金超奇，徐長節(jié)，江平，顏建偉，程超，章立辰

(1. 華東交通大學 江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室；土木工程國家實驗教學示范研究所，南昌 330013；2. 江西省港航建設投資集團港航運輸有限公司，南昌 330008)

中國的交通網(wǎng)絡不斷發(fā)展，高速鐵路網(wǎng)由“四縱四橫”發(fā)展為“八縱八橫”，軟土路基上高速公路、鐵路等工程建設問題也越來越多。其中，路基沉降是工程質(zhì)量控制的關鍵環(huán)節(jié)，因此，準確合理的預測方法對軟土路基的固結(jié)沉降非常重要。經(jīng)典太沙基(Terzaghi)一維固結(jié)理論能快速地預估地基沉降，但常常與實測值存在較大的誤差[1-2]。主要原因是Terzaghi一維固結(jié)理論是基于常固結(jié)系數(shù)Cv的假設，而實際上，在固結(jié)過程中，固結(jié)系數(shù)Cv中的滲透系數(shù)k、壓縮系數(shù)av以及孔隙比e都會隨著固結(jié)應力和時間發(fā)生變化。

20世紀末，Ducan[1]和Olson[2]都曾指出，固結(jié)系數(shù)的不確定性是傳統(tǒng)固結(jié)理論計算的局限性的根本原因。據(jù)此，Li等[3]假設壓縮系數(shù)和滲透系數(shù)同時變化，推導了在線性加載過程中黏土的一維非線性固結(jié)方程。Dumais等[4]通過非線性有效應力、孔隙比及滲透系數(shù)之間的關系，推導了融化土固結(jié)的一維計算模型。Cai等[5]利用雙曲線擬合方法，得到了一種修正的固結(jié)系數(shù)預測模型。Li等[6]研究了固結(jié)系數(shù)隨固結(jié)應力及時間的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著固結(jié)應力的增加，固結(jié)系數(shù)并非單調(diào)的變化趨勢，而是先增后減。Liu等[7]和Desai等[8-9]利用修正劍橋本構(gòu)模型來描述土體固結(jié)行為。王玨等[10]發(fā)現(xiàn)一維固結(jié)沉降的發(fā)展與土體參數(shù)及荷載相關，彈性模量越大，沉降量越?。火椥泽w的延遲時間越大，固結(jié)變化越慢。阮永芬等[11]認為土體的沉積作用和應力歷史會影響地基固結(jié)沉降的確定。夏長青等[12]和胡安峰等[13]認為固結(jié)過程中壓縮性與滲透性線性相關，推導出了飽和軟土地基一維非線性固結(jié)解析解。

目前，學者們對于Terzaghi一維固結(jié)理論已開展了很多研究，部分學者[14-17]在研究固結(jié)系數(shù)Cv的變化時，認為孔隙比e的變化由固結(jié)應力大小和固結(jié)狀態(tài)決定，而孔隙比e在固結(jié)過程中隨時間的變化方面的研究還相對缺乏。針對上述問題，筆者考慮了在固結(jié)應力作用下固結(jié)系數(shù)Cv的變化、孔隙比e隨時間的變化，同時也考慮了土的固結(jié)狀態(tài)(正常固結(jié)土、超固結(jié)土、欠固結(jié)土)及修正后的滲透系數(shù)預測公式，得到修正的Terzaghi一維固結(jié)理論。首先，基于工程常用的5種滲透系數(shù)預測公式和側(cè)限壓縮量公式，結(jié)合不同初始固結(jié)狀態(tài)的e-lgp壓縮曲線關系，對5種滲透系數(shù)預測公式進行修正，構(gòu)建了考慮滲透系數(shù)隨時間變化及固結(jié)應力影響的滲透系數(shù)預測公式kt，再將所構(gòu)建的滲透系數(shù)計算式代入固結(jié)系數(shù)Cv中，對經(jīng)典Terzaghi一維固結(jié)理論進行修正；然后，利用高俊等[14]、張樂等[15]的試驗數(shù)據(jù)探究預測公式的適用性和可靠性；最后，通過工程案例討論修正后的Terzaghi一維固結(jié)理論的合理性，并與不考慮時間的固結(jié)方程進行對比。

