馮 鑒，張偉偉，林良偉，蔡啟鵬，張義財(cái)，劉超飛*

1. 江西理工大學(xué)理學(xué)院，贛州341000

2. 廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，廣州 510006

目 錄

I. 引言

Majorana費(fèi)米子是意大利物理學(xué)家Ettore ·Majorana在1937 年預(yù)言的[1]， Majorana 費(fèi)米子源自于狄拉克費(fèi)米子[2]，通過(guò)給狄拉克旋量施加一個(gè)現(xiàn)實(shí)條件而得到[3]。與狄拉克費(fèi)米子不同的是， Majorana 費(fèi)米子的產(chǎn)生算符γ?和湮滅算符γ 相等, 即其反粒子等于自身, 粒子呈電中性。非阿貝爾拓?fù)湫蛟谌蒎e(cuò)量子計(jì)算中具有潛在應(yīng)用，所以近年來(lái)該系統(tǒng)引起了人們的廣泛關(guān)注。研究表明，支持非阿貝爾激發(fā)的拓?fù)浞瞧接钩黧w相既可以從s 波超流體中誘導(dǎo)出來(lái)，也可以從具有本征手性p 波配對(duì)的系統(tǒng)，例如分?jǐn)?shù)量子霍爾系統(tǒng)、手性p 波超導(dǎo)體和超冷費(fèi)米子中的p 波超流體誘導(dǎo)出來(lái)。利用對(duì)稱性，可以將拓?fù)涑黧w分為時(shí)間反演不變的拓?fù)涑黧w和時(shí)間反演對(duì)稱破缺的拓?fù)涑黧w。具有時(shí)間反演不變的拓?fù)涑黧w在塊體系統(tǒng)里面存在超流配對(duì)能隙，其表面態(tài)具有Majorana 費(fèi)米子。Kitaev首先指出，具有p 波相互作用的一維無(wú)自旋費(fèi)米子系統(tǒng)具有拓?fù)渖戏瞧接沟某黧w相，在邊界處存在零能量Majorana 費(fèi)米子。

受制于化合物的天然性質(zhì)[4]，人們?cè)趯ふ夜虘B(tài)結(jié)構(gòu)中的拓?fù)洳牧蠒r(shí)必須依靠偶然性[5–7]。然而，超冷原子系統(tǒng)提供了一個(gè)更方便的研究平臺(tái)。人們可以在超冷原子系統(tǒng)中創(chuàng)建各種光學(xué)晶格，在其中調(diào)整躍遷和原子間的相互作用[8]，甚至可以添加雜質(zhì)到光晶格中[9]。光晶格中的超冷原子為研究量子多體問(wèn)題提供了一個(gè)良好的平臺(tái)?；诂F(xiàn)有的光學(xué)技術(shù)，超冷原子氣體的高度可控性和有序性，使其成為發(fā)現(xiàn)非平庸拓?fù)湎嗟睦硐肫脚_(tái)，這些拓?fù)湎嘣谄胀蹜B(tài)系統(tǒng)中難以實(shí)現(xiàn)或被證明[10–12]。因此，超冷原子系統(tǒng)靈活的可調(diào)性，為設(shè)計(jì)晶格哈密頓量和實(shí)現(xiàn)新型拓?fù)湎嗵峁┝烁嗟臋C(jī)會(huì)[13–15]。此外，理論上提出的模擬規(guī)范場(chǎng)在實(shí)驗(yàn)中被成功實(shí)現(xiàn)，使得冷原子系統(tǒng)的拓?fù)淞孔討B(tài)成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)[16–18]。

另一方面，人們?cè)诔Ｒ?guī)s 波相互作用費(fèi)米氣體中合成有效p 波相互作用方面取得了重大進(jìn)展。沿著這條線的第一個(gè)進(jìn)展是在原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了人工自旋軌道耦合，這是Kitaev 模型的推廣[19]。在一個(gè)s 波費(fèi)米氣體中，Rashba 自旋軌道耦合可以誘導(dǎo)自旋三重態(tài)配對(duì)，從而在二維系統(tǒng)中產(chǎn)生手性p 波超流體[20,21]。自旋軌道耦合是電子在凝聚態(tài)系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象，被認(rèn)為是拓?fù)浣^緣體[22]、量子自旋霍爾效應(yīng)等許多有趣現(xiàn)象的關(guān)鍵組成部分[23]。超冷原子系統(tǒng)中人工規(guī)范場(chǎng)的實(shí)現(xiàn)，使人們能夠利用超冷原子的特點(diǎn)，如清潔的環(huán)境和高度可控的參數(shù)，為研究這些現(xiàn)象開(kāi)辟了新的途徑。自旋軌道耦合的引入可能有助于解釋從巴丁–庫(kù)珀–施里弗理論(Bardeen-Cooper-Schriefer,BCS)到玻色–愛(ài)因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation, BEC) 的渡越[24]、極化費(fèi)米氣體[25]、巡游鐵磁等各種有趣的強(qiáng)相關(guān)系統(tǒng)[26]。自旋軌道耦合超流體是常見(jiàn)的時(shí)間反演不變的拓?fù)涑黧w。自旋向上的費(fèi)米子配對(duì)為px+ipy態(tài)，自旋向下的費(fèi)米子配對(duì)為px-ipy態(tài)。這類拓?fù)涑鲬B(tài)在體系統(tǒng)里面有能隙，在材料邊界上有相向傳播的Majorana 費(fèi)米子。

1956 年，人們首次提出庫(kù)珀對(duì)來(lái)解釋超導(dǎo)體[27]，它描述了一對(duì)費(fèi)米子由于相互作用而結(jié)合在一起。費(fèi)米子有相反的動(dòng)量，所以這對(duì)費(fèi)米子的動(dòng)量完全為零。然而在強(qiáng)磁場(chǎng)中存在有限質(zhì)心動(dòng)量的庫(kù)珀對(duì)，這導(dǎo)致了在實(shí)空間中具有不統(tǒng)一的序參量的奇異超導(dǎo)體，即Fulde-Ferrell 和Larkin-Ovchinnikov(FFLO)態(tài)[28,29]。FFLO態(tài)有兩種: 相位調(diào)制的FF 態(tài)和空間調(diào)制的LO 態(tài)。在過(guò)去幾年中，F(xiàn)FLO 態(tài)在實(shí)驗(yàn)和理論方面都引起了科學(xué)家的極大興趣。自旋軌道耦合已經(jīng)通過(guò)超冷原子和光晶格在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)[30–33]，這為拓?fù)涞腇FLO 態(tài)鋪平了道路。理論研究表明，在一維和二維費(fèi)米氣體中可以誘導(dǎo)出拓?fù)涞腇FLO 超流態(tài)，Majorana 費(fèi)米子有可能存在于其中[34,35]。

同樣地，拓?fù)涑黧w的實(shí)現(xiàn)和檢測(cè)也是目前物理學(xué)最積極追求的目標(biāo)之一。我們介紹了近幾年的幾種方法：在超冷40K 原子中觀察通用束縛態(tài)的方案[36]、將原子加載到一個(gè)自旋相關(guān)的光晶格勢(shì)中實(shí)現(xiàn)p 波拓?fù)涑黧w的方案[37]、研究超流3He 渦旋的方案[38]、使用雜質(zhì)作為探針檢測(cè)拓?fù)湎嘧兊姆桨竅39]、還可以利用圓二色性來(lái)檢測(cè)拓?fù)涑鱗40]。通過(guò)上述方法可以完成拓?fù)涑鞯膶?shí)現(xiàn)與識(shí)別。

II. 光晶格中的拓?fù)涑?/h2>

px+ipy超流態(tài)在拓?fù)淞孔佑?jì)算中具有潛在的應(yīng)用價(jià)值[41]。Liu 等人證明拓?fù)涞膒x+ipy超流體相可以在單組分偶極費(fèi)米氣體中實(shí)現(xiàn)[42]。該氣體被束縛在二維正方形光學(xué)晶格中，在低溫下具有吸引相互作用。在偶極費(fèi)米氣體中，電偶極之間的各向異性相互作用在旋轉(zhuǎn)電場(chǎng)的存在下可以轉(zhuǎn)化為有效的吸引相互作用[43]。他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)相互作用較弱時(shí)，除了發(fā)生接近半填充的相分離外，p 波超流體對(duì)大多數(shù)填充因素都是穩(wěn)定的[44]。在弱耦合極限下，相分離區(qū)域消失。填充系數(shù)為0 ＜n ＜1時(shí)，相互作用強(qiáng)度超過(guò)某一閾值時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生相分離。

圖1 展示了系統(tǒng)的零溫相圖。隨著相互作用強(qiáng)度(J)的增加，相分離區(qū)域(PS)增大。在弱耦合極限J →0 時(shí)，相分離區(qū)域消失。在臨界相互作用強(qiáng)度下，填充系數(shù)n=0 和n=1 之間發(fā)生相分離，化學(xué)勢(shì)滿足μ(0)=μ(1)，其中μ(n)為填充因子處的化學(xué)勢(shì)，μ(0)=-4t，t代表跳躍幅度。由于粒子–空穴對(duì)稱，μ(0)+μ(1)=V(0)，臨界相互作用強(qiáng)度滿足V(0) = -8t 和J = 0.89t。當(dāng)相互作用強(qiáng)度超過(guò)臨界值，即J ＞0.89t 時(shí)，系統(tǒng)變成n=0 和n=1 態(tài)的混合物，這是由于粒子或空穴密度為零而形成的絕緣態(tài)。

圖1.零溫度下的相圖。實(shí)線為px+ipy 超流體相(p 波SF)與PS 之間的邊界。PS 消失在弱耦合極限J →0。當(dāng)J ＞0.89t時(shí)，超流相消失。引自文獻(xiàn)[42]。

此外，三角光晶格在實(shí)驗(yàn)和理論方面也得到了廣泛的研究。在三角光晶格中，外場(chǎng)和超冷原子間的不同類型的相互作用可以誘導(dǎo)出豐富的量子相[45–47]。Hao 等人提出可以通過(guò)有效的k3Rashba 自旋軌道耦合[48,49]、塞曼場(chǎng)和三角光學(xué)晶格中的s 波Feshbach 共振的共同相互作用來(lái)實(shí)現(xiàn)奇異手性f 波拓?fù)涑?。其中，有效的k3Rashba 自旋軌道耦合和塞曼場(chǎng)是通過(guò)調(diào)制應(yīng)用激光束產(chǎn)生的激光與原子的相互作用誘導(dǎo)的，束縛原子的超流態(tài)是利用s 波(Feshbach 共振)誘導(dǎo)的[50]。他們發(fā)現(xiàn)拓?fù)涑骱统Ｒ?guī)超流體之間存在相轉(zhuǎn)變，這是由塊體間(能) 隙關(guān)閉機(jī)制[51]決定的。拓?fù)涑黝愃朴诰哂衒 波配對(duì)對(duì)稱的常規(guī)超流[52]，這與三角光晶格的幾何對(duì)稱性一致。手性f 波拓?fù)涑髟趬K體中是全能隙的，并且在邊界上有三個(gè)無(wú)能隙的手性邊緣態(tài)。更有趣的是，拓?fù)涑骺梢酝ㄟ^(guò)初始化激光器來(lái)調(diào)制。此外，拓?fù)涑髦械拿總€(gè)渦旋上都有一個(gè)穩(wěn)定的Majorana 費(fèi)米子，而常規(guī)超流渦旋晶格結(jié)構(gòu)與三角光晶格之間的兼容性對(duì)于研究Majorana 費(fèi)米子的性質(zhì)具有優(yōu)勢(shì)。因此，這些特性使得該系統(tǒng)成為執(zhí)行拓?fù)淞孔佑?jì)算的潛在候選系統(tǒng)。

圖2(a) 展示了系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)。圖2(b) 展示了當(dāng)化學(xué)勢(shì)位于μ4區(qū)域時(shí)，低能行為主要由哈密頓量和波矢主導(dǎo)，因此不能確定具體的手

性，他們將這些情況歸因于常規(guī)超流。拓?fù)滢D(zhuǎn)變點(diǎn)由塊體的能隙閉合條件決定：，如圖2(d)，遠(yuǎn)離這一點(diǎn)的能譜是有能隙的。當(dāng)表示有效塞曼場(chǎng))，如圖2(c)，在拓?fù)渖铣Ｒ?guī)超流是非平庸的，而當(dāng)如圖2(e)，在拓?fù)渖铣Ｒ?guī)超流是平庸的。根據(jù)上述分析，在圖2(f)中給出了相圖，結(jié)果表明，拓?fù)涑髋c初始參數(shù)任意相位φ 有很大關(guān)系。這意味著可以通過(guò)調(diào)制激光的參數(shù)來(lái)控制光纖的拓?fù)涮匦?，這為研究拓?fù)涑魈峁┝吮憷?/p>

Liu 等人證明了周期性驅(qū)動(dòng)的微擾可以引起從平庸超流到拓?fù)涑鞯南嘧僛53]，這種相變?cè)谙到y(tǒng)的邊界上受拓?fù)浔Ｗo(hù)并且是無(wú)能隙的。含時(shí)間周期的哈密頓量可以用Floquet 定理來(lái)描述，該定理可用于解釋量化絕熱泵浦現(xiàn)象[54]。研究表明，在一維Bose-Hubbard 模型中，超流體向Mott 絕緣體的相變可以由周期性驅(qū)動(dòng)的光學(xué)晶格誘導(dǎo)[55]。他們將這種相變機(jī)制擴(kuò)展到二維光學(xué)晶格的拓?fù)湎嘧冎校l(fā)現(xiàn)在周期性調(diào)制的光學(xué)晶格里，可以誘導(dǎo)從平庸超流到拓?fù)涑鞯耐負(fù)湎嘧?。這種可承載Floquet Majorana 費(fèi)米子的拓?fù)湎啾环Q為Floquet 拓?fù)涑鱗56,57]。還有人提出，在存在Rashba 自旋軌道耦合和大的垂直塞曼場(chǎng)相互作用的超冷費(fèi)米原子的BCS型s 波超流體中，可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)湎郲58,59]。然而，對(duì)于超冷費(fèi)米原子來(lái)說(shuō)，Rashba 自旋軌道耦合和大的垂直塞曼場(chǎng)很難同時(shí)實(shí)現(xiàn)[59]。研究證明如果用周期性驅(qū)動(dòng)的光學(xué)晶格取代塞曼場(chǎng)[55]，自旋軌道耦合的BCS 型s 波超流仍然可以通過(guò)改變光學(xué)晶格的振蕩幅度(或調(diào)制強(qiáng)度) 實(shí)現(xiàn)拓?fù)涑?。因此，這提供了另一種產(chǎn)生可以容納Majorana 費(fèi)米子的拓?fù)涑鞯姆椒ā?/p>

