楊 敏，秦傳波，曹 路，李澄非

（五邑大學(xué) 智能制造學(xué)部，廣東 江門 529020）

0 引言

抽樣定理是信號處理、通信系統(tǒng)等的基礎(chǔ)，是進行模擬信號向數(shù)字信號轉(zhuǎn)換的必要步驟，是 “信號與系統(tǒng)” 課程教學(xué)的重要知識點之一。只有深刻理解抽樣定理才能確切明白模擬信號為什么可以轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號來進行傳輸、處理，然后在有需要的條件下又可以恢復(fù)原始模擬信號。抽樣定理的推導(dǎo)并不復(fù)雜，國內(nèi)外經(jīng)典教材［1-5］都有詳細的理論講解和公式推導(dǎo)。但是地方性高校二年級學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱，普遍缺乏學(xué)習(xí)的韌勁，動手能力也略有欠缺，課堂上單純的理論講解和公式推導(dǎo)會讓學(xué)生感覺枯燥，學(xué)習(xí)缺乏積極性，為提高教學(xué)質(zhì)量，讓學(xué)生充滿學(xué)習(xí)的動力，提高學(xué)生動手能力，在課內(nèi)外采取何種手段使學(xué)生能夠深入透徹地理解和應(yīng)用抽樣定理，是教師目前教學(xué)的難點。

楊巧寧等［6］采取問題法、案例法、圖形演示法和實踐法等多種教學(xué)方法對抽樣定理課堂教學(xué)進行分析。尚影等［7］運用Matlab軟件來仿真來實現(xiàn)信號抽樣，并在圖形界面上顯示相應(yīng)結(jié)果。李蓉艷等［8］通過Multisim軟件仿真電路，Analog Discovery2口袋儀器搭建實際電路，實現(xiàn)了抽樣定理的創(chuàng)新性實驗。栗學(xué)麗［9］實現(xiàn)了基于LabVIEW的頻域抽樣定理的實驗研究。

LabVIEW是圖形化編程軟件，編程實現(xiàn)容易，界面按照各自要求定制，可直觀顯示各種信號圖形，顯示直觀。本文實現(xiàn)了基于LabVIEW的時域抽樣定理仿真實驗，通過圖形化顯示幫助同學(xué)們理解和使用時域抽樣定理，掌握頻率混疊等相關(guān)概念。

1 時域抽樣定理

時域抽樣定理：一個頻譜在區(qū)間(-ωm，ωm）以外為零的有限頻帶信號f(t），可唯一地由其在均勻時間間隔上的抽樣值f(nTs）所確定［1-5］。

時域抽樣定理表明，為了能從抽樣信號f s(t）不失真地完全恢復(fù)原信號f(t），必須滿足兩個條件：(1）信號f(t）必須是頻帶受限信號，其頻譜在｜ω｜＞ωm時為零；(2）抽樣頻率不能過低，必須ωs≥2ωm(或f s≥2f m），或者說抽樣間隔不能太大，必須若不滿足這兩個條件，則抽樣信號f s(t）的頻譜將會出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象。

2 時域抽樣定理仿真界面設(shè)計

實現(xiàn)抽樣定理的仿真，需要能顯示原始帶限信號波形圖和頻譜圖、抽樣后信號波形圖和頻譜圖，用戶通過改變輸入信號頻率、幅度和抽樣信號頻率等觀察不同頻率抽樣信號作用下抽樣后信號的時域圖和頻譜圖，并據(jù)此判斷是否混疊。時域抽樣定理仿真整體界面如圖1所示。

圖1 時域抽樣定理仿真界面

左上角可設(shè)置原始信號的參數(shù)。包括可選信號類型，默認單頻正弦波，除此之外可選三角波、方波、鋸齒波；包括信號的相位、偏移量等都可以設(shè)置。當(dāng)然同學(xué)們也可以在上述版本基礎(chǔ)上自行編程實現(xiàn)其他信號作為輸入信號。左下角顯示原始信號和抽樣信號頻率之比以及顯示是否混疊。右邊有兩個波形圖，分別顯示原始信號和抽樣后信號的時域波形和頻譜。中間是設(shè)置原始信號的頻率和采樣信號頻率。