1 滲透系數(shù)預測公式的修正

1.1 考慮滲透系數(shù)與時間的相關性

以孔隙比、顆粒直徑和級配等重要影響因素[18-19]所構(gòu)建的滲透系數(shù)預測公式為基礎，考慮時間相關性，如達西滲透系數(shù)公式、柯森-卡門滲透系數(shù)公式、太沙基滲透系數(shù)公式、中國水利水電科學研究院滲透系數(shù)公式、斯托克斯孔隙流滲透系數(shù)公式等[20]。結(jié)合固結(jié)度和側(cè)限壓縮量的關系，推導出固結(jié)應力作用下某一時刻t孔隙比et的表達式，同時，考慮土的初始固結(jié)狀態(tài)(正常固結(jié)土、超固結(jié)土、欠固結(jié)土)，對上述滲透系數(shù)預測公式進行修正，構(gòu)建考慮滲透系數(shù)隨時間變化及固結(jié)應力影響的滲透系數(shù)預測公式。

1)達西滲透系數(shù)預測公式

(1)

式中：d為顆粒粒徑，cm；β為顆粒的球體系數(shù)，圓球時取π/6；λ為鄰近顆粒的影響系數(shù)，圓球取3π。

2)柯森-卡門滲透系數(shù)預測公式

(2)

式中：ρwz為自由水的密度，g/cm3；c2為與顆粒形狀及水的實際流動方向有關的系數(shù)，約為0.125；s為土顆粒的比表面積，cm-1；η為自由水的動力黏滯系數(shù)，g·s/cm2。

3)太沙基滲透系數(shù)預測公式

(3)

式中：d10為粒徑分布曲線上縱坐標為10%時所對應的土顆粒粒徑，cm。

4)中國水利水電科學研究院滲透系數(shù)預測公式

(4)

式中：d20為粒徑分布曲線上縱坐標為20%時所對應的土顆粒粒徑，cm。

5)斯托克斯孔隙流滲透系數(shù)預測公式

(5)

式中：R為毛細管的半徑，cm。

在實際工程中，上述預測公式中土的物理參數(shù)往往不易測得，且在固結(jié)過程中一般不會發(fā)生變化，而初始滲透系數(shù)k0和初始孔隙比e0可以由勘測資料獲得，因此，用k0和e0對上述參數(shù)進行代換。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

再分別將式(6)～式(10)代入式(1)～式(5)中，得到的滲透系數(shù)預測式(11)～式(15)能基于初始滲透系數(shù)k0和初始孔隙比e0對土的滲透系數(shù)進行快速準確地計算。

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：kt為某一時間t的滲透系數(shù)；et為某一時刻t的孔隙比。

在固結(jié)過程中，孔隙比et會隨時間逐漸達到e∞，因此，為了體現(xiàn)孔隙比et與時間的相關性，需要加入固結(jié)度Ut這一概念。所謂固結(jié)度Ut，是指在某一時間t后，土體發(fā)生固結(jié)或者孔壓消散的程度。

St=UtS∞

(16)

式中：St是某一時刻的沉降量；S∞是固結(jié)完成后的沉降量。

將側(cè)限壓縮量公式代入式(16)，然后將式(17)整理，得到某一時間t的孔隙比et的表達式式(18)。

(17)

et=e0-Ut(e0-e∞)

(18)

式中：e∞是固結(jié)完成后的孔隙比。

將式(18)代入式(11)～式(15)，得到修正后的滲透系數(shù)預測公式

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

根據(jù)式(19)～式(23)可知，滲透系數(shù)kt是關于固結(jié)度Ut(時間相關)和孔隙比e∞的函數(shù)，而孔隙比e∞需要由固結(jié)應力和土的初始固結(jié)狀態(tài)共同確定。不同土的初始固結(jié)狀態(tài)不同，e-lgp壓縮曲線也不同，因此，還需要對不同土的初始固結(jié)狀態(tài)進行討論。

1.2 考慮固結(jié)狀態(tài)及固結(jié)應力

土層的不同固結(jié)狀態(tài)對應著不同的e-lgp壓縮曲線，根據(jù)前期固結(jié)應力σc和現(xiàn)有有效應力σ0的關系，可將土體分為正常固結(jié)土，超固結(jié)土和欠固結(jié)土。

正常固結(jié)土的壓縮曲線如圖1所示。

(24)

式中：Cc為壓縮指數(shù)。

圖1 正常固結(jié)狀態(tài)的e-lg p壓縮曲線Fig.1 e-lg p compression curve of normal consolidation

