李 琳， 古智超， 張 鐵

(華南理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院， 廣州 510641)

由于工業(yè)機器人機械結(jié)構(gòu)限制，其傳動系統(tǒng)廣泛采用同步帶、諧波減速器等剛度較低的柔性傳動部件，伺服電機通過柔性傳動部件驅(qū)動外部剛性連桿運動，導(dǎo)致機器人末端振動問題，嚴重降低軌跡運動精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性。為提升機器人伺服系統(tǒng)的控制性能，抑制機器人快速啟動時的末端振動現(xiàn)象，故研究針對柔性關(guān)節(jié)特性的振動控制方法。

伺服系統(tǒng)的振動控制方法包含被動振動控制和主動振動控制方法，被動振動控制方法主要為利用陷波濾波器對系統(tǒng)指令中特定頻率振動信號濾波衰減以抑制振動，工程應(yīng)用范圍廣，如三自由度機器人[1]、數(shù)控加工平臺[2]。多自由度機器人的關(guān)節(jié)慣量隨運動位置而改變，陷波濾波器的魯棒性仍有待提高。輸入整形器通過衰減輸入信號中的諧振頻率成分而抑制系統(tǒng)振動，因其無需設(shè)計狀態(tài)估計器和修改系統(tǒng)的反饋控制結(jié)構(gòu)而得到廣泛應(yīng)用，如柔性梁[3]、工業(yè)機器人[4], 移動臂式起重機[5]。典型的輸入整形器存在時延問題，直接對多自由度機器人的關(guān)節(jié)軌跡輸入整形會導(dǎo)致笛卡爾軌跡的輪廓誤差問題。主動振動控制方法基于狀態(tài)反饋實現(xiàn)振動控制，如負載位置反饋[6]、關(guān)節(jié)力矩反饋[7]等，狀態(tài)反饋控制需要設(shè)計系統(tǒng)狀態(tài)估計器，增加了應(yīng)用難度。

關(guān)節(jié)力矩反饋是狀態(tài)反饋控制方法，能抑制雙慣量伺服系統(tǒng)在反共振頻率(anti-resonance frequency, ARF)處的諧振現(xiàn)象?；谂渲藐P(guān)節(jié)力矩傳感器的柔性關(guān)節(jié)伺服控制系統(tǒng)，國內(nèi)外學(xué)者對JTF控制進行了深入的研究[8-10]。由于制造成本問題，大部分商用工業(yè)機器人在關(guān)節(jié)端無配置力矩傳感器，故需要進行關(guān)節(jié)力矩估計。Shi等[11]提出一種具有自適應(yīng)魯棒性和根據(jù)關(guān)節(jié)負載變化進行最優(yōu)調(diào)整特點的關(guān)節(jié)力矩估計方法，在諧波減速器傳動的單關(guān)節(jié)試驗平臺上驗證了估計方法的有效性。Zhang等[12]提出一種基于負載位置測量的關(guān)節(jié)力矩估計方法，在配置諧波減速器的機器人關(guān)節(jié)上驗證了可行性并實現(xiàn)關(guān)節(jié)力矩反饋控制。Zhu等[13]建立了諧波減速器動力學(xué)模型，并提出基于動力學(xué)模型控制和自適應(yīng)摩擦補償控制算法，試驗結(jié)果表明所述算法在關(guān)節(jié)力矩和關(guān)節(jié)位置控制模式下具有可行性。

