王維陽，李 偉，曹奇凱

(沈陽飛機設計研究所，遼寧 沈陽 110035)

1 引言

隨著輕量化技術的發(fā)展，復合材料結構在航空、航天、汽車、船舶等領域中得到了廣泛的應用。長桁復合材料壁板由于較好的穩(wěn)定性、抗沖擊性能、較高的縱向荷載傳遞效率在以上研究領域中得到了國內外廣泛關注[1-3]。較高的工程應用價值及這類結構缺陷的敏感性，使得這類結構在應用過程中的損傷失效問題顯得尤為重要。加筋復合材料壁板常見的失效形式為屈曲，但其屈曲后依然表現(xiàn)出較強的持續(xù)承載能力。為了兼顧結構的安全性能及使用效率，加筋復合材料的屈曲失效及后屈曲持續(xù)能力問題成為這類結構設計及分析的熱點和難點[4]。

由于缺陷及干擾的敏感性，這類結構后屈曲行為的復雜多變，使得不同缺陷及干擾條件下的屈曲及后屈曲失效行為較難預測，這也加大了復合材料整體加筋板屈曲及后屈曲試驗的難度和成本[5，6]。由于結構的復雜性，使得問題理論分析難以得到有效結果。目前，在這類問題數(shù)值模擬研究方面，學者們通常圍繞不同類型缺陷的復合材料加筋板的屈曲及后屈曲行為試驗，采用CAE軟件對結構的屈曲及后屈曲持續(xù)能力進行計算，比較分析不同失效準則的計算精度，同時構建加筋復合材料諸多失效評估方法，比如漸進損傷分析方法、粘聚區(qū)模型。在描述單層復合材料失效方面，常見的失效準則有Hoffman準則、Tsai-Wu準則、Hashin準則、Puch準則、Chang-Chang準則等[5-7]。數(shù)值模擬往往與試驗結果較難吻合，即使吻合較好，其破壞機理難以確定，另一方面，自主軟件的缺失，使得深入完備的失效機理比較分析面臨困境。

本文在以往研究基礎上[1]，擬針對帽形長桁復合材料壁板屈曲、后屈曲失效承載過程進行非線性理論分析，基于Hoffman失效準則，采用層合板理論構建出帽形長桁復合材料壁板屈曲及后屈曲計算方法和自主程序。對比現(xiàn)有方法驗證分析本文方法的有效性，進一步針對復雜帽形長桁復合材料壁板屈曲及后屈曲路徑進行追蹤，并進行失穩(wěn)后持續(xù)承載特性、承載能力分析。

2 復合材料層合板基本控制方程及數(shù)值模擬方法

2.1 空間折板本構關系及Hoffman失效準則

本文采用Mindlin板理論對面板和長桁進行統(tǒng)一建模。對于一般平板，Mindlin板幾何關系如下

u=u0-z(φx-γzx)

v=v0-z(φy-γzy)

w=w0

(1)

φx=w，x，φy=w，y

(1a)

其中，u，v，w是任一點x，y，z方向的位移，u0，v0，w0是面板中面位移，γzx，γzy是橫向剪切角，φx，φy是中面轉角。

中面應變

(2)

曲率變形

κx=-w，xx+γxz，x

κy=-w，yy+γyz，y

2κxy=-2w，xy+γxz，y+γyz，x

(3)

圖1 帽形長桁結構

對于長桁結構，將如圖1所示長桁結構視為空間折板，將其處理為5個相交的平板。針對每個板的中面分別建立局部坐標系x(i)，y(i)，z(i)(i=1～5)。在各自局部坐標系中，板的幾何關系同式(1-3)，但各變量應加上標(i)以示區(qū)別，例如

(4)

(5)

(6)

由位移轉換關系可以得到折板單元剛度陣從局部坐標系向總體坐標系的轉換關系

(7)

其中

(8)

K′e是局部坐標系中的單剛，若i是轉換節(jié)點Ri=R(α，e由長桁局部坐標系與總體坐標系之間確定)，若i不是轉換節(jié)點Ri=I7(7階單位矩陣)。

面板和長桁滿足各自的單層板本構關系。各層的應力-應變關系為

(9)

其中k是層的編號。

假定面板破壞由單層破壞引起。復合材料單層破壞可采用Hoffman準則[8，9]

(10)

其中，σL，σT，τLT是單層中沿纖維方向應力，垂直纖維方向應力和剪應力，Xt，Xc是纖維方向拉伸和壓縮強度，Yt，Yc是垂直纖維方向拉伸和壓縮強度，S是面內剪切強度。當時上式滿足時，該層破壞、剛度降為0；若大量單層破壞，導致層板剛度大幅度下降，即可認為層板失效。

