李旭炯，孫林花

（蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術(shù)大學(xué)，蘭州 730021）

0 引言

電力系統(tǒng)很重要的一項(xiàng)任務(wù)就是保持電壓在允許范圍內(nèi)波動(dòng)，以滿足電力用戶對(duì)電能質(zhì)量的要求。電力負(fù)荷總是在變化，電壓也會(huì)隨著負(fù)荷不同而變化，電力控制中心通過(guò)操作發(fā)電機(jī)、變壓器、靜態(tài)電容器、并聯(lián)電抗器等各種設(shè)備，向電力系統(tǒng)注入無(wú)功功率，控制電壓跟蹤負(fù)荷變化[1-6]。無(wú)功功率和電壓控制（reactive power and voltage control，RPVC）是考慮目標(biāo)電力系統(tǒng)的負(fù)荷變化和無(wú)功功率均衡來(lái)保持目標(biāo)電力系統(tǒng)的電壓[7-13]。目前，RPVC 是通過(guò)運(yùn)行點(diǎn)的潮流靈敏度分析，利用有限執(zhí)行時(shí)間和來(lái)自實(shí)際目標(biāo)系統(tǒng)的可用數(shù)據(jù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。降低發(fā)電成本是電力企業(yè)關(guān)心的問(wèn)題之一，因此，RPVC 需要一種最優(yōu)控制以使傳輸損耗最小化，而不僅是簡(jiǎn)單的潮流靈敏度分析。

RPVC 可以建模成為混合整數(shù)非線性優(yōu)化問(wèn)題（mixed?integer nonlinear optimization problem，MIN?LP），其中包括連續(xù)變量如自動(dòng)電壓調(diào)制器（auto?matic voltage regulator，AVR）操作值，也包括離散變量如變壓器的有載分接開(kāi)關(guān)位置（tap positions of on?load tap changer，OLTC），及一定數(shù)量的無(wú)功功率補(bǔ)償裝置（the number of reactive power compensation equip?ment，RPCE），如靜態(tài)電容器（static condenser，SC）和并聯(lián)電抗器（shunt reactor，ShR）。以往對(duì)RPVC 的處理方法主要是采取模糊算法、專(zhuān)家系統(tǒng)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、敏感性分析方法等，本文將RPVC 建模成為一個(gè)具有連續(xù)和離散狀態(tài)變量的MINLP，引入PSO，并確定了具有連續(xù)和離散控制變量的控制方法。

粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization，PSO）是一種進(jìn)化計(jì)算技術(shù)[14-15]，這種算法是改進(jìn)型的，適用于處理各種問(wèn)題。文獻(xiàn)[15-18]提出利用PSO 處理連續(xù)狀態(tài)變量，并建立基于Matlab 的仿真模型，但是，未明確指明對(duì)同時(shí)存在連續(xù)狀態(tài)變量和離散狀態(tài)變量的系統(tǒng)如何處理。本文將RPVC 建模成為MINLP，可克服前述方法的缺點(diǎn)，既能處理連續(xù)狀態(tài)變量，也可處理離散狀態(tài)變量。文獻(xiàn)[19-20]提出的分解法（GBD）和OA/ER，已研發(fā)并用于MINLP，但是，以上方法只將整個(gè)問(wèn)題分解成若干子問(wèn)題，未能從整體上處理問(wèn)題，本文提出的PSO 可從整體上更有效地解決MINLP。此外，RPVC 需要各種難以用數(shù)學(xué)方法處理的約束，而PSO 很容易地處理這些約束。

本文闡述了利用PSO 將RPVC 建模成為MINLP，通過(guò)與實(shí)際系統(tǒng)模型的主動(dòng)禁忌搜索（reactive tabu search，RTS）[21]和枚舉法的比較，證明了其可行性，并取得了預(yù)期結(jié)果。

1 RPVC公式化

1.1 問(wèn)題公式化

電力系統(tǒng)中RPVC 公式化為

式中：n為分支的數(shù)量；x為連續(xù)變量；y為離散變量；Lossi為支路i上的功率損耗。

上式滿足如下條件：

1）電壓約束。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓值必須在允許的范圍內(nèi)，以保持電能質(zhì)量。

2）潮流約束。每個(gè)支路的潮流必須在其允許的范圍內(nèi)。

利用連續(xù)變量（AVR 操作值）和離散變量（OLTC與RPCE，可算出RPVC 中目標(biāo)電力系統(tǒng)的功率損耗[22]。潮流計(jì)算結(jié)果可用來(lái)校驗(yàn)電壓和潮流約束，若違反約束則加罰值。實(shí)際應(yīng)用中RPVC 也應(yīng)考慮電壓安全評(píng)估[23]。