在圖3(a) 中，質(zhì)量M(z) 作為z 的函數(shù)，可以通過(guò)改變調(diào)制強(qiáng)度K 來(lái)調(diào)節(jié)，點(diǎn)B 是在M(z) = 0和z = 0.299 條件下能帶E2和E3相互接觸的地方。圖3(b)～(d)展示了χ 方向上具有300 個(gè)點(diǎn)的幾何條紋帶結(jié)構(gòu)，分別對(duì)應(yīng)圖3(a) 中A (z =0)、B (z =0.299)和C (z =0.4)。很明顯，在質(zhì)量M(z)＜0 的區(qū)域I 不存在邊緣態(tài)。所以z ＜0.299 時(shí)，它是一個(gè)平庸的超流體。相反，在區(qū)域II 中存在一對(duì)邊緣態(tài)。在z ＞0.299，且質(zhì)量M(z)＞0 時(shí)，它是拓?fù)涑黧w。從普通超流體到拓?fù)涑黧w的相變發(fā)生在能隙關(guān)閉的B 點(diǎn)。

物質(zhì)的拓?fù)鋺B(tài)是一種特殊的量子相，通過(guò)塊體–邊界對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表現(xiàn)出不同的塊體輸運(yùn)特性和邊界輸運(yùn)特性。實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了非相互作用費(fèi)米子拓?fù)浣^緣體，但是用玻色子實(shí)現(xiàn)的拓?fù)錉顟B(tài)還不是很多。Liberto 等人發(fā)現(xiàn)由相互作用驅(qū)動(dòng)的物質(zhì)的拓?fù)鋺B(tài)可能出現(xiàn)在充滿超冷玻色子的Lieb 光晶格中[60,61]。因?yàn)橄到y(tǒng)的單粒子譜表現(xiàn)出明顯的拋物線的帶接觸點(diǎn)，且兩個(gè)帶均表現(xiàn)出非負(fù)曲率。雖然系統(tǒng)在單粒子層面和相互作用基態(tài)上都不具有拓?fù)湫再|(zhì)，但相互作用引起了激發(fā)態(tài)的反?；魻栃?yīng)，其陳數(shù)C 不為零。他們證明在現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)技術(shù)下，穩(wěn)定的BEC 可以在這個(gè)高度對(duì)稱的帶接觸點(diǎn)出現(xiàn)，它表現(xiàn)出宏觀角動(dòng)量，這樣時(shí)間反演對(duì)稱被打破，但是平移對(duì)稱被保留了下來(lái)。這個(gè)相位在拓?fù)渖鲜瞧接沟?，但是，?dāng)Liberto 等人計(jì)算Bogolyubov 激發(fā)態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)能帶結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出非相互作用系統(tǒng)所沒(méi)有的拓?fù)湫再|(zhì)[62–65]。

圖4(a)顯示了凝聚體的激發(fā)譜。由于U(1)對(duì)稱破缺，頻譜的最低分支變成了非簡(jiǎn)并的。Liberto 等人發(fā)現(xiàn)cn= 1 是頻譜的最低分支，這個(gè)分支的Berry 曲率如圖4(b) 所示。Berry 曲率的非零的k 空間輪廓類似于一個(gè)具有明確的時(shí)間反演對(duì)稱性破缺的二次帶接觸點(diǎn)的自由粒子[60]。根本的區(qū)別是這里的時(shí)間反演對(duì)稱破缺是突發(fā)的，并且是由相互作用驅(qū)動(dòng)的。

圖3. 系統(tǒng)的相圖和能帶結(jié)構(gòu)。(a) 質(zhì)量M(z) 作為z 的函數(shù)，M(z) ＜0 的區(qū)域I 是平庸超流體，而M(z) ＞0 的區(qū)域II 是拓?fù)涑黧w。(b)～(d) ξ 方向上300 位的條紋幾何中有效哈密頓量的能帶結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)于(a) 中的A (z =0)、B (z =0.299) 和C (z =0.4) 點(diǎn)。引自文獻(xiàn)[53]。

Lang 等人指出[66]，面心立方光晶格可通過(guò)三束激光的簡(jiǎn)單方案實(shí)現(xiàn)，這為在超冷原子中創(chuàng)建Weyl 點(diǎn)和拓?fù)涔?jié)點(diǎn)超流體提供了一個(gè)高度可控的平臺(tái)[67–72]。在非相互作用系統(tǒng)中，當(dāng)振動(dòng)這種面心立方晶格時(shí)，不需要復(fù)雜的隧道設(shè)計(jì)，在Floquet 帶結(jié)構(gòu)中會(huì)自動(dòng)出現(xiàn)Weyl 點(diǎn)。在兩個(gè)超精細(xì)自旋態(tài)之間存在吸引相互作用的情況下，并且經(jīng)歷相同的振動(dòng)面心立方晶格，將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)三維拓?fù)涔?jié)點(diǎn)超流體，Weyl 點(diǎn)顯示為準(zhǔn)粒子譜中的無(wú)能隙點(diǎn)。在面心立方光晶格系統(tǒng)中可以創(chuàng)建一個(gè)電荷數(shù)為2 的雙Weyl 點(diǎn)，或者將其拆分為兩個(gè)帶電荷數(shù)為1 的Weyl 點(diǎn)，可以通過(guò)調(diào)節(jié)相互作用使Weyl 點(diǎn)在動(dòng)量空間中移動(dòng)。相應(yīng)地，表面上的費(fèi)米弧[73]可以相互連接，也可以作為單獨(dú)的弧分開(kāi)。

非相互作用系統(tǒng)中Weyl 點(diǎn)的一個(gè)特征是表面存在費(fèi)米弧，它是一條零能態(tài)的未閉合線。然而，在沒(méi)有相互作用的情況下，系統(tǒng)中能觀察到如圖5(a) 所示的費(fèi)米弧。當(dāng)節(jié)點(diǎn)超流體出現(xiàn)時(shí)，探索相互作用的情況更有趣。求解半填充自恰的Bogoliubov-de Genne(BdG) 方程，在半填充自洽(100)表面上ky和kz仍然是好的量子數(shù)，并且零能表面態(tài)如圖5(b) 和5(c) 所示。在面心立方光晶格中引入兩個(gè)超精細(xì)自旋態(tài)，每個(gè)超精細(xì)自旋態(tài)都具有相同的單粒子哈密頓量。這對(duì)應(yīng)于一個(gè)自旋無(wú)關(guān)的振動(dòng)晶格，在動(dòng)量空間的相同位置有兩個(gè)手性相同的Weyl 點(diǎn)。在沒(méi)有相互作用的情況下，如果化學(xué)勢(shì)正好調(diào)節(jié)到Weyl 點(diǎn)，多體基態(tài)將只由兩個(gè)相同的Weyl半金屬組成[67–72,74]。與電子自旋不同，超細(xì)自旋在超冷原子中是守恒的，在單粒子能級(jí)中會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)為1 拓?fù)潆姾?，如圖5(d) 所示。

假設(shè)在圍繞布里淵區(qū)的每個(gè)Weyl 點(diǎn)的有限費(fèi)米曲面上打開(kāi)一個(gè)相互作用，每個(gè)費(fèi)米面上將會(huì)有一個(gè)點(diǎn)保持無(wú)能隙，而超流體能隙在其他任何地方會(huì)打開(kāi)，如圖5(e) 所示。出現(xiàn)的三維節(jié)點(diǎn)超流體是一種拓?fù)涑黧w，這從準(zhǔn)粒子譜中節(jié)點(diǎn)所攜帶的拓?fù)潆姾煽梢钥闯?。在圖5(e) 和5(f) 所示的這兩個(gè)Weyl 點(diǎn)附近，色散沿三個(gè)方向呈線性。由于非相互作用系統(tǒng)圍繞k 軸具有四重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，這樣的分裂使對(duì)稱性降低為二重對(duì)稱，分裂方向是kx-ky平面內(nèi)任意方向的自發(fā)對(duì)稱性破缺的結(jié)果。通過(guò)改變相互作用強(qiáng)度，這兩個(gè)Weyl 點(diǎn)會(huì)在布里淵區(qū)中移動(dòng)。對(duì)于非相互作用系統(tǒng)，調(diào)整參數(shù)會(huì)導(dǎo)致Weyl 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而不會(huì)打開(kāi)能隙。另外，調(diào)節(jié)相互作用也為控制布里淵區(qū)中Bogoliubov 準(zhǔn)粒子譜中的Weyl點(diǎn)提供了機(jī)會(huì)。

高階拓?fù)涑黧w存在有能隙的塊體[75–77]，并具有不同局域化的受對(duì)稱保護(hù)的Majorana 零模。Wu 等人研究了一種合成多階拓?fù)涑黧w方案[78]，這種超流體在超冷原子氣體中可以支持各種Majorana 零模。在二維光學(xué)超晶格中可以誘導(dǎo)一個(gè)受空間調(diào)制的自旋軌道耦合，這給高階拓?fù)鋺B(tài)提供了額外的自由度。研究發(fā)現(xiàn)了拓?fù)淦接沟某黧w，包括一階和二階拓?fù)涑黧w，以及在實(shí)驗(yàn)可調(diào)參數(shù)下的不同的拓?fù)湎嘧?。在該系統(tǒng)中不僅發(fā)現(xiàn)了與塊體能隙閉合和重開(kāi)相關(guān)的陳數(shù)特征的轉(zhuǎn)變，還發(fā)現(xiàn)了可以支持具有Majorana 角模的拓?fù)涑黧w[79–81]，但拓?fù)湎嘧兘?jīng)歷了沒(méi)有體帶的能隙閉合。相反，這種相變是通過(guò)邊緣態(tài)的能隙閉合發(fā)出信號(hào)的。該方案基于s 波的相互作用，結(jié)合了一個(gè)簡(jiǎn)單的真實(shí)系統(tǒng)中的多階拓?fù)湎嘧?，并利用現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)技術(shù)得到了驗(yàn)證。

在圖6(a)中，研究發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)符號(hào)相反陳數(shù)的一階拓?fù)涑鲄^(qū)域。其中存在陳數(shù)C =0 和四極矩qxy=1/2的理想二階拓?fù)涑飨?，并且該相通過(guò)一階拓?fù)涑鲄^(qū)域與普通超流相隔離。在圖6(b) 中，研究了相互作用對(duì)相變的影響。當(dāng)相互作用強(qiáng)度U 超過(guò)閾值時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)變到超流相。除了傳統(tǒng)的一階拓?fù)涑飨嘧兺?，還發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)經(jīng)歷了從平庸的超流相到二階拓?fù)涑飨嗟闹苯愚D(zhuǎn)變，在此過(guò)程中C 仍然為零，但qxy發(fā)生了變化。相圖表明，二階拓?fù)涑飨嗟耐負(fù)洳蛔兞坑蓂xy代替，所以相變不能只由C 來(lái)描述。圖6(c) 展示了化學(xué)勢(shì)對(duì)系統(tǒng)的影響，由于序參量引入了粒子對(duì)稱性，相圖相對(duì)于μ=0(即半填充) 是對(duì)稱的。在大的塞曼場(chǎng)Vz下，近半填充系統(tǒng)的單粒子性質(zhì)表現(xiàn)為帶狀絕緣體[82]，超流相在μ ≈±2t 范圍內(nèi)坍塌，費(fèi)米超流體的存在被明顯抑制[83]。

圖5.(a)具有自旋向上或自旋向下的非相互作用單粒子表面的費(fèi)米弧。(b)和(c)Bogoliubov 準(zhǔn)粒子(半填充)的費(fèi)米弧。(d)～(f)沒(méi)有交互、只有一個(gè)交互和兩個(gè)交互的整體節(jié)點(diǎn)示意圖。粉(綠) 點(diǎn)和紅(藍(lán)) 點(diǎn)分別為+(-)1 和+(-)2 電荷節(jié)點(diǎn)。(e) 和(f)中包圍節(jié)點(diǎn)的球體最低兩個(gè)波段具有相同的總陳數(shù)-2。引自文獻(xiàn)[66]。

圖6.(a)～(c)在(a)α-η、(b)U-η、(c)μ-η 平面的相圖。在相圖(a)中設(shè)置(U,μ)=(6,3t)，在相圖(b)中設(shè)置(α,μ)=(2t,3t),在相圖(c)中設(shè)置(α,U)=(2t,6t)，在所有相圖中設(shè)置Vz =2t 和δμ=0。平庸的SF 和N 分別代表平庸的超流體和正常的氣體相。黑色實(shí)線(藍(lán)色虛線)對(duì)應(yīng)的相位區(qū)域與(沒(méi)有)塊體能隙關(guān)閉區(qū)域的邊界。相圖(c)中的顏色代表了填充因子的特征。序參量Δ(藍(lán)色實(shí)線)、塊體能隙Γ(紅色虛線)和陳數(shù)C(綠色虛線)作為(d)η 和(e)U 的函數(shù)。設(shè)置圖(d)中(α,U,Vz)=(2t,6t,2t)和圖(e) 中(α,η,Vz)=(2t,0.33,2t)。在圖(d) 中用紅色虛線表示臨界溫度Tc。引自文獻(xiàn)[78]。

Wu 等人發(fā)現(xiàn)即使在有限溫度下，超流相也可能存在。圖6(d) 展示了BdG 方法下超流相的臨界溫度Tc。跳躍幅度在緊束縛近似下通常為0.1Er量級(jí)。由于反沖能量ER～(π/3)2/3EF[84]，并且Tc(≈0.3t) 的級(jí)數(shù)為0.1EF。因此，以目前的實(shí)驗(yàn)技術(shù)，超流相有望在T ～0.05EF下存在[85,86]?，F(xiàn)有的拓?fù)湎嘧兊奶卣饕蕾囉趬K體邊界對(duì)應(yīng)，但表現(xiàn)方式不同。為了研究拓?fù)湎嘧兊幕拘再|(zhì)，還繪制了能隙Γ 和陳數(shù)C 的曲線。通過(guò)改變?chǔ)?，能隙?huì)在不同拓?fù)湎嘀g的轉(zhuǎn)變處關(guān)閉和重新打開(kāi)。這與傳統(tǒng)的物理圖像是一致的，即在體隙閉合和陳數(shù)改變的同時(shí)發(fā)生拓?fù)湎嘧?，拓?fù)湎嘧兪且阎浑A相變，并且服從明確的塊體邊界對(duì)應(yīng)關(guān)系。在一階拓?fù)涑髦?，除非體隙關(guān)閉，否則邊緣態(tài)總是會(huì)受到拓?fù)浔Ｗo(hù)。而在圖6(e) 中，在二階拓?fù)涑飨嗟狡接瓜嗟姆浅Ｒ?guī)相變過(guò)程中，通過(guò)改變相互作用強(qiáng)度U、序參量Δ 和塊體能隙Γ 將在此過(guò)程中單調(diào)增長(zhǎng)。