除準確估計關(guān)節(jié)處的摩擦力矩外，重力項力矩也是不可忽略的估計項，工業(yè)機器人的動力學(xué)模型為重力項和摩擦力矩估計提供新的解決思路。典型的剛體動力學(xué)模型忽略關(guān)節(jié)柔性，辨識試驗得到耦合的最小參數(shù)集模型，不利于各關(guān)節(jié)的解耦控制[14-15]。Pham等[16]忽略機器人重力項力矩，提出考慮關(guān)節(jié)柔性的機器人動力學(xué)建模和辨識方法，試驗結(jié)果驗證該動力學(xué)模型的可行性。Choi等[17]以不同頻率的正弦軌跡作為激勵軌跡，實現(xiàn)慣性力矩、重力項力矩和摩擦力矩等動力學(xué)模型力矩的分離辨識，并在六自由度機器人上驗證了有效性。Luca等[18]在柔性關(guān)節(jié)機器人(flexible joint robot, FJR)上，基于可測量的電機角度實現(xiàn)實時重力補償控制，試驗結(jié)果表明補償控制方法有效減小電機端的跟蹤誤差。

一方面考慮到無法利用傳感器直接測量關(guān)節(jié)力矩，另一方面必須對機器人的重力項力矩和摩擦力矩進行估計，因此基于工業(yè)機器人的柔體動力學(xué)模型提出了實時關(guān)節(jié)力矩估計方法，本文將在第2章詳細分析該估計方法。本文的研究目標為基于柔體動力學(xué)模型實現(xiàn)關(guān)節(jié)力矩反饋控制，并分析該抑振方法對機器人末端振動的控制效果。

1 關(guān)節(jié)力矩反饋振動控制原理

圖1 柔性關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)Fig.1 Flexible joint transmission system

圖2 柔性關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
Fig.2 Flexible joint control system structural diagram

當(dāng)忽略擾動力矩Td且不開啟補償環(huán)節(jié)和關(guān)節(jié)力矩反饋(即F(s)=0)時，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)為

(1)

關(guān)節(jié)角度的振動特性與G(s)在反共振頻率處的幅頻響應(yīng)特性|G(jωa)|直接相關(guān)

(2)

為獲得較好的動態(tài)響應(yīng)，KP,KV設(shè)定值較大，使得系統(tǒng)在頻率ωa處存在諧振峰值，從而引起機械振動。

(3)

(4)

由此可得|G(jωa)|PD<|G(jωa)|P<|G(jωa)|，故增加關(guān)節(jié)力矩反饋環(huán)節(jié)能減小系統(tǒng)諧振峰值，抑制系統(tǒng)的振動現(xiàn)象。

2 電機位置的穩(wěn)態(tài)誤差分析

在柔性關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)中，穩(wěn)態(tài)誤差主要由重力項力矩和摩擦力矩等未建模的擾動力矩引起。在擾動力矩Td(s)作用下，電機位置的誤差信號Ed(s)為

(5)

此時，電機位置的穩(wěn)態(tài)誤差為

(6)

(7)

從式(7)可知，引入關(guān)節(jié)力矩反饋控制后，由擾動力矩導(dǎo)致的電機位置穩(wěn)態(tài)誤差增大。為克服此不足，可對機器人的重力項力矩和摩擦力矩進行補償，以減小電機位置控制器為抵消擾動力矩而產(chǎn)生的電機位置誤差，如圖2中的補償環(huán)節(jié)所示。

3 基于柔體動力學(xué)的實時關(guān)節(jié)力矩估計方法

目前大部分工業(yè)機器人無配置關(guān)節(jié)力矩和角度傳感器，僅能采集伺服電機力矩和角度數(shù)據(jù)，故需要通過動力學(xué)建模估計關(guān)節(jié)力矩。在Pham等提出的柔體動力學(xué)模型基礎(chǔ)上，忽略科氏力并考慮機器人的重力項和摩擦力矩，得到簡化的動力學(xué)方程為

(8)

式中:fvli為關(guān)節(jié)i的黏性摩擦因數(shù)；fvmi為第i個電機軸的黏性摩擦因數(shù)；fsmi為第i個電機軸的庫侖摩擦因數(shù)；Mli1，Mli2為關(guān)節(jié)i的重力項系數(shù)；Hli1,Hli2為關(guān)節(jié)i的重力項相關(guān)位置量；Ml,Hl的表達式由后面的重力項力矩推導(dǎo)給出。

