顏 雄 魏 莎 毛曉曄 丁 虎 陳立群

(上海大學力學與工程科學學院,上海 200444)

(上海市應(yīng)用數(shù)學和力學研究所,上海 200072)

引言

在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中,管道被廣泛應(yīng)用于水、石油、天然氣以及化工原料等各類流態(tài)物料的運輸[1-4].一般而言,當流體在管道內(nèi)部發(fā)生流動時,管道會發(fā)生振動,如果嚴重的話會直接損壞管道系統(tǒng).由于管道的動力學特性會受到流體流速、兩端支承條件以及其他因素的影響,因此展開了對輸液管道相關(guān)方面的研究.

管道動力學的研究主要集中在理想邊界.例如,早在1950 年,Ashley 和Haviland[5]首次研究了含有流動流體管道的彎曲振動.Paidoussis 等[6-8]通過牛頓第二定律推導了水平懸臂輸液管道橫向振動的線性方程,計算了系統(tǒng)前四階模態(tài)的復(fù)頻率并通過實驗進行了驗證.楊曉東和金基鐸[9]使用復(fù)模態(tài)法和伽遼金法對兩端鉸支的輸液管道的固有特性進行計算,發(fā)現(xiàn)伽遼金法只對其截斷階數(shù)的前幾階較低固有頻率的分析具有較好的精確性.周永兆等[10]研究了兩種鉸支輸液管道非線性模型下系統(tǒng)的固有頻率,得出了偏微分控制方程結(jié)果相對于積分-偏微分控制方程結(jié)果而言具有較強的非線性.易浩然等[11]通過研究含集中質(zhì)量的懸臂輸液管道,得到了管道的振動模態(tài)會隨著集中質(zhì)量的位置而發(fā)生轉(zhuǎn)遷.劉昌領(lǐng)等[12]對一端固定一端簡支輸液管道的流固耦合振動進行了分析,發(fā)現(xiàn)管道的長度對固有頻率的影響最大,其次是流體速度,液體壓力的影響最小.郭梓龍等[13]研究了懸臂輸流管一端加上接地慣容式減震器后的穩(wěn)定性和動態(tài)響應(yīng)的影響.張挺等[14]基于廣義有限差分法對不同支承下輸流直管的振動響應(yīng)特性進行了研究,得出結(jié)論:兩端簡支時輸流直管中點處的振幅最大,振動頻率最小;兩端固支時輸流直管中點處的振幅最小,振動頻率最大;且在端部約束限制條件不對稱時,其振動幅值最大值出現(xiàn)位置會向弱約束端偏移.金基鐸等[15]研究了具有彈性支承和運動約束作用的懸臂輸液管道系統(tǒng)的運動分岔現(xiàn)象和混沌運動.匡華軍等[16]研究了溫度對兩端固支管道振動特性的影響,為管道系統(tǒng)的安全性和設(shè)計提供了理論依據(jù).邢靜忠和柳春圖[17]研究了土壤中懸跨管道的彎曲和振動特性,得出了當土壤剛度系數(shù)較大時,管道可以近似為兩端固支模型;而只有在土壤剛度系數(shù)較小時的幾個參數(shù)點上,管道才可以近似為兩端簡支模型.隨歲寒和李成[18]使用有限元分析方法給出了兩種邊界條件下管道自由振動的前三階固有頻率與流體流速的關(guān)系.Ye 等[19]研究了簡支邊界下輸送超臨界流體微曲管道的非平凡平衡位形和固有頻率,得出了曲管的固有頻率會隨著管長的增加而增加,但不一定以單調(diào)的方式增加.

