胡秀芳，王 躍，呂雙慶，趙德林，馬天錄

（西安交通大學電氣工程學院，陜西省西安市 710049）

0 引言

基于磁耦合諧振的無線電能傳輸（wireless power transfer，WPT）方式作為一種新型的電能傳輸方式，已在科學研究和工業(yè)實踐領域引起了越來越多的關注［1-4］。在WPT 的優(yōu)點中，最具吸引力的是沒有物理接觸，這使WPT 技術能夠在電動汽車、便攜式設備、家用電器、工業(yè)生產(chǎn)、生物醫(yī)療和海洋等眾多應用中獲得更高的魯棒性、可靠性和移動性［5］。

為了補償WPT 系統(tǒng)無功功率和提高系統(tǒng)效率，4 種基本補償網(wǎng)絡串聯(lián)-串聯(lián)（series-series，SS）補償［6-7］、串 聯(lián)-并 聯(lián)（series-parallel，SP）補償［8］、并聯(lián)-串 聯(lián)（parallel-series，PS）補償［9］和并聯(lián)-并 聯(lián)（parallel-parallel，PP）補償［10］，以及高階補償網(wǎng)絡，如LCL補償［11］、LCC補償［12-13］等被提出。LCC-S（一次側(cè)LCC、二次側(cè)LC 串聯(lián)）型補償網(wǎng)絡由于具有發(fā)射線圈電流恒定［13］、對線圈未對準的高度容忍性［14］及輕載或副邊開路時的高度穩(wěn)定性等優(yōu)點［15］被廣泛應用。

精確的動態(tài)模型是WPT 系統(tǒng)進行控制和穩(wěn)定性分析的基礎。狀態(tài)空間平均（state space averaging，SSA）法［16］自提出以來在變換器建模領域取得了很大的成功。然而，由于在穩(wěn)態(tài)運行時LCCS 型WPT 系統(tǒng)中各電量是交流量，不滿足小紋波假設，因此不能使用狀態(tài)空間平均法對其進行建模。為了解決這一問題，廣義狀態(tài)空間平均（generalized state-space averaging，GSSA）法［17］、擴展描述函數(shù)（extended describing function，EDF）法［18］、耦合模理論［19］以及離散時間映射［20］等方法被應用。廣義狀態(tài)空間平均法和擴展描述函數(shù)法在建模過程中僅保留狀態(tài)變量的直流量和基波分量，而該簡化處理會帶來較大誤差，尤其是在諧波失真較大的情況下［20］。耦合模理論只能描述具有低耦合系數(shù)的系統(tǒng)，同時對WPT 系統(tǒng)中的高階補償網(wǎng)絡建模較為困難。離散時間映射以開關周期為采樣間隔，將WPT 系統(tǒng)的狀態(tài)變量從一個采樣時刻映射到下一個采樣時刻。該模型保留了低頻次與開關頻次所有的信息，具有較高的精確度。但是當系統(tǒng)運行復雜時，該方法需要很多數(shù)值運算來建立模型，分析過程相當煩瑣，限制了其推廣應用［21］。

諧波狀態(tài)空間（harmonic state space，HSS）建模方法針對周期性時變的系統(tǒng)，其主要思想是用頻域中的線性時不變（linear time-invariant，LTI）系統(tǒng)來表示時域中的線性周期時變系統(tǒng)［22-23］。該方法可以得到包含所有諧波分量的HSS 方程，無論是系數(shù)矩陣、狀態(tài)變量還是輸入變量均采用傅里葉系數(shù)進行表示，易于擴展到任意次諧波［24-26］，而且可以很好地描述各次諧波的頻率耦合機制。由于HSS 建模方法考慮了系統(tǒng)中各次諧波的相互耦合作用，具有更高的精確度，已被廣泛應用于Buck 變換器［27］、Buck-Boost 變換器［28］、模塊化多電平換流 器（modular multilevel converter，MMC）［29］等。

目前，已有文獻指出控制器參數(shù)［30］、延時［31-32］以及硬件參數(shù)［33］對電力電子系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大的影響。文獻［30］基于分岔圖，分析了雙有源橋式直流變換器在采用比例控制的情況下，比例系數(shù)和輸出電容等效串聯(lián)電阻對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律。文獻［31］分析了控制器參數(shù)和延時對MMC 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，文獻［33］探究了Buck 變換器中控制器參數(shù)、負載和電感對穩(wěn)定性的影響。然而，對于WPT系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題研究甚少。