超固結(jié)土的壓縮曲線如圖2所示。

當σ0≤σ0+Δσ≤σc時，有

(25)

當σ0+Δσ≥σc時，有

(26)

式中：Ce為回彈指數(shù)。

圖2 超固結(jié)狀態(tài)的e-lg p壓縮曲線Fig.2 e-lg p compression curve under over consolidation

欠固結(jié)土的壓縮曲線如圖3所示。

(27)

通過不同的e-lgp壓縮曲線，得到固結(jié)應力下相應的孔隙比e∞。再分別將式(24)～式(27)代入式(19)～式(23)中，便可得到針對不同土初始固結(jié)狀態(tài)下的滲透系數(shù)公式。例如：正常固結(jié)土的柯森-卡門滲透系數(shù)修正公式

圖3 欠固結(jié)狀態(tài)的e-lg p壓縮曲線Fig.3 e-lg p compression curve of under consolidated

(28)

由式(28)求滲透系數(shù)kt，最后還需要確定固結(jié)度Ut。因此，接下來介紹經(jīng)典太沙基(Terzaghi)一維固結(jié)理論，并對其進行修正，最后與上述修正后的滲透系數(shù)公式進行聯(lián)立求解。

2 Terzaghi一維固結(jié)理論修正

Terzaghi固結(jié)理論假定，對于飽和土來說，在dt時間內(nèi)單元體體積的減小應變等于單元體中水的凈出流量，即

(29)

式中：mv為體積壓縮系數(shù)。

在t時刻通過單元體的流量

(30)

將式(30)代入式(29)即可得

(31)

Cv=k(1+e0)/avγw

(32)

根據(jù)邊界條件及初始條件

t=0、0≤z≤H時，u0=p

0

0

t=∞、z=H時，u=0

將對應的修正滲透系數(shù)公式代入式(31)、式(32)，采用分離變量法便可得一維固結(jié)計算公式，例如：基于柯森-卡門滲透系數(shù)預測公式的正常固結(jié)土一維固結(jié)計算公式

(33)

(34)

(35)

式中：uz為深度z處的孔壓(z=1,3,5,7…)。

由此發(fā)現(xiàn)，無窮級數(shù)式(34)其實是一個關于(Ut,t)的隱函式，因此，可對其進行求解。采用Matlab對式(33)～式(35)及其他基于不同預測公式的一維固結(jié)公式進行編程求解，從而得到某一時間t修正后的固結(jié)度，最后把固結(jié)度代入對應的孔壓公式和滲透系數(shù)公式中，便可以得到修正后某一時刻t的孔隙水壓uz和滲透系數(shù)kt的預測值。在同時考慮了固結(jié)狀態(tài)和固結(jié)應力的基礎上，修正后的一維固結(jié)計算公式還考慮了滲透系數(shù)隨時間變化的過程，更加符合土的實際固結(jié)過程，為預測地基固結(jié)提供了一種更為精確的計算方法。

3 適用性和準確性研究

利用高俊等[14]和張樂等[15]的試驗數(shù)據(jù)，對預測公式的適用性和準確性進行討論。

3.1 算例1

采用高俊等[14]的試驗數(shù)據(jù)，試驗土樣來源于寧夏引黃灌區(qū)東干渠沙壤土，初始孔隙比e0=0.76，初始滲透系數(shù)k0=12.56×10-5cm/s，壓縮指數(shù)Cc=0.19，前期固結(jié)應力75 kPa，正常固結(jié)土(OCR=1)。在試樣飽和后，各級固結(jié)壓力值分別為25、50、100、200、400、800、1 200 kPa，每級加載時間為t=24 h，試樣高度H=4 cm，單面排水。

圖4為采用式(19)～式(23)滲透系數(shù)公式計算結(jié)果與高俊等[14]的試驗數(shù)據(jù)的對比。結(jié)果表明，基于中國水利水電科學研究院滲透系數(shù)修正公式的預估值與高俊等[14]的試驗數(shù)據(jù)最為吻合。因此，對于預測沙壤土的固結(jié)，使用基于中國水利水電科學研究院滲透系數(shù)的修正公式更適合，計算結(jié)果更準確。

