孫偉程， 關(guān)振群， 潘嘉誠， 曾 巖

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系/工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

廣泛應(yīng)用于機(jī)械、航空航天等領(lǐng)域的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)，是航空航天箭體結(jié)構(gòu)艙段間的主要連接形式。由于螺栓法蘭對(duì)接面的存在令艙段結(jié)構(gòu)間喪失了連續(xù)性，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性復(fù)雜[1-2]，因此需要開展不同動(dòng)力學(xué)載荷工況下螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)分析，以便獲得更精確的整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征。

當(dāng)前，對(duì)螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究多集中在建模方面，以數(shù)值仿真分析其非線性響應(yīng)特性。Luan等[3]將拉壓雙線性剛度彈簧引入到螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)模型中，將復(fù)雜的模型簡(jiǎn)化為兩自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)橫縱耦合振動(dòng)關(guān)系，并由此闡釋縱向和橫向運(yùn)動(dòng)耦合的機(jī)理。在此基礎(chǔ)上，Lu等[4-5]引入橫向自由度研究彎扭剪耦合作用下含剪力銷的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，研究不同錐角和裝配間隙對(duì)螺栓最大拉力的影響，指出剪力銷的最佳角度設(shè)計(jì)區(qū)間及裝配間隙。蔣國慶等[6-7]分析了不同幾何參數(shù)、模型網(wǎng)格及接觸參數(shù)對(duì)螺栓法蘭整體連接結(jié)構(gòu)仿真精度及計(jì)算效率的影響，采用力狀態(tài)映射法對(duì)簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，獲取較高的模擬精度。Tian等[8-11]對(duì)沖擊載荷下螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)失效過程進(jìn)行研究，分析螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)失效形式，發(fā)現(xiàn)螺栓組呈現(xiàn)序列失效模式，而單個(gè)螺栓呈“拉彎耦合”的失效形式。Li等[12]建立薄壁圓柱殼連接結(jié)構(gòu)的半解析模型，考慮螺栓法蘭連接摩擦特性及界面狀態(tài)，分析結(jié)構(gòu)頻率特性。潘嘉誠等[13]建立考慮局部接觸分離的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)模型，研究螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)分離階段的剛度非線性特征。聶肇坤等[14-15]提出可表征箭體艙段連接結(jié)構(gòu)非線性特征的模型，由此基于靜力分析或靜載試驗(yàn)識(shí)別參數(shù)，建立火箭結(jié)構(gòu)總體的橫縱耦合動(dòng)力學(xué)分析模型。上述研究主要針對(duì)單一連接面非線性特征對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響進(jìn)行分析，而實(shí)際結(jié)構(gòu)如三級(jí)運(yùn)載火箭等常采用至少兩個(gè)連接面的螺栓法蘭結(jié)構(gòu)構(gòu)成整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析模型，因此，有必要開展多連接面非線性的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)研究。

本文基于螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的拉壓雙線性彈簧模型，建立雙連接面結(jié)構(gòu)的四自由度彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)等效模型，研究雙連接面非線性特征對(duì)結(jié)構(gòu)橫縱耦合振動(dòng)的影響。在忽略接觸面相對(duì)滑動(dòng)且假設(shè)剛性接觸的條件下，分析系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性，研究?jī)蓚€(gè)連接面具有不同非線性參數(shù)時(shí)，不同載荷下系統(tǒng)各位移響應(yīng)之間的相互影響，并討論兩連接面之間不同剛度比、質(zhì)量比等參數(shù)條件對(duì)位移響應(yīng)幅值的影響。

1 螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)模型

為研究如圖1所示典型雙連接面的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)在一端固支時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，假設(shè)彈性小變形階段的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)剛度具有拉壓不同的雙線性特征(如圖2)，相對(duì)于連接結(jié)構(gòu)部分，被連接柱殼剛度足夠大而可以近似為剛體。因此，兩個(gè)連接面上都采用拉壓雙線性剛度的彈簧單元表征連接剛度，并忽略接觸面相對(duì)滑動(dòng)。設(shè)連接面處于縱向拉伸狀態(tài)時(shí)，此彈簧形變?chǔ)拇笥?、剛度為kt；而連接面處于壓縮狀態(tài)時(shí)，此彈簧形變?chǔ)男∮?、剛度為kc，可見第i個(gè)連接面處的第j個(gè)彈簧剛度kij可表示為