本文基于HSS 理論對LCC-S 型WPT 系統(tǒng)進行建模和穩(wěn)定性研究。首先，介紹了HSS 建模方法的原理，推導出基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的模型；其次，根據(jù)該方法建立了基于五階Pade近似等值延時環(huán)節(jié)的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)空間模型；之后，在考慮延時的基礎上，采用系統(tǒng)矩陣特征值分析的方法，探究了控制器參數(shù)和硬件參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律；最后，通過仿真和實驗驗證了該模型的有效性以及理論分析的正確性。此建模過程對任何其他諧振變換器均有效。

1 LCC-S 型WPT 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行特性

LCC-S 型WPT 系統(tǒng)電路拓撲如圖1 所示，由全橋逆變器、諧振網(wǎng)絡和全橋整流器組成。圖1 中:Uin為輸入電壓；uAB為逆變器輸出電壓；Lp和Cp分別為發(fā)射側(cè)并聯(lián)補償電感和電容；L1為發(fā)射線圈電感；C1為發(fā)射側(cè)串聯(lián)補償電容；L2為接收線圈電感；C2為接收側(cè)串聯(lián)補償電容；Cf為輸出濾波電容；ip、i1、i2分別為流過電感Lp、L1和L2的電流，if為流過電容Cf的電 流；up、u1、u2和uf分別為電容Cp、C1、C2和Cf的電壓；uCD為整流橋輸入電壓；irect為整流橋輸出直流電流；RL為負載電阻；Uo為負載電壓；io為負載電流；M為線圈間的互感；Uref為輸出參考電壓；Rp為Lp的等效串聯(lián)電阻和金屬-氧化物半導體場效應晶體管（MOSFET）的導通電阻之和；R1為L1和C1的等效串聯(lián)電阻之和；Rc為Cp的等效串聯(lián)電阻；R2為L2、C2的等效串聯(lián)電阻以及整流二極管的導通電阻之和；Rf為Cf的等效串聯(lián)電阻；VM 表示輸出電壓檢測模塊；A/D 表示將模擬輸出電壓信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字電壓信號；PWM 表示脈寬調(diào)制；φpre為通過控制器計算出的移相角；φ為φpre經(jīng)過控制延時之后的移相角。系統(tǒng)的工作頻率為fs。

圖1 LCC-S 型WPT 系統(tǒng)電路拓撲Fig.1 Circuit topology of an LCC-S compensated WPT system

對于LCC-S 型WPT 系統(tǒng)，在系統(tǒng)工作角頻率ω1=2πfs下，系統(tǒng)運行的諧振條件如式（1）所示。

WPT 系統(tǒng)的控制策略基本可以分為3 類。第1 類為原邊控制，通過改變逆變器的工作頻率或固定頻率下調(diào)節(jié)移相角/占空比來實現(xiàn)對系統(tǒng)輸出電壓或功率的調(diào)節(jié)，還可以通過增加額外的DC/DC變換器調(diào)節(jié)逆變器輸入電壓的幅值。第2 類為副邊控制，通過增加額外的DC/DC 變換器或者基于有源整流實現(xiàn)控制目標。第3 類為雙邊控制，主要結(jié)合原邊控制和副邊控制中的方法實現(xiàn)，如增加雙邊DC/DC 變換器、雙移相等。在WPT 系統(tǒng)中，移相控制作為一種典型的控制方式被廣泛采用，因此本文以采用比例-積分（PI）控制器的移相控制下的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)為例，探究系統(tǒng)中存在的不穩(wěn)定現(xiàn)象。在移相控制下，開關管S1與S2、S3與S4開關狀態(tài)分別互補，并且每個開關管的占空比均為50%，S1與S3之間的移相角為φ，穩(wěn)態(tài)時LCC-S 型WPT 系統(tǒng)主要工作波形如圖2 所示，其中Ts為開關周期，n=0，1，2，…。

圖2 穩(wěn)態(tài)時LCC-S 型WPT 系統(tǒng)主要工作波形Fig.2 Main working waveforms of LCC-S compensated WPT system at steady state