然而,當管道受到環(huán)境溫度、濕度、振動疲勞等因素的影響時,管道兩端的約束形式不能簡化為理想邊界,可能是較為復(fù)雜的彈性邊界.因此,大批學者開展了彈性支承下輸液管道的振動研究.例如,江建祥和黃幼玲[20]通過對上游鉸支加扭轉(zhuǎn)支承,下游鉸支的模型進行了計算和實驗,得到了管道各階固有頻率隨流速的增加而降低.倪樵等[21]使用微分求積法分析了具有彈性支承輸液管道的臨界流速,并證明了該方法具有較高的精度.李琳等[22]研究了一端彈性支承一端固定支承輸液管道的穩(wěn)定性,得到了靜態(tài)失穩(wěn)的臨界流速不隨質(zhì)量比變化,而動態(tài)失穩(wěn)的臨界流速隨質(zhì)量比的增加先上升后下降.Qian 等[23]研究了埋在非線性彈性地基中的輸液管道平面運動的非線性響應(yīng).包日東等[24-25]分析了含有彈性支承輸液管道的固有特性、動力穩(wěn)定性和非線性動力學特性.劉俊卿和王克林[26]提出了一種求解輸液管道臨界流速的新方法,可用于任意彈性支承的輸液管道,支承位置可在兩端也可在中間.吳男和金基鐸[27]研究了彈性地基兩端鉸支輸液管道的模態(tài)和固有頻率,并討論了彈性地基、質(zhì)量比以及軸向力對固有頻率與流速之間關(guān)系的影響.Ni 等[28-29]研究了非線性彈性地基上輸流彎管的內(nèi)外共振及其分岔與混沌運動.許鋒等[30]研究了兩端彈性支承輸液管道在分布隨從力作用下的穩(wěn)定性,得到了支承剛度的變化和分布隨從力的大小及方向會影響輸液管道的失穩(wěn)類型.Li 等[31]研究了兩端受豎直彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧約束的輸液管道在脈動流激勵下的非線性參數(shù)振動問題.Ding 等[32]在輸液管道兩端加上以一定的方式組合起來的三個線性彈簧作為非線性隔振器以衰減基礎(chǔ)激勵引起的輸液管道橫向振動.以上關(guān)于彈性支承的研究均是基于對稱情況下的,對于兩端非對稱彈性支承情況下的相關(guān)研究較少.但在工程實際中,例如海底懸跨管道,其兩端邊界處多為管-土作用的非對稱約束,因此對于兩端非對稱彈性支承管道的研究是必不可少的.

本文以兩端彈性支承輸液管道為研究對象,通過復(fù)模態(tài)法和伽遼金截斷法求解靜態(tài)管道和受流體流動影響的管道固有頻率和模態(tài)函數(shù),并分析了支承剛度、管道長度、流體質(zhì)量比等系統(tǒng)參數(shù)對管道固有頻率的影響規(guī)律,重點討論了工程實際中由于管道受到環(huán)境溫度、濕度、振動疲勞以及局部松動等情況下所出現(xiàn)的管道兩端可能形成的非對稱支承的情況.本文中所得到的非對稱支承下管道固有頻率的變化規(guī)律可應(yīng)用于設(shè)計一些滿足特殊需求的管道.

1 輸液管道橫向自由振動控制方程及伽遼金截斷

圖1 所示為兩端彈性支承輸液管道模型.當考慮Kelvin-Voigt 黏彈性管材、管道幾何非線性,沒有管截面軸向力以及管內(nèi)流體壓力作用,基于歐拉梁模型的管道控制方程為[33]

圖1 輸液管道模型Fig.1 The model of the pipe

其中,W(x)為管道橫向位移;E為管道長度;Ib為截面轉(zhuǎn)動慣量;μ為管道黏彈性系數(shù);L為管道長度;kL,kR分別是兩端線性支承彈簧的剛度;ρp為管道密度;D為管道橫截面外徑;d為管道內(nèi)徑;ρf為管道內(nèi)流體密度;Af為流體截面面積;Γ為流體流速.各參數(shù)的值如下表1 所示.

