虢 盛,徐進(jìn)立,張紹成,茍鴻飛
(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 地理與信息工程學(xué)院,武漢 430078)
全球定位系統(tǒng)(global positioning system, GPS)及北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BeiDou navigation satellite system,BDS)進(jìn)行組合導(dǎo)航定位時(shí),不僅能通過增加衛(wèi)星數(shù)量來提高導(dǎo)航定位精度,還能通過不同系統(tǒng)觀測(cè)數(shù)據(jù)相互校驗(yàn)來保證用戶導(dǎo)航定位的可靠性。
20世紀(jì)60年代,荷蘭巴爾達(dá)(Baarda)教授提出了可靠性研究的基礎(chǔ)理論,并在假設(shè)單一粗差和驗(yàn)前單位權(quán)中誤差已知的情況下,推導(dǎo)得出了著名的“數(shù)據(jù)探測(cè)法”[1],文獻(xiàn)[2]將 Baarda 的數(shù)據(jù)探測(cè)理論應(yīng)用于GPS基線解算中,提出了基于三種 GPS基線解算模型下的內(nèi)部可靠性檢驗(yàn)方法。文獻(xiàn)[3]提出將粗差視為函數(shù)模型一部分的重要思想,進(jìn)一步完善了可靠性研究理論。文獻(xiàn)[4]探究了觀測(cè)值相關(guān)條件下的內(nèi)部可靠性原理,提出一種新的可靠性指標(biāo),解決了觀測(cè)多余度值域超過[0,1]區(qū)間后的可靠性度量問題。
在GNSS接收機(jī)自主完好性評(píng)估方面,文獻(xiàn)[5]研究了 GPS單系統(tǒng)及多系統(tǒng)組合增強(qiáng)型接接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)(advanced receiver autonomous integrity monitoring, ARAIM)可用性性能。文獻(xiàn)[6]則利用GPS/BDS兼容接收機(jī)雙頻實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)及BDS布滿星座假設(shè)下的仿真數(shù)據(jù),通過改進(jìn)不同衛(wèi)星頻點(diǎn)特征向量選擇方法,提高了基于奇偶矢量法的接收機(jī)自主完好性性能,文獻(xiàn)[7]將GPS/BDS衛(wèi)星按星座分為兩組,驗(yàn)證了最優(yōu)加權(quán)平均解(optimal weighted average solution,OWAS)算法對(duì)30 m以上誤差的雙星多故障檢測(cè)的可行性。
本文基于GNSS接收機(jī)中GPS和BDS觀測(cè)數(shù)據(jù)的相互校驗(yàn)原理,來實(shí)現(xiàn)單一粗差探測(cè)。首先研究基于偽距殘差的內(nèi)部可靠性模型及經(jīng)典接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)(receiver autonomous integrity monitoring, RAIM)在 GPS/BDS雙模導(dǎo)航定位中的基本理論;然后根據(jù)GPS/BDS偽距觀測(cè)殘差方差特性,基于均值漂移模型提出一種系統(tǒng)間均值校驗(yàn)的接收機(jī)自主完好性粗差探測(cè)方法;最后通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的異常模擬,與經(jīng)典 RAIM 法進(jìn)行對(duì)比,來驗(yàn)證了本文算法的可行性和優(yōu)越性。
可靠性檢驗(yàn)理論作為用戶導(dǎo)航定位完好性監(jiān)測(cè)的重要研究?jī)?nèi)容,主要分為外部可靠性和內(nèi)部可靠性兩方面。外部可靠性主要研究未剔除粗差對(duì)結(jié)果影響的大小,即抵抗粗差的能力[8]。內(nèi)部可靠性是指在平差過程中發(fā)現(xiàn)并剔除粗差的能力[9]。
本文重點(diǎn)討論單一粗差假設(shè)下的GPS/BDS偽距殘差內(nèi)部可靠性檢驗(yàn)方法。當(dāng)偽距觀測(cè)值中不存在粗差時(shí),H0假設(shè)為