根據(jù)圖1，建立系統(tǒng)微分方程為:

系統(tǒng)中包含3 個非線性項，分別是逆變器輸出電壓uAB、整流橋輸入電壓uCD和整流橋輸出直流電流irect，將其定義為:

式中:x（t）為狀態(tài)變量；u（t）為輸入變量；y（t）為輸出變量；A（t）為狀態(tài)矩陣；B（t）為輸入矩陣；C（t）為輸出矩陣；D（t）為前饋矩陣。以上各個量的具體表達式見附錄A 式（A2）—式（A8）。

式（13）是一個非線性時變系統(tǒng)，需要轉(zhuǎn)變?yōu)長TI 系統(tǒng)才能便于分析。而使用HSS 方程的建模方法可以將式（13）轉(zhuǎn)變?yōu)樗璧腖TI 系統(tǒng)，具體變換過程見第2 章。

2 基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)建模

2.1 HSS 方程原理

HSS 方程屬于一種在頻域中建立的數(shù)學模型，它可以將時域中周期變化的信號表示成為頻域中的定常數(shù)，因此，HSS 方程可以描述LTI 系統(tǒng)。

HSS 方程基于傅里葉級數(shù)原理，即任何周期性的時變信號都可以展開成傅里葉級數(shù)的形式。如基波周期為T的周期函數(shù)x（t）的傅里葉級數(shù)為:

式中:ω1=2π/T；Xh為傅里葉系數(shù)；h為諧波次數(shù)。

狀態(tài)變量x（t）可寫成指數(shù)調(diào)制周期（exponential modulation period，EMP）信號來體現(xiàn)波形的瞬時變化，如式（15）所示。

式中:s為拉普拉斯算子。

基于式（14）所示的復數(shù)形式的傅里葉變換以及式（15）所示的額外將狀態(tài)變量表示為EMP 信號的形式，則可以將時域狀態(tài)空間方程式（13）轉(zhuǎn)化為頻域中的LTI 的HSS 方程［22，34］，如式（16）所示:

式中:Xh、Uh和Ah分別為式（13）中x（t）、u（t）和A（t）的h次諧波的傅里葉系數(shù)；A是一種由各個子矩陣拼接成的特殊的矩陣形式，即Toeplitz 矩陣，它由矩陣A（t）的各次諧波的傅里葉級數(shù)系數(shù)組成；I為與矩陣A（t）階數(shù)相同的單位矩 陣；B、C和D也是Toeplitz矩陣，它們的元素Bh、Ch和Dh分別為矩陣B（t）、C（t）和D（t）的h次諧波的傅里葉級數(shù)系數(shù)。

式（16）中HSS 方程的穩(wěn)態(tài)解可表示如下:

進一步，將得到的式（21）所示的解代入傅里葉級數(shù)展開式（14）中，即可得到時域中的解x（t）。

2.2 基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)大信號模型

逆變器輸出電壓波形如圖2 所示。對于式（10）中的SAB(t)，利用傅里葉級數(shù)展開可得:

整流橋輸入電壓、電流波形如圖2 所示。整流橋輸入電壓uCD的符號取決于整流橋輸入電流i2的方 向。若i2為正，則uCD=Uo，若i2為負，則uCD=-Uo，即uCD=sgn（i2）Uo。對于式（11）中的SCD，利用傅里葉級數(shù)展開可得:

根據(jù)2.1 節(jié)介紹的HSS 方程原理，可以方便地把第1 章中建立的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的時域狀態(tài)空間方程式（13）轉(zhuǎn)化為HSS 方程式（16），其中元素Xh、Uh、Yh、Ah、Bh、Ch和Dh的具體表達式見附錄A 式（A9）—式（A21）。

2.3 基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)模型

式（16）表示W(wǎng)PT 系統(tǒng)的大信號模型。大信號模型同時包含穩(wěn)態(tài)工作點和小信號模型。該模型是LTI 系統(tǒng)，可以使用經(jīng)典控制理論進行分析。該模型可計算得到0至h次諧波的信息。

HSS 方程式（16）的穩(wěn)態(tài)解可表示如下:

2.4 基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)小信號動態(tài)模型

由于本文需要通過小信號動態(tài)模型得到控制變量φ到輸出變量Uo的傳遞函數(shù)，因此分別對式（23）中的變量φ、式（13）中的狀態(tài)變量x和輸出變量Uo在某一穩(wěn)態(tài)工作點處引入小信號擾動，如式（29）—式（31）所示。

式中:頂標“＾”表示小信號擾動，下同。

將式（29）—式（31）代入大信號模型式（13）中，忽略其中的高次分量，僅保留一次線性化分量，可以得出LCC-S 型WPT 系統(tǒng)小信號模型為:

整理式（32）—式（39），可寫出開環(huán)控制模式下LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的小信號模型:

通過建立的小信號動態(tài)模型，可以得到開環(huán)控制模式下系統(tǒng)的諧波傳遞函數(shù)（harmonic transfer function，HTF）。諧波傳遞函數(shù)［27］通過輸入變量和輸出變量的傅里葉系數(shù)來描述輸入到輸出的關系，表示為:

諧波傳遞函數(shù)代表線性時間周期(LTP）系統(tǒng)的輸入、輸出關系，諧波傳遞函數(shù)的顯著特征是G0（s）與LTI 模型的頻率響應特征相同，其中，G0（s）表示移相角φ到輸出電壓Uo的直流分量的傳遞函數(shù)。因此，在一個坐標中包括其他諧波頻率響應的LTP模型可以顯示比LTI 模型更精確的響應。

3 基于HSS 模型的穩(wěn)定性分析

3.1 閉環(huán)控制系統(tǒng)建模

本文中，數(shù)字控制閉環(huán)系統(tǒng)框圖如圖3 所示，其中:GPI（s）為PI 控制器的傳遞函數(shù)；Gd（s）為硬件延時環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；Gc（s）為數(shù)字控制器引入的延時環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；Gb（s）為被控對象，即移相角到輸出電壓的傳遞函數(shù)。

圖3 數(shù)字控制閉環(huán)系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of digital controlled closed-loop system

對于積分環(huán)節(jié)，將引入額外的狀態(tài)變量xi:

PI 控制器的輸出信號φpre可表示為:

式中:kp和ki分別為PI 控制器的比例與積分系數(shù)。

在WPT 系統(tǒng)中，不可避免地會引入延時環(huán)節(jié)，主要包括硬件延時和數(shù)字控制器引入的采樣延時、計算延時以及PWM 延時等。在本文中，硬件延時主要包括電壓檢測電路的延時、MOSFET 驅(qū)動電路的延時以及MOSFET 開通與關斷的延時，延時時間用Td表示，實際測量Td=87 μs。Gd(s)表達式為:

數(shù)字控制器由于采用離散實現(xiàn)方式，工程上通常選擇1.5 倍的采樣周期作為延時的大小，采樣周期等于開關周期Ts時，延時環(huán)節(jié)可表示為:

在本文中，引入了五階Pade 近似［34］等效系統(tǒng)的延時環(huán)節(jié)，狀態(tài)變量標記為xd1至xd5。因此，可較容易地推導出控制系統(tǒng)的小信號模型，此處不再具體給出。

3.2 閉環(huán)控制模式下LCC-S 型WPT 系統(tǒng)建模

為了建立閉環(huán)控制模式下LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的小信號模型，將開環(huán)控制模式下系統(tǒng)的模型和控制系統(tǒng)模型集成到一個狀態(tài)空間方程中，即可得到閉環(huán)控制模式下系統(tǒng)的小信號模型:

將式（48）轉(zhuǎn)化為HSS 方程，得到閉環(huán)控制模式下，基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的小信號模型為:

3.3 穩(wěn)定性分析

在本節(jié)中，將使用3.2 節(jié)中建立的小信號模型分析控制器參數(shù)以及硬件參數(shù)對WPT 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1）控制器參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

將PI 控制器積分系數(shù)ki設置為10，延時時間Td為87μs的情況下，kp以0.01的步長由0.1增大到0.15，系統(tǒng)的特征值軌跡如附錄B 圖B1 所示。由圖B1 可知，當控制器比例系數(shù)kp=0.13 時，特征值的實部從負變?yōu)檎?，一對特征值?2.398±j5 360.3）出現(xiàn)在右半平面，系統(tǒng)進入不穩(wěn)定狀態(tài)。該特征值對應的振蕩周期為（2π/5 360.3）s≈1.172 ms。

