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        反思建構(gòu),讓“不等式”之樹枝繁葉茂

        2022-06-23 00:44:44高榮興
        初中生世界 2022年21期
        關(guān)鍵詞:不等號(hào)每輛移項(xiàng)

        文/高榮興

        一元一次不等式(組)是初中階段比較重要的內(nèi)容。類比一元一次方程,我們把含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1 的不等式叫作一元一次不等式。由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組就叫作一元一次不等式組。下面,我們一起來梳理一下本章的內(nèi)容。

        學(xué)習(xí)這一章,我們先要對(duì)不等式的性質(zhì)進(jìn)行研究。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要與等式的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比,弄清兩者的相同與不同之處。在了解了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上,我們?cè)俜謨蓚€(gè)方面進(jìn)行學(xué)習(xí)。一方面是對(duì)概念的學(xué)習(xí),比如,在本章,我們要知道什么是一元一次不等式(組),什么是一元一次不等式的解和解集,一元一次不等式(組)的解集如何表示等。另一方面是對(duì)方法的學(xué)習(xí),比如,如何解一元一次不等式(組),步驟有哪些;如何用一元一次不等式(組)解決實(shí)際問題,解決問題的關(guān)鍵是什么;等等。按照這個(gè)思路,我們就可以將本章“知識(shí)樹”的主干畫出來了(如圖1)。

        圖1

        同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中,還要結(jié)合著練習(xí)、運(yùn)用,不斷反思建構(gòu),只有這樣,“不等式”之樹才會(huì)枝繁葉茂。接下來,我們來到不等式的應(yīng)用,通過對(duì)典型例題的分析,體驗(yàn)知識(shí)的生長(zhǎng)。

        例1已知x=2 是關(guān)于x的不等式x-3m+1≤0 的一個(gè)解,那么m的取值范圍為________。

        一般地,能夠使一元一次不等式成立的未知數(shù)的值,叫作一元一次不等式的解。若這個(gè)值是不等式的解,則將該值代入,不等式成立。本題中,把x=2代入不等式,不等號(hào)仍成立,即2-3m+1≤0,進(jìn)而可得m≥1。若已知條件變成“‘x=2’不是關(guān)于x的不等式x-3m+1≤0 的解”,要求m的取值范圍,該怎么做呢?請(qǐng)同學(xué)們自行思考。

        例2(1)如果不等式組無解,則下列數(shù)軸示意圖正確的是( )。

        幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分,叫作由它們所組成的一元一次不等式組的解集。要在數(shù)軸上表示出不等式組的解集,就要把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來。數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段,如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣,那么這段就是不等式組的解集。我們也可以通過口訣來確定不等式組的解集,即“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了”。第(1)題中,因?yàn)椴坏仁浇M無解,所以數(shù)軸上沒有兩條線段重合的區(qū)間,答案選D。第(2)題,因?yàn)樵坏仁浇M的解集是x≤2,所以根據(jù)“同小取小”,可以判斷“m>2”,但我們發(fā)現(xiàn)“m=2”也符合題意,綜合起來可得“m≥2”。我們?cè)诮鉀Q類似問題時(shí),都要注意“=”的問題。

        例3(1)解不等式:x-≤2-,并把它的解集表示在數(shù)軸上。

        (2)解不等式組:

        與一元一次方程的解法類似,解一元一次不等式一般也有去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、將項(xiàng)的系數(shù)化為1這幾步。但其中略有不同的是,在對(duì)一元一次不等式去分母和系數(shù)化為1 時(shí),要注意不等號(hào)方向是否要發(fā)生改變。如果不等式的兩邊同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向是要改變的。而解一元一次不等式組的步驟是:先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集,再求出這些不等式的解集的公共部分,即這個(gè)不等式組的解集。確定不等式的解集的公共部分,我們可以借助數(shù)軸,也可以利用口訣。

        (1)去分母,得6x-3(x-1)≤12-2(x+2),

        去括號(hào),得6x-3x+3≤12-2x-4,

        移項(xiàng),得6x-3x+2x≤12-4-3,

        合并同類項(xiàng),得5x≤5,

        系數(shù)化為1,得x≤1。

        在數(shù)軸上表示解集,如圖2所示。

        圖2

        (2)解不等式2x-4>3(x-2),得x<2;解不等式4x>,得x>-1。借助數(shù)軸或利用口訣“大小小大中間找”可知,不等式組的解集為-1<x<2。

        例4某市公交公司為落實(shí)“綠色出行,低碳環(huán)?!钡某鞘邪l(fā)展理念,計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的新型公交車,已知購(gòu)買1 輛A型公交車和2 輛B型公交車需要165 萬元,購(gòu)買2 輛A型公交車和3輛B型公交車需要270萬元。

        (1)A型公交車和B型公交車每輛各多少萬元?

        (2)公交公司計(jì)劃購(gòu)買A型公交車和B型公交車共140 輛,且購(gòu)買A型公交車的總費(fèi)用不高于購(gòu)買B型公交車的總費(fèi)用,那么該公司最多購(gòu)買多少輛A型公交車?

        對(duì)于一元一次不等式應(yīng)用題,解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)量之間的不等關(guān)系,然后設(shè)出未知數(shù),正確列出一元一次不等式。(1)設(shè)A型公交車每輛x萬元,B型公交車每輛y萬元,由題意得解得答:A型公交車每輛45 萬元,B型公交車每輛60萬元。(2)設(shè)該公司購(gòu)買m輛A型公交車,則購(gòu)買(140-m)輛B型公交車,由“購(gòu)買A型公交車的總費(fèi)用不高于購(gòu)買B型公交車的總費(fèi)用”,列出一元一次不等式,得45m≤60(140-m),解得m≤80。答:該公司最多購(gòu)買80輛A型公交車。

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