當(dāng)偽距觀測(cè)值中存在粗差時(shí),H1假設(shè)為
基于上述假設(shè),構(gòu)建內(nèi)部可靠性檢驗(yàn)?zāi)P蛯ふ铱赡艹霈F(xiàn)的衛(wèi)星導(dǎo)航定位服務(wù)異常事件。
當(dāng)服從H0假設(shè)時(shí),線性化誤差模型為
式中:l為n ×1維觀測(cè)值向量;v為n×1維改正數(shù)向量;B為n×m維觀測(cè)值矩陣;x︿為m×1維待估向量。觀測(cè)值權(quán)陣P為n×n階矩陣。
根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則vTPv=min可知
參數(shù)估值為
對(duì)應(yīng)改正數(shù)為
改正數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為
根據(jù)可靠性理論可得
通常將矩陣R對(duì)角線上的值作為可靠性量度(ri=Rii),其數(shù)值越小,表明對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值可靠性越差;反之可靠性越好。當(dāng)觀測(cè)值之間相互獨(dú)立時(shí),可靠性量度ri?[0,1];而當(dāng)觀測(cè)值相關(guān)時(shí),可靠性量度ri取值可能大于1。在觀測(cè)值相互獨(dú)立時(shí),ri=1表明對(duì)應(yīng)觀測(cè)值為必要觀測(cè);ri=0則表明對(duì)應(yīng)觀測(cè)為多余觀測(cè)[10]。
若觀測(cè)值向量無粗差,則?x的估計(jì)值是無偏的,用間接平差求解即可;若觀測(cè)值向量中包含粗差,那么上述的估計(jì)值是有偏的,即拒絕H0假設(shè),接受H1假設(shè),線性化誤差模型為
式中:H為n ×k維粗差向量;s︿為k×1維未知粗差[11]。
根據(jù)均值漂移函數(shù)模型,可得對(duì)應(yīng)法方程為
因此可知未知粗差的估值為
經(jīng)典 RAIM 算法主要有快照式算法、偽距殘差比較法和奇偶矢量法,且已有學(xué)者證明了三者的等價(jià)性[12]。這里介紹的經(jīng)典粗差探測(cè)法是在偽距殘差比較法基礎(chǔ)上,將 GPS/BDS觀測(cè)值按 2.1節(jié)總結(jié)的基于最小二乘的間接平差法處理,從而構(gòu)建卡方分布檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量探測(cè)完成粗差探測(cè)的過程。統(tǒng)計(jì)量F定義
式中:n為GPS和BDS衛(wèi)星數(shù)之和;v為衛(wèi)星觀測(cè)值殘差;P為相應(yīng)的權(quán)陣。
觀測(cè)方程含測(cè)站三維坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)GPS/BDS不同系統(tǒng)接收機(jī)鐘差 5個(gè)待估參數(shù)。若偽距觀測(cè)值無粗差,則理論上殘差向量滿足零均值的正態(tài)分布,進(jìn)而F滿足自由度為n-5的卡方分布。
根據(jù)用戶需求定義完好性誤警概率PFA即可確定對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)限值F,具體公式[13]為
式中:fχ(n?5)(x)為卡方分布的概率密度函數(shù);為GPS與BDS偽距觀測(cè)方差。
經(jīng)典粗差探測(cè)法是將粗差視為隨機(jī)模型一部分,有粗差的觀測(cè)值相比其他觀測(cè)值具有相同的期望、較大的方差,因而通常稱為“方差擴(kuò)大模型”[14];此外,還可將粗差視為函數(shù)模型的一部分,含粗差的觀測(cè)值相比其他觀測(cè)值具有不同的期望,在方差相同、期望的不同條件下,觀測(cè)量會(huì)呈現(xiàn)非中心化分布,因此也稱為“均值漂移模型”[15]。
無粗差時(shí),GPS/BDS偽距改正數(shù)vFull滿足零均值的正態(tài)分布,即
但在單個(gè)歷元有限可視衛(wèi)星條件下,偽距殘差均值μ通常不絕對(duì)等于零,其統(tǒng)計(jì)結(jié)果可表達(dá)為
