崔 鵬

(中國人民大學(xué)附屬中學(xué),100080)

圓錐曲線問題作為解析幾何的核心內(nèi)容,其題材豐富、解法多樣.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中,直觀感受和運(yùn)算能力并重[1],這實(shí)際上是對(duì)數(shù)形結(jié)合的具體解讀.在圓錐曲線相關(guān)內(nèi)容的教與學(xué)的過程中,除了落實(shí)基本運(yùn)算和基本方法外,還需要適當(dāng)拓寬解題思路.本文通過一道以旋轉(zhuǎn)變換為背景的新型最值問題的多角度分析,展示代數(shù)運(yùn)算和幾何觀察的綜合運(yùn)用,并結(jié)合新課本的內(nèi)容改革提供了復(fù)數(shù)解決方法[2].復(fù)數(shù)的三角形式在既定的幾何條件下具有非常明顯的運(yùn)算優(yōu)勢(shì)[3],而新教材刪除了極坐標(biāo)系的內(nèi)容,補(bǔ)充了復(fù)數(shù)的三角形式,本文的探討啟示我們要充分研究教材,在數(shù)學(xué)的不同模塊間建立聯(lián)系,抓好銜接點(diǎn),就能夠以不變應(yīng)萬變,保障數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的順利進(jìn)行.

一、問題呈現(xiàn)與解法分析

分析1旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法

評(píng)注坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)具有很強(qiáng)的實(shí)用性,例如我們學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)和“對(duì)勾”函數(shù),它們的圖象都是雙曲線,這可通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法得到證明.本題用坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的方法對(duì)學(xué)生具有一定的難度,此解法只是一種參考.

分析2命題等價(jià)轉(zhuǎn)化法

解法2(平行線法)

解法3(三角換元法)

分析3復(fù)數(shù)法

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)板塊,在新教材[2]中還增加了復(fù)數(shù)的三角形式作為選學(xué)內(nèi)容.本題可從利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義解題的角度出發(fā),開拓問題求解的新途徑.

評(píng)注復(fù)數(shù)的三角形式是簡化復(fù)數(shù)運(yùn)算的重要內(nèi)容,通過三角形式的運(yùn)算,可以將復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為輻角的加減運(yùn)算,這本身就具備旋轉(zhuǎn)的幾何要求.新教材刪除了極坐標(biāo)表示的內(nèi)容,而復(fù)數(shù)的三角形式恰好可以作為一種重要的補(bǔ)充,建議同學(xué)們了解掌握.

二、變式應(yīng)用

復(fù)數(shù)的三角形式和極坐標(biāo)有非常相似的形式,因此在類似問題上可以考慮用復(fù)數(shù)的三角形式解題.下面給出兩個(gè)可以用復(fù)數(shù)三角形式簡化解法的例子,供同學(xué)們思考.

變式1設(shè)A,B是橢圓x2+3y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB(O為原點(diǎn)),則|AB|的最大值為______.

解設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=r1(cosθ+isinθ),由OA⊥OB,可設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=r2(cosθ+isinθ)i=r2(-sinθ+icosθ).

依題意，由點(diǎn)A,B在橢圓上,可得方程組