耿 棟，王 樂，蔣 鵬

（1.安徽省公路工程檢測中心，安徽 合肥 230051；2.橋梁與隧道工程檢測安徽省重點(diǎn)實驗室，安徽 合肥 230051）

在橋梁結(jié)構(gòu)動力特性研究中，模態(tài)試驗是一項重要內(nèi)容，反映結(jié)構(gòu)固有自振特性。對于線性結(jié)構(gòu)來說，自由振動是由N個正交的單自由度振動子系統(tǒng)耦合的系統(tǒng)，每一個單自由度振動即對應(yīng)結(jié)構(gòu)的一個模態(tài)，所以結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)包含N個模態(tài)。每一個模態(tài)包含多個參數(shù)，比如模態(tài)振型、模態(tài)頻率及模態(tài)阻尼。模態(tài)試驗就是為獲得這些參數(shù)的試驗分析過程。現(xiàn)如今，在橋梁模態(tài)試驗中，模態(tài)分析基本都是分析結(jié)構(gòu)的位移模態(tài)，模態(tài)試驗基本以采集結(jié)構(gòu)的動態(tài)速度、加速度為主。位移模態(tài)的分析、處理技術(shù)已經(jīng)較為成熟，取得了許多研究成果[1]。然而，僅僅進(jìn)行位移模態(tài)分析研究并不能完全反映所有橋梁動力特性。比如，當(dāng)橋梁出現(xiàn)裂縫，也就是出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象時，結(jié)構(gòu)位移模態(tài)分析則無法反映。當(dāng)結(jié)構(gòu)局部振動過大，或是受到振動干擾源影響時，位移模態(tài)分析也不能夠反映出結(jié)構(gòu)的變化情況。相對于位移模態(tài)，應(yīng)變模態(tài)是結(jié)構(gòu)另外一種能量平衡狀態(tài)表現(xiàn)的形式。與位移模態(tài)相比較，應(yīng)變模態(tài)分析則能反映結(jié)構(gòu)局部的微小變化，比如結(jié)構(gòu)出現(xiàn)裂縫，結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)變就會發(fā)生變化，裂縫處會出現(xiàn)應(yīng)變集中現(xiàn)象，這些變化都會反映在結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)分析當(dāng)中[2]。同時在復(fù)雜結(jié)構(gòu)研究中，分析環(huán)境變化對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力影響時，僅僅通過位移模態(tài)分析并不能獲取全部想要的結(jié)果，無法反映復(fù)雜環(huán)境下結(jié)構(gòu)的應(yīng)力變化情況，這時候應(yīng)變模態(tài)則是必不可少的測試內(nèi)容。此外，應(yīng)變模態(tài)也可被用于梁結(jié)構(gòu)的動撓度識別研究，且有較好的精度[3]。

模態(tài)振型是模態(tài)試驗中的一個重要參數(shù)，通俗地講是每階模態(tài)振動的形態(tài)。從數(shù)學(xué)上講，模態(tài)振型就是模態(tài)空間中的“基”向量。位移模態(tài)振型是結(jié)構(gòu)上的節(jié)點(diǎn)或測點(diǎn)的位置函數(shù)，應(yīng)變模態(tài)振型則是結(jié)構(gòu)上的節(jié)點(diǎn)或測點(diǎn)的應(yīng)變函數(shù)。對于如何獲取應(yīng)變模態(tài)振型，國內(nèi)外學(xué)者做了大量研究工作，提出較多識別方法。1995年，張開銀通過運(yùn)用結(jié)構(gòu)的應(yīng)變疊加原理，采用ITD法對懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了應(yīng)變模態(tài)振型分析。2002年，LI等人利用瑞利－里茲方法來識別應(yīng)變模態(tài)振型。近年來，基于隨機(jī)子空間的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別方法也被越來越多人熟知[4]。此外，針對梁式結(jié)構(gòu)利用互相關(guān)函數(shù)法獲取應(yīng)變模態(tài)振型也被證明是一個有效的方法，該方法是通過實測動態(tài)應(yīng)變數(shù)據(jù)直接計算應(yīng)變模態(tài)振型，方法簡單易行[5]。