典型的六自由度工業(yè)機器人結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示，考慮到機器人末端振動現(xiàn)象主要由前三關(guān)節(jié)的柔性部件引起，且第4、5、6關(guān)節(jié)運動對前三關(guān)節(jié)重力項力矩影響較小，對前三關(guān)節(jié)重力項力矩進行簡化分析，如圖4所示。

圖3 工業(yè)機器人結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structural diagram of industrial robot

圖4 前三關(guān)節(jié)重力項力矩簡化示意圖Fig.4 First three joints’ gravity torque simplified diagram

(9)

結(jié)合機器人的坐標關(guān)系，以-θm/n替換θl，代入式(9)得Ml,Hl表達式為

Ml11=Ml12=0,Hl11=Hl12=0

(10)

由于無法采集關(guān)節(jié)角度數(shù)據(jù)，依據(jù)式(8)將其表示為可測量的電機力矩和電機角度的表達式

(11)

將式(11)代入式(8)并整理得可辨識線性方程為

(12)

式中:

x7=fsmi,x8=Mli1/ni,x9=Mli2/ni

由于電機軸上的力矩平衡方程可近似為

(13)

由動力學(xué)模型得重力項和摩擦力矩估計值為

(14)

從而得關(guān)節(jié)力矩估計值為

(15)

第2章中的重力項和摩擦補償力矩為

(16)

綜上，完成柔體動力學(xué)參數(shù)辨識后可估計重力項和摩擦力矩，進而以式(15)實時計算關(guān)節(jié)力矩估計值，以式(16)實時計算重力項和摩擦補償力矩。

4 柔體動力學(xué)參數(shù)辨識方法

當(dāng)采集機器人L個采樣時刻的測量數(shù)據(jù)后，依據(jù)式(12)整理電機力矩向量Tmi∈RL×1和觀測矩陣Ai∈RL×Q如下

(17)

(18)

激勵軌跡是指機器人動力學(xué)參數(shù)辨識試驗中使用的關(guān)節(jié)軌跡，其應(yīng)具備激發(fā)機器人的動力學(xué)特性并且對傳感器測量噪聲不敏感的特點，以提高辨識精度。采用有限傅里葉級數(shù)的周期性激勵軌跡為

(19)

(20)

(21)

綜上，對柔體動力學(xué)建模、參數(shù)辨識以及實時關(guān)節(jié)力矩估計的計算流程進行總結(jié)，如圖5所示。

圖5 動力學(xué)參數(shù)辨識計算流程圖Fig.5 Flow chart of dynamic parameters’ identification

5 試驗及結(jié)果

5.1 試驗平臺

基于六自由度工業(yè)機器人搭建試驗平臺，機器人本體配置電機位置和電機力矩傳感器，查詢機器人產(chǎn)品手冊得到前三關(guān)節(jié)的減速比和電機軸慣量如表1所示，利用三向加速度傳感器測量機器人末端振動信號，傳感器測量范圍為±30g，模擬量由倍福模組采集。實時控制系統(tǒng)為研華510工控機，采用EtherCAT總線通訊，控制采樣頻率為1 000 Hz，試驗平臺如圖6所示。

表1 前三關(guān)節(jié)的減速比和電機軸慣量Tab.1 First three joints’ reduction ratio and motor inertia

圖6 試驗平臺Fig.6 Test platform

5.2 柔體動力學(xué)參數(shù)辨識試驗及結(jié)果分析

首先設(shè)計動力學(xué)參數(shù)辨識軌跡，取ωf=0.08 Hz,N=6，為評價所述柔體動力學(xué)模型的估計精度，設(shè)計一組激勵軌跡和驗證軌跡進行對比，如圖7所示。激勵軌跡運行過程為依次運行前三關(guān)節(jié)的辨識軌跡，每次僅運行單個關(guān)節(jié)，其余關(guān)節(jié)保持起始點位置不運動；驗證軌跡則以多關(guān)節(jié)聯(lián)動方式運行。