表1 輸液管道的物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of the pipeline

忽略流體流動、阻尼、非線性項的影響,得到靜態(tài)管的線性控制方程和邊界條件為

假設(shè)靜態(tài)管道橫向自由振動的位移解為

其中,φ(x)和q(t)分別為靜態(tài)管道的模態(tài)函數(shù)和相應(yīng)的廣義坐標,假設(shè)管道橫向振動的模態(tài)函數(shù)通解形式為

其中C1,C2,C3,C4分別為模態(tài)系數(shù).將解(5)代入邊界條件(4),并聯(lián)立式(6)可以得到

根據(jù)式(7)可以得到靜態(tài)管道的模態(tài)函數(shù)各系數(shù)的關(guān)系

圖2 所示為所得到的靜態(tài)管道的前四階模態(tài)函數(shù),從中可以看出,在本文給定的參數(shù)條件下,管道的第一階和第三階模態(tài)關(guān)于管道中點對稱,而第二階和第四階模態(tài)關(guān)于管道中點反對稱.

圖2 靜態(tài)管道前四階模態(tài)Fig.2 The first four modes of the static pipe

在接下來的分析中,為了求解輸液管道的固有頻率、橫向振動模態(tài),采用線性靜態(tài)管的模態(tài)函數(shù)作為試函數(shù)和權(quán)重函數(shù),應(yīng)用伽遼金截斷法.

為研究具有線性彈性邊界的輸液管道的自由振動特性,根據(jù)式(1)對應(yīng)的線性派生系統(tǒng)為

考慮流體流動作用下輸液管道的自由振動位移解為

其中n為伽遼金計算的截斷項,可以得到

選取靜態(tài)管道的模態(tài)函數(shù)為權(quán)函數(shù),可得

則式(13)可化簡為

其中

固有頻率ω可以通過以下式子求得

對于給定的特征值,可以確定復(fù)特征向量元素Qk,則含有流體流動的自由橫向振動輸液管道的模態(tài)函數(shù)可以表示為

其中Im[Qk]表示Qk的虛部.

圖3 給出了伽遼金方法選取不同截斷項數(shù)時的系統(tǒng)模態(tài)函數(shù),這里考慮了管內(nèi)流體流速的作用.圖4則給出了對應(yīng)情況下的系統(tǒng)固有頻率.從圖3 和圖4 的結(jié)果可以看出,與截斷項數(shù)取為6 的結(jié)果相比,當截斷項數(shù)取為4 時,前四階模態(tài)函數(shù)及固有頻率均已具有較好的收斂性.因此,后續(xù)計算中伽遼金方法的截斷項數(shù)均取為4.此外,與圖2 結(jié)果相比,圖3(a)和圖3(c)中的結(jié)果(第一階和第三階模態(tài)函數(shù))不是關(guān)于中點對稱;圖3(b)和圖3(d)中的結(jié)果(第二階和第四階模態(tài)函數(shù))不是關(guān)于中點反對稱.這主要是由于流體流速作用導致系統(tǒng)模態(tài)函數(shù)出現(xiàn)了不對稱.

圖3 不同截斷階數(shù)的模態(tài)函數(shù)Fig.3 Modal functions with different truncation orders

圖4 不同截斷階數(shù)的系統(tǒng)固有頻率Fig.4 Natural frequencies with different truncation orders

2 固有特性分析

2.1 對稱線性支承剛度對固有頻率的影響

圖5 為管道兩端對稱線性彈簧的剛度分別為1 × 103N/m,1 × 104N/m,1 × 105N/m 時,輸液管道前四階固有頻率隨著流體流速的變化情況.圖5(a)表示在亞臨界狀態(tài)下,管道的第一階固有頻率隨著管道內(nèi)流體流速的增大而下降,兩端線性剛度越大,下降的趨勢越快,且管道的臨界流速越小.此結(jié)論與文獻[25]中所得結(jié)論一致,證明了計算結(jié)果的正確性.圖5(b)中結(jié)果表明:在亞臨界狀態(tài)下,當兩端支承剛度較小時(kL=kR=1 × 103N/m),管道第二階固有頻率隨著流速的增加而增大.當支承剛度較大時(kL=kR=1 × 105N/m),第二階固有頻率隨著流速的增大而減小,這與經(jīng)典的兩端簡支輸液管道下的結(jié)論相同[18].圖5(c)和圖5(d)表示管道在不同對稱支承剛度情況下的第三和第四階固有頻率隨著流速的增大而減小.

