中cp——比熱容;

L——相變潛熱;

fl——液相率。

將上式代入能量方程，得

(3)

輻射換熱源項(xiàng)可根據(jù)下式計(jì)算

(4)

式中κa——吸收系數(shù);

n——折射率;

Ib——黑體輻射強(qiáng)度;

I——材料內(nèi)部輻射強(qiáng)度。

可通過(guò)求解下述輻射傳遞方程獲得[13]

(5)

式中βe——衰減系數(shù);

n——折射率;

κs——散射系數(shù);

Ω′——光的入射方向;

Ω——散射光傳播方向;

Φ——散射相函數(shù)。

為了便于分析，取參考溫度Tref，將能量方程和輻射傳遞方程無(wú)量綱化，無(wú)量綱參數(shù)如表1所示。無(wú)量綱化的能量方程和輻射傳遞方程可表示為

表1 無(wú)量綱化參數(shù)

(6)

(7)

采用有限體積法求解上述能量方程和輻射傳遞方程。為了驗(yàn)證本文求解模型的準(zhǔn)確性，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[18]結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖2所示。從圖中可以看出，本文模擬結(jié)果與文獻(xiàn)吻合良好，證明本文數(shù)值求解模型具有較高可靠性。

圖2 正問(wèn)題可靠性驗(yàn)證

2 序列二次規(guī)劃算法

SQP算法是一種高效的數(shù)值優(yōu)化方法，具有超線性收斂能力。對(duì)于相變材料光熱參數(shù)反演問(wèn)題，采用材料表面的瞬態(tài)溫度作為測(cè)量信息，則待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可建立為如下形式

(8)

式中p——待反演的光熱參數(shù);

tm——測(cè)量時(shí)間;

下角標(biāo)est和mea——利用反演參數(shù)和真實(shí)參數(shù)計(jì)算得到的相變材料表面溫度。

相變材料光熱參數(shù)反演問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下最小化問(wèn)題

minFobj(p)
s.t.ci=0i∈E={1,2,…,m}

(9)

式中ci——約束條件;

m——約束條件的個(gè)數(shù)。

優(yōu)化過(guò)程中，需要將上述目標(biāo)函數(shù)最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下二次規(guī)劃子問(wèn)題

(10)

式中k——迭代次數(shù);

d——搜索方向;

H——拉格朗日方程Hessian矩陣的近似。

在上述優(yōu)化過(guò)程中，僅能保證算法收斂至局部最優(yōu)值。為了提高SQP算法的全局收斂能力，引入如下罰函數(shù)進(jìn)行一維搜索[15]

(11)

式中r——罰因子。

待反演光熱參數(shù)按照下式更新

pk+1=pk+αkpk

(12)

式中a——搜索步長(zhǎng)。

根據(jù)下式計(jì)算

(13)

式中 0

當(dāng)滿足下述條件之一時(shí)，可認(rèn)為反演得到的參數(shù)向量即為光熱參數(shù)測(cè)量結(jié)果

k=kmax

(14)

Fr(pk)<ε

(15)

式中kmax和ε——最大迭代次數(shù)和收斂精度。

SQP算法反演相變材料光熱參數(shù)的流程圖如圖3所示。

圖3 相變材料光熱參數(shù)反演流程圖

3 結(jié)果與討論

本節(jié)將利用SQP算法對(duì)相變材料的光學(xué)特性參數(shù)和熱物性參數(shù)進(jìn)行反演。為了評(píng)估反演結(jié)果的準(zhǔn)確性，引入如下相對(duì)誤差

(16)

式中 角標(biāo)est和exa——相變材料光熱參數(shù)的反演結(jié)果和真值。

3.1 相變材料光學(xué)特性參數(shù)反演

首先，采用SQP算法對(duì)相變材料的散射反照率w和折射率n進(jìn)行反演，其他參數(shù)設(shè)置為：環(huán)境溫度Θa=0.3，對(duì)流換熱系數(shù)h*=0.01，導(dǎo)熱輻射耦合換熱系數(shù)Ncr=0.05，斯蒂芬數(shù)St=0.5，入射熱流q*=0.5，收斂精度ε=10-6。當(dāng)散射反照率ω和折射率n取不同真值時(shí)，SQP算法反演結(jié)果如表2所示，真實(shí)光學(xué)特性參數(shù)和反演結(jié)果對(duì)應(yīng)的表面溫度分布如圖4所示。

表2 光學(xué)特性參數(shù)反演結(jié)果

圖4 光學(xué)參數(shù)反演表面溫度分布

從反演結(jié)果可以看出，SQP算法可以準(zhǔn)確地反演相變材料的散射反照率和折射率，反演結(jié)果和真實(shí)參數(shù)對(duì)應(yīng)的表面溫度分布吻合良好，最大反演誤差僅為0.1%，表明SQP算法在相變材料光學(xué)特性參數(shù)反演方面具有較高的可靠性。