III. 自旋軌道耦合誘導(dǎo)的拓?fù)涑?/h2>

Zhou 等人研究了二維的自旋軌道耦合費(fèi)米氣體[87]，在二維空間中，只存在一個(gè)總是受到遠(yuǎn)離其相邊界的激發(fā)能隙保護(hù)的非平庸拓?fù)涑飨郲88,89]。當(dāng)在這一階段產(chǎn)生渦旋時(shí)，在其中心就會(huì)出現(xiàn)Majorana 零模。由于粒子數(shù)不平衡和配對(duì)之間的競(jìng)爭(zhēng)，在一個(gè)外部勢(shì)阱中，不同的相會(huì)出現(xiàn)在不同的位置。研究的相圖表明了在局域密度近似下寬Feshbach 共振附近典型勢(shì)阱中的相分離結(jié)構(gòu)，以及勢(shì)阱中存在穩(wěn)定拓?fù)涑飨嗟膮?shù)區(qū)域。Zhou 等人使用不同相的動(dòng)量空間密度分布來(lái)表征不同相的性質(zhì)。值得注意的是，少數(shù)自旋的動(dòng)量空間密度分布在拓?fù)涑黧w狀態(tài)的原點(diǎn)附近具有下降的特征。對(duì)于拓?fù)涑鲬B(tài)能全部占據(jù)勢(shì)阱中心的參數(shù)，動(dòng)量密度分布下降的特征可以保留在飛行時(shí)間成像過(guò)程中，從而為拓?fù)涑鲬B(tài)提供一個(gè)明確的信號(hào)。

圖7. α-μ 平面上的相圖，一級(jí)相變用實(shí)心(紅色) 曲線表示，二級(jí)相變用虛線(黑色) 曲線表示。拓?fù)涑鲄^(qū)域的細(xì)虛曲線標(biāo)志著Δ/h=10-3 的閾值。引自文獻(xiàn)[87]。

從圖7 中可以看出拓?fù)涑飨嗨坪蹙哂忻黠@的穩(wěn)定區(qū)域，然而這可能會(huì)誤導(dǎo)實(shí)驗(yàn)檢測(cè)。實(shí)際上，在自旋軌道耦合強(qiáng)度較小的拓?fù)涑飨嘀?，配?duì)能隙通常是微乎其微的。這可以從圖7 中穿過(guò)拓?fù)涑飨嗟奶摼€看出，該虛線由能隙方程通過(guò)設(shè)置Δ/h=10-3求解得到。在虛線的左邊，配對(duì)能隙Δ/h ＜10-3，且隨著α 趨近于零呈現(xiàn)指數(shù)衰減。只有當(dāng)α 進(jìn)一步向拓?fù)涑骱统Ｒ?guī)超流的相邊界增加時(shí)，序參量Δ 才會(huì)變得顯著。在實(shí)驗(yàn)上，考慮到二維系統(tǒng)在有限溫度下的波動(dòng)，只可能在虛線的右側(cè)觀測(cè)到具有大的配對(duì)能隙Δ 的拓?fù)涑飨?。圖7 還提供了勢(shì)阱相分離結(jié)構(gòu)的信息，當(dāng)自旋軌道耦合較小時(shí)，費(fèi)米氣體相分離為兩個(gè)區(qū)域：一個(gè)具有大的自旋極化和極小的配對(duì)序參量的拓?fù)涑飨喟鼑艘粋€(gè)常規(guī)的超流相，拓?fù)涑飨嗯c常規(guī)超流相之間是一級(jí)相邊界。隨著自旋軌道耦合的增加，拓?fù)涑鲬B(tài)和常規(guī)超流態(tài)對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)勢(shì)的局部極小值隨著拓?fù)涑鲬B(tài)的配對(duì)能隙的增大而減小。兩個(gè)局部極小值在臨界點(diǎn)合并，超過(guò)臨界點(diǎn)后，拓?fù)涑骱统Ｒ?guī)超流之間的相邊界變?yōu)槎A。進(jìn)一步增加自旋軌道耦合，可能會(huì)有一個(gè)拓?fù)涑飨嘣趧?shì)阱中以環(huán)形結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的參數(shù)區(qū)間。最后，當(dāng)自旋軌道耦合足夠大時(shí)，不再發(fā)生相分離，勢(shì)阱中充滿了Rashbon 超流體[90]。

圖8 展示了系統(tǒng)的殼體結(jié)構(gòu)。拓?fù)涑飨嗤ǔ３霈F(xiàn)在勢(shì)阱的邊緣或兩個(gè)常規(guī)超流相之間的環(huán)上。值得注意的是，在一些參數(shù)區(qū)域，拓?fù)涑鲬B(tài)可以占據(jù)整個(gè)勢(shì)阱。如圖8 中最右邊的一列所展示的，對(duì)應(yīng)于α-μ 平面相圖中以拓?fù)涑飨酁槠瘘c(diǎn)的一條垂直線。只有當(dāng)總極化超過(guò)一個(gè)臨界值時(shí)，拓?fù)涑飨辔徊艜?huì)占據(jù)整個(gè)勢(shì)阱。這為檢測(cè)勢(shì)阱氣體中的拓?fù)涑鲬B(tài)提供了理想的條件。當(dāng)極化P 從臨界值減小時(shí)，常規(guī)的超流相將出現(xiàn)在勢(shì)阱中心，并逐漸延伸到勢(shì)阱邊緣，最終會(huì)在較小極化的情況下占據(jù)整個(gè)勢(shì)阱。此外還存在一個(gè)參數(shù)區(qū)域，此區(qū)域中勢(shì)阱只被拓?fù)涑飨嗨紦?jù)。在這種情況下，動(dòng)量分布中拓?fù)涑鲬B(tài)的特征可以在勢(shì)阱中存活，使信號(hào)在飛行時(shí)間成像過(guò)程中可被檢測(cè)到。

同時(shí) Yi 等人研究了在均勻和勢(shì)阱情況下三維Rashba 自旋軌道耦合費(fèi)米氣體的零溫度相圖[91]。與二維情況下不同的是，在三維的情況下，準(zhǔn)粒子激發(fā)譜中有兩個(gè)不同的拓?fù)浞瞧接瓜?，分別存在兩個(gè)或四個(gè)無(wú)能隙點(diǎn)[92,93]。對(duì)于均勻氣體，相分離態(tài)的穩(wěn)定區(qū)域更大。此外，他們發(fā)現(xiàn)自旋軌道耦合不僅能誘導(dǎo)出由正常和常規(guī)超流相組成的典型相分離態(tài)，還能誘導(dǎo)出包括拓?fù)渖戏瞧接沟臒o(wú)能隙超流在內(nèi)的更復(fù)雜的相分離。他們的研究表明了不同的相分離以及無(wú)能隙超流相、常規(guī)超流相和正常相的穩(wěn)定區(qū)域。中等強(qiáng)度的自旋軌道耦合能穩(wěn)定獨(dú)特的無(wú)能隙相，而對(duì)于足夠大的自旋軌道耦合，系統(tǒng)總是Rashbon 常規(guī)超流體。研究展示了如何通過(guò)不同的激發(fā)譜和動(dòng)量空間密度分布來(lái)表征這些相。這項(xiàng)工作通過(guò)研究各相的穩(wěn)定區(qū)域，證明了存在勢(shì)阱時(shí)觀測(cè)拓?fù)渖蠠o(wú)能隙超流態(tài)的最佳參數(shù)區(qū)域。

圖8. (a)～(e) 粒子數(shù)密度的分布。(k)～(o) 相分離的殼結(jié)構(gòu)。密度子圖中的實(shí)黑色(紅色虛線) 曲線表示自旋向上(自旋向下)的部分。(a)～(j) 中的細(xì)虛線表示拓?fù)涑鳕C常規(guī)超流或常規(guī)超流–常規(guī)超流邊界。引自文獻(xiàn)[87]。

圖9 表明當(dāng)自旋軌道耦合關(guān)閉(α = 0) 時(shí)，系統(tǒng)在通過(guò)一級(jí)相變成為正常態(tài)之前，仍處于正常和常規(guī)超流(PS1) 的相分離態(tài)(P ≈0.93)。隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度α 的增加，出現(xiàn)了豐富的相結(jié)構(gòu)，如有能隙的常規(guī)超流相、無(wú)能隙的超流相(GP1 和GP2) 以及不同的相分離態(tài)。這些相分離態(tài)被一級(jí)相變的相邊界所分開(kāi)(圖9 中粗體曲線)。除了典型的PS1 階段外，現(xiàn)在還存在一個(gè)具有四個(gè)無(wú)能隙點(diǎn)的超流和常規(guī)超流的相分離態(tài)(PS2)，以及兩個(gè)不同的具有四個(gè)無(wú)能隙點(diǎn)的超流的相分離態(tài)(PS3)。隨著α 的增加，對(duì)于中間的P 和α，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生從PS1 到PS2 再到PS3 的二級(jí)相變。

為了理解勢(shì)阱中各相的空間分布，他們還給出了α-μ平面上的相圖(圖10)。在局域密度近似條件下，假設(shè)兩種自旋物質(zhì)具有相同的簡(jiǎn)諧勢(shì)，局域化學(xué)勢(shì)μ(r)可以與勢(shì)阱中心的化學(xué)勢(shì)μ 相關(guān)聯(lián)，即μ(r)=μ-V(r)，其中V(r)為阱勢(shì)。因此，圖11 中一條向下的垂直線表示從勢(shì)阱中心到邊緣的軌跡，勢(shì)阱中心的化學(xué)勢(shì)由該線起點(diǎn)的化學(xué)勢(shì)所確定。在圖10 中四個(gè)無(wú)能隙點(diǎn)的超流相與圖9 一致，只存在于勢(shì)阱的一個(gè)小參數(shù)區(qū)域，而具有兩個(gè)無(wú)能隙點(diǎn)的超流相似乎有相當(dāng)大的穩(wěn)定區(qū)域。當(dāng)α 較小時(shí)，勢(shì)阱中的費(fèi)米氣體將相分離為位于核心的常規(guī)超流相和正常相。

圖9. 在(αskF)-1 = 0 處具有種群不平衡的均勻費(fèi)米氣體的零溫相圖。在粗的相邊界內(nèi)是不同的階段分離狀態(tài)。這些相分離狀態(tài)可以通過(guò)一階相變與非相分離狀態(tài)相連接(實(shí)心粗體曲線)。細(xì)曲線表示各種二階相變。引自文獻(xiàn)[91]。

圖10. 當(dāng)(αskF)-1 =0 時(shí)，在(μ/h,αkh/h) 平面上的相圖。二階相變?yōu)榧?xì)虛曲線，一階相變?yōu)閷?shí)心粗曲線，在熱力學(xué)勢(shì)雙阱結(jié)構(gòu)消失時(shí)結(jié)束(插圖)。真空的邊界(V) 是通過(guò)設(shè)置大多數(shù)自旋物質(zhì)的化學(xué)勢(shì)在正常相中消失而確定的。引自文獻(xiàn)[91]。

He 等人研究了已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了的由一維耦合線和一維自旋軌道耦合組成的三維光學(xué)立方晶格系統(tǒng)[30–32,94,95]。其中每一根一維導(dǎo)線都具有形式為kxσz的自旋軌道耦合，kx表示沿導(dǎo)線方向的動(dòng)量，σz表示粒子自旋。這些導(dǎo)線通過(guò)簡(jiǎn)單的跳躍進(jìn)行耦合，從而保持粒子的自旋。然而在具有吸引相互作用的情況下[96,97]，系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入具有節(jié)點(diǎn)環(huán)的拓?fù)涑鲬B(tài)。由于節(jié)點(diǎn)環(huán)的存在，在表面布里淵區(qū)存在大量具有零能Majorana 模的Majorana 腔。這里所發(fā)現(xiàn)的節(jié)點(diǎn)環(huán)完全固定在費(fèi)米能量處，并且與其他能帶很好地隔離。此外，大量的Majorana 模態(tài)因受手性對(duì)稱的保護(hù)而保持在零能態(tài)。研究表明可以通過(guò)打破手性對(duì)稱性來(lái)打開(kāi)大部分節(jié)點(diǎn)環(huán)，使系統(tǒng)成為具有節(jié)點(diǎn)和手性Majorana 模的Weyl拓?fù)涑?。通過(guò)引入形式為kxσz+kyσx+kzσy的三維合成自旋軌道耦合能進(jìn)一步降低晶格對(duì)稱性，Weyl 超流態(tài)中的Weyl 節(jié)點(diǎn)會(huì)在能量上發(fā)生位移，從而出現(xiàn)渦旋的Majorana 邊緣態(tài)。

圖11. 超流相中的環(huán)狀節(jié)點(diǎn)。在kx =0 平面上，超流體的零能譜函數(shù)表現(xiàn)為單環(huán)節(jié)點(diǎn)(a) 和雙環(huán)節(jié)點(diǎn)(b)。沿著表面布里淵區(qū)(kya,kza) = (0,π) →(0,0) →(π,π) 的路徑，繪制了單環(huán)節(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)能邊譜(c) 和雙環(huán)節(jié)點(diǎn)的邊界能譜(d)。平坦能帶中的態(tài)構(gòu)成表面Majorana 腔。引自文獻(xiàn)[37]。

拓?fù)涔?jié)點(diǎn)環(huán)超流體受到手性對(duì)稱性的保護(hù)。當(dāng)引入自旋軌道耦合項(xiàng)的另一組分kzσy形成二維合成自旋軌道耦合時(shí)，手性對(duì)稱性被破壞。在kx=0 的平面上，對(duì)于非零kz，新的自旋軌道耦合場(chǎng)kzσy使原子自旋在k 和-k 上向相反的方向?qū)R，從而形成庫(kù)珀對(duì)。而在kz=0的平面上，自旋軌道耦合場(chǎng)的消失導(dǎo)致了配對(duì)能隙的消失。結(jié)果表明，新的自旋軌道耦合場(chǎng)提高了環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)并度，而點(diǎn)節(jié)保持原來(lái)的簡(jiǎn)并度。此時(shí)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)環(huán)超流進(jìn)一步驅(qū)動(dòng)到Weyl 超流，如圖12(a)所示。在二維自旋軌道耦合超流相中形成的Weyl 節(jié)點(diǎn)是非常穩(wěn)定的，除非由于強(qiáng)干擾，相反手性的Weyl 節(jié)點(diǎn)之間發(fā)生相互湮滅，否則無(wú)法移除Weyl 節(jié)點(diǎn)。弱干擾只能在動(dòng)量和能量空間中轉(zhuǎn)移Weyl 節(jié)點(diǎn)。當(dāng)二維自旋軌道耦合演化為三維合成自旋軌道耦合(kxσz+kyσx+kzσy) 時(shí)，也就是所謂的Weyl 自旋軌道耦合[98–100]，BdG 準(zhǔn)粒子能譜中的Weyl 節(jié)點(diǎn)會(huì)轉(zhuǎn)移到不同的能量，如圖12(b)所示。在表面布里淵區(qū)，Weyl 點(diǎn)由Majorana 弧連接，如圖12(c)所示。自旋軌道耦合場(chǎng)在ky方向上將Weyl 節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到不同的能量。因此，連接手性相反的兩個(gè)Weyl 點(diǎn)之間的Majorana 弧得到了一個(gè)有限斜率，如圖12(d)所示。