(a) 激勵軌跡

(b) 驗證軌跡圖7 激勵軌跡和驗證軌跡Fig.7 Excitation trajectory and verification trajectory

運行激勵軌跡并按照第4章所述辨識方法，在MATLAB軟件中進行離線數(shù)據(jù)處理，得到柔體動力學(xué)參數(shù)估計值如表2所示，物理量參數(shù)估計值如表3所示。利用式(21)計算驗證軌跡前三關(guān)節(jié)的電機力矩先驗估計值，運行驗證軌跡后得到電機力矩測量值，估計誤差如圖8所示，估計誤差的平均值、標準差和均方根誤差(RMSE, Root Mean Square Error)如表4所示。

表2 柔體動力學(xué)參數(shù)估計值Tab.2 Estimation of flexible dynamic parameters

表3 物理量參數(shù)的估計值Tab.3 Estimation of physical parameters

表4 估計誤差分析Tab.4 Analysis of estimated error N·m

由圖8和表4可知，辨識的動力學(xué)模型能準確估計驗證軌跡的電機力矩，采用式(20)所示的變量替換是可行的，說明所述動力學(xué)模型能較好地描述工業(yè)機器人柔體動力學(xué)特性。圖8中前三關(guān)節(jié)電機力矩估計誤差存在尖點值，這是由于在關(guān)節(jié)運動轉(zhuǎn)向時，摩擦力矩會表現(xiàn)出較強的非線性特性，所采用的“庫侖+黏性”摩擦模型會出現(xiàn)一定偏差，從而引起誤差尖點值。

(a) 關(guān)節(jié)1

(b) 關(guān)節(jié)2

(c) 關(guān)節(jié)3圖8 柔體動力學(xué)模型的估計誤差Fig.8 Estimated error of flexible dynamic model

5.3 關(guān)節(jié)力矩反饋振動控制試驗及結(jié)果分析

基于上述辨識的動力學(xué)模型，進行關(guān)節(jié)力矩反饋控制試驗，分別設(shè)計比例反饋和比例-微分反饋控制器，控制參數(shù)如表5所示。采用線性插補函數(shù)設(shè)計笛卡爾空間的圓弧和直線軌跡如圖9所示，圓弧和直線軌跡的前三關(guān)節(jié)的啟動速度分別-0.95 rad/s、-0.94 rad/s、-0.42 rad/s和0.62 rad/s、-0.68 rad/s、-0.39 rad/s，運動時間為1 000 ms。利用三向加速度傳感器測量機器人末端的加速度作為振動信號，以量化評價振動控制效果。

圖9 圓弧和直線軌跡Fig.9 Cartesian arc and linear trajectory

表5 反饋控制器參數(shù)Tab.5 Parameters of feedback controller

圖10 目標速度與反饋速度對比Fig.10 Comparison of target velocity and feedback velocity

圖11 關(guān)節(jié)力矩微分估計值濾波方法Fig.11 Filtered method for joint torque differential estimation

在圓弧軌跡中，采用比例反饋控制器時，關(guān)節(jié)力矩估計情況如圖12所示。從圖12可知，通過去除電機力矩中的重力項力矩、摩擦力矩等成分，得到在y=0上波動的關(guān)節(jié)力矩估計值，表明本文所提出的實時關(guān)節(jié)力矩估計方法能滿足關(guān)節(jié)力矩反饋控制的應(yīng)用要求。

圖12 關(guān)節(jié)力矩估計值與電機力矩對比Fig.12 Comparison of joint torque estimation and motor torque

在圓弧軌跡中，兩種控制器的反饋控制量對比如圖13所示。從圖13可知，采用比例-微分控制器時，前三關(guān)節(jié)的反饋控制量均無嚴重突變現(xiàn)象，表明所述濾波方法能滿足關(guān)節(jié)力矩反饋控制的信號降噪要求。

err(t)=

(22)