(1)

圖1 典型螺栓法蘭結(jié)構(gòu)及其建模Fig.1 Typical bolted flange structure and the model

圖2 非線性剛度Fig.2 Bi-linear stiffness

由此，得到雙連接面的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)四自由度簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型(如圖3)。其中，下層彈簧下端為固支邊界條件，下層彈簧另一端與部段相連，上層彈簧兩端均與部段相連，并引用如下假設(shè)：彈簧變形始終為彈性小變形；部段近似為剛體，連接面為剛性面；部段形心與質(zhì)心重合于圖3所示連接面中心點(diǎn)，且連接面中心僅有縱向位移。各部段剛體質(zhì)量為M1、M2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1、J2；第1個(gè)連接面為下連接面，兩個(gè)彈簧剛度為k11、k12；第2個(gè)連接面為上連接面，兩個(gè)彈簧剛度為k21、k22；各連接面上彈簧間距為b；下連接面中心點(diǎn)O1縱向位移為u1、相對(duì)中心點(diǎn)O1的下連接面轉(zhuǎn)角為θ1，上連接面中心點(diǎn)O2縱向位移為u2、相對(duì)中心點(diǎn)O2的上連接面轉(zhuǎn)角為θ2。因彈簧剛度非線性，結(jié)構(gòu)在橫向沖擊下，兩側(cè)彈簧形變不同會(huì)引起剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖3 四自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)Fig.3 4-DOF mass-spring system

已知系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能可表示為

(2)

(3)

(4)

基于拉格朗日方程，根據(jù)動(dòng)能公式(2)與勢(shì)能公式(3)可推導(dǎo)出如下的四自由度動(dòng)力學(xué)控制方程：

(5)

式中：y=[u1,u2,θ1,θ2]T，F(xiàn)=[F1,F2,F3,F4]T；假設(shè)系統(tǒng)阻尼項(xiàng)為阻尼系數(shù)ζ的線性模態(tài)阻尼，且第i階自由度主頻為ωi，則有

(6)

(7)

(8)

(9)

由上述公式可知，質(zhì)量陣(6)有多個(gè)質(zhì)量耦合項(xiàng)，且剛度陣(8)各元素需要通過式(1)、(4)和(9)計(jì)算，其非線性特征源于式(1)的彈簧剛度，且與多個(gè)位移響應(yīng)耦合(如式(4)所示)。

2 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

本節(jié)以龍格-庫塔法研究式(5)系統(tǒng)在沖擊或諧波載荷下的非線性響應(yīng)(沖擊載荷通過指定初速度施加)，時(shí)間步長(zhǎng)為0.000 1 s；為開展定性研究，模型參數(shù)和加載工況參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameters

2.1 給定初始角速度的無阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)

(a) u1(實(shí)線)和u2(虛線)

(b) θ1(實(shí)線)和θ2(虛線)圖4 無阻尼自由振動(dòng)位移響應(yīng)Fig.4 Displacement responses of free vibration without

(a) u1(實(shí)線)和u2(虛線)

(b) θ1(實(shí)線)和θ2(虛線)圖5 無阻尼自由振動(dòng)頻率響應(yīng)Fig.5 Frequency responses of free vibration without

2.2 給定初始縱向速度的無阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)

(a) 位移響應(yīng)

(b) 頻率響應(yīng)圖6 系統(tǒng)縱向響應(yīng)(u1, 實(shí)線; u2, 虛線;Fig.6 Vertical response of the system (u1, solid line; u2,

可見，系統(tǒng)對(duì)橫向載荷或轉(zhuǎn)角激勵(lì)更敏感，考慮到彎剪破壞是更常見的螺栓法蘭連接柱殼結(jié)構(gòu)失效形式，后文只討論施于系統(tǒng)角位移上的諧波激勵(lì)問題。

2.3 諧波激勵(lì)下的阻尼系統(tǒng)響應(yīng)

基于工程經(jīng)驗(yàn)及振動(dòng)能量耗散效率的綜合考慮，取初始阻尼系數(shù)ζ=0.25，設(shè)F=[0, 0,F3, 0]T，系統(tǒng)方程(5)施加定頻諧波激勵(lì)：