此外，拓?fù)涑鞯母拍畹玫搅藬U(kuò)展，包括了一類新的無(wú)能隙Majorana 邊緣態(tài)的拓?fù)湎?，稱為高階拓?fù)涑飨郲75,101–103]。二階拓?fù)涑魇且粋€(gè)在(d-1) 維邊界上具有拓?fù)浞瞧接鼓芟兜膁 維系統(tǒng)，這樣在(d-2)維邊界上就存在受保護(hù)的低能模。換句話說(shuō)，一個(gè)二維的二階拓?fù)涑饔蠱ajorana 角態(tài)，即束縛在兩個(gè)邊界相交處的Majorana 費(fèi)米子。人們?cè)诮普T導(dǎo)系統(tǒng)中，已經(jīng)提出了一些關(guān)于實(shí)現(xiàn)二階拓?fù)涑鞯睦碚搶?shí)驗(yàn)設(shè)置，包括生長(zhǎng)在銅超導(dǎo)體或s±波鐵基超導(dǎo)體上的二維拓?fù)浣^緣體[104]，放置在時(shí)間反演不變p 波超導(dǎo)體[105]上的銅氧化物超導(dǎo)體或Rashba 半導(dǎo)體和夾在兩個(gè)鐵基超導(dǎo)體FeTe0.55Se0.45[105]之間的銅氧化物超導(dǎo)體。

圖12. 在超流相中，Weyl 點(diǎn)由單環(huán)節(jié)點(diǎn)演化而來(lái)。在kx =0平面上繪制了(a) 具有相同能量Weyl 點(diǎn)的Weyl 超流體和(b) 具有能量位移Weyl 點(diǎn)的Weyl 超流體的零能譜函數(shù)。圖(a) 和(b) 中的插圖對(duì)應(yīng)于穿過(guò)Weyl 節(jié)點(diǎn)的塊體能譜。在表面布里淵區(qū)，鼓膜狀的Majorana 邊緣態(tài)被還原為Majorana 弧。圖(c) 中Majorana 弧是能量相等的Weyl節(jié)點(diǎn)之間的平坦帶，而當(dāng)Weyl 點(diǎn)能量轉(zhuǎn)移時(shí)，它支持圖(d)中單向的Majorana 弧。引自文獻(xiàn)[37]。

雖然人們已經(jīng)提出了一些可能的二階拓?fù)涑飨到y(tǒng)，但是這些模型中的配對(duì)是非常規(guī)的[104,105]。超冷原子間的相互作用通常作用在s 波通道內(nèi)，因此，出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題: 是否有可能通過(guò)控制單粒子能帶結(jié)構(gòu)，在具有s波相互作用的超冷費(fèi)米氣體中設(shè)計(jì)二階拓?fù)涑鳎恳话銇?lái)說(shuō)，控制單粒子的能帶結(jié)構(gòu)應(yīng)該比直接控制復(fù)雜的配對(duì)容易。Huang 等人提出的模型可以體現(xiàn)在兩層間自旋軌道耦合沿ky(kx)方向存在π(0)相位差的超冷費(fèi)米子氣體的雙層模型上[106]，并展示了受新興鏡像對(duì)稱保護(hù)的能隙拓?fù)涑鳌＿@種受鏡像對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)涑黧w意味著存在鏡像反射不變邊界上的Majorana 零模，而在其他邊界是有能隙的[107,107,109,110]?？紤]一對(duì)有能隙的邊界，它們是變量，但在鏡像反射下相互映射。塊體的拓?fù)浞瞧接剐员ＷC了這些邊界上鏡像對(duì)稱破缺的質(zhì)量項(xiàng)是唯一的，并表現(xiàn)出符號(hào)相反的能隙[102,104]。因此，這對(duì)邊界的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)域壁，導(dǎo)致了Majorana 角態(tài)能夠?qū)崿F(xiàn)二階拓?fù)涑?。?dāng)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，這些Majorana 角態(tài)也具有魯棒性，因此不再存在任何與鏡像相關(guān)的邊界[102,104]。

圖13 中展示了在鏡像對(duì)稱的情況下，當(dāng)θ = π/4時(shí)，沿x 和y 方向相互映射的邊界。對(duì)于有能隙的拓?fù)湎啵瑝K體的鏡像拓?fù)浔ＷC了指定的邊緣態(tài)是有能隙的，并且這些邊界上的鏡像對(duì)稱破缺質(zhì)量項(xiàng)表現(xiàn)出符號(hào)相反的能隙[102,104]。因此，這些邊界的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)域壁，自然導(dǎo)致了Majorana 角態(tài)。圖13(a) 和13(b) 展示了Majorana 角態(tài)在拓?fù)淠芟断鄬?duì)應(yīng)的能譜和波函數(shù)。與有能隙拓?fù)湎囝愃?，ky′= 0 的邊緣態(tài)在有四個(gè)狄拉克點(diǎn)的無(wú)能隙相中也是打開(kāi)的。但邊界上Majorana 平坦帶的存在使得相關(guān)能譜，如圖 13(c) 所示，顯示除Majorana 零模之外的一系列低能態(tài)。這些低能態(tài)直接導(dǎo)致Majorana 零模滲透到系統(tǒng)內(nèi)部，如圖13(d) 所示。其他所有無(wú)能隙相的能譜和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)也繪制在圖13 中，并顯示了與具有四個(gè)狄拉克點(diǎn)的無(wú)能隙相一致的結(jié)論。然而對(duì)于具有兩個(gè)狄拉克點(diǎn)的無(wú)能隙相，低能態(tài)數(shù)相對(duì)較少， Majorana 零模的滲透并不嚴(yán)重。定性地說(shuō)，低能態(tài)的數(shù)量與動(dòng)量空間中Majorana 平坦帶的總寬度一致。這說(shuō)明兩個(gè)狄拉克點(diǎn)的無(wú)能隙相中具有少量的低能態(tài)。

圖13.0d 邊緣態(tài)光譜和Majorana 零模的波函數(shù)。在θ =π/4時(shí)，其邊界沿x′ 和y′ 方向鏡像對(duì)稱下相互映射。引自文獻(xiàn)[106]。

IV. 拓?fù)銯FLO 超流

Cao 等人預(yù)測(cè)了二維自旋軌道耦合費(fèi)米氣體中具有非均勻 Fulde-Ferrell(FF) 配對(duì)的無(wú)能隙拓?fù)涑黧w[111]，該超流體在塊體中具有無(wú)能隙激發(fā)態(tài)，并且在邊界處存在非阿貝爾Majorana 費(fèi)米子。它在有限溫度的條件下存在于廣泛的參數(shù)范圍內(nèi)，不需要特定形式的自旋軌道耦合，因此可以在冷原子實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察。塊體無(wú)能隙激發(fā)態(tài)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)擁有更豐富的熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。他們的工作可能為探索冷原子和固態(tài)系統(tǒng)中的拓?fù)湮镔|(zhì)提供新的見(jiàn)解[31,32,112]。

圖14 為ΩR-δ 平面上Rashba 自旋軌道耦合二維費(fèi)米氣體的典型低溫相圖。文獻(xiàn)中[36,58,88]對(duì)零平面塞曼場(chǎng)(δ =0)的情況進(jìn)行了很好的探討。平面外的磁場(chǎng)ΩR驅(qū)動(dòng)了拓?fù)湎嘧?。ΩR的增加不僅通過(guò)打破時(shí)間反演對(duì)稱性和打開(kāi)自旋軌道能隙改變了兩個(gè)螺旋度分支色散關(guān)系的拓?fù)?，還在低螺旋度分支中誘導(dǎo)了有效的p 波費(fèi)米子配對(duì)[88]。因此，有能隙拓?fù)涑黧w不斷出現(xiàn)在閾值上方。與此拓?fù)湎嘧兿嚓P(guān)聯(lián)，系統(tǒng)的能隙將首先在ΩR,c精確閉合，然后立即重新打開(kāi)。非零但很小的平面內(nèi)磁場(chǎng)的存在不會(huì)改變這一圖像，但由于低螺旋度分支[58]中的費(fèi)米面變形，這有利于有限動(dòng)量的FF 配對(duì)。因此，出現(xiàn)了一個(gè)有能隙的拓?fù)銯F超流體。

圖14. 二維Rashba 自旋軌道耦合費(fèi)米氣體在Eb = 0.2EF、λ=EF/kF 和T =0.05TF 條件下的低溫相圖。通過(guò)調(diào)整平面外和平面內(nèi)的塞曼場(chǎng)ΩR 和δ，系統(tǒng)可以從有能隙FF (gFF)演化為節(jié)點(diǎn)FF (nFF)，然后是無(wú)能隙的拓?fù)銯F(tnFF)，最后是有能隙的拓?fù)銯F (tgFF)。在點(diǎn)虛線之上，序參量Δ 小于0.001EF(因此表示為正常階段)。虛線表示達(dá)到臨界Berezinskii-Kosterlitz-Thouless(BKT) 溫度的邊界。在兩者之間，偽能隙區(qū)域由陰影區(qū)域突出顯示。引自文獻(xiàn)[111]。

然而值得注意的是，在足夠大的面內(nèi)塞曼場(chǎng)條件下也會(huì)出現(xiàn)無(wú)能隙的拓?fù)銯F 超流。在這種情況下，增加ΩR會(huì)使得費(fèi)米氣體首先到達(dá)到無(wú)能隙狀態(tài)，最終變成有能隙的拓?fù)涑黧w，如圖15(a) 所示。圖15(b) 展示了在無(wú)能隙狀態(tài)下，較低螺旋度的粒子分支的能量在距離原點(diǎn)k = 0 稍遠(yuǎn)的一小塊區(qū)域內(nèi)小于零。圖15(c) 展示了的節(jié)點(diǎn)在動(dòng)量空間中形成兩個(gè)不相交的環(huán)，但在臨界值ΩR處，兩個(gè)環(huán)在k =0 處連接。在此條件下，費(fèi)米面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，意味著出現(xiàn)了無(wú)能隙拓?fù)銯F 超流體。

圖15. (a) 當(dāng)δ = 0.4EF 時(shí)，最小激發(fā)能隙Eg 和陳數(shù)隨著ΩR 增加時(shí)的演化。插圖展示了FF 配對(duì)動(dòng)量和配對(duì)能隙Δ的演化過(guò)程。(b)低螺旋度分支的色散關(guān)系：Eνη=2(kx ky)=0在ΩR/EF = 0.24(綠色粗線)，ΩR/EF = 0.325(紅色虛線)，ΩR/EF = 0.38(藍(lán)色細(xì)線) 經(jīng)過(guò)的拓?fù)湎嘧儭?c) kx-ky 平面上對(duì)應(yīng)的零能譜(節(jié)點(diǎn)) 等值線。引自文獻(xiàn)[111]。

Zhang 等人提出如果FF 超流體具有有能隙的塊體準(zhǔn)粒子激發(fā)和拓?fù)涞姆瞧接官M(fèi)米面這兩個(gè)關(guān)鍵元素[35]，它就可以支持Majorana 費(fèi)米子。這些新的量子態(tài)是拓?fù)涞腇F 超流。在這種情況下，由傳統(tǒng)的大塞曼場(chǎng)誘導(dǎo)的無(wú)能隙FF 態(tài)不屬于這一類。在這里，他們提出了一個(gè)使用二維(2D) 或一維(1D) 自旋軌道耦合的簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體實(shí)現(xiàn)拓?fù)銯F 超流體的方案，該氣體受面內(nèi)和面外塞曼場(chǎng)的影響。自旋軌道耦合簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體與一個(gè)面外塞曼場(chǎng)能支持零動(dòng)量配對(duì)的Majorana 費(fèi)米子[21,113–115]。在適當(dāng)?shù)膮?shù)區(qū)域內(nèi)，平面內(nèi)塞曼場(chǎng)可以誘導(dǎo)有限動(dòng)量配對(duì)的Majorana 費(fèi)米子[116–119]，還能同時(shí)保持超流體的激發(fā)能隙以及其費(fèi)米面的拓?fù)?。拓?fù)銯F 超流的區(qū)域不僅取決于化學(xué)勢(shì)和配對(duì)強(qiáng)度，還取決于Cooper 對(duì)的自旋軌道耦合強(qiáng)度、總動(dòng)量和有效質(zhì)量，以及塞曼場(chǎng)的方向和大小，從而大大增加了實(shí)驗(yàn)的可調(diào)性。最后，他們還討論了該方案在半導(dǎo)體/超導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)中的潛在應(yīng)用。

完整的相圖如圖16 所示。由于Qy和hx兩者具有相同的符號(hào)，相圖在hx-hz平面上表現(xiàn)出完全對(duì)稱。隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度的增加，拓?fù)銯F 相通過(guò)膨脹到正常相而大大增大。對(duì)于小的自旋軌道耦合，見(jiàn)圖16(a)，總是需要一個(gè)有限的hz來(lái)誘導(dǎo)拓?fù)銯F 相。圖16(b)展示了存在一個(gè)有趣的參數(shù)區(qū)域，可以通過(guò)一個(gè)極小的hz在hx～0.8EF附近實(shí)現(xiàn)拓?fù)銯F 相。然而，在hz=0時(shí)，從Berry 曲率和陳數(shù)可以分析得出永遠(yuǎn)不可能在此條件下觀察到拓?fù)銯F 相。從圖16(a) 和圖16(b) 可以看出，拓?fù)淠芟禙F 相在數(shù)學(xué)上可以看作是拓?fù)銪CS超流在平面內(nèi)塞曼場(chǎng)作用下的絕熱變形，但是它們的物理意義完全不同。在圖16(c) 與16(d) 中，可以發(fā)現(xiàn)在較小的結(jié)合能和較小的hz下能夠觀察到無(wú)能隙FF 相，而在足夠大的結(jié)合能下，系統(tǒng)可以是拓?fù)浠蚍峭負(fù)淠芟断?。在這種情況下，其中μ ～EF-Eb/2，Δ2～2EFEb，因此hz∝Eb，這需要關(guān)閉和重新打開(kāi)Eg。