1.2 狀態(tài)變量

無(wú)功功率和電壓控制中使用以下控制設(shè)備：

1）AVR 操作值（連續(xù)變量）；2）OLTC（離散變量）；3）RPCE（離散變量）。

以上狀態(tài)變量在負(fù)荷潮流計(jì)算中處理如下：

AVR 操作值——電壓標(biāo)準(zhǔn)值，OLTC——每個(gè)抽頭位置的抽頭比率，RPCE——相應(yīng)的電納值。

2 PSO在MINLP中的擴(kuò)展

PSO 是對(duì)簡(jiǎn)化社會(huì)模型的仿真而發(fā)展起來(lái)的。該算法特點(diǎn)如下：

1）基于魚(yú)群和鳥(niǎo)群這些群體性動(dòng)物的研究；

2）計(jì)算時(shí)間短，所需存儲(chǔ)量少。

研究發(fā)現(xiàn)，鳥(niǎo)類(lèi)是群體覓食而非個(gè)體，因此提出假設(shè)：所有信息均在群體內(nèi)部共享。同時(shí)根據(jù)對(duì)人類(lèi)行為的觀察發(fā)現(xiàn)，個(gè)體行為也是基于群體授權(quán)的行為模式，如習(xí)慣，根據(jù)個(gè)體經(jīng)驗(yàn)形成的其他行為模式。這種假設(shè)就是粒子群算法的基本概念。粒子群算法是仿真二維空間的一群鳥(niǎo)發(fā)展起來(lái)的，每個(gè)粒子的位置用X、Y 坐標(biāo)軸表示，其中速度（位移向量）用vx（x軸速度）和vy（y軸速度）表示，利用位置信息和速度信息實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子位置的修正。

PSO 搜索過(guò)程可描述為：一群粒子優(yōu)化某一個(gè)特定的目標(biāo)函數(shù)，且每個(gè)粒子都知道各自的最佳值（體極值）和坐標(biāo)，此外每個(gè)粒子也知道其在組群中的最佳值（全局極值），也就是組中目前為止的最優(yōu)值。利用當(dāng)前速度及體極值與全局極值的距離，可以得出每個(gè)粒子的修正速度，公式為

利用上式，可算出一個(gè)逐漸接近體極值和全局極值的速度。對(duì)當(dāng)前位置（求解空間中的搜索點(diǎn)）修正，公式為

離散變量只需稍加修改，就可用式（2）和式（3）進(jìn)行處理。式（2）等號(hào)右邊的整個(gè)計(jì)算式可表示為

PSO 搜索過(guò)程的特點(diǎn)總結(jié)如下：

1）利用遺傳算法等多種搜索點(diǎn)，搜索點(diǎn)通過(guò)各自最優(yōu)和全局最優(yōu)逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)。

2）式（2）的第1 項(xiàng)對(duì)應(yīng)搜索過(guò)程的多樣化，第2項(xiàng)和第3 項(xiàng)對(duì)應(yīng)于搜索過(guò)程中的集約化，該方法具有良好的均衡機(jī)制。

3）容易擴(kuò)展到如網(wǎng)格的XY 位置及其速度的離散問(wèn)題。

4）對(duì)MINLP 中的連續(xù)狀態(tài)變量和離散狀態(tài)變量均有效。

5）可在n維空間中使用。

式（2）的右邊包含3 項(xiàng)：第1 項(xiàng)是粒子之前的速度，第2、3 項(xiàng)用來(lái)改變粒子的速度，如無(wú)第2、3項(xiàng)，粒子將會(huì)一直飛行直至碰到障礙物。也就是說(shuō)，他試圖探索新的領(lǐng)域，因此，第1 項(xiàng)對(duì)應(yīng)搜索程序的多樣化。此外，如無(wú)第1 項(xiàng)，粒子飛行速度只能通過(guò)他當(dāng)前位置和歷史上最好位置確定，粒子會(huì)試圖收斂于他們的體極值和全局極值，因此，搜索中這些項(xiàng)對(duì)應(yīng)于集約化。n維空間MINLP 的擴(kuò)展PSO 概念見(jiàn)圖1。PSO 可以利用選擇的概念來(lái)擴(kuò)展，以獲得高質(zhì)量的解[24]。

