文／喻 洋

同學(xué)們在解決多解題時(shí)被“坑”過嗎？多解題雖然“陷阱重重”，卻時(shí)常有一些“提示線索”，答案就暗藏其中。我們只有認(rèn)真審題、深思熟慮，方可理清“線索”，避免“入坑”。下面結(jié)合3 個(gè)案例，老師將談?wù)劷忸}過程中如何審慎思考、避免“入坑”。

一、分布區(qū)域清楚嗎？

例1在平面直角坐標(biāo)系中，x軸的上方有一點(diǎn)P，向左平移兩個(gè)單位長度再向上平移一個(gè)單位長度后，該點(diǎn)到x軸的距離為7、到y(tǒng)軸的距離為8，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________。

【錯(cuò)解】點(diǎn)P坐標(biāo)為（10，7）。

【火眼識(shí)“坑”】點(diǎn)P與y軸的位置關(guān)系并沒有被提及，所以點(diǎn)P與y軸的位置關(guān)系暫不清楚，需要分類討論，答案也就不唯一。

【正確解答】因?yàn)辄c(diǎn)P平移后到y(tǒng)軸的距離為8，所以平移后的橫坐標(biāo)為8或-8。又因?yàn)辄c(diǎn)P在水平方向上向左平移了兩個(gè)單位長度，所以平移前的橫坐標(biāo)為10 或-6。點(diǎn)P的縱坐標(biāo)因?yàn)槭軛l件“x軸的上方”約束只能是6，所以本題有兩解（10，6）和（-6，6）。

二、對(duì)應(yīng)關(guān)系明確嗎？

例2如圖1，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，2），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-2）。若線段AB和線段CD間存在某種變換關(guān)系，即其中一條線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后可以得到另一條線段，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是________。

圖1

【錯(cuò)解】連接AC、BD，作AC、BD的垂直平分線交于點(diǎn)M（1，-1），點(diǎn)M即為所求。

【火眼識(shí)“坑”】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)中心應(yīng)該在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線上，其中“對(duì)應(yīng)”二字尤其值得關(guān)注，但本題并未指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，故應(yīng)分兩種情況討論。

【正確解答】如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，已求；當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D時(shí)，連接AD、BC，作AD、BC的垂直平分線交于點(diǎn)M′（2，2），點(diǎn)M′即為旋轉(zhuǎn)中心。綜上，旋轉(zhuǎn)中心為（1，-1）或（2，2）。

圖2

三、運(yùn)動(dòng)位置確定嗎？

例3在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，n）是y軸上一點(diǎn)。把△ABC沿直線AC折疊，使得點(diǎn)B翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′剛好落在x軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

【錯(cuò)解】如圖3，根據(jù)勾股定理可得AB=5，再根據(jù)折疊的性質(zhì)有BC=B′C=4-n，AB=AB′=5，則OB′=5-3=2。在Rt△B′CO中，利用勾股定理列出方程n2+22=（4-n）2，可以解得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為

圖3

【火眼識(shí)“坑”】動(dòng)點(diǎn)C作為y軸上一點(diǎn)，既可以位于y軸的正半軸，也可以在y軸的負(fù)半軸，而錯(cuò)解只研究了其中一種情況。

【正確解答】若點(diǎn)C在y軸的正半軸，已求；若點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸，如圖4，根據(jù)翻折的性質(zhì)，有AB′=AB=5，則OB′=8，又CB′=CB=4-n，所以，在Rt△OCB′中，利用勾股定理列方程，解得n=-6，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-6）。故答案為或（0，-6）。

圖4

有時(shí)候，問題的“線索”隱藏得巧妙，“坑”也挖得很深，但如果我們平時(shí)養(yǎng)成思維嚴(yán)謹(jǐn)、考慮全面的良好習(xí)慣，審慎思考，火眼識(shí)“坑”，多留意對(duì)應(yīng)關(guān)系，多關(guān)注“模糊地帶”，多觀察運(yùn)動(dòng)范圍，不僅會(huì)避免“入坑”，而且還會(huì)“填坑鋪路”，鋪就一條數(shù)學(xué)的陽關(guān)大道。