圖16. FF 超流體相圖。用不同的顏色標(biāo)記不同的相: 拓?fù)溆心芟禙F 超流體(紅色)、非拓?fù)溆心芟禙F 超流體(黃色)、無(wú)能隙FF 超流體(藍(lán)色) 和正常氣體(白色)。其他參數(shù)有：(a)Eb =0.4EF，αkF =0.5EF；(b) Eb =0.4EF，αkF =1.0EF；(c) hx = 0.5EF，αkF = 0.5EF 和(d) hx = 0.5EF，αkF =1.0EF。每個(gè)圖中的記號(hào)都是三臨界點(diǎn)。引自文獻(xiàn)[35]。

圖16 中用符號(hào)標(biāo)記的三臨界點(diǎn)對(duì)于理解相圖的基本結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。沿著hz軸，系統(tǒng)只支持能隙BCS 超流體(拓?fù)浠蚍峭負(fù)?和正常氣體[115]，而沿著hx軸，系統(tǒng)只支持平庸的FF 超流體和正常氣體[117–119]。因此，拓?fù)銪CS 超流體與平庸FF 相之間不可能存在絕熱聯(lián)系，需要有一些點(diǎn)來(lái)分離不同的相，而這些點(diǎn)這正是三臨界點(diǎn)。在他們的模型中，不同階段之間的相變是一階相變。這里存在的三臨界點(diǎn)應(yīng)該與同一系統(tǒng)中有限溫度下沒(méi)有自旋軌道耦合的三臨界點(diǎn)形成鮮明的對(duì)比，后者是由一階和二階相變線的偶然相交[121]引起的。因此，雖然圖16 中的三臨界點(diǎn)的具體位置會(huì)隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化，但它們是不會(huì)被移除的。

他們提出的拓?fù)銯F 相可以用半導(dǎo)體/超導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。這種異質(zhì)結(jié)構(gòu)已經(jīng)用于實(shí)現(xiàn)拓?fù)涞腂CS 超導(dǎo)和相關(guān)的Majorana 費(fèi)米子[58,88]，并且已經(jīng)能觀察到一些初步的實(shí)驗(yàn)特征[122–124]。由于FF 態(tài)可以在大磁場(chǎng)下存在，這可以為實(shí)驗(yàn)上使用許多具有大自旋軌道耦合但小g 因素的半導(dǎo)體納米線(例如GaSb、空穴摻雜InSb 等) 提供了可能性。

Wang 等人探討了受自旋軌道耦合影響的費(fèi)米氣體的拓?fù)涑黧w特性[125]，其中自旋軌道耦合是使用玻色子原子的雙層方案產(chǎn)生的[126,127]。雙層系統(tǒng)的一個(gè)特點(diǎn)是，相互作用主要發(fā)生在屬于同一層[126]的原子之間。因此，原子–原子相互作用與自旋軌道耦合方案中涉及四個(gè)循環(huán)耦合原子內(nèi)部狀態(tài)的相互作用有很大不同[128]。在后一種情況下，四種內(nèi)部狀態(tài)的原子相互作用的強(qiáng)度大致相同。他們發(fā)現(xiàn)雙層方案提供了一個(gè)有趣的超流體相變，在不是很強(qiáng)的原子光耦合下，出現(xiàn)了FFLO 態(tài)[129]。一般來(lái)說(shuō)，F(xiàn)FLO 態(tài)出現(xiàn)在自旋極化系統(tǒng)中，也可以由自旋軌道耦合費(fèi)米氣體中的面內(nèi)塞曼場(chǎng)誘導(dǎo)[34,35]。他們發(fā)現(xiàn)對(duì)于不是很強(qiáng)的原子光耦合，F(xiàn)FLO態(tài)本質(zhì)上出現(xiàn)在沒(méi)有任何外部磁場(chǎng)或自旋極化的雙層系統(tǒng)中。隨著原子光耦合的增加，系統(tǒng)會(huì)從FFLO 態(tài)轉(zhuǎn)變到拓?fù)涑鲬B(tài)。他們的這項(xiàng)工作證明了拓?fù)涑饕部梢猿霈F(xiàn)在實(shí)驗(yàn)可行的雙層體系中。

圖17. 在Ω =J 和φ=0.6π 條件下的相圖。(a) 中紅色區(qū)域?yàn)镕FLO 態(tài)，對(duì)應(yīng)于Q／=0(Q 為動(dòng)量空間的有限配對(duì)中心)，灰色區(qū)域?yàn)槠接钩鲬B(tài)(NS)，對(duì)應(yīng)于Q=0 和C =0，黃色區(qū)域?yàn)橥負(fù)浞瞧接箲B(tài)(TS)，對(duì)應(yīng)于Q=0 和C =1。(b) 隨著耦合強(qiáng)度的增加，化學(xué)勢(shì)單調(diào)減少的曲線圖。下排為不同的耦合項(xiàng)對(duì)應(yīng)于三個(gè)相的單粒子能譜圖。引自文獻(xiàn)[125]。

為了研究Ω = J 的雙層系統(tǒng)中拓?fù)涑黧w的可行性，他們?cè)试S拉曼耦合的相對(duì)相位φ 偏離π/2，因此δφ = φ - π/2 ／= 0。在強(qiáng)耦合體系中, 狄拉克點(diǎn)k = 0 處的單粒子能譜中出現(xiàn)了能隙E(δφ) = 2hz=(δφ/2)，相圖如圖17(a) 所示。在強(qiáng)耦合條件下的相圖中可以找到一個(gè)拓?fù)涑飨?，其特征是陳?shù)C = 1 和配對(duì)動(dòng)量為0。圖17(a)、(b) 展示了當(dāng)化學(xué)勢(shì)進(jìn)入能隙時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了從正常超流體到拓?fù)涑黧w的相變。此外還通過(guò)Q ／= 0 和Q = 0、C = 0 來(lái)識(shí)別FFLO 態(tài)和常規(guī)超流態(tài)。當(dāng)Ω = J ＜Erec時(shí)，雙層系統(tǒng)處于FFLO 態(tài)。當(dāng)耦合強(qiáng)度增加到Jc1?Erec時(shí)，這種FFLO 態(tài)將轉(zhuǎn)變到常規(guī)超流態(tài)。在強(qiáng)耦合條件下，Ω = J ?1.5Erec，對(duì)應(yīng)于有效Rashba 自旋軌道耦合的極限，當(dāng)化學(xué)勢(shì)處于能隙(δφ) 范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)可處于拓?fù)涑鲬B(tài)。因此，在常規(guī)超流和拓?fù)涑髦g存在另一個(gè)臨界耦合強(qiáng)度Jc2。在圖17 中，藍(lán)色虛線和紅色實(shí)線分別表示FFLO 態(tài)→常規(guī)超流和常規(guī)超流→拓?fù)涑鞯南嘧?。值得注意的是，由于化學(xué)勢(shì)的增加，常規(guī)超流態(tài)和拓?fù)涑鲬B(tài)之間轉(zhuǎn)變的臨界耦合值會(huì)隨著結(jié)合能的增加而增加。

在二維空間中，正方形晶格中的冷原子可以產(chǎn)生陳數(shù)C = 1 的拓?fù)銯F 態(tài)[34,130]。如果要實(shí)現(xiàn)具有更高陳數(shù)的拓?fù)鋺B(tài)，可以借助于復(fù)雜的跳躍傳導(dǎo)或晶格[131,132]。然而，簡(jiǎn)單三角形晶格更有利于實(shí)現(xiàn)一些拓?fù)渖系姆瞧接箲B(tài)，它僅僅通過(guò)最近鄰跳變就可以產(chǎn)生一個(gè)陳數(shù)更高的拓?fù)鋺B(tài)[133,134]。Guo 等人研究了一個(gè)三角晶格上具有自旋軌道耦合和平面塞曼場(chǎng)的系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)拓?fù)銯F 態(tài)[135]。他們發(fā)現(xiàn)具有最鄰近跳躍的系統(tǒng)在非相互作用的情況下，能夠支持有能隙的陳數(shù)C =1 和C = -2 的絕緣體。拓?fù)湎嗟倪吔缭谟擅鎯?nèi)磁場(chǎng)和面外磁場(chǎng)構(gòu)成的雙參數(shù)平面上都是橢圓的。在存在吸引s 波相互作用的情況下，非均勻的FF 超流態(tài)可以存在于廣泛的區(qū)域內(nèi)。并證明了所有的FF 態(tài)在拓?fù)渖隙际欠瞧接沟?，它們的陳?shù)是C = ±1、±2、±3、±4。他們利用第一布里淵區(qū)高對(duì)稱點(diǎn)的一組Pfaffians(Pfs) 符號(hào)來(lái)表征不同的拓?fù)湎?。隨著能隙在相應(yīng)的點(diǎn)閉合和重新打開(kāi)，Pfs 的每一個(gè)符號(hào)都發(fā)生了變化。手性邊緣態(tài)的波函數(shù)在開(kāi)放邊界條件下在邊界空間局部化，計(jì)算手性邊緣態(tài)可以確定塊體是否處于非平庸拓?fù)鋺B(tài)。不同的FF相表現(xiàn)出不同的手性邊緣態(tài)配對(duì)，邊界流體直接由邊緣模的手性之和的陳數(shù)決定。

圖18(a)～(d) 總結(jié)了量子相。在這里，量子相的特征是超流序參量Δ、質(zhì)心動(dòng)量qy、陳數(shù)C 和化學(xué)勢(shì)μ。當(dāng)Δ=0 時(shí)，既可以有一個(gè)絕緣相(IN)，也可以有一個(gè)正常氣體相(NG)。對(duì)于前一種狀態(tài)，化學(xué)勢(shì)位于帶隙內(nèi)；然而，對(duì)于后一種狀態(tài)，化學(xué)勢(shì)位于能帶中，因此激發(fā)態(tài)是無(wú)能隙的[136]。此外，如果在拓?fù)渖戏瞧接?這里C =1)，則絕緣相是陳絕緣體(CI)。接下來(lái)，具有非零qy的超流體狀態(tài)(Δ=0) 用FF 表示。FF 態(tài)的出現(xiàn)是由于面內(nèi)磁場(chǎng)hx使費(fèi)米面[116]變形，標(biāo)準(zhǔn)BCS 超流體(qy=0)只在hx=0 時(shí)存在。此外，所有超流相在拓?fù)渖隙际欠瞧接沟模⑦M(jìn)一步用字母“t”和方括號(hào)中的陳數(shù)來(lái)表示它們。最后，圖中的虛線標(biāo)出了有能隙超流相與無(wú)能隙超流相的邊界。更具體地說(shuō)，對(duì)于較小的hx，有能隙的超流相的低螺旋度粒子分支能量總是正的。但當(dāng)hx值增大時(shí)，值可能小于零，將會(huì)形成無(wú)能隙超流體相[117,137]。在圖18(a) 和圖18(b) 中，分別繪制了參數(shù)hx-hz平面上的相圖。在圖18(a) 中，當(dāng)hx= 0 時(shí)有3 個(gè)拓?fù)湎嘧?，這是由粒子空穴對(duì)稱點(diǎn)處的能隙消失引起的。在面內(nèi)場(chǎng)的存在下，粒子空穴對(duì)稱點(diǎn)處的能隙不會(huì)同時(shí)消失，這是相圖如此豐富的主要原因之一。在圖18(c) 中表明通過(guò)調(diào)節(jié)化學(xué)勢(shì)可以得到小面積具有陳數(shù)C = -3、-4 的FF 相。在圖18(d) 中，展示了吸引相互作用的影響，吸引相互作用有利于形成Cooper 對(duì)，從而增強(qiáng)FF 相。

V. 拓?fù)涑鞯钠渌F(xiàn)象

A. 孤子引誘的拓?fù)涑?/h3>

Liu 等人研究了塞曼場(chǎng)作用下一維自旋軌道耦合原子費(fèi)米氣體簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中的暗孤子[138–140]。暗孤子的特征是在序參量改變符號(hào)并穿過(guò)零點(diǎn)時(shí)會(huì)在點(diǎn)節(jié)點(diǎn)處發(fā)生180°的相位跳變。由于可以通過(guò)改變相位跳變的數(shù)目來(lái)控制暗孤子的數(shù)目，因此可以同時(shí)考慮單孤子和多孤子(即孤子序列) 的情況。在拓?fù)涑飨嘀忻總€(gè)暗孤子都能容納兩個(gè)Majorana 費(fèi)米子，并且在孤子的節(jié)點(diǎn)附近具有很好的局域性。可以通過(guò)相位印記的控制來(lái)創(chuàng)建和移動(dòng)Majorana 費(fèi)米子，使其走向現(xiàn)實(shí)應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)上，可以利用射頻光譜的局域態(tài)密度或吸收成像的密度分布來(lái)探測(cè)暗孤子的存在。

值得注意的是，一維的暗孤子與二維的渦旋非常相似。后者也是一種拓?fù)淙毕荩梢栽跍u核中容納Majorana 費(fèi)米子，并在局部態(tài)密度和密度分布[141]中表現(xiàn)出來(lái)。人們認(rèn)為拓?fù)涑髦械臏u旋晶格是進(jìn)行拓?fù)淞孔有畔⑻幚砗土孔佑?jì)算的一個(gè)很有吸引力的平臺(tái)[42,142]。此外，有人研究了一維自旋軌道耦合費(fèi)米氣體中單個(gè)孤子的性質(zhì)[143]。這些作者考慮了一組不同的參數(shù)，通過(guò)增加外部塞曼場(chǎng)，使得部分費(fèi)米云進(jìn)入拓?fù)涑飨唷?/p>

為了在實(shí)驗(yàn)上觀察暗孤子的點(diǎn)節(jié)點(diǎn)上的兩個(gè)額外的Majorana 費(fèi)米子，可以使用空間分辨射頻光譜學(xué)來(lái)測(cè)量局域態(tài)密度。在圖19 中，展示了拓?fù)湎嘧兦昂蟮木钟驊B(tài)密度ρ(χ,ω)。在BCS 超流體相中，如圖19(a)所示，可以很容易地識(shí)別出孤子的Andreev 束縛態(tài)。在拓?fù)浞瞧接瓜嘀?，如圖19(b) 所示，可以清楚地看到兩個(gè)零能量的Majorana 費(fèi)米子位于兩個(gè)勢(shì)阱邊緣。此外，在原點(diǎn)附近存在由兩個(gè)Majorana 費(fèi)米子引起的零能量的響應(yīng)。這個(gè)方案與二維拓?fù)涑黧w中使用渦旋晶格的想法非常類似，渦旋中心的Majorana 費(fèi)米子被用作量子單位。在未來(lái)的研究中，為了交換不同位置的孤子來(lái)證明Majorana 費(fèi)米子的非阿貝爾統(tǒng)計(jì)特性，理解具有復(fù)雜序參量和非零速度特征的旅行灰色孤子將是十分重要的[145–147]。

