張小正， 李銀龍， 張永斌， 畢傳興

(合肥工業(yè)大學(xué) 噪聲振動(dòng)工程研究所， 合肥 230009)

在工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域中，零部件工作狀態(tài)下的噪聲通常作為設(shè)備故障監(jiān)測與運(yùn)行維護(hù)的重要指標(biāo)。但是直接采集處于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的零部件(如螺旋槳、鼓風(fēng)機(jī)和風(fēng)扇等)所產(chǎn)生的聲信號(hào)，往往會(huì)得到錯(cuò)誤的分析結(jié)果。該錯(cuò)誤結(jié)果產(chǎn)生的根本原因在于靜止測點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)零部件之間存在由相對運(yùn)動(dòng)引起的多普勒效應(yīng)，該效應(yīng)會(huì)造成所采集聲信號(hào)的幅值畸變和頻散現(xiàn)象。因此，消除旋轉(zhuǎn)聲源的多普勒效應(yīng)是對旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備進(jìn)行工作狀態(tài)有效監(jiān)測與噪聲源準(zhǔn)確定位的前提。當(dāng)前用于消除旋轉(zhuǎn)聲源多普勒效應(yīng)的方法大致分為頻域方法與時(shí)域方法兩類，Lowis等[1-5]采用頻域旋轉(zhuǎn)框架技術(shù)消除旋轉(zhuǎn)聲源的多普勒效應(yīng)，該技術(shù)通過對環(huán)形靜止傳聲器陣列所采集的聲壓頻譜進(jìn)行旋轉(zhuǎn)模態(tài)分解，求解出與聲源同步旋轉(zhuǎn)的虛擬旋轉(zhuǎn)傳聲器位置處的聲壓頻譜，因?yàn)樾D(zhuǎn)聲源同虛擬旋轉(zhuǎn)傳聲器之間無相對運(yùn)動(dòng)，由此完成了多普勒效應(yīng)的消除，之后即可通過頻域波束形成等技術(shù)直接進(jìn)行旋轉(zhuǎn)聲源識(shí)別。在時(shí)域處理方面，Dougherty等[6]和Herold等[7]提出了時(shí)域插值方法，該方法使環(huán)形傳聲器陣列虛擬地和聲源同步旋轉(zhuǎn)，之后計(jì)算各個(gè)時(shí)刻下虛擬旋轉(zhuǎn)傳聲器所處的位置，借助于與虛擬旋轉(zhuǎn)傳聲器相鄰的真實(shí)靜止傳聲器所測得的聲壓信號(hào)進(jìn)行線性插值，求解出虛擬旋轉(zhuǎn)傳聲器的聲壓信號(hào)，在時(shí)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)多普勒效應(yīng)的消除。Ma等[8-9]對上述兩種多普勒效應(yīng)消除方法的理論進(jìn)行了對比，提出頻域旋轉(zhuǎn)框架技術(shù)本質(zhì)上是傅里葉插值方法，而時(shí)域插值法為線性插值方法。

在上述消除旋轉(zhuǎn)聲源多普勒效應(yīng)的方法中，頻域旋轉(zhuǎn)框架技術(shù)在周向均勻布置的傳聲器個(gè)數(shù)是所分析最高周向模態(tài)階數(shù)的兩倍，即應(yīng)當(dāng)滿足采樣定理；時(shí)域插值方法的處理效果依賴于周向均布傳聲器的數(shù)量，在傳聲器數(shù)量較少時(shí)往往存在較大的誤差。因此，現(xiàn)有的兩種方法都需要在周向布置較多的傳聲器才能獲得理想的多普勒效應(yīng)消除效果，這不僅會(huì)導(dǎo)致測量經(jīng)濟(jì)成本的提升，還會(huì)大大增加測量工作量。

針對現(xiàn)有消除旋轉(zhuǎn)聲源多普勒效應(yīng)方法的不足，本文提出了一種基于壓縮感知理論的旋轉(zhuǎn)聲源多普勒效應(yīng)消除方法，該方法通過引入壓縮感知理論，突破了采樣定理的限制，因此該方法可以減少傳聲器的使用數(shù)量，且不要求傳聲器必須均勻分布，同時(shí)該方法還可以保證精度較高的多普勒效應(yīng)消除結(jié)果。