圖1 n維空間MINLP的擴(kuò)展PSO的概念Fig.1 Concept of the expanded PSO for MINLP in n?dimension space

3 利用PSO的RPVC方程

3.1 狀態(tài)變量的處理

PSO 中，可對(duì)每個(gè)變量如下處理：

1）AVR。初始操作值在電壓規(guī)范值的上、下界間隨機(jī)產(chǎn)生，可在搜索過(guò)程中確定的范圍內(nèi)修正。

2）OLTC。其抽頭位置最初在最小至最大間隨機(jī)產(chǎn)生，搜索過(guò)程中在現(xiàn)有位置之間進(jìn)行修正，然后計(jì)算相應(yīng)的變壓器阻抗，進(jìn)行潮流計(jì)算。

3）RPCE。其數(shù)量從零產(chǎn)生，到變電站原有設(shè)備的數(shù)量，搜索過(guò)程中在零和現(xiàn)有設(shè)備數(shù)量之間進(jìn)行修正。

3.2 基于PSO的RPVC算法

將RPVC 建模成為MINLP 的PSO 步驟如下：

第1 步：利用上述狀態(tài)變量隨機(jī)生成粒子的初始搜索點(diǎn)和速度。

第2 步：每個(gè)粒子搜索點(diǎn)損耗由潮流計(jì)算得到，如違反約束，在損失基礎(chǔ)上增加懲罰。

第3 步：將體極值設(shè)為每個(gè)初始搜索點(diǎn)。將體極值中的初始最優(yōu)評(píng)估值（損失加懲罰）設(shè)為全局極值。

第4 步：計(jì)算新速度使用式（2），連續(xù)變量采用連續(xù)方程，離散變量采用離散方程。

第5 步：計(jì)算新搜索點(diǎn)使用式（3），連續(xù)變量采用連續(xù)方程，離散變量采用離散方程。

第6 步：計(jì)算新搜索點(diǎn)和估計(jì)值的損耗。

第7 步：如每個(gè)粒子的估算值優(yōu)于之前的值，則將這個(gè)值設(shè)為體極值；如最優(yōu)體極值優(yōu)于全局極值，將此值設(shè)為全局極值，存儲(chǔ)所有全局極值作為最終控制策略的候選值。

第8 步：如迭代數(shù)達(dá)到最大值則修正，否則回到第4 步。

如違反電壓和潮流約束，則對(duì)最大和最小邊界的絕對(duì)違反值加權(quán)，并將其作為懲罰項(xiàng)添加到目標(biāo)函數(shù)中。通過(guò)預(yù)模擬，確定最大迭代次數(shù)。如上所述，即使對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題，PSO 的迭代次數(shù)也不超過(guò)百次。

4 數(shù)值實(shí)例

與RTS 和枚舉法相比，PSO 已應(yīng)用于多種電力系統(tǒng)模型。

4.1 IEEE 14節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)

1）仿真條件。

圖2所示為一個(gè)改進(jìn)型的IEEE 14 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，表1 為系統(tǒng)運(yùn)行條件，以下是控制變量：

圖2 改進(jìn)型的IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.2 Modified IEEE 14 node system

①節(jié)點(diǎn)2、3、6 和8 處，發(fā)電機(jī)和同步補(bǔ)償器的連續(xù)AVR 運(yùn)行值，根據(jù)IEEE 14 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)參數(shù)要求，設(shè)范圍為0.9～1.1 p.u.。

②節(jié)點(diǎn)4-7、4-9 和5-6 之間，變壓器抽頭位置為離散，假設(shè)變壓器有20 個(gè)抽頭位置。

③節(jié)點(diǎn)9 和14 中，SC 的離散值為：假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3 個(gè)0.06 p.u.的SC。

該方法試圖為運(yùn)行條件生成最優(yōu)控制，原系統(tǒng)的損耗為0.134 9 p.u.。在仿真中，比較PSO、RTS 和枚舉法，根據(jù)預(yù)模擬，仿真采用下邊參數(shù)。

