趙久奮 唐勤洪 尤 浩

（1.火箭軍工程大學(xué) 西安 710025）（2.78102部隊(duì) 成都 610000）

1 引言

隨著導(dǎo)彈技術(shù)的發(fā)展，作戰(zhàn)樣式的增多和戰(zhàn)場(chǎng)空域時(shí)域協(xié)同要求的提高，彈道安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的必要性和重要性越來越明顯。

現(xiàn)階段，廣大彈道研究學(xué)者主要通過彈道交叉這一評(píng)估指標(biāo)來進(jìn)行彈道安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。其中，文獻(xiàn)［1］采用平面正射投影法，計(jì)算判斷了巡航導(dǎo)彈初段彈道交叉問題。文獻(xiàn)［2］通過先判斷彈下點(diǎn)軌跡交點(diǎn)，而后解算彈道空間交點(diǎn)的快速判斷彈道交叉的計(jì)算模型。判斷導(dǎo)彈彈道交叉在一定程度上可以評(píng)估彈道安全風(fēng)險(xiǎn)問題，但是這種評(píng)估方式對(duì)空域范圍要求較高，極大地浪費(fèi)了空域，而且還不能精確計(jì)算彈道間的具體碰撞風(fēng)險(xiǎn)大小。

目前，計(jì)算彈道導(dǎo)彈碰撞概率的相關(guān)研究較少，但是國內(nèi)外對(duì)航空器碰撞問題的研究已經(jīng)比較深入。

文獻(xiàn)［3］通過Monte Carlo方法得到了衛(wèi)星間碰撞概率的計(jì)算結(jié)果；Foster和 Estes［4］、Patera［5］和AL-fano［6］等學(xué)者提出了不同的航空器碰撞概率數(shù)值積分方法，Chan［7］和 PEDERSEN［8］分別提出了將碰撞概率積分近似求解的解析方法。王華、李海陽等［9］最終將碰撞概率的計(jì)算公式轉(zhuǎn)化成為曲線積分的形式。

上述這些國內(nèi)外研究文獻(xiàn)對(duì)本文導(dǎo)彈碰撞概率提出、求解以及評(píng)估導(dǎo)彈彈道安全風(fēng)險(xiǎn)具有很大的借鑒作用。本文在上述研究文獻(xiàn)成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合導(dǎo)彈安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的現(xiàn)實(shí)要求，提出并推導(dǎo)了一種基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和壓縮比例的導(dǎo)彈碰撞概率算法。算例仿真表明，本文提出的導(dǎo)彈碰撞概率計(jì)算理論模型能夠較好較快計(jì)算出導(dǎo)彈碰撞風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)未來戰(zhàn)場(chǎng)導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)決策與評(píng)估具有重要意義。

2 導(dǎo)彈碰撞概率問題提出

2.1 導(dǎo)彈碰撞概率計(jì)算問題假設(shè)

考慮導(dǎo)彈飛行特征及其彈道分布，結(jié)合前人對(duì)航空器碰撞問題的研究，對(duì)本文導(dǎo)彈碰撞概率問題做出以下假設(shè)［10～12］。

1）由于2個(gè)導(dǎo)彈空中相遇碰撞時(shí)間非常短，可將相遇期間內(nèi)2個(gè)導(dǎo)彈的相對(duì)運(yùn)動(dòng)視為速度恒定的線性運(yùn)動(dòng)。

2）在導(dǎo)彈碰撞時(shí)，兩導(dǎo)彈的相對(duì)速度非常大，并且碰撞時(shí)間很短，因此，可以忽略2個(gè)導(dǎo)彈在相遇期間速度的變化。

3）2個(gè)導(dǎo)彈的位置誤差互不關(guān)聯(lián)。4）在2個(gè)導(dǎo)彈的相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中，導(dǎo)彈相遇時(shí)間非常短，因此認(rèn)為兩導(dǎo)彈位置誤差橢球在相遇期間內(nèi)保持不變。

5）2個(gè)導(dǎo)彈均等效為半徑已知的球體。

6）由于2個(gè)導(dǎo)彈的位置誤差都是隨機(jī)的，可以認(rèn)為2個(gè)導(dǎo)彈的位置誤差都服從三維高斯分布。

由此，當(dāng)空中兩導(dǎo)彈間的相遇距離小于其等效半徑和時(shí)，則定義為兩導(dǎo)彈發(fā)生碰撞。

2.2 導(dǎo)彈相遇坐標(biāo)系推導(dǎo)

在發(fā)射坐標(biāo)系中，定義兩導(dǎo)彈A、B的標(biāo)準(zhǔn)位置矢量分別為r1、r2；速度矢量為v1、v2；位置誤差協(xié)方差矩陣為Var(r1)、Var(r2)；兩導(dǎo)彈等效半徑為R1、R2；碰撞概率為Pg。則，在發(fā)射坐標(biāo)系中，兩導(dǎo)彈距離為，導(dǎo)彈具體位置關(guān)系如圖1所示。