1 基于壓縮感知的旋轉(zhuǎn)聲源多普勒效應(yīng)消除理論

圖1 測量陣列與旋轉(zhuǎn)聲源在柱坐標(biāo)系下的示意圖Fig.1 Sketch of the microphone array and rotating sound source in cylindrical coordinates

假定兩坐標(biāo)系在t=0時(shí)刻重合，則第n個(gè)測點(diǎn)在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系為

(1)

將靜止柱坐標(biāo)系下各測點(diǎn)在t時(shí)刻所接收到的含有多普勒效應(yīng)的聲壓信號(hào)寫成列向量Ps(rs,φs,zs,t)，對其進(jìn)行周向模態(tài)展開得到

Ps(rs,φs,zs,t)=ΨsAm(t)=

(2)

式中：Ψs為靜止柱坐標(biāo)系下N×N階空間變換矩陣；Am(t)為t時(shí)刻下周向模態(tài)幅值；j是虛數(shù)單位；φn(n=1,2,…,N)表示第n個(gè)測點(diǎn)的周向角度；mn(n=1,2,…,N)代表第n個(gè)周向模態(tài)階數(shù)。根據(jù)Shannon-Nyquist采樣定理，周向模態(tài)階數(shù)mn應(yīng)當(dāng)滿足下式

-|1-N|/2≤mn≤N/2

(3)

從N個(gè)測點(diǎn)中隨機(jī)選取H個(gè)安裝傳聲器，通過隨機(jī)1-0矩陣來構(gòu)建H×N階壓縮感知測量矩陣B

(4)

則H個(gè)傳聲器所測得的聲壓信號(hào)可以寫為

PH(rs,φs,zs,t)=BPs(rs,φs,zs,t)=

BΨsAm(t)

(5)

按照壓縮感知理論[10-12]，BΨs只有滿足約束等距特性，才能確保Am(t)得到精確重構(gòu)。Candes等[13-14]提出，若BΨs大概率滿足約束等距特性，則測量矩陣B的行數(shù)H滿足

H≥CKlg(N/K)

(6)

式中：K為信號(hào)稀疏度；C為感知常數(shù)。Huang[15]針對感知常數(shù)的取值與重構(gòu)成功率進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明感知常數(shù)取3已經(jīng)有較高重構(gòu)成功率，且隨著數(shù)值的增大，重構(gòu)成功率越高。肖志成等[16]同樣根據(jù)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果對C的取值進(jìn)行評定，在信號(hào)稀疏度一定的情況下，感知常數(shù)超過3.5時(shí)，重構(gòu)的成功率大于90%。

基于等式(5)，通過迭代加權(quán)方法求解如下l1-范數(shù)最小化問題

(7)

(1) 設(shè)置最大迭代次數(shù)gmax，輸入PH(rs,φs,zs,t)與BΨs；

(4) 將加權(quán)系數(shù)矩陣中第n個(gè)對角線元素更新為

(8)

式中引入δ>0是為了避免出現(xiàn)所求模態(tài)幅值為0的情況；

(5) 更新迭代次數(shù)g=g+1，如果迭代次數(shù)g達(dá)到所設(shè)置的最大迭代次數(shù)，則停止迭代，否則返回至步驟(3)繼續(xù)迭代。最終輸出結(jié)果是Am(t)。

基于旋轉(zhuǎn)柱坐標(biāo)系和靜止柱坐標(biāo)系之間的關(guān)系，以及重構(gòu)出的周向模態(tài)幅值，可以求解出虛擬傳聲器采集到的聲壓信號(hào)

Pu(rs,φs,zs,t)=

(9)

由于虛擬傳聲器與聲源同步旋轉(zhuǎn)，因此其采集到的聲壓信號(hào)不包含多普勒效應(yīng)，因而實(shí)現(xiàn)了多普勒效應(yīng)的消除。