圖13 關(guān)節(jié)力矩反饋的控制量Fig.13 Control quantity of joint torque feedback

在圓弧軌跡中，前三關(guān)節(jié)的電機位置跟蹤誤差如圖14所示。從圖14可知，在啟動階段，開啟關(guān)節(jié)力矩反饋后，跟蹤誤差有所增大；改進的“補償+比例-微分反饋控制”則能有效減小電機位置的跟蹤誤差。

圖14 電機位置的跟蹤誤差Fig.14 Tracking error of motor position

圖15 圓弧軌跡跟蹤誤差Fig.15 Tracking error of arc trajectory

圖16 直線軌跡跟蹤誤差Fig.16 Tracking error of line trajectory

圓弧和直線軌跡中三向加速度傳感器的各軸的加速度信號分別如圖17和圖18所示，利用式(23)計算振動信號能量，考慮到振動信號衰減情況，取前500 ms振動信號計算，計算結(jié)果如表6所示。

(23)

圖17 圓弧末端振動信號Fig.17 End vibrational signal of arc trajectory

圖18 直線末端振動信號Fig.18 End vibrational signal of linear trajectory

表6 振動信號能量比較Tab.6 Comparison of vibrational signal energyE/( m2·s-3)

與未采用關(guān)節(jié)力矩反饋控制相比，在加速度傳感器X、Y和Z軸振動信號能量上，采用比例控制器時，圓弧軌跡分別減少7.63%、26.74%和27.61%，直線軌跡分別減少20.95%、23.98%和26.25%；采用比例-微分控制器時，圓弧軌跡分別減少15.52%、31.76%和37.56%，直線軌跡分別減少34.49%、29.51%和41.00%；采用改進的“補償+比例-微分反饋控制”時，圓弧軌跡分別減少15.90%、31.04%和38.32%，直線軌跡分別減少5.42%、23.91%和45.63%。振動控制試驗結(jié)果表明關(guān)節(jié)力矩反饋控制能有效抑制工業(yè)機器人的末端振動，提高其運動穩(wěn)定性。改進的“補償+比例-微分反饋控制”方法在保證振動控制效果的同時，能有效減小軌跡跟蹤誤差。

6 結(jié) 論

針對工業(yè)機器人的末端振動問題，分析了振動現(xiàn)象成因。基于柔體動力學(xué)模型實現(xiàn)實時關(guān)節(jié)力矩估計，提出了一種在無配置關(guān)節(jié)力矩傳感器的工業(yè)機器人上應(yīng)用關(guān)節(jié)力矩反饋控制的振動控制方法，試驗結(jié)果表明所述方法的可行性和有效性，得到結(jié)論如下：

(1) 建立工業(yè)機器人的柔體動力學(xué)模型，并采用最小二乘法辨識系統(tǒng)模型參數(shù)，該模型能準確地估計電機力矩，滿足關(guān)節(jié)力矩反饋控制與重力項和摩擦力矩補償控制的應(yīng)用要求；

(2) 基于動力學(xué)模型實時計算關(guān)節(jié)力矩估計值，并進行關(guān)節(jié)力矩反饋控制，采用比例控制器時，圓弧和直線振動能量最大分別減少達27.61%和26.25%；采用比例-微分控制器時，圓弧和直線振動能量最大分別減少達37.56%和41.00%；采用改進的“補償+比例-微分反饋控制”時，圓弧和直線振動能量最大分別減少達38.32%和45.63%，表明所述的振動控制方法能有效抑制工業(yè)機器人的末端振動，改進的“補償+比例-微分反饋控制”方法能兼顧振動控制性能和軌跡跟蹤性能。

關(guān)節(jié)力矩反饋控制方法在不改變輸入信號的情況下，實現(xiàn)了工業(yè)機器人的振動控制，在今后的工作中，將對JTF控制器的設(shè)計進行更深入的研究。