2.2 協(xié)調層板單元基本假定及控制方程

基于廣義變分原理和擬協(xié)調方法[10]，采用擬協(xié)調三角形層板單元對帽形長桁結構進行離散，節(jié)點自由度為u0，v0，w，w，x，w，y，γzx，γzy。

(11)

其中ε*αβ，κ′*αβ，φ*α是試函數(shù)，可用節(jié)點位移表示線性應變、彎曲曲率和轉角的離散變量，對位移自由度建立單剛，從而得到擬協(xié)調位移模式幾何非線性三角形層板單元。

為了模擬實際邊界在后屈曲變形中保持直線的特點，在面板邊界引入節(jié)點自由度為6的空間梁元，因此邊界節(jié)點自由度變?yōu)?

u0，v0，w，w，x，w，y，γzx，γzy，φ

φ是板的法線自轉角，即邊梁在板平面內的轉角，通過罰因子(梁在面板中面內的彎曲剛度)使該轉角趨于0。

2.3 屈曲及后屈曲數(shù)值模擬方法

系統(tǒng)的平衡條件是

δP=0

(12)

P=U-W是位能(W是已知外力的功)。上式給出在小有限轉動條件下的后屈曲狀態(tài)有限元平衡方程。為了求解非線性方程(12)，需要采用增量迭代法，上式的有限元增量迭代形式為

(13)

(14)

具體的基本計算步驟如下：

形成線性剛度陣K0和參考載荷向量F，求解方程K0η=F，給出線性解η0；

形成幾何剛度矩陣K1(η0)，用反冪法求解特征值問題[K0+λK1(η0)]Δη=0，得到臨界載荷因子λcr和屈曲形態(tài)η1；

用漸近后屈曲有限元分析，形成分支路徑轉換初值(λb，aη1)、切線剛度矩陣KT和不平衡力R，求解增量方程(13)，通過迭代計算后屈曲路徑上的第1個解點；

在求出第i步位移和應力后，進行失效分析，確定本步各單元單層破壞情況和i+1步初值預測，修改切線剛度陣KT，迭代求解方程(13)，繼續(xù)跟蹤后屈曲路徑，直到結構失效。

需要注意的是為了監(jiān)視二次屈曲、發(fā)現(xiàn)和越過后屈曲路徑上的奇異點，在每步收斂之后需要判斷解路徑上本載荷步的平衡穩(wěn)定性。根據(jù)穩(wěn)定性能量準則，可利用該點切線剛度陣(KT)LU分解結果，如果L陣對角元素皆為正，即

Lii>0

(15)

則該點是穩(wěn)定的；若至少有一個元素為負值，則不穩(wěn)定；如果相鄰兩個計算點，發(fā)生從穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的轉變，則兩點間必存在奇異點。

3 算例分析

【算例1】為驗證所構建方法的正確性，將如圖2所示工字截面長桁壁板(360×480)軸壓后屈曲有限元分析，計算結果與平板/梁組合模型有限元分析結果符合，見表1。組合板模型中筋的下翼板對于面板局部屈曲的約束比梁更強，所以臨界載荷較高。

圖2 算例1 模型

表1 工字長桁壁板屈曲有限元分析結果

【算例2】 采用層板單元離散面板和長桁，整個面板作為一個區(qū)域。荷載及結構截面圖如圖3所示。面板鋪層：16層(45/-45/0/-45/0/45/0/90)s。長桁鋪層：11層 (45/-45/0/-45/0/90)s，單層厚度均為δ=0.125mm。面板和長桁材料為T300/BA9913。材料力學性能參數(shù)為E11=127GPa，E22=9.435GPa，ν12=0.305，G12=G13=4.680GPa，G23=3.300GPa，XT=1569，XC=1140，YT=54.7，YC=156，S=118(MPa) 。

如圖4所示，分別采用稀疏網格和密集網格對結構進行離散，其中稀疏網格模型包括5472個板元(其中長桁2736個)、148個梁元(邊梁)、2262個節(jié)點，15982個自由度。密集網格模型包括8600個板元(其中長桁4200個)、188個梁元(邊梁)、3366個節(jié)點，2259個坐標轉換節(jié)點，23750個自由度。

為模擬實際邊界，假設后屈曲時邊界保持直線，在面板四邊引入邊梁，加載邊邊梁單元在板面內的彎曲剛度(EJ′)很大，作為罰因子，取EJ′=1010，其余剛度為0。邊界條件為總體簡支和固支兩種，令板中點A和y=0邊中點B點的位移uA=vA=uB=0。

