楊旭鋒，劉永壽

（1. 西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都；2. 西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑，陜西 西安）

一 引言

有限元法是一種求解連續(xù)復(fù)雜結(jié)構(gòu)響應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法，其廣泛應(yīng)用在航空航天、土木工程、軌道車輛、水利工程、生物力學(xué)、醫(yī)療機(jī)械等多個(gè)領(lǐng)域[1-2]。目前我國(guó)工業(yè)領(lǐng)域的大型企業(yè)，都已將計(jì)算機(jī)輔助分析（CAE）仿真分析作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員的必備技能，強(qiáng)度校核也早已成為設(shè)計(jì)人員開(kāi)展設(shè)計(jì)的必經(jīng)階段。工業(yè)4.0 時(shí)代，頻繁提到的高精尖技術(shù)如“數(shù)字孿生”“在線監(jiān)測(cè)”“故障診斷”“剩余壽命評(píng)估”“輕量化設(shè)計(jì)”“可靠性設(shè)計(jì)”等，無(wú)一不以有限元法為基礎(chǔ)[3-4]。目前，我國(guó)大部分高等院校的土木、機(jī)械、力學(xué)等專業(yè)，都已將有限元法作為本科生的專業(yè)必修課[5-6]。有限元法也承載著助力學(xué)生將已有的數(shù)力學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通并解決復(fù)雜工程問(wèn)題的使命[7]。

二 問(wèn)題描述

西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院作為一家具有濃郁交通特色的工科類院校，考慮到有限元法在軌道交通、汽車、工程機(jī)械、工業(yè)機(jī)器人、機(jī)床等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，為本科生開(kāi)設(shè)了《有限元法及應(yīng)用》的課程。目前該課程學(xué)時(shí)數(shù)目為32，為本科生專業(yè)必修課?？紤]到學(xué)時(shí)數(shù)目的限制，在開(kāi)設(shè)之初，側(cè)重于有限元基礎(chǔ)理論的講解。這門課為學(xué)生講解了四方面內(nèi)容[8]：桁架和鋼架有限元分析、彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、連續(xù)體有限元分析和等參單元。理論內(nèi)容綜合涉及了大學(xué)的多個(gè)數(shù)學(xué)力學(xué)知識(shí)，例如多元函數(shù)的偏微分方程、矩陣論、數(shù)值計(jì)算方法、材料力學(xué)、彈性力學(xué)等。部分內(nèi)容涉及到研究生才學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，如基于Lagrange 基函數(shù)構(gòu)造復(fù)雜單元的形函數(shù)、高斯數(shù)值積分、基于最小二乘理論進(jìn)行應(yīng)力磨平等。涉及面廣，內(nèi)容晦澀難懂。單純數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、復(fù)雜理論的講解，學(xué)生不免感到味同嚼蠟、學(xué)習(xí)興趣難以調(diào)動(dòng)。同時(shí)，重理論、輕應(yīng)用的教學(xué)模式，降低了學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際工程問(wèn)題的能力。

三 教學(xué)改革實(shí)踐

為了提升課程的教學(xué)質(zhì)量，更好地培養(yǎng)本科生利用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本文基于作者在《有限元法及應(yīng)用》教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)展了一系列的有限元課程教改探索。

在理論講解的同時(shí)，輔助以計(jì)算機(jī)模擬，可以幫助學(xué)生理解艱深的數(shù)學(xué)知識(shí)、增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。為此，課程團(tuán)隊(duì)針對(duì)課程的幾大塊內(nèi)容，設(shè)計(jì)合理的計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，充分將有限元計(jì)算機(jī)模擬融入到有限元理論教學(xué)中。同時(shí)，對(duì)原有教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了精煉，探索了線上/ 線下混合教學(xué)在課程教學(xué)中的應(yīng)用，并引入“學(xué)為中心”的先進(jìn)教學(xué)模式，最大限度激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的接受程度。