式中:μ1、μ2分別為 GPS和 BDS偽距殘差期望,對(duì)應(yīng)殘差方差分別為和。
以武漢地區(qū)的國(guó)際 GNSS服務(wù)(International GNSS Service, IGS)九峰站(JFNG)2020年12月1日24小時(shí)GPS/BDS觀測(cè)數(shù)據(jù)為例,GPS和BDS L1和B2頻點(diǎn)殘差序列統(tǒng)計(jì)值如圖1所示。
圖1 JFNG 2020年11月30日GPS/BDS的殘差分布
由圖1可見,無粗差條件下GPS/BDS偽距殘差趨近于零均值;但GPS殘差方差σ12=2.41 m2而BDS方差σ22=4.44 m2,存在一定差異。
按均值漂移模型對(duì)GPS/BDS偽距觀測(cè)值分別平差,并構(gòu)建一個(gè)新的內(nèi)部可靠性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,即偏離量K。K定義為BDS和GPS獨(dú)立偽距殘差分布期望值之差,計(jì)算方法為
進(jìn)一步構(gòu)建T統(tǒng)計(jì)量,檢驗(yàn)偏移量K值差異,并按式(15)計(jì)算對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)門限值。通過比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T與檢驗(yàn)門限值大小即可完成故障檢測(cè)。
假定兩獨(dú)立樣本方差未知且不等情況下,采用薩特思韋特(Satterthwaite)近似法構(gòu)造T統(tǒng)計(jì)量[16]為
對(duì)應(yīng)自由度N表達(dá)為
式中,ni(i=1,2)為GPS/BDS衛(wèi)星數(shù)量。
采用均值漂移定律解算含粗差偽距值,雖然能大幅度減弱殘差樣本方差的放大,但在 GPS/BDS可視衛(wèi)星20余顆的條件下,殘余方差失真效應(yīng)不可忽略。本文基于GPS/BDS偽距殘差先驗(yàn)信息取代 GPS/BDS偽距殘差方差,根據(jù)圖1統(tǒng)計(jì)結(jié)果,設(shè)定GPS和BDS先驗(yàn)方差分別為2.5 m和4.5 m。
本文改進(jìn)內(nèi)部可靠性檢驗(yàn)方法概括如下:
1)建立假設(shè)檢驗(yàn):H0認(rèn)為該歷元存在粗差;H1認(rèn)為該歷元不存在粗差。并假設(shè)第i顆衛(wèi)星存在粗差,此時(shí)式(9)中粗差向量H(i)=1,其余元素均為0。
2)根據(jù)式(9)至式(13)計(jì)算對(duì)應(yīng)的粗差估值s︿、偽距殘差v,并按 GPS/BDS方差先驗(yàn)信息,重構(gòu)GPS/BDS觀測(cè)值方差。最后根據(jù)式(21)至(22)式計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T。
3)循環(huán)n次(n表示 GPS/BDS衛(wèi)星數(shù)量之和),并選擇最大值Tmax與按式(15)計(jì)算的檢驗(yàn)門限值比較,Tmax較大則認(rèn)為該歷元存在粗差,并求得對(duì)應(yīng)的偽距殘差v 和粗差估值s︿ 。本文式(15)中誤警概率PFA≤0.01。
在內(nèi)部可靠性檢驗(yàn)中,最小可探測(cè)誤差(minimal detectable bias ,MDB)是一個(gè)很重要的指標(biāo),其表示在一定的檢驗(yàn)功效以及一定的顯著水平下,可發(fā)現(xiàn)粗差的下界。
若只有一個(gè)粗差的單個(gè)備選假設(shè)下,其最小可探測(cè)誤差為
式中:Mi為第i顆衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的MDB值;λ0為非中心化參數(shù);σ0為驗(yàn)前單位權(quán)中誤差;P為權(quán);Qvv為改正數(shù)的協(xié)因數(shù)陣。根據(jù)式(8)可靠性矩陣R,可將式(22)改寫為
從式(23)中可以看出,當(dāng)非中心化參數(shù)、驗(yàn)前單位權(quán)中誤差以及對(duì)應(yīng)觀測(cè)值的權(quán)一定時(shí),M和可靠性量度值成反比。當(dāng)可靠性度量參數(shù)ir越大時(shí),觀測(cè)值可靠性越高,所對(duì)應(yīng)的M值越小,進(jìn)而認(rèn)為MDB值最大的衛(wèi)星為最不可探測(cè)衛(wèi)星。