圖5 不同流速及對稱線性支承剛度下的系統(tǒng)固有頻率Fig.5 The natural frequencies with different flow velocity and the stiffness of symmetrical linear spring

表2 和表3 分別給出了當支承剛度很大和很小時系統(tǒng)的前四階特征值.表中也給出了劉延柱等[34]的兩端簡支和自由邊界條件的系統(tǒng)特征值結(jié)果.表2中結(jié)果表明:當支承剛度很大時,其結(jié)果與劉延柱等[34]計算的兩端簡支邊界條件下的系統(tǒng)特征值吻合較好.表3 中結(jié)果表明:當支承剛度很小時,其結(jié)果與劉延柱等[34]計算的兩端自由邊界條件下的系統(tǒng)特征值吻合較好.因此,當兩端支承剛度很大或很小時,該模型可以分別退化為兩端簡支或自由邊界條件,這也說明了本文計算結(jié)果的正確性.

表2 當支承剛度較大時的系統(tǒng)前四階特征值與簡支邊界條件下的計算結(jié)果Table 2 The results of the first four orders eigenvalues of the system with large support stiffness and simply supported boundary conditions

表3 當支承剛度較小時的系統(tǒng)前四階特征值與自由邊界條件下的計算結(jié)果Table 3 The results of the first four orders eigenvalues of the system with small support stiffness and free boundary Conditions

2.2 非對稱線性支承剛度對固有頻率的影響

圖6 表示的是管道左右兩端支承剛度的總和為20 kN/m 不變,流體流速為0,左右兩端支承剛度的比值從1:10 遞增到10:1 時,管道固有頻率的變化情況.從中可以看出,管道的第一階和第二階固有頻率隨著比值的增加而先增加后減小,在左端等于右端時達到最大值.而第三階和第四階固有頻率隨著比值的增大先減小后增大,在左端等于右端時達到最小值,而且通過計算結(jié)果可以得出,互為倒數(shù)的比值對應(yīng)的固有頻率值相等.

圖6 不同非對稱線性支承剛度下的系統(tǒng)固有頻率Fig.6 The natural frequencies with different stiffness of asymmetrical linear spring

圖7 表示的是管道左右兩端支承剛度的總和為20 kN/m 不變,左端支承剛度與右端支承剛度值的比分別為1:3,1:1,3:1 時管道的固有頻率隨流體流速的變化情況.通過觀察可以發(fā)現(xiàn),當流速Γ=0 時,各階的固有頻率關(guān)系滿足圖6 中所對應(yīng)的規(guī)律.而當流速增加時,互為倒數(shù)的剛度比值所對應(yīng)的固有頻率間的差別增大,但第一階固有頻率幾乎不受影響.

圖7 不同流速及非對稱線性支承剛度下的系統(tǒng)固有頻率Fig.7 The natural frequencies with different flow velocity and the stiffness of asymmetric linear spring

圖8 表示的是當兩端非對稱線性彈簧的剛度總和為2 kN/m 不變,左端支承剛度與右端支承剛度值的比分別為1:6,1:4,1:2 時管道的固有頻率隨流體流速的變化情況.可以看出,隨著流速的增加,管道的各階固有頻率減小.而且對于管道的第一階固有頻率而言,兩端彈簧的剛度越接近,其下降的越快,而且相應(yīng)的臨界流速越小.第二階固有頻率隨著兩端支承剛度比值的增大而增大,但第三階和第四階固有頻率隨著兩端支承剛度比值的增大而減小.