F3=sin(2πft)kN·m

(10)

設(shè)式(10)中的頻率f=8 Hz且初位移及初速度皆為0時(shí)，由圖7可知計(jì)算到5 s后，自由振動(dòng)衰減完畢，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定的強(qiáng)迫振動(dòng)狀態(tài)。將穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換得到圖8的頻響曲線，由此發(fā)現(xiàn)在8 Hz諧波激勵(lì)下，系統(tǒng)縱向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生16 Hz和32 Hz的頻響峰值，且16 Hz頻率上幅值最大，倍頻的產(chǎn)生顯示系統(tǒng)發(fā)生超諧波共振。上下兩部段的響應(yīng)頻率在當(dāng)前激勵(lì)下幾乎一致，均發(fā)生超諧波共振；而上層縱向響應(yīng)幅值被一定程度放大，這與無阻尼自由振動(dòng)結(jié)果類似。由圖9相圖可知，位移響應(yīng)均為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，與圖8頻響結(jié)果一致，響應(yīng)中含多個(gè)頻率成分。

圖7 位移u1時(shí)程響應(yīng)Fig.7 Time history response of displacement u1

(a) 位移響應(yīng)(u1)

(b) 轉(zhuǎn)角響應(yīng)(θ1)

(c) 位移響應(yīng)(u2)

(d) 轉(zhuǎn)角響應(yīng)(θ2)圖8 諧波激勵(lì)下的系統(tǒng)頻率響應(yīng)(f=8 Hz，ζ=0.25)Fig.8 Frequency response of system under harmonic excitation (f=8 Hz，ζ=0.25)

圖9 系統(tǒng)響應(yīng)相圖(f=8 Hz，ζ=0.25)Fig.9 Phase diagram of system response(f=8 Hz，ζ=0.25)

若式(9)中的頻率f=16 Hz，所得頻率響應(yīng)結(jié)果見圖10所示：下層部段縱向位移響應(yīng)能量集中在主頻10.658 Hz上，轉(zhuǎn)角位移響應(yīng)能量則集中在主頻5.329 Hz上，產(chǎn)生亞諧波共振；上層部段轉(zhuǎn)角響應(yīng)幅頻特性與下層部段類似，但是縱向位移響應(yīng)的幅頻特征較復(fù)雜，呈多峰值形態(tài)，多頻疊加現(xiàn)象明顯。在圖11給出的相圖中，能發(fā)現(xiàn)各自由度響應(yīng)仍為準(zhǔn)周期振動(dòng)，但在不同周期間切換，呈現(xiàn)出混沌吸引子形態(tài)。

(a) 位移響應(yīng)(u1)

(b) 轉(zhuǎn)角響應(yīng)(θ1)

(c) 位移響應(yīng)(u2)

(d) 轉(zhuǎn)角響應(yīng)(θ2)圖10 諧波激勵(lì)下的系統(tǒng)頻率響應(yīng)(f=16 Hz，ζ=0.25)Fig.10 Frequency response of system under harmonic excitation (f=16 Hz，ζ=0.25)

圖11 系統(tǒng)響應(yīng)相圖(f=16 Hz，ζ=0.25)Fig.11 Phase diagram of system response(f=16 Hz，ζ=0.25)

將阻尼系數(shù)ζ增大到0.8，并令諧波激勵(lì)頻率f=8 Hz且初始位移及初速度皆為0?？梢钥闯鱿到y(tǒng)快速進(jìn)入強(qiáng)迫振動(dòng)階段，上下兩個(gè)部段的縱向位移響應(yīng)之間及二者轉(zhuǎn)角位移響應(yīng)之間都存在π/2的相位差(如圖12所示)，下部段的能量傳至上層，交替產(chǎn)生峰值。由圖13的頻響結(jié)果中，在8 Hz的諧波激勵(lì)下，產(chǎn)生轉(zhuǎn)角響應(yīng)8 Hz、縱向位移響應(yīng)16 Hz和32 Hz的超諧波共振。在圖14的相圖中也能發(fā)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有一定的周期性。

(a) u1(實(shí)線)和u2(虛線)