本文研究基于位移和應(yīng)變的相互變換關(guān)系識別梁式橋梁應(yīng)變模態(tài)振型，本文研究重點(diǎn)為位移和應(yīng)變的相互變換關(guān)系及位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)在模態(tài)振型上的轉(zhuǎn)換關(guān)系。為驗證基于位移和應(yīng)變的相互變換關(guān)系識別梁式橋梁應(yīng)變模態(tài)振型的有效性、準(zhǔn)確性，本文利用有限元計算軟件分別對簡支梁、連續(xù)梁進(jìn)行了數(shù)值模擬。

1 方法與理論

橋梁結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵（比如行車、行人、地脈動、風(fēng)荷載等）的作用下，會發(fā)生隨機(jī)的振動。假設(shè)梁結(jié)構(gòu)沿縱向坐標(biāo)在x位置處，在t時刻下的位移和應(yīng)變可分別表示為公式（1）和公式（2）：

公式（1）和公式（2）中，Φi（x）和Ψi（x）分別表示為第i階次位移模態(tài)振型函數(shù)和第i階次應(yīng)變模態(tài)振型函數(shù)在梁結(jié)構(gòu)縱向x坐標(biāo)處的函數(shù)值，ηi（x）為第i階次模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)在t時刻的函數(shù)值。

按照梁結(jié)構(gòu)的相關(guān)原理，梁結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換的關(guān)系可表達(dá)為下式：

公式（3）中，y（x）為梁結(jié)構(gòu)在縱向x坐標(biāo)處，梁截面的中性軸在梁高方向上距梁底的距離，關(guān)于中性軸在梁橫截面上的位置，可根據(jù)截面尺寸計算獲得，或通過平行的應(yīng)變測試識別[3]。

根據(jù)公式（3）和公式（2），可獲得第i階次應(yīng)變模態(tài)振型函數(shù)與第i階次位移模態(tài)振型函數(shù)相互之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

通過對公式（4）進(jìn)行微分，獲得第i階次應(yīng)變模態(tài)振型函數(shù)在梁結(jié)構(gòu)縱向坐標(biāo)x位置的函數(shù)表達(dá)式。

在計算獲得N階次應(yīng)變模態(tài)振型函數(shù)后，其矩陣形式{Ψ（x）}1×N可表示為：

2 數(shù)值模擬

為了驗證基于位移與應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系識別梁式橋梁應(yīng)變模態(tài)振型的有效性和準(zhǔn)確性，本文對簡支梁在噪聲隨機(jī)作用下振動響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬。數(shù)值模擬中的簡支梁，梁全長為5 m，其梁橫斷面為工字型，高為0.05 m，梁橫斷面面積為2.52 cm2，梁橫斷面慣性矩為10.8 cm4。數(shù)值模擬的簡支梁沿縱向坐標(biāo)均勻取21個節(jié)點(diǎn)，兩節(jié)點(diǎn)之間為一單元，共20個單元，每個單元長25 cm。數(shù)值模擬的簡支梁縱向布置圖如圖1所示。模擬中對簡支梁施加的激勵為噪聲隨機(jī)激勵，噪聲均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為0.25 g（g為重力加速度），激勵時間為20 s。

圖1 數(shù)值模擬簡支梁縱向布置圖（單位：cm）

由于簡支梁振動形式較為簡單，其主要振型為前三階次振型。所以本文數(shù)值模擬僅僅考慮簡支梁的前三階次模態(tài)振型。為了獲取模擬簡支梁的前三階次應(yīng)變模態(tài)振型，利用有限元計算軟件，計算出梁底各個節(jié)點(diǎn)處動態(tài)應(yīng)變數(shù)值，并模擬實際測試采集動態(tài)應(yīng)變數(shù)值，如圖2所示為梁1/4跨處梁底動態(tài)應(yīng)變數(shù)值。