2 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證文中所提方法的有效性，下面進(jìn)行數(shù)值仿真探討。在仿真中使用一個(gè)單極子聲源作為旋轉(zhuǎn)聲源，聲源的起始位置在如圖1所示的靜止柱坐標(biāo)系下為(0.2 m, 0 rad, 0.05 m)，旋轉(zhuǎn)角速度Ω=120 π rad/s，聲源輻射信號(hào)的表達(dá)式寫為

Q(t)=sin(2πft)

(10)

式中，聲源頻率f為500 Hz。周向均勻分布的36個(gè)測點(diǎn)組成環(huán)形測量陣列，陣列位于zs=0的平面上，陣列的中心即為靜止柱坐標(biāo)系的原心，陣列的半徑設(shè)置為0.3 m，陣列與聲源旋轉(zhuǎn)面之間的間距設(shè)置為0.05 m。從36個(gè)測點(diǎn)中隨機(jī)選取15個(gè)測點(diǎn)布置傳聲器，基于所提方法完成多普勒效應(yīng)的消除。時(shí)域信號(hào)的采樣頻率設(shè)置為12.8 kHz。

通常情況下，為了獲得聲壓信號(hào)的各階周向模態(tài)幅值，應(yīng)遵循Shannon-Nyquist采樣定理在周向均勻布置傳聲器。然而基于壓縮感知的理論，可以突破采樣定律，通過隨機(jī)布置較少的傳聲器來重構(gòu)各個(gè)模態(tài)階數(shù)所對應(yīng)的模態(tài)幅值。如圖2所示，按照Shannon-Nyquist采樣定理周向均勻布置36個(gè)測點(diǎn)和基于壓縮感知的原理隨機(jī)設(shè)置15個(gè)測點(diǎn)，在0.78 ms時(shí)各模態(tài)階數(shù)所對應(yīng)的模態(tài)幅值，由圖中可以得知，基于壓縮感知原理可以在較少測點(diǎn)的條件下，精準(zhǔn)識(shí)別主要模態(tài)階數(shù)，同時(shí)重構(gòu)出各模態(tài)階數(shù)的幅值。

圖2 均布36個(gè)測點(diǎn)與隨機(jī)選取15個(gè)測點(diǎn)模態(tài)幅值對比Fig.2 Comparison of mode amplitude between 36 measurement points uniformly distributed and 15 measurement points randomly selected

此次數(shù)值仿真選取測點(diǎn)1(0.3 m, 4 π/9 rad, 0 m)和測點(diǎn)2(0.3 m, 13 π/9 rad, 0 m)對聲壓信號(hào)進(jìn)行比較。圖3(a)和圖3(b)分別是測點(diǎn)1和測點(diǎn)2處的聲壓時(shí)域信號(hào)對比圖。從圖中可以看出，直接測量得到的聲壓信號(hào)在時(shí)域內(nèi)存在由多普勒效應(yīng)導(dǎo)致的幅值畸變現(xiàn)象，基于壓縮感知的原理隨機(jī)選取15個(gè)測點(diǎn)同遵循Shannon-Nyquist采樣定理均布36個(gè)測點(diǎn)在消除多普勒效應(yīng)的效果上基本一致，都能夠修正信號(hào)在時(shí)域內(nèi)的幅值畸變現(xiàn)象。

(a) 測點(diǎn)1

(b) 測點(diǎn)2圖3 兩測點(diǎn)處聲壓時(shí)域信號(hào)對比Fig.3 Comparison of sound pressure signals at two measurement points

圖4(a)和圖4(b)分別為測點(diǎn)1和測點(diǎn)2處的聲壓頻譜對比圖。從圖中可以看出，直接測量得到的聲壓頻譜存在因多普勒效應(yīng)導(dǎo)致的頻散與幅值畸變現(xiàn)象，基于壓縮感知的原理隨機(jī)選取15個(gè)測點(diǎn)同遵循Shannon-Nyquist采樣定理均布36個(gè)測點(diǎn)都能夠?qū)崿F(xiàn)較為理想的多普勒效應(yīng)消除效果，可以修正聲壓頻譜的頻散和幅值畸變現(xiàn)象。

(a) 測點(diǎn)1

(b) 測點(diǎn)2圖4 兩測點(diǎn)處聲壓頻譜對比Fig.4 Comparison of sound pressure spectra at two measurement points