3 時域抽樣定理程序框圖及驗證

通過LabVIEW編程實現(xiàn)時域抽樣定理，主要功能包括基本信號的生成、傅立葉變換、抽樣實現(xiàn)、波形顯示和頻譜顯示等。

3.1 時域抽樣定理程序

整體程序如圖2所示，主要使用了基本函數(shù)發(fā)生器、重抽樣、FFT變換、波形圖等子VI。通過基本函數(shù)發(fā)生器子VI，可以配置原始信號波形種類、信號頻率、幅度、初始相位、偏移等物理量。原始信號波形輸入波形重采樣子VI，以采樣頻率重采樣后獲得抽樣后信號。上述兩種信號經(jīng)過組合直接送入波形圖分兩通道顯示時域波形。上述兩種信號分別送入FFT頻譜子集子VI，進行時域-頻域轉(zhuǎn)換，獲得FFT變換后的幅度和相位，送入波形圖中分兩通道顯示幅度譜。同時對采樣頻率和原始信號頻率做對比，如果比值大于2則顯示不混疊，如果比值小于或者等于2則顯示混疊。

3.2 時域抽樣定理驗證

圖1和圖3、圖4分別顯示了f s＞2f m、f s=2f m、f s＜2f m時仿真的結(jié)果。圖1中，原始信號頻率是4 Hz，采樣信號頻率是20 Hz，頻率之比明顯大于2。采樣后信號波形逼近原有正弦波，頻譜基本一致，頻譜未發(fā)生混疊，容易通過濾波器從抽樣后信號恢復(fù)出原始信號。圖3中，原始信號頻率為5 Hz，采樣信號頻率是10 Hz，頻率之比為2，即原有信號中每個周期采樣2個點，如圖2所示。若在0時刻開始采樣，剛好所有采樣點的幅度都是0，是一條直線，是無法恢復(fù)原始信號；如果不在0時刻開始采樣，雖然采樣點幅度不會都為0，但是明顯樣本數(shù)量不夠，也無法恢復(fù)原始信號。圖4中，原始信號頻率為5 Hz，采樣信號頻率是8 Hz，頻率之比為1.6，小于2，頻譜發(fā)生混疊，采樣后信號頻率如圖所示為3 Hz，即原始信號5 Hz經(jīng)過采樣信號頻譜搬移后變成3 Hz。即高頻信號變?yōu)榈皖l信號，無法從采樣后信號中通過濾波器恢復(fù)出原始信號。

圖2 時域抽樣程序

圖3 f s=2 f m時示例界面

圖4 f s＜2 f m時示例界面

在課堂講解抽樣定理時，一般會演示給同學(xué)們看上述抽樣定理的仿真實驗，同時會將源程序共享給學(xué)生，以便學(xué)生課后自行研究和擴展相關(guān)功能。在如圖1所示教師版本仿真界面上，學(xué)生通可過選擇不同輸入信號，調(diào)整輸入信號頻率、采樣信號頻率等，可以非常直觀地觀察原始信號的波形，抽樣后信號的波形以及各自頻譜圖形，深刻理解抽樣中混疊的概念。

同時學(xué)生可以仿照教師版本仿真程序自己編程，擴展上述程序功能。如圖5所示為某班級學(xué)生在教師版本基礎(chǔ)上擴展了相關(guān)的程序，得到的結(jié)果。從程序和界面上看，輸入信號不再僅僅局限于單頻信號，而是上述單頻信號之和，如圖5所示，原始信號為兩個單獨正弦波之和，兩個正弦波頻率分別為10 Hz和13 Hz，幅度分別為2和1；上述兩個正弦波之和的最大頻率13 Hz，采樣頻率設(shè)置為16 Hz，因此不滿足抽樣定理的條件。經(jīng)計算可知抽樣后信號頻率為：

圖5 學(xué)生擴展后的實驗

觀察圖5中的右下角頻譜圖，圖形所顯示與計算結(jié)果相符合。

目前在本校進行教學(xué)的班級在教學(xué)過程中都會演示上述仿真，同時鼓勵同學(xué)們課后開展實驗驗證，開發(fā)不同類型信號的驗證性實驗，比如有些同學(xué)考慮輸入語音信號進行抽樣定理驗證，有些同學(xué)采用振動信號進行抽樣定理的驗證，還有些同學(xué)在仿真的基礎(chǔ)上考慮進行硬件的設(shè)計和實施，種種手段不一而足。

4 結(jié)語

數(shù)據(jù)采集是信息時代相關(guān)技術(shù)的基礎(chǔ)，而抽樣定理是數(shù)據(jù)采集的基礎(chǔ)。通過LabVIEW實現(xiàn)時域抽樣定理的仿真實驗?zāi)苡行У貛椭鷮W(xué)生理解和使用抽樣定理，激發(fā)學(xué)習(xí) “信號與系統(tǒng)” 等相關(guān)課程的興趣，鼓勵他們對信號處理等相關(guān)理論知識進行仿真探索研究，提高動手能力，為后續(xù)知識打下堅實基礎(chǔ)，同時做到理論與實踐相輔相成，共同進步。