將PI 控制器積分系數(shù)ki設置為100，延時時間Td為87 μs 的情況下，kp以0.01 的步長由0.08 增大到0.13，系統(tǒng)的特征值軌跡如附錄B 圖B2 所示。由圖B2 可知，當控制器比例系數(shù)kp=0.11 時，系統(tǒng)進入不穩(wěn)定狀態(tài)。一對特征值（89.025±j4 993.6）出現(xiàn)在右半平面中，該特征值對應的振蕩周期為（2π/4 993.6）s≈1.26 ms。

綜合以上分析，由附錄B 圖B1 和圖B2 可得，在積分系數(shù)ki一定的情況下，對于閉環(huán)控制WPT 系統(tǒng)，增加比例系數(shù)kp，系統(tǒng)失穩(wěn)的風險也隨之提升。對比圖B1 和圖B2 可知，在比例系數(shù)kp一定的情況下，積分系數(shù)越大，系統(tǒng)越容易失穩(wěn)。

2）硬件參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

當WPT 系統(tǒng)在運行過程中，互感M和負載電阻RL易發(fā)生變化，因此分析互感M和負載電阻RL對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律至關重要。如附錄B 圖B3 所示，基于互感M、負載電阻RL和比例系數(shù)kp的變化，依據(jù)系統(tǒng)特征值實部的最大值是否為正，計算出系統(tǒng)穩(wěn)定性的三維圖。為了更好地解釋互感M和負載電阻RL對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，將三維圖投影為二維，如附錄B 圖B4 所示。由圖B4（a）可得，比例系數(shù)kp一定時，隨著RL的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低；由圖B4（b）可得，比例系數(shù)kp一定時，隨著M的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性也降低。結(jié)合以上分析結(jié)果，減小負載RL或減小互感M有助于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 仿真與實驗驗證

為了驗證所提模型的準確性，搭建系統(tǒng)仿真和實驗平臺，參數(shù)如附錄B 表B1 所示，本文仿真和實驗均采用此參數(shù)。

在實驗室中搭建系統(tǒng)實驗樣機，如圖4 所示。實驗樣機包括直流電源、全橋逆變器、LCC-S 諧振網(wǎng)絡、全橋整流器和電子負載。

圖4 LCC-S 型WPT 系統(tǒng)實驗樣機Fig.4 Experimental prototype of LCC-S compensated WPT system

4.1 穩(wěn)態(tài)模型驗證

為了驗證本文提出的HSS 模型的精確度，將HSS 模型與非線性時域仿真模型的結(jié)果進行了對比，其中在MATLAB/Simulink 中實現(xiàn)了非線性時域仿真模型，然后通過使用MATLAB 中的m 文件來執(zhí)行HSS 模型。LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的HSS 模型中考慮的諧波次數(shù)為3。HSS模型與仿真模型、EDF模型及GSSA模型對比圖如附錄B圖B5所示，可以看出HSS 模型與時域仿真模型的結(jié)果具有很好的匹配性，這表明本文提出的LCC-S 型WPT系統(tǒng)的HSS 模型能夠捕獲電感電流和電容電壓中的所有穩(wěn)態(tài)諧波，并且足夠準確地用于穩(wěn)態(tài)諧波研究。

4.2 大信號模型驗證

2.2 節(jié)中得出的大信號模型可以預測LCC-S 型WPT 系統(tǒng)中電流和電壓波形的包絡。為了驗證該模型，WPT 系統(tǒng)運行在開環(huán)控制模式的某一穩(wěn)態(tài)工作點處，分別進行移相角階躍和負載階躍。附錄B圖B6 給出了在負載電阻RL=10 Ω 的情況下，移相角從0.5π 階躍變化至π 時，電感電流ip、輸出電壓Uo的預測大信號模型（包絡）和仿真模型的波形對比。實驗結(jié)果如附錄B 圖B7 所示，可以看出，該模型在穩(wěn)態(tài)以及瞬態(tài)條件下都能很好地預測包絡，且與實驗結(jié)果一致。

在移相角φ=0.8π 時，進行負載階躍實驗，附錄B 圖B8 給出了在負載電阻從10 Ω 階躍變化至20 Ω時，電感電流ip、輸出電壓Uo的預測大信號模型（包絡）和仿真模型的波形對比。實驗結(jié)果如附錄B 圖B9 所示，可以看出，模型可以很好地反映負載階躍的動態(tài)特性，且與實驗結(jié)果一致。

