劉 昀， 程毛林

（蘇州科技大學 數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215009）

灰色系統(tǒng)理論中把對信息掌握程度的0 與1 表示為黑箱與白箱，對處于這之間的部分，即內(nèi)部特性既有已知又有未知的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)。 該理論的主要任務是充分挖掘已知信息，尋求系統(tǒng)運行的數(shù)學規(guī)律，并進行對未來變化的定量預測[1]。在灰色系統(tǒng)研究中，GM 預測模型是灰色預測理論的基本模型，而GM（1，1）模型作為其中的核心和基礎，因其要求樣本量低、結構簡單、計算簡便等特點而成為研究最廣泛、應用最廣泛的預測模型[2-3]。 近些年來，學者們基于鄧聚龍教授提出的核心基礎模型[4]，對GM（1，1）模型進行了多角度切入與深入研究改進。 這些改進主要集中在：累加生成方法的改進[5-8]、初始值優(yōu)化[9-10]、背景值優(yōu)化[11-15]、參數(shù)估計方法[16-17]、殘差序列優(yōu)化[18-20]以及其中一些方法的組合使用[21-23]等。

在這其中，針對灰色作用量b 進行白化方程修正的研究相對較少。 崔杰等人[24]用kb 替換b，構建了NGM（1，1，k）模型，拓寬了傳統(tǒng)灰色模型的應用廣度；徐華鋒等人[25]發(fā)現(xiàn)，隨著時間和空間的變化，灰色作用量也應當體現(xiàn)動態(tài)變化，以b1+b2k 代替?zhèn)鹘y(tǒng)模型中的b 作為灰色作用量可以有效提高模型預測精度；劉常麗等人[26]利用灰色模型的指數(shù)特性，把白化方程中的灰色作用量b1+b2k 改進為（b1+0.5b2）+b2t，得到一種對指數(shù)序列適應性好的優(yōu)化GM（1，1）模型。

為了研究高增長時間序列的數(shù)學建模，解決因白化方程為常系數(shù)微分方程而引起的問題，筆者對傳統(tǒng)灰色模型結構進行兩種拓展（拓展模型1 與拓展模型2），在滿足高增長時間序列建模需要的同時，增添了三角函數(shù)以給予波動性適應更多的建模需要，并在最后給出這兩種模型的建模實例。

1 傳統(tǒng)的灰色GM（1，1）模型

傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型基本形式為

式中，x（0）（k）為k 個元素的原始數(shù)據(jù)數(shù)列，x（1）（k）為x（0）（k）的1-AGO 生成數(shù)列，z（1）（k）是x（1）（k）的緊鄰均值序列。

將時刻k 視為連續(xù)的變量t，可得到GM（1，1）灰微分方程對應的白化方程為

式中，a，b 為待估計常數(shù)，a 稱為發(fā)展系數(shù)，b 稱為灰色作用量。

可求出時間響應式為

則可得出原始數(shù)據(jù)的預測值為

2 拓展的灰色GM（1，1）模型

2.1 拓展的灰色GM（1，1）模型的建立

由第1 節(jié)可以看出原始序列應為指數(shù)變化，且經(jīng)過分析，易知預測精度與增長快慢有關。 為了研究高增長時間序列的數(shù)學建模（比如文中用到的例子——蘇州市GDP），下面對傳統(tǒng)灰色模型結構進行拓展，以適應此類建模的需要。

設拓展的GM（1，1）灰色模型基本形式為

它的白化方程為

為了既保證預測精度又避免過擬合，以下取p=2，q=2，即該拓展的灰色模型GM（1，1）的灰微分方程為

其白化方程為

若建立這樣的灰色GM（1，1）拓展模型，其背景值z（1）（k）的生成系數(shù)α 為等權常數(shù)（α=0.5），即

此建立的模型稱為拓展模型1。

若建立這樣的灰色GM（1，1）拓展模型，對于變化趨于陡峭的序列數(shù)據(jù)，為了減少誤差，其背景值z（1）（k）的生成系數(shù)α 為不等權常數(shù)（0＜α＜1 且α≠0.5），α 的值由優(yōu)化方法確定，即背景值表示為