式（2）中函數(shù)的系數(shù)W方程[25]公式為

式中：Wmax=0.9，Wmin=0.4，itermax為最大迭代數(shù)；iter為當(dāng)前迭代次數(shù)。

式（2）中，c1和c2設(shè)為2.0，根據(jù)預(yù)模擬，Wmax和Wmin分別設(shè)為0.9 和0.4。PSO 中粒子數(shù)設(shè)為10，RTS 參數(shù)通過(guò)預(yù)模擬確定。仿真中，RTS 初始仿真步長(zhǎng)為10，仿真步長(zhǎng)增減率為0.2。將結(jié)果與300 次搜索迭代比較，RTS 和枚舉法采用數(shù)字化AVR 操作值，間隔為0.01 p.u.，在500 kV 系統(tǒng)中間隔為5 kV。組合優(yōu)化公式大約有109個(gè)組合，系統(tǒng)采用C 語(yǔ)言開(kāi)發(fā)，所有仿真均采用EWS 進(jìn)行。IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)行條件見(jiàn)表1。

表1 IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)行條件Table 1 Operating condition of IEEE 14 node system

2）仿真結(jié)果。

表2給出了PSO、RTS 和枚舉法的最優(yōu)結(jié)果，表3 給出了結(jié)果的損失值和計(jì)算時(shí)間。可以看出，PSO、RTS 和枚舉法的最優(yōu)結(jié)果相似，同時(shí)，一個(gè)分接開(kāi)關(guān)對(duì)應(yīng)的結(jié)果也不相同。對(duì)于IEEE 14 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和112 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，其最小損耗值和平均損耗值差距不大，但是，對(duì)于IEEE 14 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，PSO 算法的計(jì)算時(shí)間比RTS 算法少3 s，而112 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，PSO算法的計(jì)算時(shí)間只有RTS 算法的1/4。當(dāng)RPVC 以能效比衡量時(shí)，只搜索離散值的解，同時(shí)目標(biāo)函數(shù)在離散區(qū)間之間的形狀也是值得關(guān)注的。因此作為MINLP 和能效比的最優(yōu)解決方法不同。結(jié)果表明，將RPVC 作為MINLP 來(lái)建立方程更有效。PSO損耗比RTS 少15%，而計(jì)算時(shí)間卻快15%。仿真中，式（4）中Wmax和Wmin及式（2）中ci都發(fā)生了改變，對(duì)每種情況，100 次試驗(yàn)中經(jīng)過(guò)100 次搜索迭代，結(jié)果顯示W(wǎng)max和Wmin為0.9 和0.4，ci的最優(yōu)值為1.5。在文獻(xiàn)[25]中，ci為1.5，2.0 和2.5 時(shí)最小損耗很接近，其中2.5 用于仿真，因此最優(yōu)值與文獻(xiàn)[25]中建議參數(shù)值相同。

表2 IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的最優(yōu)控制Table 2 Optimal control for IEEE 14 node system

表3 PSO和RTS的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of calculation results of PSO and RTS

4.2 112節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

1）仿真條件。

該模型包括11 個(gè)由AVR 控制的發(fā)電機(jī)，47 個(gè)含有9~27 個(gè)分接位置的OLTC，13 個(gè)安裝在節(jié)點(diǎn)的SC，及33 個(gè)用于RPVC 的SC。PSO 的粒子數(shù)設(shè)為30，為得到1 min 內(nèi)的高質(zhì)量處理方法。將PSO 和RTS 在100 次迭代中進(jìn)行比較，除上述參數(shù)外，其余參數(shù)均與IEEE 14 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)相同。

2）仿真結(jié)果。

圖3為100 次試驗(yàn)中采取PSO 得到的統(tǒng)計(jì)估值，表3 為結(jié)果的損耗值和計(jì)算時(shí)間，與RTS 相比，其平均損耗值小，計(jì)算效率高出約96%。圖4 為典型的收斂特征（PSO 的全局極值轉(zhuǎn)換損耗和RTS 的最優(yōu)結(jié)果），可以看出PSO 在前20 次迭代中有很高質(zhì)量。PSO 對(duì)最優(yōu)解的平均迭代次數(shù)為31.7，相反RTS 逐漸達(dá)到最優(yōu)解。PSO 平均計(jì)算時(shí)間比RTS快4 倍，RTS 生成解空間中的相鄰解（下一個(gè)搜索點(diǎn)的候選解），對(duì)每個(gè)候選節(jié)點(diǎn)進(jìn)行潮流計(jì)算，并對(duì)所有候選節(jié)點(diǎn)的運(yùn)行約束違反情況和禁忌狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估，因此需評(píng)估的候選節(jié)點(diǎn)會(huì)隨著問(wèn)題維數(shù)的增加而呈指數(shù)增加。相反，PSO 對(duì)每個(gè)粒子只評(píng)估式（2）和式（3），如粒子數(shù)相同，則IEEE 14 和112 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)潮流計(jì)算數(shù)相同，適合于實(shí)際電力系統(tǒng)。