圖8 不同流速及非對稱線性支承剛度下的系統(tǒng)固有頻率Fig.8 The natural frequencies with different flow velocity and the stiffness of asymmetric linear spring

圖8 不同流速及非對稱線性支承剛度下的系統(tǒng)固有頻率 (續(xù))Fig.8 The natural frequencies with different flow velocity and the stiffness of asymmetric linear spring (continued)

2.3 管道長度對固有頻率的影響

圖9 為管道長度分別為L=0.8 m,L=1 m 以及L=1.2 m 時,管道前四階固有頻率的變化規(guī)律(除管長以外其他參數(shù)均與表1 一致).從圖9(a)可以看出,其他條件都一樣的情況下,越長的管道其第一階固有頻率和臨界流速越小.而從圖9(b)中可以看出,管道的長度不會改變第二階固有頻率一開始隨流體流速增加而增大的變化規(guī)律.但是,當管道的長度增加時,第二階固有頻率開始下降的位置會向左發(fā)生平移.圖9(c)和圖9 (d)表示管道的長度不會改變第三和第四階固有頻率隨著流速的增大而減小的變化規(guī)律.

圖9 不同流速及管道長度下的的系統(tǒng)固有頻率Fig.9 The natural frequencies with different flow velocity and pipe length

2.4 流體質(zhì)量比對固有頻率的影響

圖10 為流體質(zhì)量比Mr=0.3,Mr=0.4 和Mr=0.5 時,管道前四階固有頻率隨流速的變化規(guī)律Mr=ρfAf/(ρpAp+ρfAf).從中可以看出,流體質(zhì)量比越大,管道的第一階、三階和第四階固有頻率越小.但對于管道第二階固有頻率而言,在一開始它是隨著流速的增大而增大.在一定的范圍內(nèi),流體質(zhì)量比越大,管道第二階固有頻率越小,但當流速超過這一臨界點后,流體質(zhì)量比越大,管道第二階固有頻率越大.

圖10 不同流速及流體質(zhì)量比下的系統(tǒng)固有頻率Fig.10 The natural frequencies with different flow velocity and fluid mass ratio

3 結(jié)論

本文研究了兩端彈性支承輸液管道的固有特性,通過哈密頓原理建立了兩端彈性支承輸液管道的控制方程,使用復(fù)模態(tài)法得到了靜態(tài)管道的前四階模態(tài)函數(shù),以其作為權(quán)函數(shù),使用四階伽遼金截斷法得到考慮流體流動影響下的管道真實固有頻率和模態(tài)函數(shù),并分析了流體流速、兩端對稱線性支承剛度、兩端非對稱線性支承剛度、管道長度以及流體質(zhì)量比對管道固有頻率的影響,得出以下結(jié)論.

(1) 當輸液管道兩端為對稱支承時,支承剛度越大,管道的一階固有頻率隨著流體流速的增大下降的越快,而且管道的臨界流速越小.第二階固有頻率在兩端支承剛度較小時,隨著流速的增加一開始是增大的,當支承剛度足夠大時,頻率隨著流速的增大而減小.

(2) 當輸液管道兩端為非對稱支承,而左右兩端支承剛度總和不變時,考慮流體流速為零的情況下,管道的各階固有頻率在兩端支承剛度相等時取得最值,而且左右兩端支承剛度的比值互為相反數(shù)所對應(yīng)的固有頻率相等.而當流體流速不為零時,流速越大,固有頻率變化的越明顯.

(3) 其他參數(shù)相同的條件下,管道越長,其固有頻率和臨界流速越小;流體質(zhì)量比越大,其一階、三階和四階固有頻率越小.但對于二階固有頻率而言,在一定的范圍內(nèi),流體質(zhì)量比越大,管道第二階固有頻率越小,但當流速超過臨界點后,流體質(zhì)量比越大,管道第二階固有頻率越大.

(4) 文中所得到的兩端對稱支承與非對稱支承情況下固有頻率的變化規(guī)律結(jié)果可以用于設(shè)計一些滿足特殊需求的輸液管道.