圖4 滲透系數(shù)與固結(jié)應力的關系曲線Fig.4 Relation curve between permeability coefficient

3.2 算例2

采用張樂等[15]的試驗數(shù)據(jù)，試驗土樣為陜西洛川Q3黃土，取土深度為7～8 m(粉質(zhì)黏土)。初始孔隙比e0=0.93，初始滲透系數(shù)k0=1.25×10-5cm/s，壓縮指數(shù)Cc=0.89，前期固結(jié)應力115 kPa，正常固結(jié)土(OCR=1)。在試樣飽和后，利用GDS高級加載模塊對正常固結(jié)土進行固結(jié)應力為140、165、190、215 kPa下的固結(jié)試驗，每級加載總時長為t=24 h，試樣高度H=8 cm，雙面排水。

圖5 滲透系數(shù)與固結(jié)應力的關系曲線Fig.5 Relation curve between permeability coefficient

圖5為采用式(19)～式(23)滲透系數(shù)公式計算結(jié)果與張樂等[15]試驗數(shù)據(jù)的對比。結(jié)果表明，基于柯森-卡門滲透系數(shù)修正公式的預估值與張樂等[15]的試驗數(shù)據(jù)最為接近。因此，對于預測粉質(zhì)黏土的固結(jié)，使用基于柯森-卡門滲透系數(shù)的修正公式更適合，計算結(jié)果更準確。

4 工程應用案例分析

公路路基為10 m厚的粉質(zhì)黏土層，初始孔隙比為0.8，初始滲透系數(shù)為2 cm/a，壓縮系數(shù)為2.5×10-4kPa-1，先期固結(jié)應力為110 kPa。采用堆載壓實固結(jié)法，假定上覆均布荷載為200、500、800、1 200 kPa，如圖6所示，利用修正前后的Terzaghi一維固結(jié)理論，討論修正前后的Terzaghi一維固結(jié)方程預測的路基固結(jié)度、沉降及孔壓的異同，最后與高俊等[14]、張樂等[15-16]不考慮時間的固結(jié)方程計算結(jié)果進行對比。

圖6 計算模型示意圖Fig.6 Schematic diagram of calculation

4.1 修正前后的Terzaghi一維固結(jié)理論對比

圖7為在上覆均布荷載為200、500、800、1 200 kPa時，修正前后的Terzaghi一維固結(jié)方程預測的路基固結(jié)度Ut-t關系曲線。由圖7可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典Terzaghi一維固結(jié)方程無法考慮固結(jié)應力，即上覆均布荷載為200、500、800、1 200 kPa所對應的Ut-t關系曲線相同。顯然，這與實際工程情況不符，往往上覆荷載越大，所需固結(jié)時間越長，因為上覆荷載越大，孔隙比e會隨著固結(jié)時間的推移變得越來越小，滲透系數(shù)也會越來越小，導致排水越來越困難，因此，需要更長的固結(jié)時間。這剛好與修正后的Terzaghi一維固結(jié)方程預測的Ut-t關系曲線一致。當固結(jié)度達到80%時，上覆均布荷載200、500、800、1 200 kPa所對應的時間t分別為4.56、5.52、6.12、9.23 a。而經(jīng)典Terzaghi一維固結(jié)方程卻無法考慮固結(jié)應力的影響。

圖7 固結(jié)度與時間的關系曲線Fig.7 Relation curve between consolidation degree and

圖8為在上覆均布荷載為200、500、800、1 200 kPa時，修正前后的Terzaghi一維固結(jié)方程預測的路基沉降St-t關系曲線。可以發(fā)現(xiàn)，最終的沉降值隨著上覆荷載的增大而增大，分別是0.278、0.694、1.111、1.666 m。同時也發(fā)現(xiàn)，當上覆均布荷載較小(200 kPa)時，修正前后的St-t關系曲線較為一致，但當上覆均布荷載較大時(1 200 kPa)，修正前后的St-t關系曲線有著明顯差異，修正后的Terzaghi一維固結(jié)方程預測的沉降值需要更長的時間達到穩(wěn)定。其原因是孔隙比e和滲透系數(shù)kt受到上覆均布荷載的影響，即固結(jié)應力的影響，荷載越大，需要趨于穩(wěn)定的時間也越長。

