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        圓環(huán)面S1(R )×S1(r )上的定傾曲線

        2022-06-21 09:04:52
        關(guān)鍵詞:螺線圓柱面大圓

        齊 瑞

        (鄭州西亞斯學(xué)院 教育學(xué)院,河南 鄭州 451100)

        圓環(huán)面是三維空間中一類特殊的旋轉(zhuǎn)曲面,在曲面理論研究中占據(jù)著重要地位,并且在實(shí)際生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用。定傾曲線又被稱為螺線,指與固定方向呈恒定角度的曲線,如平面上的阿基米德螺線、圓柱面上的定傾曲線等。關(guān)于圓環(huán)面和定傾曲線已有大量研究[1-3],注意到圓柱面是一類旋轉(zhuǎn)曲面,它的定傾曲線與旋轉(zhuǎn)軸呈固定的夾角,而圓環(huán)面作為旋轉(zhuǎn)曲面,其方程為

        r(θ,φ)=[(R+rcosθ)cosφ,(R+rcosθ)sinφ,rsinθ]。

        圓環(huán)面可以看成由一個(gè)小圓S1(r)繞固定的大圓S1(R)旋轉(zhuǎn)得到的,此時(shí)的軸線可以看成是大圓S1(R)。因此,可考慮S1(R)×S1(r)上的定傾曲線。

        定義對于圓環(huán)面S1(R)×S1(r)上的曲線,如果它在每一點(diǎn)處與中心圓周S1(R)的夾角為常數(shù),則稱為該圓環(huán)面上的定傾曲線。

        本研究通過以下主要定理,建立了圓環(huán)面S1(R)×S1(r)上定傾曲線的完全分類。

        主要定理圓環(huán)面S1(R)×S1(r)上的定傾曲線必為下列3類曲線之一:

        ①r(θ)=[(R+rcosθ)cosφ0,(R+rcosθ)sinφ0,rsinθ],其中φ0為常數(shù)。

        ②r(φ)=[(R+rcosθ0)cosφ,(R+rcosθ0)sinφ,rsinθ0],其中θ0為常數(shù)。

        ③r(φ)=[(R+rcosθ)cosφ,(R+rcosθ)sinφ,rsinθ],其中φ為θ的函數(shù)。

        這里的常數(shù)φ0=φ(0),p0=1/φ′(0)由曲線上的點(diǎn)及該點(diǎn)處切向量決定。

        上述定理中的曲線①和曲線②分別對應(yīng)圓環(huán)面上的經(jīng)圓和緯圓。

        1 主要定理的證明

        r(φ)=[(R+rcosθ)cosφ,(R+rcosθ)sinφ,rsinθ],

        (1)

        由于r(φ)是定傾曲線,故

        即有

        (2)

        對式(2)兩邊關(guān)于φ求導(dǎo),得到

        注意到θ′≠0,于是有

        (R+rcosθ)θ″+rsinθθ′2=0。

        (3)

        因?yàn)閜=θ′≠0,所以方程(3)可轉(zhuǎn)化為

        (4)

        對于初值p(θ=0)=p0,上述方程的解是

        (5)

        式(5)可化為

        注意R>r,利用如下公式[4]:

        得到當(dāng)φ(0)=φ0時(shí),上述方程的解為

        2 結(jié)語

        本研究的證明方法同樣適用于研究管狀曲面和一般旋轉(zhuǎn)曲面的定傾曲線。管狀曲面的定傾曲線是指與中心曲線成固定角度的曲線,它是圓環(huán)面上定傾曲線的一種自然推廣。

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