圖19. (a) 當(dāng)h=0.4EF 時(shí)BCS 超流的局域態(tài)密度和(b) 當(dāng)h = 0.8EF 時(shí)拓?fù)浞瞧接钩黧w的局域態(tài)密度。在拓?fù)湎嘀?，暗孤?χ1 =0) 點(diǎn)節(jié)點(diǎn)附近的兩個(gè)Majorana 費(fèi)米子，由于波函數(shù)的疊加而不可區(qū)分。顏色圖中以nF/EF 為單位表示局部態(tài)密度的大小。引自文獻(xiàn)[138]。

B. 三組分的拓?fù)涑?/h3>

與凝聚態(tài)物質(zhì)系統(tǒng)中的自旋軌道耦合不同，在凝聚態(tài)物質(zhì)系統(tǒng)中，電子的自旋只有自旋向上和自旋向下兩種成分，如40K 和6Li 的冷原子物理中的(贗) 自旋實(shí)際上是一個(gè)原子的超細(xì)態(tài)。因此，可以通過(guò)具有兩個(gè)以上超細(xì)態(tài)的s 波Feshbach 共振制備超流體[148–150]。受此啟發(fā)，Chen 等人研究了具有三個(gè)(贗) 自旋的超流體[151]，并著重討論了三組分費(fèi)米氣體的拓?fù)湫再|(zhì)。在平均場(chǎng)近似下的一定的參數(shù)范圍內(nèi)，三組分費(fèi)米氣體系統(tǒng)可以在更小的磁場(chǎng)條件下實(shí)現(xiàn)拓?fù)涑黧w。

他們的結(jié)果表明，隨著塞曼場(chǎng)強(qiáng)度的增大，三組分體系除了經(jīng)歷從BCS 超流體到拓?fù)涑黧w的相變外，還可能出現(xiàn)一些其他有趣的拓?fù)湎嘧?。例如，通過(guò)適當(dāng)調(diào)整化學(xué)勢(shì)，系統(tǒng)可以在整個(gè)塞曼場(chǎng)區(qū)域內(nèi)處于非平庸的拓?fù)涑黧w中。還有可能最初是一個(gè)拓?fù)涑黧w，然后隨著磁場(chǎng)的增加轉(zhuǎn)化為一個(gè)拓?fù)渖掀接沟腂CS 超流體。更奇特的是，系統(tǒng)可能會(huì)存在重新進(jìn)入行為[151]，在較大與較小強(qiáng)度的塞曼場(chǎng)上存在拓?fù)涑黧w，但在中等強(qiáng)度的塞曼場(chǎng)上存在拓?fù)淦接沟腂CS 超流體。因此，系統(tǒng)可以有兩個(gè)零能量的Majorana 費(fèi)米子區(qū)域。在一定參數(shù)范圍內(nèi)，更小的磁場(chǎng)就可以實(shí)現(xiàn)這些有趣的拓?fù)湎嘧?，這優(yōu)化了實(shí)現(xiàn)拓?fù)湎嗟膶?shí)驗(yàn)。因此，這是一種有希望的實(shí)現(xiàn)拓?fù)湎嗟暮蜻x方法。

在圖20 中，展示了在給定序參量Δ = Er下三組分超流體(藍(lán)色實(shí)線)的相圖。為了進(jìn)行比較，還繪制了雙組分超流體的相圖(紅色虛線)。根據(jù)Berry 相的不同行為，可以在μ-h 相圖中區(qū)分四個(gè)不同的相區(qū)域，稱為I-IV 區(qū)域。

區(qū)域I(μ ≤μc1=0.53Er)：該區(qū)域系統(tǒng)的相變行為與傳統(tǒng)的雙組分超流體情況非常相似，即存在一個(gè)臨界塞曼場(chǎng)，系統(tǒng)經(jīng)歷一個(gè)拓?fù)湎嘧?，從拓?fù)淦接瓜?h ＜hc)到拓?fù)浞瞧接瓜?h ＞hc)。該區(qū)域的二組分和三組分體系相邊界相交于μ1= -4.59Er和μ2= 0.24Er。結(jié)果表明，在μ ＜μ1或μ ＞μ2時(shí)，三組分體系拓?fù)湎嘧兊呐R界磁場(chǎng)小于雙組分體系。也就是說(shuō)，它會(huì)變得更容易實(shí)現(xiàn)這個(gè)有趣的具有更小磁場(chǎng)的拓?fù)湎?，這是保持有限能隙超流體的必要條件。

區(qū)域II (μ ∈ [μc2,μc3]，μc2= 0.59Er，μc3=3.41Er)：系統(tǒng)在任意h 值處都沒(méi)有拓?fù)湎嘧?。為了判斷該區(qū)域的拓?fù)涮卣鳎枰?jì)算Berry 相，即使當(dāng)磁場(chǎng)h =0 時(shí)，該系統(tǒng)也是完全拓?fù)浞瞧接沟?。需要?qiáng)調(diào)的是，區(qū)域II 的范圍高度依賴于序參量Δ 的值。很容易發(fā)現(xiàn)在Δ=0 時(shí), 區(qū)域II 的范圍是μ ∈(0,4Er)。然而序參量Δ 強(qiáng)度超過(guò)臨界值會(huì)使這個(gè)區(qū)域迅速縮小。

圖20. 在Δ = Er 條件下的相圖。與雙組分超流體(紅虛線)相比，三組分情況(藍(lán)線) 更為復(fù)雜。四個(gè)區(qū)域被黑色虛線以不同的化學(xué)勢(shì)μ 劃分?；疑珔^(qū)域?yàn)橥負(fù)浞瞧接瓜?。引自文獻(xiàn)[151]。

區(qū)域III (μ ∈[μc1,μc2]∪[μc3,μc4],μc4=4Er)：在該區(qū)域存在hc1、hc2兩個(gè)臨界塞曼場(chǎng)，與區(qū)域I 中的傳統(tǒng)相變不同，系統(tǒng)首先是拓?fù)浞瞧接沟?，隨著塞曼場(chǎng)的增加，它轉(zhuǎn)變到拓?fù)淦接?h ∈[hc1,hc2])，最后又變成拓?fù)浞瞧接?h ＞hc2)。

區(qū)域IV (μ ≥μc4= 4Er)：與區(qū)域I 相比，它具有相反的拓?fù)湫袨? 即系統(tǒng)在小的磁場(chǎng)h 處是拓?fù)淦接沟?，而在h ＞hc處則是拓?fù)浞瞧接沟摹?duì)于三組分超流體，即使沒(méi)有自旋軌道耦合，系統(tǒng)在區(qū)域II、III 或IV 上也存在拓?fù)浞瞧接瓜?，這與雙組分情況有很大不同。原因是對(duì)于三組分系統(tǒng)，三個(gè)序參量Δ0,-1、Δ1,0、Δ1,-1不會(huì)同時(shí)滿足規(guī)范不變性。

C. 大陳數(shù)的拓?fù)涑?/h3>

大陳數(shù)拓?fù)湎郲131,152–155]一直是現(xiàn)代物理學(xué)中的一個(gè)重要課題。Huang 等人研究了耦合層系統(tǒng)中的拓?fù)涑黧w[132]，在該系統(tǒng)中，可以通過(guò)控制結(jié)合能、層間隧穿和層不對(duì)稱等方式實(shí)現(xiàn)不同拓?fù)涑黧w之間的相變。這些拓?fù)湎嘧兊奶卣魇悄芟对诹銊?dòng)量臨界點(diǎn)處的閉合和重新打開(kāi)，陳數(shù)和Pfaffian 符號(hào)在此處經(jīng)歷一個(gè)不連續(xù)的變化。邊界處受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊模由塊體邊界對(duì)應(yīng)保證。在勢(shì)阱中，邊模在不同拓?fù)涑黧w的界面上具有空間局限性，其中邊模的數(shù)量等于左右兩邊超流體的陳數(shù)差。由于能帶反轉(zhuǎn)和自旋紋理在臨界點(diǎn)上離散變化，可以通過(guò)零動(dòng)量或接近零動(dòng)量的自旋紋理檢測(cè)到這些拓?fù)滢D(zhuǎn)變。該模型可以推廣到陳數(shù)等于任意正整數(shù)的多層系統(tǒng)。這些大陳數(shù)的拓?fù)涑黧w為探索超冷原子背景下的奇異量子物質(zhì)提供了肥沃的土壤。

他們發(fā)現(xiàn)在所有的計(jì)算中，邊模數(shù)完全等于陳數(shù)C。在圖21(a)中，可以發(fā)現(xiàn)兩種邊模在小ky情況下存在速度不同線性色散。圖21(c)展示了邊模在ky=±0.25kF時(shí)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)，這些位于同一邊界的邊模沿相同方向傳播，見(jiàn)圖21(c)內(nèi)嵌圖，這一結(jié)果與具有時(shí)間反演對(duì)稱性的固體系統(tǒng)形成了鮮明對(duì)比，在固體系統(tǒng)中，位于同一邊界的兩個(gè)邊模具有相反的自旋和傳播[156–158]。他們還計(jì)算了邊模的速度作為非對(duì)稱性的函數(shù)。當(dāng)δμ ＜0.52EF時(shí)，其中一種速度相對(duì)于δμ 幾乎線性增加，而另一種速度單調(diào)減小。當(dāng)2.14EF＞δμ ＞0.52EF時(shí)，從C =1 開(kāi)始，相對(duì)速度較大的邊模消失，只剩下一個(gè)邊模。值得注意的是，這個(gè)速度的演化是一個(gè)跨越拓?fù)溥吔绲钠交瘮?shù)，見(jiàn)圖21(d)。在平庸相區(qū)(δμ ＞2.14EF)，不存在邊模。

圖21. 在陳數(shù)(a) C = 2 和(b) C = 1 的條紋幾何中的邊緣態(tài)。(c)動(dòng)量ky =±0.25kF 時(shí)，各層邊緣態(tài)的波函數(shù)(插圖為同一邊界動(dòng)量相同的兩種狀態(tài)的傳播方向)。(d) 邊緣態(tài)速度作為非對(duì)稱性的函數(shù)。(b) 中參數(shù)Γ =1.28EF，(a) 和(c) 中Γ = 1.43EF，(a)～(c) 中其他參數(shù)εb = 1.2EF 和t = δμ =0.5EF。(d) 在t=0.2EF、εb =0.6EF、Γ =0.97EF 參數(shù)條件下，邊模的速度作為非對(duì)稱性的函數(shù)。(e) 勢(shì)阱中廣義的塊體邊界對(duì)應(yīng)。邊?？臻g中定位在兩個(gè)拓?fù)涑黧w之間的接口和邊模的數(shù)量N =|CL-CR|，其中CL 和CR 是左右界面超流體的陳數(shù), 以及由于手性相反，所有其他的邊模都被直接耦合出能隙。一般來(lái)說(shuō)，N =1。引自文獻(xiàn)[132]。

Majorana 費(fèi)米子在ky= 0 時(shí)的穩(wěn)定性對(duì)于理解邊模的魯棒性至關(guān)重要。同一邊的Majorana 費(fèi)米子具有明確的手性，這種手性阻止了Majorana 費(fèi)米子的直接融合。然而，在勢(shì)阱中的情況則完全不同，見(jiàn)圖21(e)。由于它們的手性相反，Majorana 費(fèi)米子可以直接融合，一些邊模將會(huì)因此消失。剩余的邊模數(shù)等于界面上左右超流體之間的陳數(shù)差。這是勢(shì)阱中大陳數(shù)的拓?fù)涑黧w的廣義體邊對(duì)應(yīng)的體現(xiàn)。在一般情況下，在每個(gè)拓?fù)溥吔缟现荒苡^察到一個(gè)手性邊模。這些邊模可以在實(shí)驗(yàn)中單獨(dú)觀測(cè)，為測(cè)量超流體的局部拓?fù)洳蛔冃蕴峁┝酥匾囊罁?jù)。

D. 拓?fù)涑髋R界溫度的提高

2016 年，Wu 等人證明了2D-3D 費(fèi)米–玻色混合物可以在高臨界溫度下實(shí)現(xiàn)px+ipy拓?fù)涑黧w[159,160]。自旋極化費(fèi)米子被限制在二維平面上，并通過(guò)三維玻色–愛(ài)因斯坦凝聚體中密度漲落的吸引誘導(dǎo)相互作用進(jìn)行相互作用。由于誘導(dǎo)相互作用的頻率依賴性，二維費(fèi)米氣體的超流相變具有Eliashberg 形式。此外，他們還考慮了遲滯效應(yīng)，并證明遲滯效應(yīng)具有重要作用。然后計(jì)算了超流體密度，利用BKT 理論確定了轉(zhuǎn)變的臨界溫度[161–164]。進(jìn)一步證明了誘導(dǎo)相互作用的強(qiáng)度和范圍是可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)控制的。這種可調(diào)性可以將超流臨界溫度提高到BKT 理論所規(guī)定的極限值。重要的是，這是在費(fèi)米–玻色和玻色–玻色相互作用都很弱的情況下實(shí)現(xiàn)的，因此三體損失很小。他們的結(jié)果為實(shí)現(xiàn)高臨界溫度原子氣體中的拓?fù)涑黧w提供了一個(gè)路線圖。

圖22. 超流體臨界溫度在(nBa3eff)1/3 = 0.1 和n1/2F /n1/3B =0.1 的混合物下作為玻色–愛(ài)因斯坦凝聚體氣體參數(shù)(nBa3B)1/3 的函數(shù)圖，(插入圖)νF/c0 隨(nBa3B)1/3 變化的函數(shù)圖。引自文獻(xiàn)[159]。

在圖 22 中，TMF是40K 和7Li 混合物在和弱費(fèi)米–玻色相互作用強(qiáng)度條件下的平均場(chǎng)超流轉(zhuǎn)變溫度，可以看到轉(zhuǎn)變溫度在玻色–愛(ài)因斯坦凝聚體氣體參數(shù)減小時(shí)升高。與較小時(shí)的費(fèi)米能量相比，平均場(chǎng)轉(zhuǎn)變溫度甚至變得顯著，但是很快就會(huì)看到相位的漲落大大降低了臨界溫度。他們還通過(guò)忽略遲滯效應(yīng)，證明了從BCS 理論得到的臨界溫度TBCS。當(dāng)νF/c0?1 時(shí)TBCS?TMF，而當(dāng)νF/c0較大時(shí)，遲滯效應(yīng)明顯抑制了配對(duì)。TBKT是BKT 條件下的超流轉(zhuǎn)變溫度，當(dāng)(nBa3B)1/3減小，轉(zhuǎn)變溫度迅速達(dá)到極限值εF/16。重要的是，這個(gè)最大值是在弱費(fèi)米–玻色耦合時(shí)達(dá)到的，確保了由于玻色子–費(fèi)米子二聚體的形成而產(chǎn)生較小三體損失。