在測點(diǎn)布置方式相同的情況下，將本文的方法同現(xiàn)有的時(shí)域插值方法進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)對比，選取測點(diǎn)1處的信號(hào)進(jìn)行分析。圖5(a)為兩種方法的時(shí)域信號(hào)比較，從中可看出，時(shí)域插值法相較于本文所提方法在幅值恢復(fù)上同理論信號(hào)有較大偏差，從圖5(b)的信號(hào)頻譜對比結(jié)果中也能直接得出，時(shí)域插值法無法較好地消除多普勒效應(yīng)引起的頻散現(xiàn)象，并且500 Hz對應(yīng)的幅值和理論信號(hào)相比有明顯失真，而本文所提方法可有效解決因多普勒效應(yīng)導(dǎo)致的信號(hào)幅值畸變和頻散問題。

(a) 時(shí)域聲壓信號(hào)

(b) 聲壓信號(hào)頻譜圖5 基于壓縮感知的多普勒效應(yīng)消除方法和時(shí)域插值法的信號(hào)恢復(fù)對比Fig.5 Comparison of recovered signals between time-domain interpolation method and Doppler effect elimination method based on the compressed sensing

為了進(jìn)一步探討本文所提方法的抗噪聲能力，在不同信噪比條件下，對此次仿真所使用單頻信號(hào)在500 Hz時(shí)對應(yīng)的幅值恢復(fù)誤差進(jìn)行評定，恢復(fù)誤差Er計(jì)算公式為

(11)

式中：pt是聲源靜止時(shí)理論信號(hào)的幅值；pc為恢復(fù)后的信號(hào)幅值。如圖6所示，在信噪比范圍為20～35 dB的仿真條件下，測點(diǎn)1位置處的信號(hào)幅值恢復(fù)誤差始終維持在較低水平，這表明所提方法具有一定的抗噪聲能力。

圖6 不同信噪比下信號(hào)的恢復(fù)誤差Fig.6 Signal recovering errors under different signal-to- noise ratios

從數(shù)值仿真的效果來看，本文所提方法在使用較少傳聲器且隨機(jī)布置的條件下可以完成多普勒效應(yīng)的消除，同遵循Shannon-Nyquist采樣定理周向均勻布置傳聲器的方法對比有基本相同的處理效果。并且和時(shí)域插值法比較可知，本文的方法能更好地消除多普勒效應(yīng)帶來的信號(hào)幅值畸變和頻散問題。同時(shí)，此方法在不同信噪比條件下仍能維持較小的恢復(fù)誤差，證明所提方法具備一定的抗噪聲能力。

3 試驗(yàn)研究

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的有效性，采用兩個(gè)旋轉(zhuǎn)音箱進(jìn)行試驗(yàn)研究。此次試驗(yàn)在半消聲室內(nèi)進(jìn)行，兩個(gè)音箱固定在電機(jī)上作為旋轉(zhuǎn)聲源，聲源旋轉(zhuǎn)半徑為0.16 m，電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度是8.8 π rad/s，兩聲源輻射的聲信號(hào)都設(shè)置為500 Hz的正弦信號(hào)。試驗(yàn)所使用是北京聲望MPA416系列的1/4英寸傳聲器，此傳聲器的頻率響應(yīng)是20 Hz～20 kHz。如圖7(a)所示，測量陣列為一個(gè)環(huán)形陣列，周向均勻布置36個(gè)傳聲器，陣列半徑是0.4 m，陣列同聲源旋轉(zhuǎn)面之間的間距為0.05 m，具體的試驗(yàn)布置場景如圖7(b)。試驗(yàn)的采樣頻率設(shè)定為25.6 kHz，本次試驗(yàn)從均勻布置的36個(gè)傳聲器中隨機(jī)選取15個(gè)進(jìn)行分析，基于15個(gè)傳聲器所采集的數(shù)據(jù)完成多普勒效應(yīng)的消除。

