◎趙晨如 王淑芬 (新疆石河子大學，新疆 石河子 83000)

2016年呂世虎教授等人發(fā)表的《數(shù)學單元教學設(shè)計的內(nèi)涵、特征以及基本操作步驟》一文中強調(diào)了數(shù)學單元教學設(shè)計必須站在提升學生核心素養(yǎng)的角度上；2016年鐘啟泉教授在《基于核心素養(yǎng)的課程發(fā)展：挑戰(zhàn)與課題》一文中指出“核心素養(yǎng)—課程標準—單元設(shè)計—課時計劃”是環(huán)環(huán)相扣的教師教育活動的基本環(huán)節(jié)；2017年喻平在《發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)的教學目標與策略》一文中給出一系列教學策略；《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中明確提出要著力發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

數(shù)學單元教學設(shè)計具體來說就是以培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)為目標，綜合性、深入性地研究教材內(nèi)容，全面性、系統(tǒng)性地分析知識的關(guān)聯(lián)性，有針對性地選擇講授主線，將教學內(nèi)容進行再組織、設(shè)計、優(yōu)化之后，形成一個更符合學生認知規(guī)律、數(shù)學知識體系的新整體.在單元教學設(shè)計中研究主線的精確選擇是保證后續(xù)教學設(shè)計及教學效果的關(guān)鍵，本文以數(shù)學文化滲透為單元設(shè)計研究主線，從微積分的實際問題起源出發(fā)，通過定積分案例開展分析，從中體現(xiàn)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

一、分析單元內(nèi)容，對標核心素養(yǎng)

定積分這一單元是高中數(shù)學選修2-2中第一章“導數(shù)及其應用”的內(nèi)容，在變化率及導數(shù)的相關(guān)知識之后進行學習，主要包含曲邊梯形面積求解、變速運動的路程求解、概念產(chǎn)生、公式運用等.這一部分內(nèi)容既包含了問題、概念、應用，又涉及數(shù)學史、數(shù)學符號、數(shù)學美等數(shù)學文化，可以很好地落實六大核心素養(yǎng).

要完成本單元的教學目標，教師要系統(tǒng)熟悉微積分發(fā)展史的歷程，并以此為基礎(chǔ)梳理知識框架，構(gòu)建微積分思維導圖，使其內(nèi)容按照歷史發(fā)展順序整體呈現(xiàn)學生眼前，這樣可達到事半功倍的效果.如表1是按照數(shù)學發(fā)展順序?qū)χR點的分析.

表1：相關(guān)知識點分析

這一單元內(nèi)容從整體把握定積分相關(guān)知識，將數(shù)學史穿成一條線，這樣有助于學生理解“微積分從哪來、怎么用、在哪里用”等問題，促進學生的數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、分析教學要素，研究教學策略

俗話說“磨刀不誤砍柴工”，因此，我們要做好單元教學設(shè)計，就必須對影響教學效果的各教學要素的整體性、關(guān)聯(lián)性、發(fā)展性進行詳細分析.本文整體把控了單元內(nèi)容,明晰了課程標準，全方位汲取了各版本教材的優(yōu)點，充分了解了學生的已有知識水平、認知規(guī)律等，精準把握了單元內(nèi)容的重難點.

(一)教學要素分析

1.學科分析

微積分的創(chuàng)立在數(shù)學發(fā)展史上具有里程碑的意義，牛頓—萊布尼茲公式將看似無關(guān)的導數(shù)與定積分完美地聯(lián)系在一起，架起了數(shù)學與物理兩大學科間的橋梁，很好地體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值.

高中階段定積分單元的內(nèi)容也是后續(xù)高等數(shù)學要繼續(xù)深入學習的重要內(nèi)容.該單元作為培養(yǎng)學生從數(shù)學“初等有限思維”到“高等無限逼近”的入門篇，在學生整個數(shù)學學習能力的螺旋上升過程中起著舉足輕重的作用，對于培養(yǎng)學生用動態(tài)的數(shù)學眼光“思考問題、分析問題、提出解決方案、抽象數(shù)學共性、建立數(shù)學模型”更是意義非凡.這恰好體現(xiàn)了課標中要求的“數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理”等數(shù)學核心素養(yǎng).

2.課標分析

2017版新課標對微積分的教學提出了更高要求.首先，微積分這一內(nèi)容設(shè)置在選擇性必修模塊，以強調(diào)其重要性.其次，注重與高等數(shù)學接軌，使課程更具連貫性；對連續(xù)函數(shù)給出明確的定義，注重對數(shù)學符號語言的培養(yǎng)；強調(diào)借助幾何直觀和物理情境引入微積分思想，對實際應用能力提出更高的要求；此外，新課標明確要求學生要對微積分發(fā)展史有清晰的了解.

3.教材分析

不同版本的教材對“定積分”單元編寫均是按照“具體實例—抽象概念—實際應用”的模式呈現(xiàn)的，體現(xiàn)了從具體到抽象再到具體的思想方法.但是不同版本在“曲邊梯形的面積”和“汽車行駛的路程”求解過程的呈現(xiàn)方式不同，在應用部分的拓展也有一定區(qū)別.