如圖1所示，令當(dāng)前時(shí)刻t0=0，則在時(shí)刻ta，兩導(dǎo)彈的相對(duì)位置矢量為

圖1 導(dǎo)彈空間相遇時(shí)速度位置矢量關(guān)系

即此時(shí)刻兩導(dǎo)彈距離最近，相對(duì)位置矢量為

上式兩端同時(shí)點(diǎn)乘相對(duì)速度vr，可得

綜上表明，當(dāng)兩導(dǎo)彈空間距離達(dá)到最小時(shí)，其相對(duì)位置矢量和相對(duì)速度矢量互相垂直。也就是說，當(dāng)兩導(dǎo)彈空間距離最近時(shí)，其處在與相對(duì)速度矢量垂直的平面內(nèi)，本文中，定義該平面為相遇平面。

3 導(dǎo)彈碰撞概率模型構(gòu)建

由上文及航天器相遇坐標(biāo)系原理可知，求解兩導(dǎo)彈在空間的碰撞概率問題，就是求解兩導(dǎo)彈之間空間相遇距離小于它們之間自身等效半徑和的概率。由此，在本文中，把兩導(dǎo)彈的半徑大小聯(lián)合到導(dǎo)彈A上形成聯(lián)合包絡(luò)半徑R=R1+R2，把兩導(dǎo)彈的位置誤差不確定性聯(lián)合到導(dǎo)彈B上形成聯(lián)合誤差不確定性誤差橢圓，如圖2所示。

圖2 導(dǎo)彈聯(lián)合半徑和聯(lián)合誤差橢圓在相遇坐標(biāo)系下分布

為了方便計(jì)算，把坐標(biāo)系o-xaya旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度ω，使得xa軸指向兩導(dǎo)彈聯(lián)合誤差橢圓的短軸方向，新坐標(biāo)系和聯(lián)合誤差橢球的關(guān)系如圖3所示。

圖3 導(dǎo)彈聯(lián)合半徑和聯(lián)合誤差橢圓在概率計(jì)算系下分布

4 基于壓縮比例的數(shù)值計(jì)算法

由上文可知，碰撞概率Pg的求解過程實(shí)際就是求解二維正態(tài)橢圓分布函數(shù)在聯(lián)合圓域內(nèi)的積分過程，直接計(jì)算過程復(fù)雜，計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，不利于實(shí)際作戰(zhàn)訓(xùn)練評(píng)估要求，由此，本文在上述基礎(chǔ)上，結(jié)合航天器碰撞概率計(jì)算原理，提出了一種基于壓縮比例的泰勒展開級(jí)數(shù)計(jì)算方法來對(duì)導(dǎo)彈碰撞概率模型來進(jìn)行求解。

4.1 壓縮導(dǎo)彈位置誤差分布比例

令壓縮比例系數(shù)k=σxb/σyb，則 0＜k＜1。令：x1=x、y1=y、μ1xb=μxb、μ1yb=kμyb，代入式（10），得：

由此，導(dǎo)彈聯(lián)合橢圓位置誤差分布轉(zhuǎn)變?yōu)閳A域分布，聯(lián)合圓域積分域則轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓積分域：

整個(gè)壓縮轉(zhuǎn)化過程中無誤差。壓縮比例后碰撞概率Pg可表示為

與之相對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈聯(lián)合分布位置關(guān)系如圖4示。

圖4 經(jīng)比例壓縮的導(dǎo)彈聯(lián)合分布

4.2 聯(lián)合橢圓積分域圓化

經(jīng)過壓縮比例后，聯(lián)合橢圓積分區(qū)域面積S1=kπR2，定義一個(gè)等效圓C，圓心和橢圓中心重合，面積和橢圓域面積相等，其半徑記為，由此，該圓域方程為C:(x1)2+(y1)2≤R12。則碰撞概率可近似表示為二維正態(tài)分布圓域函數(shù)在圓域內(nèi)的積分值，設(shè)該值為Pc。則

該過程引進(jìn)了誤差e，則e=Pc-Pg。由上文可知，圓化后求得的導(dǎo)彈碰撞概率所帶來的誤差可忽略不計(jì)。聯(lián)合積分域圓化后的導(dǎo)彈聯(lián)合位置具體分布如圖5所示。