他們提出的2D-3D 費(fèi)米–玻色混合物在實(shí)驗(yàn)上是可行的，幾個(gè)實(shí)驗(yàn)小組已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了玻色–費(fèi)米混合，并且可以使用光學(xué)勢(shì)來(lái)產(chǎn)生混合維系統(tǒng)[165–167]。此外，臨界溫度TBKT=εF/16 在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)。他們的建議也適用于二維玻色介質(zhì)，但在這種情況下，由于二維玻色氣體中的強(qiáng)量子漲落，費(fèi)米子之間的配對(duì)預(yù)計(jì)會(huì)更弱。

VI. 拓?fù)涑鞯膶?shí)現(xiàn)與檢測(cè)

到目前為止，已經(jīng)有許多關(guān)于拓?fù)涑鲗?shí)現(xiàn)的建議，包括p+ip 超導(dǎo)體[168,169]，三維拓?fù)浣^緣體的表面[88,112]或靠近s 波超導(dǎo)體的一維自旋軌道耦合納米線[58,170]，以及一維或二維Feshbach 共振附近的自旋軌道耦合原子費(fèi)米氣體[21,36,59]。在與超導(dǎo)電極接觸的磁場(chǎng)中[121]，半導(dǎo)體InSb 納米線隧穿光譜的實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)表明其中可能存在拓?fù)涑骱蚆ajorana 費(fèi)米子。然而，這些研究仍然缺乏對(duì)納米線的拓?fù)湫再|(zhì)的明確描述。Hu 等人提出了一個(gè)由強(qiáng)非磁性或磁性雜質(zhì)散射誘導(dǎo)的普適中能隙束縛態(tài)[36]，它可以為拓?fù)涑鞯拇嬖谔峁┟鞔_的信號(hào)。在固態(tài)中，人們廣泛認(rèn)為雜質(zhì)是表征其所在系統(tǒng)量子態(tài)的重要局部探針。已經(jīng)可以使用單個(gè)雜質(zhì)來(lái)確定非常規(guī)非s 波超導(dǎo)的超導(dǎo)配對(duì)對(duì)稱性，并證明了在Be(0001) 表面上[171]的Friedel 振蕩。在強(qiáng)相關(guān)的多體系統(tǒng)中可以使用雜質(zhì)來(lái)固定一個(gè)相互競(jìng)爭(zhēng)的序參，他們預(yù)測(cè)了如果一個(gè)單一的雜質(zhì)在拓?fù)涑髦芯哂凶銐驈?qiáng)的散射強(qiáng)度，就可以創(chuàng)建一個(gè)與雜質(zhì)綁定的普適中能隙態(tài)。它類似于渦旋核心內(nèi)能量最低的Caroli–de Gennes-Martricon(CdGM)束縛態(tài)[172]。對(duì)于束縛態(tài)能量接近于零的序參量，普適束縛態(tài)的波函數(shù)與Majorana 費(fèi)米子波函數(shù)的對(duì)稱性密切相關(guān)[141]。

根據(jù)Anderson 定理[173]，常規(guī)的s 波超流幾乎不受非磁性雜質(zhì)的影響。相反，磁雜質(zhì)可以打破超流的時(shí)間反演對(duì)稱性和粒子間的配對(duì)。這導(dǎo)致出現(xiàn)一種與配對(duì)能隙內(nèi)局部雜質(zhì)有關(guān)的中能隙態(tài)，即所謂的Yu-Shiba態(tài)[174,175]，這種中能隙束縛態(tài)的能量由雜質(zhì)散射勢(shì)Vimp的強(qiáng)度決定。當(dāng)Vimp增大時(shí)，自旋向上的原子的Yu-Shiba 態(tài)從更高的能隙邊緣向較低能隙邊緣移動(dòng)，而自旋向下的原子的Yu-Shiba 態(tài)則與之相反。研究證明在Rashba 自旋軌道耦合的存在下，如果費(fèi)米云不是拓?fù)涑黧w，即使存在塞曼場(chǎng)，上述說(shuō)法仍然成立。對(duì)于典型的磁場(chǎng)參數(shù)h=0.2EF，隨著磁性雜質(zhì)強(qiáng)度的增加，Yu-Shiba 態(tài)的位置從一個(gè)能隙邊緣移動(dòng)得非常快。相反，一旦塞曼場(chǎng)超過(guò)閾值，整個(gè)費(fèi)米云就會(huì)變成拓?fù)涑黧w，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)完全不同的行為如圖23 所示。對(duì)于非磁性雜質(zhì)來(lái)說(shuō)，當(dāng)雜質(zhì)強(qiáng)度大于臨界強(qiáng)度(Vimp≥0.004r2F)時(shí)，一個(gè)意外的束縛態(tài)將從能隙邊緣出現(xiàn)。Vimp增加時(shí)，束縛態(tài)向零能量方向移動(dòng)，但永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到零能量。事實(shí)上，它的能量很快就飽和到E ?0.11EF?Δ20/EF。其中Δ0?0.307EF是在沒(méi)有雜質(zhì)時(shí)勢(shì)阱中心的能隙參數(shù)。對(duì)于磁性雜質(zhì)來(lái)說(shuō)，Yu-Shiba 態(tài)的位置對(duì)雜質(zhì)強(qiáng)度的依賴性則完全不同。在強(qiáng)雜質(zhì)散射時(shí)，Yu-Shiba 態(tài)的能量移動(dòng)至E ?Δ20/EF，這幾乎與強(qiáng)非磁性雜質(zhì)誘導(dǎo)的新束縛態(tài)具有相同的能量。這種束縛態(tài)能量的重合清楚地表明，在拓?fù)涑髦校趶?qiáng)雜質(zhì)散射的極限下出現(xiàn)了一個(gè)普適的束縛態(tài)。

圖23. 非磁性三角形雜質(zhì)(a) 和磁性三角形雜質(zhì)(b) 誘導(dǎo)的束縛態(tài)，V σimp(r)=V σimpδ(r)，在拓?fù)涑髦杏煽偩钟驊B(tài)密度的峰值ρ(r,E) 表示。其中ρ(r,E)=Σσρσ(r,E)，ρσ(r,E)=(1/2)Ση[|uση|2δ(E-Eη)+|νση|2δ(E+Eη)]，虛線和虛線突出共振峰的位置是束縛態(tài)的能量。從底部到頂部，雜質(zhì)強(qiáng)度從Vimp =0 至0.011r2FEF，除了Vimp =0 的最低曲線外，其余曲線被清晰度抵消。(c) 束縛態(tài)能量與雜化強(qiáng)度的函數(shù)，以不含雜質(zhì)時(shí)勢(shì)阱中心的能隙參數(shù)為單位，Δ0 ?0.307EF。引自文獻(xiàn)[36]。

如果雜質(zhì)散射的寬度有限，雜質(zhì)誘導(dǎo)束縛態(tài)的普適性就會(huì)消失。在這種情況下，在強(qiáng)雜質(zhì)散射極限下會(huì)產(chǎn)生一個(gè)空穴，而不是點(diǎn)缺陷。因此，存在一系列的邊緣態(tài)。邊緣態(tài)的波函數(shù)和能量取決于雜質(zhì)勢(shì)的形狀和強(qiáng)度。在圖24 中展示了非磁性(a) 和磁性(b) 高斯雜質(zhì)誘導(dǎo)的束縛態(tài)。很容易看出，隨著雜質(zhì)強(qiáng)度的增加，束縛態(tài)永遠(yuǎn)不會(huì)接近普適極限。對(duì)于更大的寬度，隨著越來(lái)越多的束縛態(tài)出現(xiàn)，局部態(tài)密度會(huì)變得非常復(fù)雜。

圖24. 擴(kuò)展雜質(zhì)的普適束縛態(tài)的損失。這里取一個(gè)高斯散射勢(shì)，V σimp(r)=[V σimp/(πd2)]exp (-r2/d2)，從底部到頂部，雜質(zhì)強(qiáng)度從Vimp =0 到0.06r2FEF 增加。引自文獻(xiàn)[36]。

這項(xiàng)研究適用于三態(tài)超導(dǎo)體Sr2RuO4，對(duì)于在InSb納米線中可能存在的一維拓?fù)涑瑢?dǎo)，強(qiáng)雜質(zhì)勢(shì)會(huì)將一維拓?fù)涑瑢?dǎo)一分為二。因此，在雜質(zhì)位置預(yù)計(jì)有兩個(gè)精確的零能普適束縛態(tài)。觀察零能Majorana 費(fèi)米子可以對(duì)InSb 納米線的拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行明確的識(shí)別。

常見(jiàn)的拓?fù)湫再|(zhì)表現(xiàn)在支撐拓?fù)淙毕?如渦旋、孤子等) 和無(wú)能隙準(zhǔn)粒子態(tài)。3He 的超流相為研究量子物質(zhì)的拓?fù)湫再|(zhì)提供了一個(gè)通用的平臺(tái)[176,177]。非平庸拓?fù)渥钜俗⒛康慕Y(jié)果之一是渦旋，它在超流體中能夠攜帶半個(gè)量子的環(huán)流，或在超導(dǎo)體中能攜帶半個(gè)量子的磁通量。人們預(yù)測(cè)這些渦旋能容納由核心束縛的非配對(duì)Majorana 模[142,178]。因?yàn)樽孕壍老嗷プ饔檬沟冒肓孔訙u旋不穩(wěn)定[179,180]，盡管有很好的理論預(yù)測(cè)，3He-A 中的半量子渦旋在實(shí)驗(yàn)中仍然難以觀察。同時(shí)在d波銅氧化物超導(dǎo)體[181]、手性超導(dǎo)環(huán)[182]和玻色凝聚體的晶界上已經(jīng)觀測(cè)到了半量子渦旋和磁通量[183,184]。然而，在玻色系統(tǒng)中，渦核束縛的費(fèi)米子態(tài)并不存在，而在超導(dǎo)體中，迄今為止只研究了與渦核無(wú)關(guān)的半量子通量(在約瑟夫森渦旋或環(huán)中)。Volovik 等人研究了在超流3He 極性相中發(fā)現(xiàn)的半量子渦旋[38,185,186]。

在μ = π/2 處測(cè)量到的信號(hào)強(qiáng)度如圖25(a) 所示。對(duì)于渦旋對(duì)的寬度ξD之間的孤子，期望信號(hào)為Isat=(nν/2)gsLξD。在這里，L = bn-1/2ν對(duì)應(yīng)于平均孤子長(zhǎng)度，其中g(shù)s～1 是一個(gè)數(shù)值因子，它取決于孤子內(nèi)被困自旋波的分布。數(shù)值因子b ～1 與渦旋晶格有關(guān)。對(duì)于極低渦旋密度和長(zhǎng)孤子L →∞，有g(shù)s→2。因此，Isat∝Ω1/2，如圖25(a) 所示?？紤]到擬合參數(shù)的缺失和模型的簡(jiǎn)單性，將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論預(yù)測(cè)的Isat進(jìn)行比較，表明該模型與理論預(yù)測(cè)具有良好的一致性。

圖25(a) 中具有一個(gè)顯著的特征，在沒(méi)有旋轉(zhuǎn)的情況下，信號(hào)也會(huì)出現(xiàn)在零場(chǎng)間歇期。他們將這種現(xiàn)象歸因于在二階相變跨越到極相過(guò)程中形成渦旋(缺陷)的Kibble-Zurek(KZ) 機(jī)制[187,188]。KZ 機(jī)制預(yù)計(jì)將產(chǎn)生各種序參量缺陷，包括各種可能類型的渦旋。在早期對(duì)3He-B 中KZ 機(jī)制產(chǎn)生渦旋的觀測(cè)中，最初形成的渦旋迅速衰減。在Volovik 等人的實(shí)驗(yàn)中，最初形成的半量子渦旋由于強(qiáng)烈的釘扎而凍結(jié)。渦旋間距離的尺度由KZ 長(zhǎng)度lKZ= ξ0(τQ/τ0)1/4確定。對(duì)于半量子渦旋來(lái)說(shuō)，渦旋間距離決定了相互連接的孤子的長(zhǎng)度，從而決定了信號(hào)的幅值。實(shí)驗(yàn)中確實(shí)觀測(cè)到的結(jié)果依賴于如圖25(b) 所示。信號(hào)的大小與平均孤子長(zhǎng)度1.4lKZ相對(duì)應(yīng)，這也被認(rèn)為是超流3He 的B 相的初始渦旋間距離[189]。圖25(a) 中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)高于理論預(yù)期的變化表明，KZ 機(jī)制在應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的間歇期中也很重要。在未來(lái)的研究中，在存在偏置(旋轉(zhuǎn))和磁通釘扎的情況下，詳細(xì)分析KZ 機(jī)制產(chǎn)生的各種缺陷仍然是一個(gè)重要的任務(wù)。

Wang 等人提出了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的方案[37]，在量子氣體中合成p 波超流體[20,21]，不涉及任何自旋軌道耦合或p 軌道原子。其思想的關(guān)鍵成分是一個(gè)由兩個(gè)空間偏移的子晶格組成的自旋相關(guān)的光學(xué)晶格勢(shì)，每個(gè)子晶格囚禁不同的原子自旋態(tài)。這種結(jié)構(gòu)已經(jīng)在幾個(gè)冷原子實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)了[31,32,95,190]。這種簡(jiǎn)單的方案誘導(dǎo)了有效p 波相互作用，其強(qiáng)度與本征s 波相互作用強(qiáng)度成正比，本征s 波相互作用強(qiáng)度可以使用s 波Feshbach 共振來(lái)調(diào)節(jié)。他們的建議的簡(jiǎn)單性使其在實(shí)驗(yàn)中更可行，并可能為拓?fù)涑黧w及其相關(guān)的Majorana 費(fèi)米子態(tài)的研究開(kāi)辟新的途徑。

一維光晶格模型：他們的第一個(gè)例子涉及一個(gè)簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體，它有兩個(gè)超精細(xì)態(tài)(或分別表示為A 和B的贗自旋) 被囚禁在一維光學(xué)晶格勢(shì)中。他們的設(shè)置如圖26(a) 所示。標(biāo)記晶格位置使得VB的第j 個(gè)位置位于VA的第j 個(gè)位置和(j+1) 個(gè)位置之間。費(fèi)米子被深深地困在它們各自的子晶格中，并且在每個(gè)子晶格中隧穿是可以忽略的。然而一個(gè)子格的Wannier 函數(shù)與另一個(gè)最近鄰子格的Wannier 函數(shù)重疊。這為困在兩個(gè)子晶格中的原子建立了相互作用?？梢酝ㄟ^(guò)應(yīng)用射頻(rf) 場(chǎng)驅(qū)動(dòng)A 和B 狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變進(jìn)一步誘導(dǎo)兩個(gè)子晶格之間的隧穿。