圖3 截面形狀、荷載及結構分布圖

圖4 結構網格離散

首先，針對不同約束進行結構屈曲分析，屈曲載荷在表2中給出。從計算結果可以看出計算簡支屈曲載荷稀網格已經滿足要求，而固支情況由于屈曲形態(tài)變化更加劇烈，需要采用密網格。

表2 屈曲載荷Pcr

圖5和圖6分別給出稀疏網格模型簡支和密集網格固支屈曲形態(tài)。從圖5結果圖可以看出，簡支邊界時壁板為總體屈曲(上凸)，縱向為1個半波、橫向為1個半波與4個微小半波之和，在加載端附近面板波形幅度增加較快，在中部面板和長桁單向上凸。由長桁屈曲形態(tài)可見，受面板轉角(w，y)的影響，帽形長桁兩個側板外凸顯著。由圖6結果圖可見，固支邊面板的屈曲變形遍及大部分板，長桁間面板幅度較大，劇烈起伏，這也是稀網格臨界載荷誤差大的原因，長桁波形與面板協(xié)調，幅度略小。

圖5 簡支約束條件下稀疏網格屈曲形態(tài)圖

圖6 固支約束條件下密集網格屈曲形態(tài)圖

從分支點(λcr=33.465)開始跟蹤后屈曲路徑。圖7為載荷-位移路徑圖，其路徑為0-1-2-3-4-5-6。0是分支點(λ=33.465)。圖8和圖9為典型的兩個荷載步19步(λ=31.35)和75步(λ=58.73)時單層應力分布圖。

圖7 面板中點撓度隨荷載變化圖

圖8 單層失效發(fā)生后長桁頂部和面層R分布

圖9 第75荷載步長桁頂部和面層R分布

路徑1-2(向長桁一側凸出狀態(tài))是不穩(wěn)定的，對于完善(無缺陷)結構實際上不能發(fā)生；路徑2-3(向面板一側凸出狀態(tài))是穩(wěn)定的，并且未發(fā)現(xiàn)有其它鄰近的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，因此可以認為路徑2-3能夠發(fā)生。實際上，受缺陷影響，屈曲前的基本狀態(tài)會偏離理想路徑上升，并轉向路徑2-3，在理想情況下可達到載荷極值λs=63.97(Ps≈640kN)，壁板發(fā)生不穩(wěn)定失效。在特定缺陷影響下，可能發(fā)生3根長桁同時向上彎曲的后屈曲波形，即第7步之前、與屈曲形態(tài)類似的變形，此時的承載能力應為λ′s≈33。

從圖8也即是單層失效發(fā)生后的第2步R的分布情況可見失效單層只在長桁2#的頂部各層出現(xiàn)，共628個單元層。圖9為結構接近失穩(wěn)破壞的高載荷下應力水平參數(shù)及單層破壞分布，情況與圖8類似，破壞單層只在2#長桁的頂部，仍無各層均破壞的單元，但面板應力水平顯著提高(R=0.309)。

從后屈曲損傷計算結果可以看出，壁板失效前未發(fā)生強度破壞。3根帽形長桁加強壁板可以有效地提高局部屈曲載荷，降低彎曲應力水平、改善結構強度。但后屈曲行為十分復雜，伴隨波形的突然變化，對缺陷敏感程度可能加大。壁板在較高載荷下發(fā)生總體屈曲和失穩(wěn)破壞，預測的臨界壓力約為Pcr≈335kN，極限承載能力約為壓力Ps≈640kN。受缺陷因素影響承載能力可能更低一些，在特定缺陷情況下甚至低得多、與臨界載荷相當。

4 結論

本文基于Hofman失效準則和層合板理論構建了帽形長桁加筋結構板屈曲及后屈曲分析方法。通過工字長桁壁板算例驗證了方法的有效性，同時針對典型的3根帽形加筋板壁屈曲臨界荷載和后屈曲行為進行了求解，預測了臨界壓力和極限承載能力。計算結果表明帽形長桁加強壁板可以有效地提高局部屈曲載荷，降低彎曲應力水平、改善結構強度，另外，帽形長桁壁板后屈曲失效發(fā)生在中間長桁頂部，壁板失效前未發(fā)生強度破壞，具有較大的持續(xù)承載能力。本文方法的構建為復雜的長桁加筋結構板屈曲臨界荷載預測及后屈曲承載能力預測提供了有力的理論及軟件技術支持。進一步為類似復雜加筋結構設計和優(yōu)化提供可靠的數(shù)值依據(jù)，可以有效降低結構設計的試驗成本，并提高結構設計的效率。