綜合以上分析，理論、仿真和實驗結(jié)果十分吻合，驗證了大信號模型的準確性。所建立的大信號模型準確地預測了動態(tài)過程中高速變化的電壓、電流動態(tài)過程。準確的模型有利于分析WPT 系統(tǒng)動態(tài)性能，準確地預測系統(tǒng)高速動態(tài)變化的電壓、電流應力情況，輔助系統(tǒng)參數(shù)設計。

4.3 小信號模型驗證

線性化小信號模型中包含了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)工作點附近的動態(tài)特性信息。利用小信號模型可以獲得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。精確的小信號模型是對系統(tǒng)進行控制器設計和穩(wěn)定性分析的關鍵。

由建立的小信號模型可以獲得控制量到輸出量的傳遞函數(shù)，在該系統(tǒng)中，控制量為移相角φ，輸出電壓Uo通過調(diào)節(jié)控制量而變化。因此，重要的是導出的小信號模型必須能夠預測控制量到輸出電壓的傳遞函數(shù)。為了驗證導出的小信號模型，將第2 章中HSS 模型預測的開環(huán)波特圖與實驗得到的開環(huán)波特圖進行了比較。附錄B 圖B10 給出了移相角φ到輸出電壓Uo的波特圖，該結(jié)果表明，HSS 模型預測的波特圖與實驗結(jié)果吻合。

4.4 穩(wěn)定性驗證

為驗證3.3 節(jié)理論分析的正確性，將理論分析結(jié)果與MATLAB/Simulink 仿真結(jié)果和實驗結(jié)果進行對比以觀察系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象。

首先，分析控制器參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。延時時間Td為87 μs，ki設置為10，t＜0.3 s 時，kp大小為0.11，系統(tǒng)運行在穩(wěn)定狀態(tài)，t=0.3 s時kp由0.11階躍至0.13，此時時域仿真模型中ip和Uo的波形如附錄B 圖B11 所示。該工況下的實驗波形如圖5 所示，可以看到系統(tǒng)出現(xiàn)低頻振蕩現(xiàn)象。

圖5 控制器參數(shù)階躍變化實驗波形(ki=10)Fig.5 Experimental waveforms with step change of controller parameters (ki=10)

同理，延時時間Td為87 μs，系統(tǒng)在ki=100 的工況下運行，t=0.3 s時kp由0.09 階躍變化至0.11，此時時域仿真模型中ip和Uo的波形如附錄B 圖B12 所示。該工況下的實驗波形如圖6 所示。仿真和實驗結(jié)果與3.3 節(jié)理論分析結(jié)果基本一致，驗證了系統(tǒng)發(fā)生低頻振蕩風險隨比例系數(shù)或者積分系數(shù)的增大而提升這一結(jié)論。

圖6 控制器參數(shù)階躍變化實驗波形(ki=100)Fig.6 Experimental waveforms with step change of controller parameters (ki=100)

負載或互感突變情況下的實驗波形分別如圖7（a）和（b）所示。圖7（a）中，系統(tǒng)運行在kp=0.13、ki=10和M=30.15 μH 的工況下，負載電阻從10 Ω 階躍到7 Ω。對于負載階躍變化，ip和Uo從不穩(wěn)定狀態(tài)過渡到穩(wěn)定狀態(tài)。圖7（b）驗證了互感對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。在kp=0.13、ki=10和RL=10 Ω 的條件下，通過改變初級線圈和次級線圈之間的相對位置來改變互感，使互感從30.15 μH 階躍變化到27.712 5 μH。如實驗結(jié)果所示，對于互感變化，可得出相同的結(jié)論。因此，減小負載電阻RL或互感M可以增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖7 硬件參數(shù)階躍變化實驗波形(ki=10)Fig.7 Experimental waveforms with step change of hardware parameters (ki=10)