選取2020年12月1日J(rèn)FNG站的GPS和BDS雙模觀測(cè)數(shù)據(jù),設(shè)定衛(wèi)星截止高度角 10°,L1/C2信噪比大于30 dB,并摒棄軌道誤差較大的BDS 地球靜止軌道(geostationary Earth orbit,GEO)衛(wèi)星后,畫出當(dāng)天可見衛(wèi)星數(shù)和位置精度衰減因子(position dilution of precision, PDOP)值如圖2所示,該觀測(cè)時(shí)段內(nèi)可見GPS/BDS衛(wèi)星數(shù)分別在 6~13顆和 12~19顆之間,對(duì)應(yīng) PDOP值在 1~2之間, GPS/BDS可視衛(wèi)星具有較好的空間幾何分布。
圖2 JFNG站點(diǎn)可見衛(wèi)星數(shù)/PDOP值
基于改進(jìn)粗差探測(cè)方法計(jì)算無粗差情況下檢驗(yàn)效果如圖3所示,當(dāng)GPS/BDS偽距觀測(cè)值中未包含粗差時(shí),T統(tǒng)計(jì)量整體小于檢驗(yàn)門限。表明當(dāng)觀測(cè)值中無粗差時(shí),BDS和GPS系統(tǒng)殘差期望無明顯差異。
圖3 無粗差下T統(tǒng)計(jì)量
當(dāng)對(duì) BDS最不可探測(cè)衛(wèi)星 C2頻點(diǎn)上分別添加10、20、30 m粗差后,其檢驗(yàn)效果如圖4所示。
圖4 本文RAIM法添加10,20和30 m粗差后T統(tǒng)計(jì)量示意圖
統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果表明,當(dāng)人為在最不可探測(cè)衛(wèi)星上添加大小為10 m的粗差后,共有1 381個(gè)歷元的檢驗(yàn)量T大于其對(duì)應(yīng)歷元下門限值;添加粗差量增至20 m后,觀測(cè)時(shí)間段內(nèi)有2 794個(gè)歷元的T值大于門限值,表明有95.5%的概率可以探測(cè)并剔除大小為20 m的粗差;添加粗差量再次增加至30 m,共有2 863個(gè)歷元無法通過檢驗(yàn),對(duì)應(yīng)粗差探測(cè)成功百分比為99.4%。
如圖5所示,對(duì)比經(jīng)典 RAIM探測(cè)效率圖并將改進(jìn)方法與經(jīng)典 RAIM 方法探測(cè)成功百分比差異統(tǒng)計(jì)如表1。經(jīng)典探測(cè)法對(duì)20 m以下的微小粗差較不敏感,人為添加10、20 m粗差的探測(cè)成功百分比僅為 0和 3.2%。而本文的改進(jìn)方法對(duì) 10、20 m粗差探測(cè)成功率分別提高了 15.5%、36.7%,表明該方法較經(jīng)典 RAIM 法而言,能夠有效剔除量級(jí)為20 m的粗差。
圖5 經(jīng)典RAIM法添加10,20和30 m粗差后F統(tǒng)計(jì)量示意圖
表1 經(jīng)典RAIM算法不同粗差探測(cè)率統(tǒng)計(jì)表
本文通過分析 GPS/BDS偽距殘差期望和方差特性,提出了一種基于GPS/BDS偽距殘差均值差異的內(nèi)部可靠性檢驗(yàn)方法。利用偽距觀測(cè)值中存在粗差時(shí),GPS/BDS獨(dú)立偽距殘差分布之間存在非中心化這一特點(diǎn),構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量T,在漏檢率PFA<1%條件下確定對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)門限值,判斷系統(tǒng)是否存在硬件級(jí)粗差。模擬粗差探測(cè)實(shí)驗(yàn)是在GPS/BDS實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)上人為添加粗差,驗(yàn)證了本文所提出的可靠性檢驗(yàn)方法能夠準(zhǔn)確、高效地實(shí)現(xiàn)粗差探測(cè)。GPS/BDS雙系統(tǒng)不僅能夠提高定位精度,而且還可以進(jìn)一步保障導(dǎo)航數(shù)據(jù)的完好性。