黃啟賢 陳益周

(福建省莆田第十中學(xué)351100) (福建省莆田第五中學(xué)351100)

命題的意圖決定著解題的方向.透過(guò)命題意圖，在多解中擇優(yōu)，就要從整體的視角探究試題，多角度轉(zhuǎn)化試題條件，聯(lián)系已有的知識(shí)與方法儲(chǔ)備，探究試題命制意圖，擬定解題方向.

一、試題呈現(xiàn)

(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)≥3恒成立，求b的值；

(2)當(dāng)02時(shí)，f(x)>bln[a(x-1)]恒成立，求b的取值范圍.

本題是2022年莆田市1月份高三質(zhì)量檢查題，探究函數(shù)不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新型的考查要求，突出引導(dǎo)教學(xué)、服務(wù)選才的高考核心功能.

二、命題意圖分析

在第(1)問(wèn)中，條件整理后可轉(zhuǎn)化為ex≥(2-b)x+1恒成立，題干經(jīng)典精煉，從中可發(fā)現(xiàn)命題者是基于不等式ex≥x+1設(shè)計(jì)試題，意圖考查ex≥x+1的靈活應(yīng)用.再?gòu)牟坏仁降暮?jiǎn)練角度來(lái)看，可看出命題者有意識(shí)地降低解題門(mén)檻，允許多角度解決問(wèn)題.

在第(2)問(wèn)中，試題函數(shù)是指數(shù)與對(duì)數(shù)混合的形式，命題者應(yīng)是基于同構(gòu)的思想設(shè)計(jì)問(wèn)題，故采用同構(gòu)法解題.而條件初步整理后可得2ex+abln ex>2[a(x-1)]+abln[a(x-1)]進(jìn)一步印證了猜想.

三、解法探究

第(1)問(wèn)是函數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題，僅包含一個(gè)參數(shù)b.在包含單參數(shù)的函數(shù)任意性與存在性問(wèn)題中求參數(shù)的取值范圍，通常采用參變分離策略.根據(jù)分離的程度，一般分成三類(lèi):完全分離，部分分離，不分離(即直接法).

其中部分分離法解題，切合命題意圖.

第(2)問(wèn)也是函數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題，此時(shí)包含兩個(gè)參數(shù).不等式中包含指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)之間可以轉(zhuǎn)化的特性，常將不等式的左右兩側(cè)整理成結(jié)構(gòu)一致的表達(dá)式(即同構(gòu)法)來(lái)解題.

1.第(1)問(wèn)解法探究

解法1(完全分離法)

當(dāng)a=2時(shí)，f(x)≥3恒成立等價(jià)于

ex+(b-2)x-1≥0

①

恒成立.

當(dāng)x=0時(shí)，① 式恒成立，b∈R.

令h(x)=(1-x)ex-1(x>0)，則h′(x)=-xex<0，h(x)單調(diào)減，h(x)

綜上，b=1.

評(píng)注完全分離法是處理含參問(wèn)題的優(yōu)選方法.但從上述解答過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，因?yàn)橐詘，故需對(duì)x分成x=0，x>0,x<0三類(lèi)情況討論;另外因?yàn)榉帜甘莤，為得到g(x)的值域需引用洛必達(dá)法則求極限，增大了解題的運(yùn)算量.顯然用這種方法，會(huì)出現(xiàn)分類(lèi)不全面、值域難以獲取等問(wèn)題，不是最優(yōu)的解題方法.

解法2(部分分離法)

當(dāng)a=2時(shí)，f(x)≥3恒成立等價(jià)于ex≥(2-b)x+1恒成立,即g(x)=ex的圖象應(yīng)在y=(2-b)x+1圖象的上方(如圖1).

因?yàn)間(x)=ex與y=(2-b)x+1的圖象均過(guò)點(diǎn)(0,1)，所以y=(2-b)x+1應(yīng)為曲線g(x)=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線.

又g′(x)=ex，g′(0)=1,得g(x)=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=x+1.所以2-b=1，即b=1.

以下證明:ex≥x+1.

設(shè)h(x)=ex-x-1，則h′(x)=ex-1，由此易知h(x)在(-∞,0)單調(diào)減，在(0,+∞)單調(diào)增,所以h(x)≥h(0)=0，即ex≥x+1.