（一） 教學(xué)內(nèi)容的精煉

由于本門課程只有32 學(xué)時(shí)，為了增加對(duì)學(xué)生利用仿真軟件解決工程問(wèn)題能力的培養(yǎng)，需要對(duì)原有的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行壓縮。壓縮的基本原則是，在保留有限元理論全貌的前提下，刪減細(xì)枝末節(jié)的知識(shí)點(diǎn)。以此原則為指導(dǎo)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了精煉，結(jié)果見(jiàn)表1。（1）新的教學(xué)內(nèi)容基本刪除或弱化了三維空間問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)，重在講解簡(jiǎn)單的二維平面問(wèn)題；而空間問(wèn)題重在二維向三維的規(guī)律性推演。（2）新的教學(xué)內(nèi)容刪除或弱化了彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和等參單元，因其涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)太過(guò)艱深，且與工程應(yīng)用偏離較大。（3）保留的內(nèi)容基本涵蓋了有限元中的矩陣運(yùn)算、單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝等關(guān)鍵特點(diǎn)，學(xué)生通過(guò)精簡(jiǎn)知識(shí)的學(xué)習(xí)，仍然能夠理解有限元法的求解過(guò)程，仍然能夠利用數(shù)學(xué)知識(shí)完成簡(jiǎn)單平面問(wèn)題的解題。

表1 教學(xué)內(nèi)容的精煉

（二） 理論驗(yàn)證

通過(guò)理論的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)對(duì)有限元分析的基本概念、建模、求解有充分的認(rèn)識(shí)。但是，這些內(nèi)容涉及矩陣分析，公式推導(dǎo)仍然很多。僅僅依靠教師一言堂式的講解，難以觸及有限元分析的本質(zhì)。為此，基于Matlab，設(shè)計(jì)完整的桁架、鋼架有限元、平面應(yīng)力問(wèn)題的數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，對(duì)理論知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證。Matlab 是專門針對(duì)矩陣運(yùn)算而開(kāi)發(fā)的軟件，具有強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算功能。因此，非常適合有限元理論的輔助學(xué)習(xí)。

對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)，從單元?jiǎng)偠染仃嚨慕?、方向余弦矩陣的建立、矩陣的分塊到總體剛度矩陣的組裝、求逆、內(nèi)力和應(yīng)力的求解、分析結(jié)果的可視化等一套完整的流程，全部采用Matlab 實(shí)現(xiàn)，一步一步給出有限元分析的結(jié)果。從而讓學(xué)生徹底掌握桿系結(jié)構(gòu)有限元分析的基本流程。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，編寫Matlab 程序，展示三角形單元和四邊形單元的劃分、節(jié)點(diǎn)和單元的存儲(chǔ)、應(yīng)力位移和應(yīng)變?nèi)叩南嗷リP(guān)系、單元?jiǎng)偠染仃嚨慕ⅲǚe分方式推導(dǎo)）、總體剛度矩陣的組裝、求逆、位移和應(yīng)力的求解、主應(yīng)力和主方向的求解、分析結(jié)果的可視化等關(guān)鍵步驟，每一步都將結(jié)果呈現(xiàn)出來(lái)，從而讓學(xué)生徹底掌握連續(xù)體有限元分析的基本流程。

（三） 基于Ansys 的有限元模擬

Matlab 只適用于演示簡(jiǎn)單的有限元算例，對(duì)于理論的深入理解有幫助。但是，對(duì)于解決復(fù)雜工程問(wèn)題卻顯得力不從心。為此，在本課程教學(xué)過(guò)程中，作者設(shè)計(jì)了多個(gè)基于Ansys 軟件的工程問(wèn)題求解案例，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)專業(yè)有限元分析軟件的學(xué)習(xí)。

本門課在原有理論內(nèi)容的基礎(chǔ)上，增設(shè)了Ansys 軟件的講解的內(nèi)容，共計(jì)12 節(jié)。這些內(nèi)容包括Ansys 軟件前處理、求解和后處理，以及多個(gè)工程案例講解。表2 給出了Ansys 軟件入門的講解內(nèi)容與課時(shí)安排。在工程案例中，精選了空間鋼架、桁架結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)、連續(xù)體結(jié)構(gòu)、接觸非線性結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度分析等，如圖1 所示。這些案例，重在讓學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的剖分、載荷與邊界條件的施加、不同類型結(jié)構(gòu)單元的選擇與結(jié)果處理等內(nèi)容。