圖8 沉降與時間的關系曲線Fig.8 Relationship curve between settlement and

圖9為在上覆均布荷載為200、500、800以及1 200 kPa時，修正前后的Terzaghi一維固結(jié)方程預測的路基深度z=5 m處超孔隙水壓uz-t關系曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，在固結(jié)初期，由于孔隙比和滲透系數(shù)比較大，孔隙水壓消散得較快，隨著時間的推移，土體逐漸被壓縮，孔隙比和滲透系數(shù)變小，孔隙水壓消散也逐漸平緩。同時也發(fā)現(xiàn)，當上覆均布荷載較小時(小于500 kPa)，修正前后的ut-t關系曲線較為一致，但當上覆均布荷載較大時(大于500 kPa)，修正前后的ut-t關系曲線有著明顯差異，修正后的Terzaghi一維固結(jié)方程預測的孔隙水壓需要更長的時間消散。

圖9 孔壓與時間的關系曲線Fig.9 Relationship curve between pore pressure and

4.2 一維修正固結(jié)理論對比

將Terzaghi、高俊等[14]、張樂等[15-16]和修正的一維固結(jié)方程在上覆均布荷載為1 200 kPa時的固結(jié)度Ut-t、沉降St-t及孔壓ut-t的關系曲線進行對比，如圖10所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，雖然高俊等[14]、張樂等[15-16]的固結(jié)方程和修正一維固結(jié)方程的計算結(jié)果都滯后于Terzaghi一維固結(jié)方程，但高俊等[14]、張樂等[15-16]的固結(jié)方程需要更長的時間趨于穩(wěn)定。其原因是高俊等[14]、張樂等[15-16]忽略了孔隙比e和滲透系數(shù)k與時間的相關性，認為其僅僅與固結(jié)狀態(tài)和固結(jié)應力有關，導致孔隙比e和滲透系數(shù)k的預測值偏小，進而需要更長的時間完成固結(jié)，低估了固結(jié)速率。在實際工程中，對于固結(jié)速率的預估偏小，將不可避免地給施工過程和后期使用帶來風險。因此，在預估路基固結(jié)沉降速率時，時間是不可忽視的因素之一，尤其是在上覆荷載較大、孔隙比變化較大時。

圖10 一維固結(jié)理論對比關系曲線Fig.10 Comparison curve of one-dimensional

綜上所述，若上覆荷載較小時，經(jīng)典Terzaghi一維固結(jié)方程依然有效，可以忽略固結(jié)系數(shù)Cv的變化對固結(jié)度、沉降及孔壓的影響；但當上覆荷載較大時，則不能忽視固結(jié)系數(shù)Cv的變化，同時還需要考慮時間的變化。修正后的Terzaghi一維固結(jié)方程，同時考慮了固結(jié)狀態(tài)、固結(jié)應力及孔隙比變化的影響，因此，修正后的Terzaghi一維固結(jié)方程能更真實地反映固結(jié)過程，為預測地基固結(jié)提供了一種更為精確的計算方法。

5 結(jié)論

1)基于工程常用的5種滲透系數(shù)預測模型，結(jié)合固結(jié)度和側(cè)限壓縮量的關系，推導出孔隙比et的時間函數(shù)，構(gòu)建了滲透系數(shù)與時間及固結(jié)應力依賴的計算公式。將所構(gòu)建的滲透系數(shù)計算式代入固結(jié)系數(shù)Cv中，同時考慮固結(jié)狀態(tài)、固結(jié)應力及時間的影響，對經(jīng)典Terzaghi一維固結(jié)理論進行修正。

2)利用已有的試驗數(shù)據(jù)，驗證了預測公式的準確性。推薦基于中國水利水電科學研究院滲透系數(shù)的修正公式去預測正常固結(jié)沙壤土的固結(jié)，以及采用基于柯森-卡門滲透系數(shù)的修正公式去預估正常固結(jié)粉質(zhì)黏土的固結(jié)過程。

3)修正后的Terzaghi一維固結(jié)方程同時考慮了滲透系數(shù)隨時間變化及固結(jié)應力對固結(jié)系數(shù)Cv的影響，因此，能更加真實地反映固結(jié)過程。案例分析表明，若上覆荷載較小時(小于500 kPa)，經(jīng)典Terzaghi一維固結(jié)方程依然有效，可以忽略固結(jié)系數(shù)Cv的變化對固結(jié)度、沉降及孔壓的影響；但當上覆荷載較大時(大于500 kPa)，則不能忽視固結(jié)系數(shù)Cv的變化，另外，在與不考慮時間的固結(jié)方程對比時，發(fā)現(xiàn)在上覆荷載較大時，時間是不可忽視的因素之一。因此，修正后的Terzaghi一維固結(jié)方程更符合工程實際。