(b) θ1(實(shí)線)和θ2(虛線)圖12 諧波激勵(lì)下的系統(tǒng)位移響應(yīng)(f=8 Hz, ζ=0.8)Fig.12 Displacement response of system under harmonic excitation (f=8 Hz，ζ=0.8)

(a) 位移響應(yīng)(u1)

(b) 轉(zhuǎn)角響應(yīng)(θ1)

(c) 位移響應(yīng)(u2)

(d) 轉(zhuǎn)角響應(yīng)(θ2)圖13 諧波激勵(lì)下的系統(tǒng)頻率響應(yīng)(f=8 Hz，ζ=0.8)Fig.13 Frequency response of system under harmonic excitation (f=8 Hz，ζ=0.8)

圖14 系統(tǒng)響應(yīng)相圖(f=8 Hz，ζ=0.8)Fig.14 Phase diagram of system response(f=8 Hz, ζ=0.8)

其他初始條件不變，在阻尼系數(shù)ζ=0.8且諧波激勵(lì)頻率f=16 Hz時(shí)，由圖15和圖16可知，系統(tǒng)縱向位移響應(yīng)同時(shí)存在10.658 Hz和21.317 Hz的亞諧波和超諧波共振，而轉(zhuǎn)角位移響應(yīng)則出現(xiàn)5.329 Hz的亞諧波共振。由圖17可知，上下兩部段的轉(zhuǎn)角位移響應(yīng)相圖均為雙吸引子的倍周期運(yùn)動(dòng)，且為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

(a) u1(實(shí)線)和u2(虛線)

(b) θ1(實(shí)線)和θ2(虛線)圖15 諧波激勵(lì)下的系統(tǒng)位移響應(yīng)(f=16Hz, ζ=0.8)Fig.15 Displacement response of system under harmonic excitation(f=16Hz，ζ=0.8)

(a) 位移響應(yīng)(u1)

(b) 轉(zhuǎn)角響應(yīng)(θ1)

(c) 位移響應(yīng)(u2)

(d) 轉(zhuǎn)角響應(yīng)(θ2)圖16 諧波激勵(lì)下的系統(tǒng)頻率響應(yīng)(f=16 Hz，ζ=0.8)Fig.16 Frequency response of system under harmonic excitation(f=16 Hz，ζ=0.8)

由此可知，諧波激勵(lì)下的雙連接面非線性系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)于載荷頻率和阻尼大小十分敏感，在特定載荷條件下存在變周期的現(xiàn)象，因此在多連接面的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)建模分析中，除了要考慮載荷頻率特性之外，還需要額外關(guān)注實(shí)際工況下結(jié)構(gòu)阻尼的影響。

3 各部段參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響

3.1 剛度比對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

設(shè)上下兩個(gè)連接面上彈簧壓縮模量kc1和kc2相同，改變二者拉伸模量的比值kt2/kt1的大小可得到如圖18所示的系統(tǒng)響應(yīng)幅值變化圖，而改變二者拉伸模量的比值kt1/kt2的大小則得到如圖19所示的系統(tǒng)響應(yīng)幅值變化圖。圖18中，當(dāng)剛度kt2/kt1減小時(shí)，上層的縱向和轉(zhuǎn)角位移幅值總體呈增大的趨勢(shì)，但在特定比例區(qū)間會(huì)明顯減小，比如在剛度比kt2/kt1=1/2時(shí)，系統(tǒng)縱向位移幅值最大，在剛度比kt2/kt1=1/5時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)角位移幅值最大，而剛度比kt2/kt1的變化對(duì)下層縱向和轉(zhuǎn)角位移幅值影響不大。圖19中，當(dāng)剛度比kt1/kt2減小時(shí)，下部段縱向和轉(zhuǎn)角位移幅值逐漸升高，而上部段縱向位移幅值逐漸降低，上部段轉(zhuǎn)角位移幅值總體逐漸降低，但在剛度比kt1/kt2介于1/5至2/5之間時(shí)，上部段的轉(zhuǎn)角位移幅值會(huì)放大；剛度比kt1/kt2=7/10時(shí)，上下部段的縱向位移幅值和轉(zhuǎn)角位移幅值均相等。

(b) θ1(實(shí)線)和θ2(虛線)圖18 不同剛度比kt2/kt1下的系統(tǒng)最大位移及轉(zhuǎn)角Fig.18 Displacement amplitude of the system with different stiffness ratio kt2/kt1

