姚星星，劉書(shū)悉，厲位陽(yáng)

(浙江大學(xué) 物理學(xué)系，浙江 杭州 310013)

折射率是介質(zhì)光學(xué)特性的重要參量，通過(guò)折射率可以了解物質(zhì)的光學(xué)性能、純度、濃度以及色散等[1]. 物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量介質(zhì)折射率的方法較多，如最小偏向角法、布儒斯特角法、干涉法及橢偏儀法等[2]. 其中較為常用的是分光計(jì)實(shí)驗(yàn)中的最小偏向角法和光的偏振實(shí)驗(yàn)中的布儒斯特角法[3-5]. 干涉法利用相干光形成薄膜等厚干涉條紋的原理來(lái)確定薄膜厚度和折射率[6]. 橢偏儀法是利用橢圓偏振光入射樣品表面，通過(guò)檢測(cè)和分析入射光和反射光的偏振狀態(tài)，獲得薄膜厚度及折射率的非接觸測(cè)量方法[7]. 本文首先通過(guò)對(duì)稱變換法確定出偏振方向，再利用非線性擬合法得到溶液的折射率. 運(yùn)用理論和實(shí)驗(yàn)研究了溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)如何影響折射率，并測(cè)量出混合溶液折射率與各組分質(zhì)量分?jǐn)?shù)之間的線性疊加關(guān)系. 該裝置和方法不僅可以測(cè)量溶液，也能測(cè)量鍍膜材料的光學(xué)性質(zhì)，且具有實(shí)驗(yàn)光路調(diào)節(jié)簡(jiǎn)單、數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)便、精確度高等優(yōu)點(diǎn).

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 對(duì)稱變換法確定偏振片的特征方向

在光具座上插上激光器和偏振片(帶刻度盤)，在右端測(cè)量偏振光通過(guò)偏振片后產(chǎn)生的光電流，如圖1所示. 現(xiàn)要測(cè)定光源和偏振片的偏振角度，即光源偏振方向與豎直方向的夾角ψ，以及當(dāng)偏振片偏振方向處在豎直方向時(shí)，刻度盤指針的讀數(shù)φ.

圖1 偏振片特征方向確定實(shí)驗(yàn)原理圖

為后續(xù)表述方便，規(guī)定-90°<ψ,φ≤90°，當(dāng)角度為負(fù)數(shù)時(shí)，表示從豎直方向逆時(shí)針(正視偏振片刻度盤視角來(lái)定義)轉(zhuǎn)動(dòng)銳角達(dá)到待測(cè)方向；當(dāng)角度為正數(shù)時(shí)，表示順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)銳角達(dá)到待測(cè)方向.

調(diào)節(jié)偏振片偏振方向，使萬(wàn)用表電流讀數(shù)達(dá)到最大，記錄刻度盤指針?biāo)附嵌圈?(0°≤θ1<360°)；轉(zhuǎn)動(dòng)偏振片所在的支架180°，使偏振片的另一面正對(duì)光源，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)偏振片，使萬(wàn)用表讀數(shù)再次達(dá)到最大，記錄指針?biāo)附嵌圈?(0°≤θ2-θ1<180°). 下面分情況討論：

1)若ψ<0(逆時(shí)針偏轉(zhuǎn))，如圖2(a)所示，激光偏振方向原為1，偏振片轉(zhuǎn)動(dòng)180°后，激光偏振方向在刻度盤上的位置關(guān)于豎直軸對(duì)稱變換到1′，故偏振片需要旋轉(zhuǎn)的角度為

(a) (b)圖2 激光光路示意圖1

(1)

2)若ψ>0(順時(shí)針偏轉(zhuǎn))，如圖3(a)所示，激光偏振方向由2變?yōu)?′，偏振片需要旋轉(zhuǎn)角度

(a) (b)圖3 激光光路示意圖2

(2)

根據(jù)規(guī)定(-90°<φ≤90°)，刻度盤指針讀數(shù)表示為

(3)

顯然，每次測(cè)量都會(huì)得到2個(gè)不同的φ值，2個(gè)值符號(hào)相反，差為90°，分別對(duì)應(yīng)著偏振方向和與偏振方向垂直的方向(統(tǒng)稱特征方向). 至于哪個(gè)方向?yàn)槠穹较颍€需要通過(guò)其他方法進(jìn)一步確定.