圖5 經(jīng)聯(lián)合積分域圓化的導(dǎo)彈聯(lián)合分布

4.3 泰勒級(jí)數(shù)展開

5 算例分析

為了驗(yàn)證本文提出的計(jì)算導(dǎo)彈碰撞概率方法的適用性和準(zhǔn)確性，假設(shè)在兩導(dǎo)彈交叉距離最短時(shí)，兩導(dǎo)彈的位置、速度矢量在發(fā)射坐標(biāo)系中參數(shù)見表1，導(dǎo)彈聯(lián)合半徑R=0.015km，壓縮比例系數(shù)k=1，兩導(dǎo)彈的位置誤差均為（0.35km，0.62km，0.62km），則根據(jù)上述導(dǎo)彈碰撞概率計(jì)算方法可快速計(jì)算中間變量得：μrb=0.4302km，R1=R=0.015km ，σxb=0.52km ，代入式（37）可得，兩導(dǎo)彈碰撞概率大小為Pg=2.9541e-4，整個(gè)計(jì)算過程只需0.7s，速度較快，基本滿足實(shí)戰(zhàn)指標(biāo)要求。

表1 兩導(dǎo)彈速度位置矢量參數(shù)

由上文導(dǎo)彈碰撞概率計(jì)算方法推導(dǎo)過程可知，影響導(dǎo)彈碰撞概率因素主要有導(dǎo)彈聯(lián)合半徑R、導(dǎo)彈聯(lián)合位置誤差σxb和導(dǎo)彈空間相對(duì)位置μrb，兩導(dǎo)彈的位置速度矢量參數(shù)如表1所示，篇幅有限，本文只討論導(dǎo)彈聯(lián)合位置誤差σxb與Pg之間的關(guān)系。

設(shè)導(dǎo)彈聯(lián)合半徑R=0.015km，壓縮比例系數(shù)k=1，導(dǎo)彈空間相對(duì)位置μrb=0.4302km，改變導(dǎo)彈位置誤差σxb的大小，導(dǎo)彈碰撞概率大小顯示如圖6所示。

圖6 導(dǎo)彈碰撞概率與位置誤差的關(guān)系

從圖6可以看出，導(dǎo)彈碰撞概率隨導(dǎo)彈位置誤差的增大先增大，到達(dá)一個(gè)極大值后開始減小，這與實(shí)際情況是相符的。因?yàn)楫?dāng)導(dǎo)彈位置誤差很小時(shí)，只要兩導(dǎo)彈彈道不相交，發(fā)生碰撞的概率是很小的；當(dāng)導(dǎo)彈位置誤差比較大時(shí)，碰撞發(fā)生的概率也比較大；而位置誤差很大時(shí)，兩導(dǎo)彈的分布范圍很廣，即使兩導(dǎo)彈標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)彈最小距離很近，發(fā)生碰撞的概率也可能很小。

上述算例分析是在假設(shè)壓縮比例系數(shù)k=1條件下進(jìn)行的，也就是說導(dǎo)彈誤差密度函數(shù)分布成圓形分布。為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出計(jì)算導(dǎo)彈碰撞概率的通用性，在上述基礎(chǔ)參數(shù)的基礎(chǔ)上，分別令k=1、k=0.5和k=0.1，改變導(dǎo)彈位置誤差σxb的大小，從而得到導(dǎo)彈碰撞概率結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同壓縮比例下導(dǎo)彈碰撞概率與位置誤差的關(guān)系

圖7結(jié)果表明，不同導(dǎo)彈誤差密度函數(shù)分布情況下，本文提出的導(dǎo)彈碰撞概率計(jì)算都符合實(shí)際情況，同時(shí)隨著壓縮比例系數(shù)k值的減小，導(dǎo)彈碰撞概率也隨之減小，即導(dǎo)彈誤差密度函數(shù)分布越圓，所得碰撞概率也越大，誤差密度函數(shù)分布越窄，所得碰撞概率也越小，符合實(shí)際情況。

6 結(jié)語

本文根據(jù)未來彈道安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的實(shí)際需要，結(jié)合航天器碰撞概率研究，引入了導(dǎo)彈碰撞概率這一概念，推導(dǎo)了一種計(jì)算導(dǎo)彈碰撞概率的特定計(jì)算方法，并分析了影響導(dǎo)彈碰撞概率的相關(guān)因素。算例仿真結(jié)果表明，本文提出的導(dǎo)彈碰撞概率計(jì)算理論模型在導(dǎo)彈位置速度矢量和位置誤差估計(jì)準(zhǔn)確的情況下，可以快速計(jì)算出相應(yīng)碰撞概率。同時(shí)，通過對(duì)各影響因素的分析可知，本文提出的碰撞概率計(jì)算方法與實(shí)際情況符合貼切，適用性通用性較好。與傳統(tǒng)通過彈道交叉來評(píng)估彈道風(fēng)險(xiǎn)方法相比，本文提出的方法不僅精度更高，而且還極大減少了對(duì)空域的規(guī)劃，對(duì)未來戰(zhàn)場(chǎng)導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)決策與評(píng)估具有重要意義。