(a) u1(實(shí)線)和u2(虛線)

(b) θ1(實(shí)線)和θ2(虛線)圖19 不同剛度比kt1/kt2下的系統(tǒng)位移幅值Fig.19 Displacement amplitude of the system with different stiffness ratio kt1/kt2

因此，系統(tǒng)上下部段的剛度比會(huì)顯著影響系統(tǒng)位移幅值，進(jìn)而影響等效彈簧最大拉力值。整體上彈簧拉力與剛度比并非嚴(yán)格單調(diào)關(guān)系，而是特定比例會(huì)增大拉力值，這在整體連接結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中不應(yīng)忽視，這一點(diǎn)亦可成為減振和提高安全裕度的新手段。

3.2 質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

如圖20所示，當(dāng)上部端質(zhì)量增大而下部段質(zhì)量不變時(shí)，令部段質(zhì)量比m2/m1增加時(shí)，兩部段縱向位移幅值都逐漸增大，而轉(zhuǎn)角位移幅值傾向于減??；在m2/m1=1/2時(shí)，上部段轉(zhuǎn)角位移幅值最小，而質(zhì)量比m2/m1=7/20時(shí)，上部段轉(zhuǎn)角位移幅值最大。在圖21中，當(dāng)下部端質(zhì)量增大而上部段質(zhì)量不變時(shí)，令部段質(zhì)量比m1/m2增加，發(fā)現(xiàn)下部段縱向和轉(zhuǎn)角位移幅值變化較小，而上部段縱向位移幅值隨之減??；上部段轉(zhuǎn)角位移幅值先增后減，且在質(zhì)量比m1/m2=9/20時(shí)達(dá)到最高。

(a) u1(實(shí)線)和u2(虛線)

(b) θ1(實(shí)線)和θ2(虛線)圖20 不同質(zhì)量比m2/m1下的系統(tǒng)位移幅值Fig.20 Displacement amplitude of the system with different mass ratio m2/m1

(a) u1(實(shí)線)和u2(虛線)

(b) θ1(實(shí)線)和θ2(虛線)圖21 不同質(zhì)量比m1/m2下的系統(tǒng)位移幅值Fig.21 Displacement amplitude of the system with different mass ratio m1/m2

由此可見，多連接面的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)中，不同位置的剛度特性與質(zhì)量特性共同影響了響應(yīng)幅值的變化趨勢(shì)，在此類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及動(dòng)力學(xué)分析校核工作中，不能僅考慮某一方面的參數(shù)影響，而需充分討論所有因素可能引發(fā)的響應(yīng)放大現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

本文基于雙線性彈簧模型和四自由度簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)雙連接面的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析，研究不同載荷作用下的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征，可以為后續(xù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)提供了設(shè)計(jì)基礎(chǔ)和理論支持。本文研究的主要結(jié)論如下：

(1) 在各連接面非線性剛度的影響下，不但連接面自身的縱向位移與轉(zhuǎn)角位移相互影響，而且兩個(gè)連接面之間的位移響應(yīng)也相互耦合。下部結(jié)構(gòu)受橫向激勵(lì)時(shí)，上部結(jié)構(gòu)出現(xiàn)與下部結(jié)構(gòu)相比更大的縱向位移響應(yīng)?？梢姡噙B接面非線性的螺栓法蘭結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)不能僅考慮載荷作用處的響應(yīng)，其遠(yuǎn)端結(jié)構(gòu)的響應(yīng)放大效應(yīng)也必須考慮。

(2) 雙連接面的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的諧波激勵(lì)位移響應(yīng)受激勵(lì)頻率的影響，特定諧波激勵(lì)頻率下結(jié)構(gòu)響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生超諧波及亞諧波共振，發(fā)生變周期現(xiàn)象。

(3) 兩個(gè)連接面間的剛度比及兩部段之間的質(zhì)量比都會(huì)顯著影響系統(tǒng)位移響應(yīng)幅值，雖然對(duì)于不同類型位移響應(yīng)的影響較為復(fù)雜，但在多連接面的螺栓法蘭結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中加以考慮時(shí)，仍可通過調(diào)整剛度比和質(zhì)量比來降低位移響應(yīng)幅值。