1.2 反射曲線擬合法測(cè)定折射率

光在界面上的光路示意圖如圖4所示，根據(jù)菲涅耳公式，光經(jīng)介質(zhì)分界面反射后，入射光和反射光的電矢量s，p分量滿足以下關(guān)系：

圖4 光在界面上的光路示意圖

(4)

因此，光強(qiáng)反射率為

(5)

若從空氣入射介質(zhì)，n1=1,sini1=n2sini2，線偏振光在各個(gè)入射角下的反射率就由介質(zhì)的折射率n2確定，將其代入式(5)可以得到反射率與入射角的關(guān)系為

(6)

由式(6)可知，通過(guò)測(cè)量出不同入射角i1下的p方向偏振光(簡(jiǎn)稱p光)或s方向偏振光(簡(jiǎn)稱s光)的反射率Rp或Rs，就可以進(jìn)行擬合得到介質(zhì)的折射率n2.

p光和s光的反射率曲線具有顯著不同的特征，如圖5所示. s光的反射率隨入射角單調(diào)遞增，而p光存在反射率為0的極小值點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的入射角為布儒斯特角.

圖5 s，p光的反射率曲線

1.3 離子溶液折射率與溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)的關(guān)系

若入射光的光強(qiáng)不足夠強(qiáng)，則粒子相對(duì)于平衡位置的偏移量r很小，假設(shè)溶液中粒子間的相互作用是彈性的，且運(yùn)動(dòng)阻力與其速度成正比. 設(shè)固有頻率為ω0，質(zhì)量為m，阻力系數(shù)為mγ，帶電量為q的粒子在電矢量E作用下的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

(7)

穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)將以驅(qū)動(dòng)頻率振動(dòng)，即

r(t)=r0e-iωt.

(8)

將式(8)代入式(7)解得：

(9)

其位移極化部分的電偶極矩為

(10)

假設(shè)在溶液中存在j種離子，其單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為Nj，固有頻率為ωj，則位移極化部分的極化強(qiáng)度為

(11)

(12)

(13)

這表明在一定濃度范圍內(nèi)，離子溶液對(duì)單色光的折射率和離子濃度間具有線性關(guān)系.

2 實(shí)驗(yàn)器材與內(nèi)容

2.1 實(shí)驗(yàn)器材

實(shí)驗(yàn)器材：半導(dǎo)體激光器(波長(zhǎng)約650 nm)、S3590-082F-12型硅光電池、VC9805A型萬(wàn)用電表、帶刻度盤的旋轉(zhuǎn)盤、偏振膜、自制反射測(cè)角儀、載物支架、電子天平、量筒、透明容器、燒杯、NaCl晶體、Na2CO3固體、色素、純凈水、螺釘、六角螺絲刀、固體膠.

自制反射測(cè)角儀主體由半圓形有機(jī)玻璃刻度盤和底盤拼合而成，刻度盤標(biāo)示角度范圍為0～180°，分度值為1°，游標(biāo)盤精度為0.1°. 底盤上可插入光學(xué)器件，并配有固定螺釘，水平放倒時(shí)可作為簡(jiǎn)易的短光具座使用，如圖6所示.

(a)示意圖

2.2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

2.2.1 偏振片特征方向的確定

具體操作步驟：

1)固定激光器，水平放倒反射測(cè)角儀.

2)滑動(dòng)支架1和支架2到測(cè)角儀底盤左右兩側(cè)，在兩支架之間插入帶刻度盤的偏振片，調(diào)節(jié)激光器、偏振片和硅光電池探測(cè)器為等高共軸.

3)旋轉(zhuǎn)偏振片使光電流達(dá)到最大，記錄此時(shí)指針?biāo)缚潭圈?.

4)轉(zhuǎn)動(dòng)偏振片所在支架180°，使偏振片的另一面正對(duì)光源，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)偏振片使萬(wàn)用表讀數(shù)再次達(dá)到最大，記錄指針?biāo)附嵌圈?(θ2≥θ1).

5)旋轉(zhuǎn)激光器，重復(fù)測(cè)量6次，由式(3)計(jì)算出特征方向φ，結(jié)果如表1所示.

表1 激光特征方向的測(cè)量

經(jīng)計(jì)算，得到偏振片的2個(gè)特征角度分別為：負(fù)值特征角度φ1=-19.1°±0.4°,正值特征角度φ2=70.9°±0.4°.

2.2.2 s/p光的制作和離子溶液折射率的測(cè)量

具體操作步驟：

1)轉(zhuǎn)動(dòng)偏振片使指針指向特征角度φ1，此時(shí)豎直方向和水平方向均為偏振片的特征方向.

2)轉(zhuǎn)動(dòng)激光器使光電流達(dá)到最大，此時(shí)激光偏振方向?yàn)樨Q直或水平方向，并分別垂直或平行于半圓形刻度盤(即入射面). 由此，制作出s光或p光.

3)豎立反射測(cè)角儀，移動(dòng)2個(gè)載物支架調(diào)節(jié)入射角i1=40°，調(diào)節(jié)待測(cè)溶液液面高度使反射光點(diǎn)落在光電池中心.

4)記錄光電流和遮擋激光后的背景光電流. 每次按步長(zhǎng)為0.5°或1°增大i1，測(cè)量光電池的光電流和背景光電流. 直到反射角i1′=65°，繪制反射率曲線.