綜上，b=1.

評(píng)注部分分離法是處理由較為明顯兩部分或兩類(lèi)函數(shù)組成的函數(shù)時(shí)采用的方法，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，過(guò)程簡(jiǎn)潔直觀.另外經(jīng)典的不等式模型也常作為分離的依據(jù)，如ex≥x+1,lnx≤x-1,sinx≤x(x≥0)等，或以上不等式的變式，如ex-1≥x,ln(x+1)≤x,ekx≥kx+1等.

解法3(直接法)

當(dāng)a=2時(shí)，令g(x)=f(x)-3=ex+(b-2)x-1，則g′(x)=ex+b-2，原命題等價(jià)于g(x)≥0恒成立.

當(dāng)b-2≥0，即b≥2時(shí)，g′(x)≥0，g(x)單調(diào)增.又g(0)=0，故x<0時(shí)，g(x)<0.不滿(mǎn)足題意.

當(dāng)b-2<0，即b<2時(shí)，由g′(x)≥0得x≥ln(2-b).故g(x)在(-∞,ln(2-b))單調(diào)減,在(ln(2-b),+∞)單調(diào)增，得g(x)≥g(ln(2-b))=(2-b)[1-ln(2-b)]-1.

設(shè)m=2-b>0，則y=(2-b)[1-ln(2-b)]-1(b<0)可化為t(m)=m(1-lnm)-1，由t′=-lnm≥0，得0

又g(x)≥0恒成立，故g(ln(2-b))=0，即m=2-b=1，得到b=1.

評(píng)注直接法即參數(shù)不分離，是參數(shù)和變量放置在等式或不等式的同一側(cè)進(jìn)行處理的方法，其解題過(guò)程主要有求導(dǎo)判斷單調(diào)區(qū)間、根據(jù)單調(diào)性求值域或比較大小.主要數(shù)學(xué)運(yùn)算體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)正負(fù)的分類(lèi)判斷，以及根據(jù)單調(diào)性作圖以解決相應(yīng)問(wèn)題.

解法4(先猜后證)

當(dāng)a=2時(shí)，令g(x)=f(x)-3=ex+(b-2)x-1，則f(x)≥3等價(jià)于g(x)≥0.

因?yàn)間(0)=0，所以x=0為g(x)的極小值點(diǎn).又g′(x)=ex+b-2，故g′(0)=b-1=0，解得b=1.

當(dāng)b=1時(shí)，g′(x)=ex-1，則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)減;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)增.所以g(x)≥g(0)=0，符合題意.

綜上，b=1.

評(píng)注解法4也是直接法.它根據(jù)“求b的值”這一問(wèn)題特征，采用先求存在性，再證唯一性的方法，有效減少了運(yùn)算量.

2.第(2)問(wèn)解法探究

②

恒成立.

評(píng)注本解法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)H(x)=2x+blnx，將原不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩多項(xiàng)式間的不等關(guān)系與函數(shù)值之間的不等關(guān)系(這里兩多項(xiàng)式看作兩個(gè)變量)，再根據(jù)單調(diào)性與不等關(guān)系推導(dǎo)出H(x)的單調(diào)性，進(jìn)而求出參數(shù)b的取值范圍.

2ex+abln ex>2[a(x-1)]+abln[a(x-1)]

③

恒成立.

設(shè)h(x)=ex-a(x-1)(x>2),則h′(x)=ex-a>e2-a≥0，h(x)單調(diào)增，有h(x)>h(2)=e2-a≥0，即ex>a(x-1)>a.

評(píng)注本解法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)H(x)=2+ablnx來(lái)解題，過(guò)程及原理與解法1類(lèi)似.另外，也可以將解法2中的③式，轉(zhuǎn)化為2ex+abx>2elna(x-1)+abln[a(x-1)]，再構(gòu)造函數(shù)H(x)=2ex+abx來(lái)解題.

綜上,反思解題過(guò)程，試著從命題者的視角分析問(wèn)題，弄清試題設(shè)計(jì)所涉及的背景、知識(shí)、方法并及時(shí)地歸納和完善相應(yīng)的知識(shí)與方法體系，既能做到一題多解、多解擇優(yōu)，又可達(dá)到到多題一解、多解歸一.