為了進一步驗證負載和互感對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，在不同負載和互感條件下分別進行驗證。附錄B 圖B13（a）中，系統(tǒng)運行在Td=87 μs、ki=10、M=30.15 μH和RL=7 Ω 的工況下，當階躍標志位由低電平變?yōu)楦唠娖綍r，kp由0.14 階躍變化至0.16，系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)進入不穩(wěn)定狀態(tài)。在其他運行條件相同的情況下，改變負載電阻進行實驗。當RL=17 Ω時，在階躍標志位由低電平變?yōu)楦唠娖綍r，kp由0.09階躍變化至0.11，實驗波形如圖B13（b）所示，系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)進入不穩(wěn)定狀態(tài)。對比圖B13（a）和（b）可知，負載電阻較大時，比例系數(shù)kp的范圍更小，更易失去穩(wěn)定。

系統(tǒng)運行在Td=87 μs、ki=10、RL=10 Ω和M=27.92 μH 的工況下，當階躍標志位由低電平變?yōu)楦唠娖綍r，kp由0.155 階躍變化至0.18，系統(tǒng)進入不穩(wěn)定狀態(tài)，實驗波形如附錄B 圖B14 所示。對比圖5和圖B14 可知，互感較大時，比例系數(shù)kp的范圍更小，更易失去穩(wěn)定。

為了驗證HSS 模型的精確性，將HSS 模型、GSSA 模型和EDF 模型進行穩(wěn)定性方面的對比。在PI 控制器積分系數(shù)ki=10、延時時間Td=87 μs 的工況下，將kp以0.01 的步長由0.1 增大到0.15，3 種模型的特征值軌跡如附錄B 圖B15 所示。當特征值的實部從負變?yōu)檎龝r，特征值出現(xiàn)在右半平面，系統(tǒng)進入不穩(wěn)定狀態(tài)。由圖B15 可知，EDF 模型的比例系數(shù)kp的預測值大于0.13，GSSA 模型中kp的預測值為0.127，HSS 模型中kp的預測臨界值為0.122。選取kp=0.123 進行實驗驗證，系統(tǒng)運行在ki=10、Td=87 μs、M=30.15 μH、RL=10 Ω 的工況下，實驗結(jié)果如附錄B 圖B16 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，EDF 模型的精確度較低，而HSS 模型的精確度最高。

本節(jié)仿真與實驗波形清楚地描繪了LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的動態(tài)特性。當系統(tǒng)進入不穩(wěn)定狀態(tài)時，系統(tǒng)發(fā)生低頻振蕩，此時系統(tǒng)中電壓和電流的幅值增大，這種現(xiàn)象會增加器件的應力，甚至損壞器件。由于系統(tǒng)寄生參數(shù)、死區(qū)效應等因素的影響，仿真與實驗波形中低頻振蕩的周期與理論有一定的偏差。

5 結(jié)語

本文基于HSS 理論對LCC-S 型WPT 系統(tǒng)進行建模和穩(wěn)定性研究。通過HSS 方程建立了系統(tǒng)的大信號、穩(wěn)態(tài)和小信號模型，建模過程中考慮了諧波間的相互耦合，同時通過將HSS 模型與Simulink仿真模型和實驗結(jié)果進行對比，驗證了所建模型的準確性。在考慮延時的基礎上，建立了閉環(huán)控制模式下系統(tǒng)的模型，分析了控制器參數(shù)和硬件參數(shù)對穩(wěn)定性的影響規(guī)律，得到以下結(jié)論:

1）比例系數(shù)kp和積分系數(shù)ki對穩(wěn)定性有重要影響，在WPT 系統(tǒng)中，當kp或ki較大時系統(tǒng)失穩(wěn)的可能性增大；

2）輕載或互感較大時，系統(tǒng)易趨于不穩(wěn)定。

本文提出的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的建模和穩(wěn)定性分析方法同樣適用于任何其他補償網(wǎng)絡，可為系統(tǒng)參數(shù)和控制器參數(shù)設計提供依據(jù)。實際應用中，由于電路元件的老化效應、線圈位置的變化或者負載阻抗的變化，實際元件參數(shù)可能會發(fā)生變化。當參數(shù)的測量在技術上比較困難時，采用原有模型進行系統(tǒng)建模會存在一定的誤差，導致對失穩(wěn)現(xiàn)象的分析不夠精確，因此工程中有必要對參數(shù)變化的系統(tǒng)進行建模，參數(shù)變化對系統(tǒng)模型以及穩(wěn)定性分析的影響有待進一步研究。

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