3.2 相變材料熱物性參數(shù)反演

相變材料內(nèi)部能量方程無(wú)量綱化后，主要熱物性參數(shù)包括導(dǎo)熱輻射耦合換熱系數(shù)Ncr和斯蒂芬數(shù)St。材料的散射反照率和折射率分別設(shè)置為ω=0.5和n=1.0，其它參數(shù)與3.1相同。采用SQP算法反演相變材料的Ncr和St，結(jié)果如表3和圖5所示。從計(jì)算結(jié)果可以看出，對(duì)于不同的Ncr和St，SQP算法都可以得到準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，最大反演誤差為0.3%，表明SQP算法可以準(zhǔn)確地確定相變材料的熱物性參數(shù)。

表3 熱物性參數(shù)反演結(jié)果

圖5 熱物性參數(shù)反演表面溫度分布

3.3 相變材料光熱參數(shù)同時(shí)反演

在工程應(yīng)用中，相變材料的光學(xué)特性參數(shù)和熱物性參數(shù)可能都是未知的，需要對(duì)光熱參數(shù)進(jìn)行同時(shí)反演。

相變材料的光熱參數(shù)真值設(shè)置為：散射反照率ω=0.5，折射率n=1.0，Ncr=0.05，斯蒂芬數(shù)St=0.5，利用SQP算法同時(shí)反演上述四個(gè)物性參數(shù)，結(jié)果如表4所示。

表4 光學(xué)特性和熱物性參數(shù)同時(shí)反演結(jié)果

從計(jì)算結(jié)果可以看出，四個(gè)光熱參數(shù)同時(shí)反演誤差比光學(xué)特性參數(shù)和熱物性參數(shù)單獨(dú)反演時(shí)的誤差略大，這主要是由于多個(gè)物性參數(shù)同時(shí)反演時(shí)增加了反問(wèn)題的不適定性，優(yōu)化難度增大。但即使是四個(gè)參數(shù)同時(shí)反演，最大相對(duì)誤差僅為0.5%，表明SQP算法可以準(zhǔn)確地反演獲得相變材料的光學(xué)特性參數(shù)和熱物性參數(shù)。

3.4 測(cè)量誤差的影響

在實(shí)際工程應(yīng)用，測(cè)量誤差不可避免，因此需要研究隨機(jī)測(cè)量誤差對(duì)反演結(jié)果的影響?？紤]高斯分布的隨機(jī)測(cè)量誤差，表面測(cè)量信號(hào)可表示為

Θw1,mea=Θw1,exa+σζ

(17)

式中V——區(qū)間[0,1]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù);

s——標(biāo)準(zhǔn)誤差，可表示為

(18)

式中g(shù)——測(cè)量誤差，分母中的2.576對(duì)應(yīng)99%置信度區(qū)間。

相變材料的光熱參數(shù)設(shè)置與3.3節(jié)相同。當(dāng)在測(cè)量信號(hào)中添加不同測(cè)量誤差時(shí)，反演結(jié)果如表5所示。從計(jì)算結(jié)果可以看出，隨著測(cè)量誤差的增加，光熱參數(shù)反演誤差增大。當(dāng)測(cè)量誤差增加至5%時(shí)，最大反演誤差僅為2.9%，表明SQP算法在相變材料光熱參數(shù)反演方面具有較強(qiáng)的魯棒性。

表5 不同測(cè)量誤差反演結(jié)果

4 結(jié)論

本文研究了固-液相變材料光熱參數(shù)反演問(wèn)題。采用有限體積法求解相變材料內(nèi)部包含相變過(guò)程的輻射導(dǎo)熱耦合換熱問(wèn)題，并利用計(jì)算得到的表面溫度作為測(cè)量信息建立目標(biāo)函數(shù)。采用SQP算法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，反演獲得相變材料的光學(xué)特性參數(shù)和熱物性參數(shù)。主要得出以下結(jié)論：

(1)SQP算法可以準(zhǔn)確地反演得到相變材料的光學(xué)特性參數(shù)和熱物性參數(shù)，最大反演誤差為0.3%。

(2)光熱參數(shù)同時(shí)反演的相對(duì)誤差比單獨(dú)反演誤差略大，最大反演誤差為0.5%，仍具有很高的反演精度。

(3)當(dāng)隨機(jī)測(cè)量誤差增加至5%時(shí)，最大反演誤差為2.9%，SQP算法具有較強(qiáng)的魯棒性。