圖2 隨機(jī)激勵下1/4跨梁底動態(tài)應(yīng)變

在獲取了所有節(jié)點(diǎn)梁底的動態(tài)應(yīng)變數(shù)據(jù)之后，應(yīng)變模態(tài)振型可根據(jù)傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別方法獲取[1]，獲取后作為精確值。對于簡支梁來說，其位移模態(tài)振型較為簡單，可通過結(jié)構(gòu)有限元分析獲得。根據(jù)位移和應(yīng)變的相互變換關(guān)系，對位移模態(tài)振型函數(shù)進(jìn)行兩次微分，即得到應(yīng)變模態(tài)振型。其中，梁截面的中性軸在梁高方向上距梁底距離，可根據(jù)截面尺寸計算獲得。將通過對位移模態(tài)振型二次微分計算得到的應(yīng)變模態(tài)振型與精確值進(jìn)行對比，對比結(jié)果如圖3所示。

從圖3的對比結(jié)果可看出，利用位移與應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系，計算出的簡支梁應(yīng)變模態(tài)振型與精確值有著很好的重合度，計算結(jié)果精度較高。

圖3 簡支梁前三階應(yīng)變模態(tài)振型計算值與精確值對比

梁式橋梁的結(jié)構(gòu)形式主要以簡支梁、連續(xù)梁居多，接下來本文對連續(xù)梁進(jìn)行數(shù)值模擬，繼續(xù)驗證基于位移與應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系識別梁式橋梁應(yīng)變模態(tài)振型的有效性和準(zhǔn)確性。數(shù)值模擬中的連續(xù)梁，梁全長為10 m，其梁橫斷面為工字型，高為0.05 m，梁橫斷面面積為2.52 cm2，梁橫斷面慣性矩為10.8 cm4。同樣，數(shù)值模擬的連續(xù)梁沿縱向坐標(biāo)均勻取21個節(jié)點(diǎn)，梁被劃分為20個單元，每個單元長50 cm。數(shù)值模擬的連續(xù)梁縱向布置圖如圖4所示。對連續(xù)梁施加的激勵同樣為噪聲隨機(jī)激勵，噪聲均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為0.25 g（g為重力加速度），激勵時間為20 s。

圖4 數(shù)值模擬連續(xù)梁縱向布置示意圖（單位：cm）

與簡支梁相似，連續(xù)梁主要振型同樣為前三階次振型。所以本文數(shù)值模擬僅僅考慮連續(xù)梁的前三階次模態(tài)振型。為了獲取模擬連續(xù)梁的前三階次應(yīng)變模態(tài)振型，利用有限元計算軟件，計算出梁底各個節(jié)點(diǎn)處動態(tài)應(yīng)變數(shù)值，并模擬實際測試采集動態(tài)應(yīng)變數(shù)值，梁跨中處梁底動態(tài)應(yīng)變數(shù)值如圖5所示。

圖5 隨機(jī)激勵下跨中梁底動態(tài)應(yīng)變

在獲取了所有節(jié)點(diǎn)梁底的動態(tài)應(yīng)變數(shù)據(jù)之后，應(yīng)變模態(tài)振型可根據(jù)傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別方法獲取[1]，獲取后作為精確值。對于連續(xù)梁來說，其位移模態(tài)振型較為簡單，可通過結(jié)構(gòu)有限元分析獲得。根據(jù)位移和應(yīng)變的相互變換關(guān)系，對位移模態(tài)振型函數(shù)進(jìn)行兩次微分，即得到應(yīng)變模態(tài)振型。將應(yīng)變模態(tài)振型計算值與精確值進(jìn)行對比，對比結(jié)果如圖6所示。

圖6 連續(xù)梁前三階應(yīng)變模態(tài)振型計算值與精確值對比

從圖6的對比結(jié)果可看出，利用位移與應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系，計算出的連續(xù)梁應(yīng)變模態(tài)振型與精確值有著很好的重合度，計算結(jié)果精度較高。

3 結(jié)束語

本文研究基于位移和應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系識別梁式橋梁應(yīng)變模態(tài)振型的方法，給出了具體梁結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系公式，及位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)在模態(tài)振型上的轉(zhuǎn)換公式。為驗證基于位移與應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系識別梁式橋梁應(yīng)變模態(tài)振型的有效性和準(zhǔn)確性，分別對簡支梁、連續(xù)梁進(jìn)行了數(shù)值模擬，數(shù)值模擬結(jié)果表明該方法是可行的，并且具有較高的精度。