若繪制出的反射率曲線單調(diào)遞增，表明得到的偏振光是s光，則φ1為偏振片的偏振角度. 反之，得到的偏振光就是p光，即φ2為偏振片的偏振角度.

2.2.3 探究溶液顏色對(duì)偏振光反射率的影響

分別制作s光和p光，測(cè)量待測(cè)有色溶液的反射率曲線. 操作方法和步驟與2.2.2相同. 改變有色溶液的顏色，測(cè)量其反射率曲線，分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)反映出的規(guī)律.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 離子溶液折射率與濃度的關(guān)系

通過(guò)2.2.2中的操作步驟得到偏振片的偏振角度為φ=φ2=70.9°±0.4°，即得到p光. 再利用p光下的反射率曲線，依據(jù)式(13)擬合得到待測(cè)液體折射率n. 換用不同質(zhì)量分?jǐn)?shù)、種類的離子溶液或混合溶液，測(cè)量其折射率，研究折射率與質(zhì)量分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示.

表2 不同種類、質(zhì)量分?jǐn)?shù)的溶液擬合得到的折射率

進(jìn)一步分析離子溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與折射率的關(guān)系，繪制表2中不同質(zhì)量分?jǐn)?shù)w的NaCl溶液和CaCl2溶液的折射率n的關(guān)系圖，得到質(zhì)量分?jǐn)?shù)與折射率的線性關(guān)系，如圖7所示.

由于該2種溶液混合不發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，根據(jù)理論分析，離子溶液的折射率與離子濃度成正比，因此，二者的混合溶液的折射率與各成分的質(zhì)量分?jǐn)?shù)之間均呈現(xiàn)線性關(guān)系，即

nmix≈0.238wNaCl+0.292wCaCl2+1.319.

(14)

(a)NaCl溶液

利用幾種混合溶液的測(cè)量結(jié)果對(duì)上式進(jìn)行驗(yàn)證，如表3所示. 由表3可知實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與理論值的相對(duì)偏差均在±0.5%以內(nèi)，表明實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析基本吻合.

表3 混合溶液折射率的測(cè)量值與理論值

3.2 有色溶液反射率與顏色的關(guān)系

由于反射法測(cè)量只依賴于液體的表層反射，對(duì)于很薄的液體層，吸收率可忽略不計(jì). 因此，對(duì)于質(zhì)量分?jǐn)?shù)均為10%的有色溶液(存在光的吸收)，s/p光的反射率曲線仍然與菲涅耳公式擬合出的曲線符合較好(R2>0.998)，如圖8所示. 當(dāng)入射角i1<53°時(shí)，黑色、藍(lán)色溶液對(duì)p光的反射率R高于紅色溶液，如圖8(a)所示；而對(duì)于任意入射角，黑色、藍(lán)色溶液對(duì)s光的反射率R均高于紅色溶液，如圖8(b)所示. 雖然有色溶液中的食用色素成分均為有機(jī)物，但可以發(fā)現(xiàn)無(wú)論用p光還是s光照射，根據(jù)反射曲線擬合得到相同質(zhì)量分?jǐn)?shù)的有色溶液折射率滿足關(guān)系：n胭脂紅色

(a)p光

對(duì)于出現(xiàn)以上現(xiàn)象的原因可以借用位移極化的機(jī)理進(jìn)行解釋：無(wú)極分子發(fā)生位移極化和有極分子發(fā)生取向極化時(shí)，均要從電場(chǎng)中獲得能量，用于補(bǔ)償振動(dòng)過(guò)程中的能量損耗. 溶液呈現(xiàn)紅色的原因是分子對(duì)紅色波長(zhǎng)的光吸收較少，因此用紅色激光照射時(shí)，分子僅能獲得少部分的光能用于極化振動(dòng)，即極化強(qiáng)度越小，折射率也越小.

4 結(jié)束語(yǔ)

采用非線性擬合法測(cè)量溶液的折射率不僅克服了布儒斯特角附近光強(qiáng)較小、難以準(zhǔn)確界定的缺陷，還有效利用了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提高了折射率的測(cè)量精度. 另外，提出了確定偏振片特征方向的簡(jiǎn)單方法——對(duì)稱變換法，該方法思想巧妙，操作簡(jiǎn)單，具有較高的精確度，再配合反射率曲線，最終能夠確定出偏振片的偏振方向. 本文在理論和實(shí)驗(yàn)上研究了溶液質(zhì)量分?jǐn)?shù)對(duì)折射率的影響，并測(cè)量出了混合溶液折射率與各組分濃度之間的線性疊加關(guān)系. 該實(shí)驗(yàn)對(duì)折射率的測(cè)量不依賴于折射光，因此適合用于測(cè)量有色溶液的折射率. 溶液折射率與離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)的關(guān)系研究為測(cè)量(混合)溶液中的離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)提供了可行思路.