圖26. (a) 實(shí)驗(yàn)建議的說(shuō)明: 在一維光學(xué)晶格中，超精細(xì)態(tài)費(fèi)米子A(藍(lán)色原子云) 和B(紅色原子云) 具有相同的晶格勢(shì)，但相互偏移了半個(gè)晶格常數(shù)。因此，每個(gè)A 原子位于兩個(gè)相鄰B 原子的中心，反之亦然。黑色實(shí)線為兩個(gè)超精細(xì)態(tài)之間由射頻場(chǎng)誘導(dǎo)的耦合。綠色波浪線為原子與原子之間的相互作用，來(lái)自不同自旋之間的吸引s 波相互作用。(b) 映射到新的表征表示后的一維無(wú)自旋鏈模型。引自文獻(xiàn)[37]。

二維格點(diǎn)模型：他們的第二個(gè)例子涉及二維光晶格中自旋為1/2 的費(fèi)米氣體。設(shè)置如圖27(a) 所示。在這樣的二維光學(xué)晶格中，每個(gè)贗自旋態(tài)的費(fèi)米子都位于四個(gè)費(fèi)米子的中間。再次使用射頻場(chǎng)誘導(dǎo)子晶格間的隧穿，而子晶格內(nèi)的隧穿則被忽略。在前面的例子中，每個(gè)原子可以通過(guò)兩個(gè)子晶格勢(shì)阱VA(r)和VB(r)的Wannier函數(shù)的空間重疊與四個(gè)最近鄰的原子相互作用。為了更清楚地理解系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)，他們將x-y 平面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，并通過(guò)重新定義費(fèi)米算符標(biāo)記將原來(lái)自旋1/2的系統(tǒng)映射為具有最近鄰p 波相互作用的無(wú)自旋費(fèi)米氣體系統(tǒng)，如圖27(b) 所示。

圖27. (a) 二維晶格模型說(shuō)明。一個(gè)Asite(藍(lán)色原子云) 被四個(gè)Bsite(紅色原子云) 包圍，反之亦然。與一維模型相似，兩個(gè)超細(xì)態(tài)之間的耦合(黑實(shí)線) 是由射頻場(chǎng)誘導(dǎo)的，原子與原子之間的相互作用(綠波線) 是由不同自旋之間的接觸s 波相互作用產(chǎn)生的。(b) 映射到新的索引表示后的二維無(wú)自旋晶格模型。引自文獻(xiàn)[37]。

利用現(xiàn)有技術(shù)，Wang 等人的研究很容易實(shí)現(xiàn)。在此，他們對(duì)其實(shí)施提出了兩點(diǎn)構(gòu)想。最直接的方法是使用駐波激光場(chǎng)，適當(dāng)調(diào)諧其頻率，使其在一種自旋態(tài)下為藍(lán)色失諧，在另一種自旋態(tài)下為紅色失諧。這樣，兩個(gè)自旋態(tài)的晶格勢(shì)將相差180°。第二個(gè)想法是利用激光場(chǎng)的偏振。例如，在線⊥線構(gòu)型中，使用兩個(gè)偏振相互垂直的反向線性極化行波，將形成兩個(gè)具有σ±偏振和交替最大值和最小值的駐波。這一想法已在一些用來(lái)創(chuàng)建自旋相關(guān)的晶格勢(shì)的實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了[191,192]。

Qin 等人研究了雜質(zhì)與二維p+ip 費(fèi)米超流體相互作用引起的極化子激發(fā)[39,193,194]。他們的結(jié)果表明，利用雜質(zhì)作為探針可以檢測(cè)背景中的拓?fù)湎嘧儯€揭示了系統(tǒng)中各種多體狀態(tài)之間有趣的競(jìng)爭(zhēng)。隨著p 波費(fèi)米–費(fèi)米相互作用的調(diào)諧[97]，超流體在化學(xué)勢(shì)μ ＞0 的弱耦合范圍內(nèi)是拓?fù)浞瞧接沟?。相比之下，在?＜0 的強(qiáng)耦合狀態(tài)下，超流體在拓?fù)渖鲜瞧接沟?。在?0 處發(fā)生拓?fù)湎嘧儯藭r(shí)系統(tǒng)是無(wú)能隙的[195,196]。Qin 等人假設(shè)一個(gè)可調(diào)諧的雜質(zhì)–費(fèi)米相互作用，并計(jì)算了能量、雜質(zhì)殘量和極化子[197–200]態(tài)的波函數(shù)。當(dāng)調(diào)諧拓?fù)湎嘧冎械谋尘百M(fèi)米超流體時(shí)，極化子能量出現(xiàn)了不連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，這與拓?fù)湎嘧兊捻樞蛞恢?。另一方面，?dāng)調(diào)節(jié)雜質(zhì)與費(fèi)米子的相互作用時(shí)，因?yàn)殡s質(zhì)殘量在有限的相互作用強(qiáng)度范圍內(nèi)迅速減少，極化子態(tài)可以渡越到三聚體態(tài)。這種極化子到三聚體的轉(zhuǎn)變只在背景費(fèi)米超流體處于拓?fù)渖掀接沟膹?qiáng)耦合狀態(tài)下才會(huì)發(fā)生。此外，隨著雜質(zhì)–費(fèi)米子相互作用的增加，極化子態(tài)可以變成亞穩(wěn)態(tài)而不是分子態(tài)，在分子態(tài)中雜質(zhì)與單個(gè)Bogoliubov 準(zhǔn)粒子形成局域束縛態(tài)。在強(qiáng)耦合狀態(tài)下，極化子到分子的轉(zhuǎn)變發(fā)生在極化子態(tài)與三聚體態(tài)交渡越之前，因此三聚體態(tài)為亞穩(wěn)態(tài)。在弱耦合極限下，極化子態(tài)保持基態(tài)。通過(guò)比較系統(tǒng)中的極化子–分子轉(zhuǎn)變和非相互作用費(fèi)米海中的雜質(zhì)–分子轉(zhuǎn)變，研究發(fā)現(xiàn)費(fèi)米超流體背景中的配對(duì)相互作用有效地促進(jìn)了雜質(zhì)–費(fèi)米結(jié)合。

圖28(a) 和28(b) 展示了能量最低的極化子分支，極化子結(jié)合能|Ep| 隨雜質(zhì)費(fèi)米子相互作用強(qiáng)度的增加或費(fèi)米子相互作用的增加而增加。然后在圖28(c) 中展示了Ep對(duì)μ 的一階導(dǎo)數(shù)。無(wú)論雜質(zhì)–費(fèi)米子相互作用如何，在μ = 0 處都會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，這表明了極化子能量二階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性。這與背景中的拓?fù)湎嘧兪且粋€(gè)三階相變的事實(shí)相一致。這樣，背景拓?fù)湎嘧兊男畔⒈粋鬟f到極化子激發(fā)中，由此可以作為相變的探針。在圖28(d)中，還展示了雜質(zhì)殘量隨Eb變化的函數(shù)圖。當(dāng)費(fèi)米超流體處于拓?fù)渖戏瞧接沟膹?qiáng)相互作用態(tài)(μ ＜0)時(shí)，雜質(zhì)殘量在一個(gè)很小的Eb范圍內(nèi)急劇下降，在較大的雜質(zhì)費(fèi)米相互作用下，雜質(zhì)殘量基本消失。這是極化子到三聚體渡越的一個(gè)明顯特征，并且是首次在以s波費(fèi)米超流體為背景的雜質(zhì)問(wèn)題中研究[201]。然而，因?yàn)殡s質(zhì)殘量的單調(diào)減少，但在較大的Eb下仍然是有限的，所以極化子到三聚體的渡越在拓?fù)渖戏瞧接沟娜跸嗷プ饔脜^(qū)域(μ ＞0) 會(huì)變得更加平滑。

圖28. (a) 最低分支極化子能量隨Eb 變化的函數(shù)。(b) 最低分支極化子能量隨μ 變化的函數(shù)。(c) 最低支極化子能量對(duì)μ 的一階導(dǎo)數(shù)。(d) 雜質(zhì)殘量。參數(shù)為Q=0，mb =m，動(dòng)量截至kc = 20kF。(a) 和(d) 中，綠色實(shí)線為μ = 0.5EF，藍(lán)色實(shí)線為μ = 0.2EF，黑色虛線為μ = 0，藍(lán)色虛線為μ = -0.2EF，綠色虛線為μ = -0.5EF。在(b) 和(c) 中，綠實(shí)線為Eb = 0.5EF，藍(lán)虛線為Eb = 0.75EF，黑虛線為Eb =EF。引自文獻(xiàn)[39]。

最近有人提出并通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了通過(guò)圓形二色性[202–204]，即通過(guò)分析應(yīng)用圓形驅(qū)動(dòng)的激發(fā)率可以在原子氣體中檢測(cè)到拓?fù)洳蛔兊年悢?shù)。這種拓?fù)涮结樧畛跤糜诜窍嗷プ饔玫年惤^緣體[202]，后來(lái)應(yīng)用于相互作用的多體系統(tǒng)[205,206]。受此啟發(fā)，Midtgaard 等人通過(guò)超流體的圓二色性證明了px+ipy配對(duì)的手性[40]。對(duì)于弱耦合配對(duì)，從相反驅(qū)動(dòng)方向獲得的微分激發(fā)率由拓?fù)涑黧w的陳數(shù)決定[202]，這與陳絕緣體十分相似。然而，與陳絕緣體相比，超流體能隙平方的非拓?fù)湄暙I(xiàn)對(duì)于強(qiáng)耦合配對(duì)變得非常重要。利用強(qiáng)耦合Eliasberg 方程結(jié)合BKT 理論，可以確定一個(gè)較大的和可觀測(cè)的參數(shù)范圍，其中具有較高的超流體臨界溫度，并且二向色信號(hào)由拓?fù)潢悢?shù)控制。結(jié)果表明，二色探針提供了一種很有前景的檢測(cè)拓?fù)涑黧w的實(shí)驗(yàn)途徑。

玻色–費(fèi)米混合物的一個(gè)吸引人的特征是可以調(diào)節(jié)二維超流體的臨界溫度到接近BKT 理論所允許的最大值Tc/TF= 1/16。然而，最大化Tc也將增加能隙，從而增加偏離陳數(shù)的微分積分率修正。為了分析這種張力，在圖29 中展示了微分積分率ΔΓ 在零溫下，當(dāng)和兩種不同的玻色–費(fèi)米相互作用強(qiáng)度下的臨界溫度隨氣體參數(shù)變化的函數(shù)圖。結(jié)合Eliashberg 強(qiáng)耦合理論和BKT 理論計(jì)算臨界溫度。發(fā)現(xiàn)臨界溫度隨著氣體參數(shù)的減小而增大，這反映了由玻色–愛(ài)因斯坦凝聚體相干長(zhǎng)度給出的相互作用范圍的增大。因此，能隙也會(huì)增加，導(dǎo)致微分積分率偏離ΔΓ = AE2C/2 的修正項(xiàng)更大。但從圖29 中可以看出，存在一個(gè)明顯的區(qū)域，在該區(qū)域微分積分率均接近拓?fù)渲?，且臨界溫度均接近最大值Tc/TF=1/16。

圖29. 在兩種不同的玻色–費(fèi)米相互作用強(qiáng)度下，臨界溫度(紅色) 和微分積分率ΔΓ(黑色) 隨BEC 氣體參數(shù)變化的函數(shù)。引自文獻(xiàn)[40]。

為了進(jìn)一步說(shuō)明最大化臨界溫度和測(cè)量值ΔΓ 的競(jìng)爭(zhēng)由底層拓?fù)錄Q定，在圖30 中展示了零溫下ΔΓ 隨Tc的變化函數(shù)圖。這表明，為了使二向色探針產(chǎn)生接近陳數(shù)給定值的值，應(yīng)該冷卻到T ≈0.06EF。由于二維費(fèi)米氣體的溫度已經(jīng)可以降至T ?0.03EF[207,208]，使Midtgaard 等人的方案在目前的技術(shù)范圍內(nèi)有希望檢測(cè)拓?fù)涑黧w。結(jié)果還表明，盡管兩者的相互作用強(qiáng)度相差不大，但是玻色–費(fèi)米相互作用強(qiáng)度越強(qiáng)越有利于檢測(cè)到拓?fù)涑黧w。

對(duì)于T =0，即使在強(qiáng)耦合中Cooper 對(duì)緊密結(jié)合，系統(tǒng)處于所謂的BEC 狀態(tài)[29]，人們也證明BCS 理論是驚人的精確。由此可見(jiàn)，即使在校正項(xiàng)O(Δ2/μ2) 與量化值相差較大的情況下，他們對(duì)微分積分率的計(jì)算也是可靠的。然而，由于微分積分率在具有時(shí)間反演對(duì)稱性的相中為零，因此任何非零值都表示手性配對(duì)。因此，他們的方案還提供了一種方法來(lái)觀察當(dāng)μ 在BEC 區(qū)域深處變?yōu)樨?fù)時(shí)，拓?fù)湎噢D(zhuǎn)變到一個(gè)平庸相。

VII. 結(jié)語(yǔ)

自1970 年人們發(fā)現(xiàn)超流體3He-A 相以來(lái)，拓?fù)涑黧w和超導(dǎo)體的研究一直是凝聚態(tài)物理學(xué)的一個(gè)前沿領(lǐng)域，盡管人們將超導(dǎo)體與拓?fù)浠寤旌先〉昧艘恍┻M(jìn)展，但是在實(shí)驗(yàn)上拓?fù)淞孔託怏w還存在著粒子數(shù)易損失和壽命短等諸多問(wèn)題，因此人們對(duì)本質(zhì)上具有拓?fù)涑餍缘牟牧?自然的或人工的) 的探索仍在繼續(xù)。目前關(guān)于拓?fù)涑鞯淖钚卵芯渴窃诹降鸸鈱W(xué)晶格中實(shí)現(xiàn)了87Rb 原子的長(zhǎng)壽命玻色–愛(ài)因斯坦凝聚體并證明了這個(gè)手性超流的準(zhǔn)粒子激發(fā)的能帶是拓?fù)涞?，且存在邊緣激發(fā)。尋找新型的晶格材料以及使用新的實(shí)驗(yàn)技術(shù)是目前探尋拓?fù)湮镔|(zhì)的一個(gè)主流方向，并且隨著人工自旋軌道耦合、塞曼場(chǎng)、光晶格等人工規(guī)范場(chǎng)的逐步實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用，我們相信在未來(lái)會(huì)有更多的拓?fù)洳牧媳粚＜覍W(xué)者開(kāi)發(fā)出來(lái)，應(yīng)用到更廣闊的領(lǐng)域中去。

致 謝

本文得到國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No. 11875149 61565007)、江西省青年井岡學(xué)者計(jì)劃以及江西理工大學(xué)清江拔尖人才計(jì)劃的資助。