(1)引入部分

人教版教材對上述兩個問題進行具體分析并提出思考，清晰地呈現(xiàn)“分割、近似、求和、取極限”四個步驟，更關(guān)注概念形成，突出了“以直代曲”“有限到無限”“逼近”的思想，通過歸納分析得出定積分的概念.

北師大版類似于數(shù)學解題，直接劃分區(qū)間求和，方法步驟極為簡便，沒有體現(xiàn)微積分思想.

(2)應用部分

人教版在“定積分的簡單應用”部分介紹了幾何和物理兩個方面；而北師大版介紹了平面圖形和幾何體體積的應用，考查了學生的直觀想象素養(yǎng)，雖然從二維到三維跨度較大，但是有利于提高學生思維水平，同時與高等數(shù)學銜接得更好.

4.學情分析

學生通過學習導數(shù)及其應用的相關(guān)內(nèi)容，對“極限”思想有了一定了解.這一部分內(nèi)容對學生的抽象思維水平要求較高，學生難以將有限延伸到無限，教學過程中教師要考慮到學生的思維水平和認知規(guī)律，不斷引導學生在類比、歸納和總結(jié)過程中掌握定積分這一單元的知識點.

5.重難點分析

本單元是一個全新的起點，運用“分割、近似、求和、取極限”思想解決曲邊梯形的面積及變速運動的路程問題,較難理解，同時定積分的概念具有抽象性，既是重點也是難點.重點是理解定積分的幾何意義，能夠運用牛頓—萊布尼茨公式進行簡單的定積分計算，其中蘊含的“極限”“以直代曲”“有限到無限”等思想是一大難點.

(二)選擇教學策略

1.工具化策略

借助多媒體輔助教學，幾何畫板演示劉徽的割圓術(shù)，有限到無限分割讓學生直觀觀察，通過已有知識并借助幾何圖形直觀想象感知事物的形態(tài)與變化.

2.問題探究策略

問題探究是通過一系列的問題思考、分析、探究等方式發(fā)現(xiàn)知識，通過不斷提出問題引導學生思考，發(fā)散學生的思維.

3.縱向?qū)Ρ炔呗?/p>

縱向?qū)Ρ仁菍Σ煌瑲v史階段的定積分符號對比分析，通過比較各種符號的特點，體會數(shù)學美，并理解定積分的幾何意義.

4.主體啟發(fā)策略

引導啟發(fā)學生，激發(fā)學生的思維，從平面面積到立體體積的拓展，讓學生的思維從二維空間上升到三維空間，從而培養(yǎng)學生的直觀想象的核心素養(yǎng).

三、確定教學目標，選擇教學方式

教學目標是教學的方向，教學設(shè)計的核心工作，引領(lǐng)著整個教學.教師通過分析課程標準并結(jié)合微積分史，以“歷史發(fā)展”的視角構(gòu)建“定積分”單元，整體把握單元目標及章節(jié)目標，并通過這些目標選擇合適的教學方式.教學目標及方式如表2：

表2 教學目標及方式

四、順承知識邏輯，設(shè)計教學片段

通過上述對教材、內(nèi)容、目標等分析，教師對部分教學片段進行設(shè)計，分別從數(shù)學史、數(shù)學問題、數(shù)學美、數(shù)學拓展幾個方面探究.

(一)“溯源式”案例(教師為主)：

1.教學目標：通過“割圓術(shù)”“曲邊梯形面積求解”“變速直線運動的路程求解”等例子的分析，使學生掌握定積分的思想.

2.教學策略及手段：①借助幾何畫板的直觀性演示劉徽的“割圓術(shù)”，使學生直觀感受無限逼近的過程，感受數(shù)學的魅力與數(shù)學家的智慧.②追溯微積分的發(fā)展源頭，讓學生明白抽象數(shù)學概念的來源是離不開實際應用的，不是“無源之水”.

3.教學方式：直觀演示、啟發(fā)引導、問題講解

4.教學過程

師：同學們，你們聽過“割圓術(shù)”嗎？

生回答.

師：“割之彌細，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣.”這句話有誰知道是什么意思？

生5秒思考.

師：下面我們一起通過幾何畫板來直觀感受一下這句話的本質(zhì).

活動：展示幾何畫板.

n-1=5.00

n-1=11.00

師：如果邊數(shù)n不斷變大，會是什么情況呢？

生5秒思考，師提問1-2人.

師(拓展)：偉大的數(shù)學家劉徽算到圓的正3072邊形時，正多邊形的面積已經(jīng)非常接近圓的面積了，當邊數(shù)繼續(xù)增大時，兩者的差距就會繼續(xù)縮小，越來越接近零.

師(凝練)：這個例子中的用已知正多邊形來逼近圓的思想非常重要.