(a) 測量陣列

(b) 試驗(yàn)情景圖7 試驗(yàn)布置圖Fig.7 Test setup

圖8展示了試驗(yàn)中均布36個(gè)傳聲器與隨機(jī)選取其中15個(gè)傳聲器在0.025 s時(shí)得到的各模態(tài)階數(shù)對應(yīng)的模態(tài)幅值，從圖中可以看出，基于壓縮感知的方法隨機(jī)選取15個(gè)傳聲器可以重構(gòu)出主要模態(tài)階數(shù)的幅值。

圖8 均布36個(gè)傳聲器與隨機(jī)選取15個(gè)傳聲器模態(tài)幅值對比Fig.8 Comparison of mode amplitude between 36 microphones uniformly distributed and 15 microphones randomlyselected

此次試驗(yàn)選取傳聲器1(0.4 m, π/2 rad, 0 m)和傳聲器2(0.4 m, 17 π/18 rad, 0 m)對聲壓信號(hào)進(jìn)行對比。圖9(a)和圖9(b)分別是傳聲器1和傳聲器2處的聲壓時(shí)域信號(hào)對比圖。由圖可知，直接測得的聲壓信號(hào)在時(shí)域內(nèi)表現(xiàn)出明顯的幅值畸變現(xiàn)象，隨機(jī)選取15個(gè)傳聲器和均布36個(gè)傳聲器均能消除多普勒效應(yīng)引起的幅值畸變，且二者有基本相同的修正效果。

(a) 傳聲器1

(b) 傳聲器2圖9 兩傳聲器聲壓時(shí)域信號(hào)對比Fig.9 Comparison of sound pressure signals at two microphones

圖10(a)和圖10(b)分別為傳聲器1和傳聲器2的聲壓頻譜對比圖。從頻譜對比可知，直接測量獲取的聲壓頻譜有明顯的頻散和幅值畸變現(xiàn)象，采用本文提出的方法能有效修正上述現(xiàn)象，且同周向均布36個(gè)傳聲器的方法有相似的處理效果。

(a) 傳聲器1

(b) 傳聲器2圖10 兩傳聲器聲壓頻譜對比Fig.10 Comparison of sound pressure spectra at two microphones

為了進(jìn)一步證明本方法的信號(hào)恢復(fù)優(yōu)勢，采用15個(gè)傳聲器在相同布置的條件下，比較本文方法和時(shí)域插值方法在傳聲器1處的信號(hào)恢復(fù)結(jié)果。從圖11(a)可知，使用時(shí)域插值方法所恢復(fù)的時(shí)域信號(hào)同理論信號(hào)相比有很大誤差，而本文方法恢復(fù)出的信號(hào)更接近理論值。由圖11(b)的信號(hào)頻譜比較可得，時(shí)域插值方法無法準(zhǔn)確重建出真實(shí)的幅值，而本文所提方法能有效消除多普勒效應(yīng)的影響，得到的信號(hào)與理論信號(hào)幾乎一致。

(a) 時(shí)域聲壓信號(hào)

(b) 聲壓信號(hào)頻譜圖11 時(shí)域插值法和基于壓縮感知的多普勒效應(yīng)消除方法的信號(hào)重建對比Fig.11 Comparison of recovered signals between time-domain interpolation method and Doppler effect elimination method based on the compressed sensing

此次試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提方法的正確性，在實(shí)際應(yīng)用中能夠基于壓縮感知的理論使用較少傳聲器完成多普勒效應(yīng)的消除。

4 結(jié) 論

本文對消除旋轉(zhuǎn)聲源多普勒效應(yīng)的方法進(jìn)行研究，提出了一種基于壓縮感知理論的多普勒效應(yīng)消除方法。該方法采用少量且隨機(jī)分布的傳聲器準(zhǔn)確重構(gòu)出信號(hào)的各階模態(tài)幅值，之后借助于靜止柱坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)柱坐標(biāo)系之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，求解獲得旋轉(zhuǎn)框架下不含多普勒效應(yīng)的聲信號(hào)。文中通過數(shù)值仿真和試驗(yàn)研究對所提方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明采用較少傳聲器隨機(jī)布置的方法同基于采樣定理均勻布置傳聲器的方法在消除多普勒效應(yīng)的效果上基本一致。因此本文所提方法可以在保證多普勒效應(yīng)消除效果的同時(shí)，降低測量成本和測量工作量。