圖3 實(shí)際112節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的PSO統(tǒng)計(jì)結(jié)果（100次試驗(yàn)）Fig.3 Statistical results of PSO（100 times of tests）of practical 112 node system

圖4 112節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中的PSO和RTS的收斂特性Fig.4 Convergence characteristics of PSO and RTS in 112 node system

4.3 大規(guī)模1217節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

1）仿真條件。

為評(píng)估PSO 在大規(guī)模系統(tǒng)中的適用性，將其應(yīng)用在1217 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)。該系統(tǒng)有84 個(gè)由AVR 控制的發(fā)電機(jī)，388 個(gè)變壓器OLTC，以及82 個(gè)用于RPVC 的SC，系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置與112 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)相同。

2）仿真結(jié)果。

采用RTS 和PSO 的1217 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)收斂特性見(jiàn)圖4，RTS 每次迭代需7.6 h，相反，PSO 獲得最優(yōu)結(jié)果（平均迭代次數(shù)是27.5）的時(shí)間只要大約230 s。圖5 顯示了RTS 和PSO 在每次迭代時(shí)需評(píng)估的狀態(tài)數(shù)，設(shè)在所有情況下粒子數(shù)為30，RTS 的狀態(tài)數(shù)是當(dāng)前狀態(tài)在每次迭代時(shí)相鄰狀態(tài)的值，所以RTS狀態(tài)數(shù)會(huì)隨著問(wèn)題維數(shù)的增加而迅速增加。相反，PSO 狀態(tài)數(shù)與粒子數(shù)量相對(duì)應(yīng)，因此盡管PSO 僅使用式（2）和式（3）計(jì)算有限的狀態(tài)數(shù)，但在求解大規(guī)模問(wèn)題時(shí)很有效，并實(shí)現(xiàn)了次優(yōu)解的快速收斂特性。上述特性表明了PSO 在大規(guī)模問(wèn)題中的適用性。

圖5 利用實(shí)時(shí)仿真器和粒子群優(yōu)化算法計(jì)算每次迭代的狀態(tài)數(shù)Fig.5 Number of states evaluated by each iteration by RTS and PSO

當(dāng)問(wèn)題維數(shù)增加時(shí)，一個(gè)狀態(tài)的計(jì)算時(shí)間將增加，因此如要實(shí)現(xiàn)整個(gè)執(zhí)行時(shí)間的加速，可以使用基于分布式記憶工具的平行計(jì)算方法，如：PVM[26]和MPI[27]，或者分享式記憶工具，如：OpenMP[28-29]。

5 結(jié)語(yǔ)

本文闡述了電力系統(tǒng)中針對(duì)RPVC 的PSO，該方法將RPVC 建模成為MINLP，用連續(xù)和離散控制變量決定控制策略，如AVR 操作值，OLTC，RPCE。在實(shí)際電力系統(tǒng)中驗(yàn)證了可行性，取得了良好效果。其結(jié)論總結(jié)如下：

1）證明了PSO 在MINLP 中的實(shí)用性，及在大規(guī)模RPVC 中的適用性。根據(jù)仿真結(jié)果，PSO 不需嚴(yán)格的參數(shù)修正，特別是對(duì)于次優(yōu)解及大規(guī)模系統(tǒng)，PSO 只需少于50 次迭代。

2）RPVC 有時(shí)也被建模成為一種組合優(yōu)化的問(wèn)題，但由于MINLP 與其最優(yōu)結(jié)果不同，因此將RPVC 建模為MINLP 比組合優(yōu)化更有效。

3）許多工程問(wèn)題，包括電力系統(tǒng)的難題都可建模成為MINLP，本文結(jié)論證明了PSO 作為一個(gè)對(duì)工程問(wèn)題包括電力系統(tǒng)控制與規(guī)劃問(wèn)題的可行性。

HPSO 會(huì)對(duì)RPVC 更有效，通過(guò)將混合PSO 應(yīng)用在配電線路中，發(fā)現(xiàn)HPSO 比PSO 更有效[16]，將ωmax，ωmin，ci（0.9，0.4，2.0）設(shè)為相同值，當(dāng)在大范圍內(nèi)選擇速度時(shí)，可以得到高質(zhì)量解，也就是說(shuō)，對(duì)于不同電力系統(tǒng)，適合的參數(shù)值是相同的。研究電力系統(tǒng)各種問(wèn)題的適宜參數(shù)值和制約因素是今后的工作之一。