師(總結(jié))：“割圓術(shù)”中蘊含的用已知多邊形來逼近圓的數(shù)學思想就是我們這節(jié)課重點來探討的核心思想.

師(追溯)：17世紀偉大數(shù)學家牛頓解決物理上的運動問題及萊布尼茲在解決“微分三角形”的問題時都揭示了積分思想的萌芽.

師(回歸)：當跳出物理和幾何背景后發(fā)展成熟的定積分思想在社會發(fā)展中起著重要的作用，更是為物理和幾何的應用提供了強有力的支撐.

(二)“探究式”案例(學生為主)：定積分概念的講解

1.教學目標：引導學生探究歸納不同問題的共有屬性，深入分析后，教師給出抽象的定積分概念，另通過直觀幾何意義使學生加深對概念的理解.

2.教學策略及手段：設(shè)置一系列遞進問題，創(chuàng)設(shè)問題情境，用類比的方法培養(yǎng)學生的問題意識，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

3.教學方式：問題探究、小組討論、啟發(fā)引導

4.教學過程

知識前提：師生已經(jīng)完成曲邊梯形面積和變速直線運動路程的求解過程分析.

問題1：對比曲邊梯形面積和變速直線運動路程的求解過程你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

問題2：對于更一般的曲邊圖形的面積能不能用“四部曲”(如圖1所示)？

圖1 曲邊圖形

問題3：類比區(qū)間[0，1]的分割完成區(qū)間[a，b]的n個小區(qū)間分割，寫出小區(qū)間長度的表示，思考是否必須等分.

問題4：類比例題的取值完成每個小區(qū)間上的取值，思考取值中的點ξi的任意性.

問題5:小組探討f(ξi)Δxi在具體問題中的意義.

問題7：通過極限體現(xiàn)無限逼近的過程.

問題8：總結(jié)“分割、近似、求和、取極限”這一過程的分析.

探究總結(jié)：通過抽象概念的分步分層拆解及問題思考探究，幫助學生理解抽象的數(shù)學概念.

(三)“賞析式”案例：定積分符號的講解

1.教學目標：讓學生了解數(shù)學符號產(chǎn)生背后精彩的歷史，感受數(shù)學美；培養(yǎng)學生感受美、欣賞美、創(chuàng)造美的能力.

2.教學策略及手段：創(chuàng)設(shè)數(shù)學符號史情境，讓學生置身于此情境經(jīng)歷數(shù)學符號的演變歷程；通過趣味翻譯，感受不一樣的符號美.

3.教學方式：情境教學、對比分析

4.教學過程：

師：在了解積分符號的國外演變過程后，大家一定很好奇我們國家是什么情況，數(shù)學家李善蘭在1859年翻譯了第一本微積分教科書《代微積拾級》,下表是數(shù)學符號在當時的表示形式.

xy+-∫dx天地⊥T禾ㄔ

生1：“禾二天ㄔ”.

生2：“禾天二ㄔ”.

師：同學們翻譯得很棒，這樣的表示體現(xiàn)了我國當時微積分的發(fā)展特色，但顯然這樣的書寫煩瑣難懂，具有一定的局限性.

(四)“拓展式”案例：(開放作業(yè))平面圖形面積到旋轉(zhuǎn)體體積的拓展

教學目標：在已學知識的基礎(chǔ)上延伸新的知識，將二維拓展到三維，培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).

我們已經(jīng)會用定積分解決面積問題，那么三維空間求體積能不能用定積分來解決？下面是一個圓錐體積的問題，課后思考探索.

題目：給定一條直角邊為1的等腰直角三角形(如圖3)，繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐體，求其體積.如何利用“分割、近似、求和、取極限”這一過程計算？

圖3 等腰直角三角形

五、結(jié) 語

定積分單元教學內(nèi)容雖是高中數(shù)學的選修內(nèi)容，但作為數(shù)學大廈中至關(guān)重要的部分，對于培養(yǎng)高中生螺旋上升的數(shù)學知識非常關(guān)鍵，可很好地滿足個人數(shù)學能力發(fā)展及社會進步.但本單元講授內(nèi)容涉及面廣泛、教學課時相對偏少、與前期知識關(guān)聯(lián)度較低，因此，學生學習效果往往不盡如人意.在大力推進新課改、著力培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)、聚焦學生為課堂主人的教育大背景下，教師就需要在教學過程中積極探索新模式、新策略、新技術(shù)，激發(fā)學生學習的主觀能動性，輔以自己系統(tǒng)性、引導性、探究性的教學設(shè)計，真正意義上實現(xiàn)課堂教學中師生一體化協(xié)同學習模式.單元教學設(shè)計是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的一個重要途徑，新教材和課標都體現(xiàn)了單元教學設(shè)計.從數(shù)學史出發(fā)進行設(shè)計，可以讓學生了解微積分的來龍去脈.教師通過各類教學方式加以適當教學策略完成多元化案例設(shè)計，開展單元教學，整體把控定積分模塊教學，這樣使數(shù)學知識更具系統(tǒng)性、連貫性.