表2 基于Ansys 的有限元模擬教學(xué)內(nèi)容

圖1 基于Ansys 的有限元模擬的工程案例

（四） 線上/線下的有機(jī)融合

由于本門課程只有32 學(xué)時(shí)，時(shí)間很短。課程內(nèi)容講完，所余課時(shí)較短，難以集中給出上機(jī)時(shí)間，讓學(xué)生完成所有案例。因此，作者嘗試了線上/線下教學(xué)模式的融合。受本次疫情期間的線上教學(xué)的啟發(fā)，錄制了上述計(jì)算機(jī)模擬教學(xué)的視頻，視頻經(jīng)壓縮后，上傳至百度云平臺(tái)。而后組織和管理學(xué)生利用課余時(shí)間開(kāi)展線上視頻學(xué)習(xí)，并根據(jù)視頻中的操作流程，動(dòng)手實(shí)現(xiàn)上述案例，并形成報(bào)告。

線下教學(xué)，進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬關(guān)鍵步驟的講解和學(xué)生所遇問(wèn)題的答疑。同時(shí)為增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引入了“學(xué)為中心”的先進(jìn)教學(xué)模式。將學(xué)生分為多個(gè)小組，進(jìn)行分組合作性學(xué)習(xí)。每個(gè)小組重點(diǎn)學(xué)習(xí)單個(gè)計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，按照線上視頻預(yù)先學(xué)習(xí)的操作步驟，開(kāi)展翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，課上由各個(gè)小組的推薦人員進(jìn)行有限元模擬實(shí)驗(yàn)的操作演示教學(xué)。以此方式，既可以提高上課效率，又可以提高學(xué)生的參與度。

（五） 綜合評(píng)價(jià)機(jī)制

由于教學(xué)內(nèi)容的改進(jìn)，針對(duì)本課程的評(píng)價(jià)方法也應(yīng)當(dāng)相應(yīng)改變。課程團(tuán)隊(duì)研究了“線上+線下”“平時(shí)成績(jī)+ 期末成績(jī)”的雙重評(píng)價(jià)機(jī)制。其中平時(shí)成績(jī)占比50%，期末考試50%。為考核學(xué)生對(duì)Ansys 軟件的掌握情況，將學(xué)生利用課余時(shí)間對(duì)教學(xué)案例的實(shí)現(xiàn)情況進(jìn)行考核。同時(shí)布置了案例庫(kù)中未涉及的例子，作為平時(shí)作業(yè)。二者一起作為平時(shí)成績(jī)的考核內(nèi)容。為防止學(xué)生抄襲，特將有限元分析的各項(xiàng)輸入?yún)?shù)（載荷、彈性模量、關(guān)鍵幾何尺寸）與學(xué)生本人學(xué)號(hào)掛鉤，以保證每名學(xué)生都有單獨(dú)的題目。

四 結(jié)語(yǔ)

經(jīng)過(guò)一系列的改革，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣明顯提高，多數(shù)學(xué)生能夠在興趣的驅(qū)動(dòng)下積極完成平時(shí)作業(yè)，學(xué)生的掛科率也在降低。從期末學(xué)生的教學(xué)評(píng)價(jià)結(jié)果來(lái)看，學(xué)生對(duì)本門課的滿意度相較往年也有顯著提高。從大四學(xué)生畢業(yè)后的反饋來(lái)看，多數(shù)學(xué)生表示本門課對(duì)其完成畢業(yè)設(shè)計(jì)——解決實(shí)際的工程問(wèn)題，有較大幫助。盡管取得了一定成果，課程團(tuán)隊(duì)仍會(huì)在日后的教學(xué)活動(dòng)中，積極總結(jié)、不斷聆聽(tīng)、持續(xù)改進(jìn)，從而使該門課不斷適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展。