此建立的模型稱為拓展模型2。

2.2 拓展的灰色GM（1，1）模型的時間響應方程

由上一小節(jié)可知，拓展灰色GM（1，1）模型的白化方程為

兩邊同時積分可以求得解為

2.3 修正的拓展灰色GM（1，1）模型的參數(shù)估計

拓展的灰色GM（1，1）模型的灰微分方程為

它的白化方程為

即

則

由于z（1）（k）=αx（1）（k-1）+（1-α）x（1）（k），當生成系數(shù)為等權常數(shù)，即α=0.5 時，對給定的θ1，θ2，有參數(shù)估計值

其中

事實上，θ1，θ2是需要求出的，此處使用優(yōu)化的方法來確定θ1，θ2的值

當生成系數(shù)為不等權常數(shù)，即α 為常數(shù)且滿足0＜α＜1，α≠0.5 時，對給定的α，θ1，θ2，有參數(shù)估計值

其中

事實上，α，θ1，θ2是需要求出的，此處使用優(yōu)化的方法來確定α，θ1，θ2的值

2.4 拓展的灰色GM（1，1）模型的應用實例

為了掌握未來蘇州地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展態(tài)勢，更具有針對性與前瞻性地制定發(fā)展計劃，如何更準確地對蘇州地區(qū)年生產(chǎn)總值進行預測就成為了一個亟待解決的問題。 文中根據(jù)歷史數(shù)據(jù)從定量上建立蘇州地區(qū)年生產(chǎn)總值的預測模型。 蘇州市年生產(chǎn)總值記為x（0）（t）（單位：億元），相關資料見表1。

表1 蘇州地區(qū)年生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)及傳統(tǒng)GM（1，1）有關計算結果

若建立傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型，計算得

所以

可以看出，由傳統(tǒng)模型計算得到的結果與實際數(shù)據(jù)走向不夠貼合，還有很大改進空間。

若建立拓展模型1，計算得

于是，時間響應方程為

表2 蘇州地區(qū)年生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)及拓展模型1 有關計算結果

可以看出，拓展模型1 相較原始GM（1，1）模型而言，在各項平均相對誤差上都有了很大改善，但在預測精度上還有一定改進的可能性。 對比表2 中近三年（2017—2019 年）的預測數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，模擬值的增長速度相對實際值較慢，故在拓展模型2 中，通過引入變量生成系數(shù)α 來改善這一狀況，使得數(shù)據(jù)變化趨于持續(xù)的陡峭增長，從而更加符合原始數(shù)據(jù)指數(shù)增長的特征。

若建立拓展模型2，計算得

于是，時間響應方程為

表3 蘇州地區(qū)年生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)及拓展模型2 有關計算結果

表4 拓展模型2 下蘇州地區(qū)年生產(chǎn)總值2020—2024 年預測值

可以看出，拓展模型2 相較拓展模型1 而言又有了一定程度的改進，尤其體現(xiàn)在預測精確度上。根據(jù)以上傳統(tǒng)模型與2 種拓展模型的實例分析結果，可以得到如圖1 所示的誤差對比直方圖。

圖1 傳統(tǒng)模型與2 種拓展模型誤差對比直方圖

3 結語

傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型適用于原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律為指數(shù)變化模式，但對于原始數(shù)據(jù)呈現(xiàn)增長很快的指數(shù)變化的情況，則效果不夠理想，歸根究底是其白化方程為常系數(shù)微分方程的原因。 文中提出的2 種新的拓展模型，經(jīng)過對蘇州市近20 年GDP 數(shù)據(jù)進行實例分析數(shù)據(jù)檢驗，效果均優(yōu)于傳統(tǒng)模型，其中模型2 的結果最優(yōu)，無論擬合還是預測模型效果均能更為貼切地反映出數(shù)據(jù)走向，故可以適用于GDP 預測。在實際應用中遇到類似上述高增長趨勢的數(shù)據(jù)時，可以考慮用該拓展模型來代替?zhèn)鹘y(tǒng)模型進行擬合預測，以期更真實地反映和預測數(shù)據(jù)，對下一步經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略的制定也有更好的參考價值。