齊 瑞

(鄭州西亞斯學院 教育學院，河南 鄭州 451100)

圓環(huán)面是三維空間中一類特殊的旋轉曲面，在曲面理論研究中占據(jù)著重要地位，并且在實際生產(chǎn)生活中有廣泛的應用。定傾曲線又被稱為螺線，指與固定方向呈恒定角度的曲線，如平面上的阿基米德螺線、圓柱面上的定傾曲線等。關于圓環(huán)面和定傾曲線已有大量研究[1-3]，注意到圓柱面是一類旋轉曲面，它的定傾曲線與旋轉軸呈固定的夾角，而圓環(huán)面作為旋轉曲面，其方程為

r(θ，φ)=[(R+rcosθ)cosφ，(R+rcosθ)sinφ，rsinθ]。

圓環(huán)面可以看成由一個小圓S1(r)繞固定的大圓S1(R)旋轉得到的，此時的軸線可以看成是大圓S1(R)。因此，可考慮S1(R)×S1(r)上的定傾曲線。

定義對于圓環(huán)面S1(R)×S1(r)上的曲線，如果它在每一點處與中心圓周S1(R)的夾角為常數(shù)，則稱為該圓環(huán)面上的定傾曲線。

本研究通過以下主要定理，建立了圓環(huán)面S1(R)×S1(r)上定傾曲線的完全分類。

主要定理圓環(huán)面S1(R)×S1(r)上的定傾曲線必為下列3類曲線之一：

①r(θ)=[(R+rcosθ)cosφ0，(R+rcosθ)sinφ0，rsinθ]，其中φ0為常數(shù)。

②r(φ)=[(R+rcosθ0)cosφ，(R+rcosθ0)sinφ，rsinθ0]，其中θ0為常數(shù)。

③r(φ)=[(R+rcosθ)cosφ，(R+rcosθ)sinφ，rsinθ]，其中φ為θ的函數(shù)。

這里的常數(shù)φ0=φ(0)，p0=1/φ′(0)由曲線上的點及該點處切向量決定。

上述定理中的曲線①和曲線②分別對應圓環(huán)面上的經(jīng)圓和緯圓。

1 主要定理的證明

r(φ)=[(R+rcosθ)cosφ，(R+rcosθ)sinφ，rsinθ]，

(1)

由于r(φ)是定傾曲線，故

即有

(2)

對式(2)兩邊關于φ求導，得到

注意到θ′≠0，于是有

(R+rcosθ)θ″+rsinθθ′2=0。

(3)

因為p=θ′≠0，所以方程(3)可轉化為

(4)

對于初值p(θ=0)=p0，上述方程的解是

(5)

式(5)可化為

注意R>r，利用如下公式[4]:

得到當φ(0)=φ0時，上述方程的解為

2 結語

本研究的證明方法同樣適用于研究管狀曲面和一般旋轉曲面的定傾曲線。管狀曲面的定傾曲線是指與中心曲線成固定角度的曲線，它是圓環(huán)面上定傾曲線的一種自然推廣。